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synced 2026-01-01 06:44:25 -05:00
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4 Commits
4dfdff599e
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main
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| b9d1194f26 | |||
| 9b1ac6747d | |||
| 81bd664a64 | |||
| 9c06010901 |
@@ -5,3 +5,7 @@ This repo is split into the study semesters and thesis.
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## Current season helper
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Set the current season `current_season` in the uni module in the nvim configuration must be set.
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### Disclaimer
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All content in this repository is provided for educational and informational purposes only. Experiments, results, and materials may be incorrect, incomplete, or misleading. Some content may be subject to copyright. Use at your own risk.
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126
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL4.typ
Normal file
126
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL4.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,126 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Ultraschall in festen und fluessigen Median oder in Gewebe fuer die medizinische Diagnostik.
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Fuer die medizinische Diagnostik sind vor allem Frequenzen im Bereich von einigen MHz interessant unterhalb 2 MHz ist die Aufloesung zu gering oberhalb ist die Absorption zu stark.
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Die BWGL fuer Schall muss linearisiert werden, da sich die Dichte veraendert.
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== Schallwellen in Festkoerpern
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Im Festkoerper haben wir noch weniger Dichteaenderung.
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Auslenkung $xi (z, t)$ im Volumenelement $dif V = A dif z$ mit der Spannung $sigma = E (diff xi) / (diff z) $ und der Spannungsdifferenz $sigma (z + dif z, t) - sigma (z, t)$ und eine Kraftdifferenz $dif F$ bedingt eine Beschleunigung des Volumenelements
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dif F = A dif sigma = A (diff sigma) / (diff z ) dif z \
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rho (diff ^2 xi) / (diff t^2 ) dif V = A E (diff ^2 xi) / (diff z^2 ) dif z ==> (diff ^2 xi) / (diff t^2 ) = sqrt(E/rho) ^2 (diff ^2 xi) / (diff x^2 ) \
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c = sqrt(E/rho) \, space sqrt(T/s).
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Es gibt noch mehr Freiheitsgerade also die Polarisation. Fluessigkeiten koennen nicht geschert werden.
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Klassifizierende Variablen fuer einen Festkoerper.
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Alle moeglichen Geometrien koennen beim Schwingen eines Festkoerpers eine Rolle spielen. Zustaende sind im Verzerrungsfeld dargestellt und die Elastizitaet in einem Tensor hoher Stufe.
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Die stationaere Wellengleichung haengt nicht von der Zeit ab
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arrow(nabla) ^2 u (arrow(r)) + k^2 u (arrow(r)) = 0 \
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u : RR^3 -> RR \
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phi = (arrow(r), t).
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Hier ist $u$ die Amplitude. Diese folgt aus dem Sperarationsansatz.
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= Fourier Zerlegung
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Es gilt fuer eine periodische Funktion
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psi (t) = C cos (omega t + phi) = Re (C e ^(i omega t + phi) ) = A cos (omega t ) + B sin (omega t) = Re [Z e ^(i omega t ) ] \
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A = C cos phi \, space B = - C sin phi \, space C ^2 = A ^2 + B ^2 \, space Z = A - i B \
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f = 440"Hz" \, space phi = 110 degree \, space C = 2.
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Als Ueberlagerung
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psi (t) = Re [Z_(1) e ^(i omega_1 t) + Z_(2) e^(i omega_2 t) ] \, space f_1 = 440"Hz" \, space f_2 = 610"Hz".
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$Z$ sind die Fourierkoeffizienten und lassen sich aus $psi (t)$ bestimmen durch eine Fourierzerlegung.
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psi (t) = Re [sum_(n=1)^(N) Z_(n) e ^(i omega_(n) t) ]
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Falls wir eine beliebige Kombination haben. Das Signal $f (t)$sei periodisch mit Periode $T$, dann gilt mit $omega_1 = (2 p)/T$ und $omega_(n) = n omega_(1) $
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f (t) = sum_(n = - oo)^(oo) c_(n) e ^(i omega_(n) t) \
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"reele" f ==> f (t) = a_0 + sum_(n=1)^(oo) {a_(n) cos (omega_(n) t) + b_(n) sin (omega_(n) t) } \
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c_(n) = 1/T integral _(t_0 ) ^(t_0 + T) f (t) e ^(i n omega_(n) t) dif t.
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Addieren von Zeigern
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psi (t) = C cos (omega t + phi) = 1/2 {Z e ^(i omega t) + Z^(star ) e^(- i omega t ) }.
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Der Phasor erlaubt auch eine Darstellung durch negative Frequenzen.
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= Physik der Musikinstrumente
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Falls Toene in einem ganzzahligen Verhaeltnis stehen, dann hoert sich der Ton harmonisch an.
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Typen von Instrumenten
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- Idiophone
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- Resonante
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- Aerophone
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Man kann sich die Eigenmoden des Resonanzkoerpers einer Geige anschauen.
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Wir definieren die Tor-Funktion durch
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Pi (x) = cases(
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0 .. abs(x) > 1/2, 1 .. abs(x) <= 1/2.
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)\
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tilde(Pi) (nu) = integral_(- oo)^(oo) dif x Pi (x) e ^( - i 2 pi nu x) \
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integral_(- 1/22)^(1/2) dif x e ^(- i 2 pi nu x) = [(1) / (- i 2 pi nu) e ^( - i 2 pi nu x) ]^(1/2) _(- 1/2) = 1/(pi nu) sin (pi nu) = sinc (pi nu) "Sinus Cardinalis".
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= Dispersionsgeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit
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Die Phasengeschwindigkeit $c$ beschreibt die Bewegung der Orte gleicher Phase bei einer monochromen Welle
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e ^(i (k x - omega t)) = e ^(i k (x - c t)) \, space omega_i = c k_i.
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Betrachte jetzt eine Ueberlagerung
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psi prop e ^(i (k_1 x - omega_1 t)) + e ^(i (k_2 x - omega_2 t)) \
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overline(k):= (k_1 + k_2 ) / (2) \, space Delta k = (k_1 - k_2 ) / (2) \, space overline(omega) := (omega_1 + omega_2 ) / (2) \, space Delta omega := (omega_1 - omega_2 ) / (2) \
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psi = e ^(i( (overline(k) + Delta k)x - ( overline(omega)+ Delta omega))t) + e ^(i( (overline(k) - Delta k)x - ( overline(omega)- Delta omega))t) \
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= underbrace(e ^(i (overline(k)x - overline(w) t)), "Traeger-Welle") * underbrace(2 cos (Delta k x - Delta omega t), "Einhuellende-Welle") \, space "fuer" Delta k << overline(k) \, space Delta omega << overline(omega) "aehnlich wie bei Schwebung".
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Phasen von TW bewegen sich mit $c_("phase") = overline(omega)/overline(k) approx (omega_1 ) / (k_1 ) approx omega_2 /k_2 $.
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Phasen von EW bewegen sich mit $c_("group") = (Delta omega) / (Delta k) approx (diff omega) / (diff k) $. Bei linearer Dispersionsrelation
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omega = omega (k) \, space omega = c k ==> (diff omega) / (diff k) = c.
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Nur bei dieser ist $c_("phase") = c_("group") $.
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Die Phasengeschwindigkeit kann groesser als die Lichtgeschwindigkeit sein?
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120
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ
Normal file
120
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,120 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Dispersion
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omega &= c k \
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omega &= c (k ) k.
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Die Geschwindigkeit aus der WEllengleichung wird Phasengeschwindigkeit genannt.
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Femtosekundenlaser durch Inteferenz von monochromatischem Licht. Im Vakuum gibt es keine Dispersion.
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Verallgeminerung: Ausbreitung eines Pules
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psi (x, t) &= integral_(- oo)^(oo) underbrace(A (k) e ^(i (k x - omega (k)t)), "Darstellung im Fourierraum") dif k \
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omega (k) &approx omega (k_0 ) + (k - k_0 ) (diff omega) / (diff k) (k_0 ) \
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psi (x, t) &= integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i (k_0 x - omega (k_0 )t) - (k - k_0 )(diff omega) / (diff t) t) \
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&= underbrace(e ^( i (k_0 x - omega ( k_0) t )), "monochromatische Welle bewegt sich mit" c_(p) ) integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i [(k - k_0 )(x - (diff omega) / (diff k) t)]) \
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c &= (diff omega) / (diff k) \
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c_(p) &= omega_0 /k_0.
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Dispersionsrelation mit nicht konstantem $c$
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omega &= c (k) k \
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c^2 &= [underbrace(g/h, "grosse Welle") + underbrace((sigma k) / (rho), "kleine Welle")] tan (k h) \
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c &= sqrt(T/rho),
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wobei $h$ die Wassertiefe und $sigma$ die Oberflaechenspannung ist.
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Wo sind die Wellenzahlen gleich gross
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g/h &= (Delta k_(c)) / (rho) \
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==> lambda_(c) &= 2 pi sqrt(sigma/(rho g)) \, space O ("cm").
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In der zum Beispiel Nordsee
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"fuer" lambda >> lambda_(c) \, space k << k_(c) \
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"fuer" h k << 1 \
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==> c^2 approx g h \, space k := "const".
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In der Tiefsee
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h k >> 1 \
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c = sqrt(g/k) \, space omega = c k = sqrt(g k) \
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c_(g) = (diff omega) / (diff k) = 1/2 sqrt(g/k)= 1/2 c_(p).
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#theorem[
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Navier-Stokes Gleichung
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rho (partial _(t) arrow(v) + arrow(v) * arrow(nabla) arrow(v)) = rho arrow(g) - arrow(nabla) p.
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]
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= Von der Maxwellgleichung zur Wellengleichung
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Faradaysche und Amperesche Gesetz
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arrow(nabla) times arrow(E) = - (diff arrow(B)) / (diff t) \, space arrow(nabla) times arrow(B) = epsilon_0 mu_0 (diff arrow(E)) / (diff t) \
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underbrace(arrow(nabla) times arrow(nabla) times arrow(E), = arrow(nabla) (underbrace(arrow(nabla) * arrow(E), = 0\, "da" rho = 0))- arrow(nabla) ^2 arrow(E)) = arrow(nabla) times (- (diff arrow(B)) / (diff t) ) = - diff / (diff t) ( arrow(nabla) times arrow(B))= - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) \
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==> arrow(nabla) ^2 arrow(E) - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) = 0 \
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arrow(B) (arrow(r), t) "analog" arrow(nabla) ^2 arrow(B) - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(B)) / (diff t^2 ) = 0 \
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==> c_0 = 1/sqrt(epsilon_0 mu_0 ) approx 2.9 * 10 ^(8) "m"/"s" \
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arrow(nabla) ^2 phi - 1/c^2 (diff ^2 phi) / (diff t^2 ) = 0 .. forall phi in {E_(x) , E_(y) , E_(z) , B_(x) , B_(y) , B_(z) }.
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Spezialfall ebene Welle zum Beispiel Wellenvektor $k$ ist $k hat(z)$. Welle ist konstant in $x$ und $y$ $forall z, t$ $==>$ Ebene senkrecht auf $z$ haben konstante Phase und Amplitude
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arrow(E) = arrow(E) (z, t) .. "aus" arrow(nabla) * arrow(E) = 0 "folgt" partial _(z) E_(z) = 0 \
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==> E_(z) "const". \
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arrow(E)_(0) = vec(E_(x), E_(y) , 0) \, space arrow(E) (z, t) = arrow(E)_(0) e ^(i (k z - omega t)) \
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"mit" partial _(x) ^2 arrow(E) = partial _(y)^2 arrow(E)= 0 .. "wird die WG" \
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partial _(z) ^2 arrow(E) - 1/c^2 partial _(t) ^2 E= 0.
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Allgemeiner
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arrow(E) = arrow(E)_(0) e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega t)) \, space arrow(k) = vec(k_(x) , k_(y) , k_(z) ) = (2 pi)/lambda hat(k) \
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arrow(nabla) ^2 arrow(E) - 1/c^2 partial _(t) ^2 arrow(E) = 0 \, space "3 WG" \
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"fuer jede Komponente" psi = psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega t)) \
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==> partial _(t) ^2 psi = - omega ^2 psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega)) \
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arrow(nabla) ^2 psi = psi_0 (i arrow(k))^2 e^(i (arrow(k) arrow(r) - omega t)) \
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==> - k^2 + omega^2 /c^2 = 0 ==> c = omega/k.
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Das Magnetfeld der ebenen Welle. Sei
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arrow(E) = underbrace(arrow(E)_(0) hat(x), "Polarisation") e ^(i (k z - omega t)) \
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==> arrow(nabla) times arrow(E) = (diff arrow(B)) / (diff t) \, space arrow(B) = arrow(B) (arrow(r), t) \
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- abs(mat( hat(x), hat(y), hat(z); partial _(x) , partial _(y) , partial _(z) ; E_(x) , 0, 0; )) = - (partial _(z) E_(x) ) hat(y) = (diff B_(y) ) / (diff t) \
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(diff B_(y) ) / (diff t) = - (diff E_(x) ) / (diff z) = - i k E_0 e ^(i (k z - omega t)) \
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==> B_(y) = k/omega E_0 e ^(i (k z - omega t)) = 1/c E_0 e ^(i (k z - omega t))
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$
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#figure(
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image("typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg"),
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)
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Es folgt
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arrow(B) = 1/c^2 (arrow(k) times arrow(E)).
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Warum dreht sich die Reflektion um in einem Koaxialkabel?
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94
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL6.typ
Normal file
94
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL6.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,94 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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== Wiederholung der Maxwellschen Gleichungen
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Anschreiben der 5 Gleichungen.
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Unterscheidung zwischen freien makroskopischen und atmoaren/molekuralen mikroskopischen Ladungen & Stroemen. Es gilt
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D = epsilon_0 E + P = epsilon_(r) epsilon_0 E.
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Es gilt
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arrow(nabla) times (arrow(nabla) times arrow(E)) = arrow(nabla) (arrow(nabla) * E) - arrow(nabla) ^2 E.
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Es ergeben sich die Wellengleichungen
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arrow(nabla) ^2 arrow(E) = mu_0 epsilon_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) \, space arrow(nabla) ^2 arrow(E) = mu_0 epsilon_0 (diff arrow(B)) / (diff t^2 ) \, space c = 1/sqrt(mu_0 epsilon_0 ) = 2.9979 * 10^(8) "m"/"s".
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Flouresenz von Kastaniensaft.
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= Energie und Impuls elektromagnetischer Wellen
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Energiedichte in der Elektrostatik
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mu = epsilon/v = (epsilon_0 E^2 ) / (2) + 1/ (2 mu_0 ) B^2
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fuer eine ebene Welle wissen wir, dass
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B = E/c ==> B^2 = epsilon_0 m_0 E^2 ==> mu = epsilon_0 E^2.
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Zeitliche Anederung
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partial _(t) mu (arrow(r), t) &= epsilon_0 arrow(E) * dot(arrow(E) )+ 1/mu_0 arrow(B)*dot(arrow(B)) \
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epsilon_0 dot(arrow(E)) &= 1/mu_0 arrow(nabla) times arrow(B) - arrow(j) \
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==> ^("MG (III)") dot(arrow(B)) &= - arrow(nabla) times arrow(E) \
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==> partial _(t) mu &= 1/mu_0 arrow(E)* (arrow(nabla) times arrow(B)) - arrow(E) * arrow(j) - 1/mu_0 arrow(B) * (arrow(nabla) times arrow(E)) \
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partial _(t) mu &= - 1/mu_0 arrow(nabla) * (arrow(E)times arrow(B)) - arrow(E) * arrow(j).
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Betrachte mechanische Energie der Ladungsverschiebung
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dif W = arrow(F) * dif arrow(s) = q arrow(E) * arrow(v) dif t \, space q = integral _(V) rho dif V \, space rho arrow(v) = arrow(j) \
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==> (dif W) / (dif t) = integral _(V) arrow(E) * arrow(j) dif^3 arrow(r) \, space partial _(t) mu_("mech") = dot(arrow(E)) * arrow(j) \
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mu_("total") = mu + mu_("mech") \, space partial _(t) mu_("total") = - 1/mu_0 arrow(nabla) * (arrow(E) times arrow(B)) .. "Poynting theorem".
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Dies ist analog zur Kontinuitaetsgleichung mit der Ladungserhaltung
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partial _(t) rho = - arrow(nabla) times arrow(j) \
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arrow(s):= 1/mu_0 arrow(E)times arrow(B) .. "Energiedichte als Poyntingvektor".
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Fuer die ebene Welle gilt dann
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arrow(s) = 1/mu_0 E B hat(k) = 1/(mu_0 c)E^2 hat(k) \
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arrow(s)/c = epsilon_0 E^2 hat(k) .. "hat die Einheit der Energiedichte" ==> arrow(s) = underbrace(mu, "Energiedichte") c hat(k) \, space [s] = "J"/("m"^2 "s" ) \
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I = lr(angle.l arrow(s) angle.r)_(t) .. "ueber eine Periode gemittelt" \
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"Impulsstromdichte" arrow(s)/c.
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In der Photonenoptik als Funfact (Einschub) fuer Lichtteilchen und Photonen
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E^2 = m^2 c^(4) + p^2 c^2 ==> ^(m = 0) p = E/c.
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Eine ebene Welle wird an einer Flaeche reflektiert. Nun interessieren wir und fuer den Strahlungsdruck $P_("rad") $ und fuer die Strahlungskraft $F_("rad") $
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arrow(F)= (dif arrow(p)) / (dif t) \, space arrow(F)_("rad") = - abs(arrow(s))/c A (hat(e)_(1) - hat(e)_(0) ) \, space P_("rad") = lr(angle.l abs(arrow(s))/c angle.r) = I/c.
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$
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Kraft eines Laserstrahls mit Leistung $W$
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$
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F ["N"] = (P ["W"]) / (3 * 10 ^(8) ) = 3.3 * 10^(- 12) P ["mW"].
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$
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||||
Ein Laserpointer hat $W approx 1"mW"$. Es geht also eine Kraft von 3 Piconewton raus.
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||||
Experiment der Lichtmuehle.
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102
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL7.typ
Normal file
102
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL7.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,102 @@
|
||||
// Main VL template
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||||
#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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== Maxwellgleichungen in Materie
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Fuer $arrow(E) "und" arrow(B)$ Felder ist die Idee die Aufteilung der Ladungin freie und in Materie gebundene Ladung. Es gilt
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$
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||||
arrow(nabla) * arrow(E) = (rho) / (epsilon_0 ) = (rho_(f) + rho_(g) ) / (epsilon_0 ) \
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||||
arrow(nabla) * arrow(E) = 1/epsilon_0 (rho_(f) - arrow(nabla) *arrow(p)) \
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||||
arrow(nabla) * (epsilon_0 arrow(E) + arrow(P)) = rho_(f) \
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||||
arrow(nabla) * arrow(D) = phi_(f) \
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||||
arrow(P) = underbrace(n, "Dichte") .. underbrace(arrow(p), "Dipole") .. "ist die Polarisation".
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$
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Es gilt weiterhin
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$
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||||
arrow(nabla) times (arrow(B)/mu_0 - arrow(M)) = arrow(j)_(f) \
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arrow(nabla) times arrow(H).
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$
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== Zeitlich veraenderliche Felder
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Vom Ampereschen Gesetz auf das Maxwellsche Gesetz
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$
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arrow(nabla) times arrow(B) = mu_0 (arrow(j) + epsilon_0 (diff arrow(E)) / (diff t) ) = mu_0 (arrow(j)_(f) + arrow(j)_(g) + arrow(j)_(g) + epsilon_0 (diff arrow(E)) / (diff t) ).
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||||
$
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||||
Polarisatoinsstroeme sind also
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$
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arrow(j)_(P) = (diff arrow(P)) / (diff t).
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$
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||||
Es folgt
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||||
$
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||||
arrow(nabla) times arrow(B) = mu_0 (arrow(j)_(f) + (diff (arrow(P) + epsilon_0 arrow(E))) / (diff t) + arrow(nabla) times arrow(M)) \
|
||||
arrow(nabla) times ((arrow(B)) / (mu_0 ) - arrow(M)) = arrow(j)_(f) + (diff arrow(D)) / (diff t) \
|
||||
arrow(nabla) times arrow(H) = arrow(j)_(f) + partial _(t) arrow(D).
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$
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||||
Also fuer die Maxwellgleichungen
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$
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arrow(nabla) * arrow(D) &= rho_(f) \
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||||
arrow(nabla) * arrow(B) &= 0 \
|
||||
arrow(nabla) times arrow(E) &= - partial _(t) arrow(B)\
|
||||
arrow(nabla) times arrow(H) &= arrow(j)_(f) + partial _(t) arrow(D) \
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||||
arrow(D) &= epsilon_(r) epsilon_0 arrow(E) .. "(wenn" arrow(P) prop arrow(E)) .. "isotrop" \
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||||
arrow(H) &= 1/ (mu_(r) mu_0 ) arrow(B) .. "linear".
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$
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||||
Ohne Stroeme ergibt sich dann
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$
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||||
arrow(nabla) * arrow(D) = 0 \
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||||
arrow(nabla) *arrow(B) = 0 \
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||||
arrow(nabla) times arrow(E) = - partial _(t) arrow(B) \
|
||||
arrow(nabla) times arrow(H) = partial _(t) arrow(D).
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||||
$
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||||
Fuer $epsilon (arrow(r)) "und" mu (arrow(r)) "const."$ betrachte
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$
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||||
arrow(nabla) * arrow(E) = 0 \
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||||
arrow(nabla) *arrow(B) = 0 \
|
||||
arrow(nabla) times arrow(E) = - partial _(t) arrow(B) \
|
||||
arrow(nabla) times arrow(B) = mu_(r) mu_(0) epsilon_(r) epsilon_0 partial _(t) arrow(E)\
|
||||
==> c = c_0 /n "mit" n = sqrt(epsilon_(r) mu_(r) ).
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$
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||||
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||||
In der Optik ist $n$ als Brechungsindex wichtig auch wenn $n$ nicht konstant ist
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$
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n = n (arrow(r)) approx sqrt(epsilon (arrow(r))) \, space "da" mu_(r) approx 1.
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$
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||||
Lichtausbreitung im Dielektrikum mit $rho_(f) = 0 "und" arrow(j)_(f) = 0$. Oft ist
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$n (arrow(r)) "abschnittsweise konstant."
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$
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||||
Dadurch ist dann die Loesung wieder trivial auf den einzelnen Abschnitten.
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= Herleitung der Wellengleichung in nicht homogenen Materialien
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Es gilt
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||||
$
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arrow(nabla) times (arrow(nabla) times arrow(E)) = - mu_0 (arrow(nabla) times partial _(t) arrow(H) ) = - mu_0 partial _(t) (arrow(nabla) times arrow(H)) = ^("IV") - mu_0 epsilon_0 n^2 partial _(t) ^2 arrow(E) \
|
||||
arrow(nabla) times (arrow(nabla) times arrow(E)) = arrow(nabla) (arrow(nabla) * arrow(E )) - arrow(nabla) ^2 arrow(E) = - mu_0 epsilon_0 n^2 (arrow(r)) partial _(t) ^2 arrow(E) \
|
||||
arrow(nabla) * arrow(D) = 0 = epsilon_0 arrow(nabla) (n^2 *arrow(E)) = epsilon_0 [arrow(nabla) (n^2 ) * arrow(E) + n^2 (arrow(nabla) * arrow(E))] \
|
||||
==> arrow(nabla) * arrow(E) = - 1/n^2 (arrow(nabla) n^2 * arrow(E) ).
|
||||
$
|
||||
Es folgt dann fuer die Wellengleichung
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$
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||||
arrow(nabla) ^2 arrow(E) + arrow(nabla) [1/(n (arrow(r))^2 ) (arrow(nabla) n^2 ) * arrow(E)] - epsilon_0 mu_0 n^2 (arrow(r)) (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) = 0.
|
||||
$
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||||
|
||||
175
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ
Normal file
175
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,175 @@
|
||||
// Main VL template
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||||
#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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== Reflexion und Brechung
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Wechselstroeme und das Zeigerdiagramm
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$
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I (t) = I_0 cos [omega t + phi_(I) ] \
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U (t) = U_0 cos [ omega t + phi _(U) ] \
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||||
Z = a + i b = abs(z) exp(i phi).
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$
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||||
Wiederholung von Kombinantion von Wechselstromwiederstaenden und deren Impedanz
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$
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||||
abs(Z) = sqrt(R^2 + (omega L - 1/ (omega C))^2 ) \
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||||
tan phi = (omega L - 1/(omega C)) / (R) = (Im Z) / (Re Z).
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||||
$
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||||
|
||||
Es gilt
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$
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||||
(diff V) / (diff x) = - ((diff L) / (diff x) )(diff I) / (diff t) \, space (diff I) / (diff x) = - ((diff C) / (diff x) )(diff V) / (diff t) \
|
||||
(diff ^2 V) / (diff t^2 ) = - 1/C_0 diff / (diff x) (diff I) / (diff t) = - 1/C_0 diff / (diff x) (- 1/L_0 (diff V) / (diff x) )= 1 / (L_0 C_0 )(diff ^2 V) / (diff x^2 ) \, space c = 1/sqrt(L_0 C_0 ) \
|
||||
partial _(x) I = - C_0 partial _(t) V ==> I_(+) = I_(0 +) e^(i (k x - omega t)) \, space V_(+) = V_(0 +) e^(i (k x - omega t)) \
|
||||
I_(0 +) i k = - C_0 (i omega) V_(0 +) \
|
||||
==> (V_(0 +) ) / (I _(0 +) ) = k/omega 1/C_0 = 1/c 1/C_0 = sqrt(L_0 C_0 )1/C_0 = sqrt((L_0 ) / (C_0 ) ) = Z_0.
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||||
$
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||||
|
||||
= Koaxialkabel
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||||
Es gilt
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$
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E = 1/(2 pi epsilon_0 ) (lambda) / (r) = 1/(2 pi epsilon_0 ) (Q) / (L r) \
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||||
Delta V = V_(b) - V_(a) \
|
||||
dif C = (2 pi epsilon_0 ) / (ln (R/r)) dif l \
|
||||
dif L = (mu mu_0 ) / (2 pi) ln (R/r) dif l.
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$
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||||
|
||||
Wir haben Wellen der Form
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$
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||||
I, U, arrow(E), arrow(B).
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$
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Fuer die Impedanz gilt dann
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$
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||||
Z := sqrt(L/C) \, space [Z]= Omega.
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$
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||||
Die Grenzflaeche ist dann zwischen $Z_(1) $ und $Z_2 $. Es gilt fuer die drei Stroeme
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||||
$
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||||
I = I_(1 + ) + I _(1 - ) = I _(2 + ) \
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||||
U = U_(1 + ) + U_(1 - ) = Z_(1) I _(1 + ) - Z_(1) I_(1 - ) = U _(2 + ) = Z_(2) I_(2 + ) \
|
||||
==> I_(2 + ) = I _(1 + ) + I _(1 - ) \, space Z_(2) I_(2 + ) = Z_(1) I _(1 + ) + Z_(1) I _(1 - ) \
|
||||
==> 1 + (I_(1 - ) ) / (I _(1 + ) ) = (I _(2 + ) ) / (I _(1 + ) ) := underbrace(t, "Transmission") = 1 + underbrace(r, "Reflexion") \
|
||||
Z_(1) - Z_(2) (I_(1 - ) ) / (I _(1 + ) ) = Z_(2) (I_(2 + ) ) / (I _(1 + ) ) \
|
||||
==> r = (Z_(1) - Z_(2) ) / (Z_(1) + Z_(2) ) \, space t = (2 Z_(1) ) / (Z_(1) + Z_(2) ).
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||||
$
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||||
|
||||
= Dopplereffekt
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||||
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||||
Fuer Schall
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$
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||||
f' = (1 +- v_(e) /c) / (1 minus.plus v_(s) /c) f_0,
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||||
$
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||||
wobei $+ $ aufeinander zu und $- $ voneinander weg ist. Auch ist $v_(e) $ die Geschwindigkeit des Empfaengers und $v_(s) $ die des Senders.
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||||
Lorentztransformation impliziert
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$
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||||
f = sqrt((c +- v) / (c minus.plus v) ) f_0.
|
||||
$
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||||
Fuer die Wellenlaenge $lambda$
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||||
$
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||||
lambda = c T \, space f_0 = c /T \
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||||
lambda' = (c + v_(s) ) T \, space lambda'' = (c - v_(s) ) T \
|
||||
f' = c/lambda' = (c) / ((c + v_(s) )T) = c / (v + v_(s) )f_0 ==> f' = 1/(1 +- v_(s) /c) f_0.
|
||||
$
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||||
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||||
Fuer den bewegten Empfaenger
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||||
$
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||||
T' = (lambda) / (c + v_(e) ) = T_0 /(1 + v_(e) /c) \
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||||
==> f'= (1 + v_(e) /c) f_0 \
|
||||
f' = (1 +- v_(e) /c) / (1 minus.plus v_(s) /c) f_0.
|
||||
$
|
||||
Fuer Relativitaet
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||||
$
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||||
x' = gamma (x - v t) \, space y' = y \, space z' = z \, space t' = gamma (t - (x v) / (c^2 ) ) \, space gamma = (1) / (sqrt(1 - v^2 /c^2 )) \
|
||||
( c Delta t - v Delta t)/N \, space f = c/lambda = (c N) / (c Delta t - v Delta t) \
|
||||
N = f_0 Delta t' \, space Delta t' = Delta t = (Delta t)/gamma \
|
||||
f = (c) / (c Delta t - v Delta t) f_0 (Delta t) / (gamma) = 1/ (1 - v/c) f_0 /gamma = sqrt((1 + v/c)/(1 - v/c)) f_0
|
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$
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||||
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||||
= Brechung und Reflexion
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Betrachte Wellen
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$
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||||
psi_(1) = a_1 e ^(i (arrow(k)_(1) arrow(r) - omega t)) \
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||||
psi_(r) = a_(r) e^(i (arrow(k)_(r) arrow(r) - omega _(r) t))
|
||||
psi_(2) = a_(2) e^(i (arrow(k)_(2) arrow(r) - omega _(2) t)).
|
||||
$
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||||
Das Ziel ist die Bestimmung der Geometrie. Also $Theta_(2) , Theta_(1) "und" Theta_(r) $ und $R = abs((a_(r) ) / (a_(1) ) )^2 \, space R = R (n_1, n_2, Theta_(1) )$ sowie $T = abs(a_2 /a_1 )^2 \, space T = T (n_1, n_2, Theta_(1) ) $. Es gilt dabei $R = abs(r)^2 \, space T = abs(t)^2 $.
|
||||
Alles folgt aus den Randbedingungen. So ist $psi$ hier stetig und
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$
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||||
arrow(nabla) psi "stetig an der Grenzflaeche" z = 0.
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$
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||||
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||||
Stetigkeit von $psi$ impliziert
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$
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a_1 e^(i (arrow(k)_(1) arrow(r) - omega t)) + a_(r) e^(i (arrow(k)_(r) arrow(r) - omega_(r) t)) = a_(2) e^(i (arrow(k)_(2) arrow(r) - omega_(2) t)) space forall arrow(r) = vec(x, y, 0) space forall t \
|
||||
==> omega := omega_(1) = omega_(r) = omega_(2).
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||||
$
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||||
Es muessen also auch die Tangentialkomponenten von $arrow(k)$ gleich sein, also gilt auch
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$
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k_(1) ^((x)) = k_(r) ^((x)) = k_(2) ^((x)).
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$
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||||
Also
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$
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||||
k_(1) ^((x)) = k n_(1) sin Theta_(1) = k n_(1) sin Theta_(r) \
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||||
==> Theta_(1) = Theta_(r) "Reflexionsgesetz".
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||||
$
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||||
Aus $k_(1) ^((x)) = k_(2) ^((x)) $ folgt
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$
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||||
k n_(1) sin Theta_(1) = k_(2) n_(2) sin Theta_(2) \
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||||
==> n_1 / n_2 = (sin Theta_(2) ) / (sin Theta_(1) ).
|
||||
$
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||||
Mit $k = (2 pi )/lambda$ im Vakuum. Auch
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$
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a_1 + a_(r) = a_(2).
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$
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||||
Aus der Stetigkeit des Gradienten folgt
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$
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arrow(k)_(1) psi_(1) + arrow(k)_(r) psi_(r) = arrow(k)_(2) psi_(2) \
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||||
==> k n_1 a_1 sin Theta_(1) + k n_1 a_1 sin Theta_(1) = k n_2 a_2 sin Theta_2 \
|
||||
==> (a_1 + a_(2) ) n_1 sin Theta_1 = a_2 n_2 sin Theta_2 "wieder der Snellius".
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||||
$
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||||
Die senkrechte Komponenente liefert
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$
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||||
- k n_1 a_1 cos Theta_1 + k n_1 a_(r) cos Theta_1 = - k n_2 a_2 cos Theta_2 \
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||||
==> n_1 cos Theta_1 (a_1 - a_(r) ) = n_2 (a_1 + a_(r) )cos Theta_2 \
|
||||
( 1 - a_(r) /a_(1) ) = n_2 /n_1 (cos Theta_2 )/(cos Theta_1 ) (1 + a_(r) /a_(1) ) "mit" r := a_(r) /a_(1) ==> (1 - sigma) = n_2 /n_1 (cos Theta_2 ) / (cos Theta_1 ) space "?"
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||||
$
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||||
|
||||
Also
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$
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1 - n_2 /n_1 (cos Theta_2 ) / (cos Theta_1) = r (n_2 /n_1 (cos Theta_(2) ) / (Theta_(1) ) + 1) \
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||||
==> r = (n_2 cos Theta_1 - n_2 cos Theta_2 ) / (n_1 cos Theta_(1) + n_2 cos Theta_(2) ) \
|
||||
==> t = a_(2) /a_(1) = (a_1 + a_(r) ) / (a_1 ) = 1 + r \
|
||||
==> t = (2 n_1 cos Theta_1 ) / (n_1 cos Theta_1 + n_2 cos Theta_2 ).
|
||||
$
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||||
Jetzt als Spezialfall den senkrechten Einfall
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$
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||||
Theta_1 = 0 degree \, space r = (n_1 - n_2 ) / (n_1 + n_2 ) \
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||||
"fuer" n_1 = 1 \, space n_2 = 1.5 space ("Glas") \
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||||
==> r = (- 0.5) / (2.5) = - 0.2 \, space R := r^2 = 0.04.
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$
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Eine Grenzflaeche mit Normalen in zwei Medien mit Brechungsindizes $n_1 "und" n_2 $
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$
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Theta_1 = Theta_(c) <==> Theta_(2) = 90 degree.
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$
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Ist der Snellius fuer $Theta > Theta_(c) $ erfuellbar? Gibt es Verhaeltnisse fuer die der Reflexionskoeffizient $R = abs(r)^2 = 1$ sein kann?
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||||
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||||
#highlight[TODO: Totalreflexion herleiten]
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||||
BIN
S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote
Normal file
BIN
S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote
Normal file
Binary file not shown.
File diff suppressed because one or more lines are too long
|
After Width: | Height: | Size: 5.3 KiB |
93
S3/Fest/VL/FestVL16.typ
Normal file
93
S3/Fest/VL/FestVL16.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,93 @@
|
||||
// Main VL template
|
||||
#import "../preamble.typ": *
|
||||
|
||||
// Fix theorems to be shown the right way in this document
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||||
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
|
||||
#show: thmrules
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||||
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||||
// Main settings call
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||||
#show: conf.with(
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||||
// May add more flags here in the future
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||||
num: 16,
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||||
type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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||||
date: datetime.today().display(),
|
||||
//date: datetime(
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||||
// year: 2025,
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// month: 5,
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||||
// day: 1,
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||||
//).display(),
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||||
)
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||||
= Uebersicht
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||||
Es gilt, dass mit $N$ Atomen $3 N$ verschiedene Eigenfrequenzen existieren. Die Zustandsdichten im $k$-Raum sind
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$
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1 "D": Z (k) = (N) / (2 pi /a) = L / (2 pi) \
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3 "D": Z (k) = N/Omega = V/ (2 pi )^3.
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$
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||||
Die Anzahl der Dispersionszweige ist dann
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$
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||||
D * r' \, space r': ("Atome") / ("Einheitszelle").
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$
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||||
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||||
Die Zustandsdichte im Freuqnezraum $D (omega)$. Gibt es bei bestimmten Frequenzen Schwingungen und wenn ja, wie viele? Sie sind also in $D (omega)$ enthalten.
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||||
Fuer grosse $L$ und $N$ sind die Zustaende im $k$-Raum sehr eng gepackt, also kontinuierlich verteilt.
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||||
Wie suchen also die Anzahl der Schwingungszustaende im Frequenzintervall $[omega, omega + Delta omega]$ fuer die Dispersion $omega (k)$.
|
||||
Die Zustandsdichte ist die Anzahl der Zustaende $A$ pro Volumen. Also gilt
|
||||
$
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||||
A = Z (k) Delta k = D (omega) Delta omega \
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||||
==> D (omega) Delta omega = Z (k) integral _(omega = "const.") ^(omega + Delta k = "const.") dif ^3 k.
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||||
$
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||||
Fuer die Integration ergibt sich
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||||
$
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||||
dif ^3 k = dif S_(k) * dif k_(perp).
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||||
$
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||||
Hier ist $abs(arrow(nabla) _(k) omega)$ auch senkrecht zur Oberflaeche mit $omega = "const."$. Dadurch folgt
|
||||
$
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||||
Delta omega = abs( arrow(nabla) _(k) omega) dif k^(perp) ==> dif ^3 k = dif S_(k) (Delta omega) / (arrow(nabla) _(k) omega (k)).
|
||||
$
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Es ergibt sich
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$
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D (omega) Delta omega = (V) / (2 pi) ^3 integral (dif S_(k) ) / (abs(arrow(nabla) _(k) omega (k))) Delta omega,
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$
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als die Zustandsdichte im Frequenzraum. Das Integral ist im $k$-Raum ueber $omega = "const."$. Falls nun also $omega (k)$ bekannt ist, dann kann die Zustandsdichte im Frequenzraum auch berechnet werden. Falls $v_(g) = arrow(nabla) _(k) omega (arrow(k))$ aber klein ist, dann ist $D (omega)$ gross. Falls aber $v_(g) = 0$, dann ist die Zustandsdichte unendlich gross. Wenn die Zustandsdichte sehr gross ist, dann haben die Schwingungen makroskopischen Einfluss.
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#example[
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Zustandsdichte einatomige Basis fuer einen Dispersionszweig, longitudinale Schwingung im langwelligen Grenzfall. es folgt dann fuer die zweiatomige Basis mit $M_(1) = M_(2) $
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$
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omega = sqrt((C a ^2 ) / (M) ) k ==> v_(g) = (diff omega) / (diff k) = sqrt((C a ^2 ) / (M) ).
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$
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Einsetzen in die integralgleichung liefert dann
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$
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D (omega) = (V) / (2 pi) ^3 integral_(omega = "const.") (dif S_(k) ) / (abs(v_(g) ))
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$
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eine Kugeloberflaeche mit Radius $k$.
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Dadurch ist dann
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$
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integral _(omega = "const.") dif S_(k) = 4 pi k^2.
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$
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Es ergibt sich dann fuer die Zustandsdichte pro Dispersionszweig
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$
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D (omega) = (V) / (2 pi ) ^3 (4 pi k ^2 ) / (abs(v_(g) )) = (V) / (2 pi^2 ) (omega^2 ) / (v_(g) ^3 ).
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$
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]
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== 4.6 Quantisierung der Gitterschwingung und der Impuls von Phononen
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=== 4.6.1 Quantisierung
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Gitterschwingungen in harmonischer Naeherung kann Quantenmechanisch beschrieben werden. Dazu kann die Transfomation der Koordinaten um Oszillatoren voellig zu entkoppeln. Das Frequenzspktrum bleibt gleich, die Auslenkungen koennen dann nicht mehr einzelnen Atomen zugeordnet werden. Die dazugehoerigen Schwingungen heissen Normalschwingungen. Eigenwerte von folgendem harmonischen Operator
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$
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H = T +U^("harm."),
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$
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mit der kinetischen Energie der Gitteratome und der harmonischen Naeherung des Potentials.
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Bei einem Kristall in drei Dimenensionen mit $N$ Atomen $==>$ $3 N$ unabhaengige Oszillatoren, deren Frequenzen muessen denjenigen der klassischen Schwingung entsprechen. Bei einem harmonischen Oszillator sind die Eigenenergiewerte eines der Schwingungszustaende der Frequenz mit $omega_(r) (k)$ mit $r$ als Dispersionszweige
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$
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E_(omega_(r) (k)) = (n_(k_(r) ) + 1/2) planck.reduce omega_(r) (arrow(k)).
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Es gilt fuer die Anzahl der Dispersionszweige
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r = D * r'.
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@@ -29,4 +29,30 @@ $
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Zur Loesung einfacher Molekuele wird die LCAO-Methode genutzt um das Molekuelorbital durch eine Linearkombination zu modellieren.
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Helium kann durch Kombination aus $phi_(A) "und" phia_(B) $ dargestellt werden.
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Helium kann durch Kombination aus $phi_(A) "und" phio_(B) $ dargestellt werden.
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Das H-atom wird dargestellt als Kombination aus $phi_(A) and phi_(B) $.
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Zeitunabhaengiger Hamilton-Operator
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- planck.reduce ^2 / (2 m ) arrow(nabla) _(e) ^2 - (e ^2 ) / (4 pi epsilon_0 ) (1/r_(A) + 1/r_(B) - 1/R ) phi = E phi.
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$
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Ansatz
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psi (arrow(r), R) = c_(A) phi_(A) (arrow(r)_(A) ) + c_(B) phi_(B) (arrow(r)_(B) ) \
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phi_(i) (arrow(r)) = phi_(i) (arrow(r )_(i) ) = 1/(sqrt(pi a_0 ^3 )) e ^( - r_(i) /a_0 ) \, space a_0 = "const."
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$
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Die gesamte Wellenfunktion ist normiert
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integral abs(psi)^2 dif ^3 r = 1.
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$
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Das Ueberlappungsintegral ist gegeben durch
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S_(A B) = R_0 integral phi_(A) ^(star ) phi_(B) dif ^3 r.
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Das Helium Ion ist symmetrisch, also
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H_(A A) = H_(B B) \
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c_(A) = +- c_(B).
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$
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@@ -76,3 +76,20 @@ Kristalle haben regelmaesige Form. Sind die Atome auch regelmaessig?
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Verwendung von Symmetrien besonders hilfreich fuer die Beschreibung und Unterscheidung von Kristallen. Es gibt bestimmte Symmetrieoperationen
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- Translationssymmetrie (Gitter wird als ganzes verschoben)
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- Punktsymmetrien (Dabei wird mindestens ein Punkt festgehalten; Drehung oder Spiegelung)
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Verwendung von Translationssymmetrie fuer die Beschreibung des Gitters.
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- Waehle eine Atombasis (einzelnes Atom oder Atomgruppe)
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- Dann ein Translationsgitter fuer die Periodizitaet (dieses besteht aus Gitterpukten und wiederholt sich periodisch)
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Die Wahl dieser ist *nicht* eindeutig. Die Atombasis wird an jeden Gitterplatz gesetzt.
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So laesst sich jede Kristallstruktur beschreiben
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Meist laesst sich das Kristallgitter durch eine Linearkombination von drei Basisvektoren darstellen
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$
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arrow(a)\, space arrow(b)\, space arrow(c),
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$
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sind die Ortsvektoren um von einem Gitterglied zum naechsten Nachbarn zu kommen. Basisvektoren beschreiben nicht die Lage der Basisatomen.
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Die Basisvektoren spannen die *Elementarzelle* auf dieses wird auch Parallelepiped. Diese Basisvektoren sind im Allgemeinen nicht parallel zu den kartesischen Einheitsvektoren.
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Die Elementarzelle ist nicht eindeutig.
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Es ist auch moeglich eine nicht primitive Gitterzelle zu waehlen.
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84
S3/Fest/VL/FestVL7.typ
Normal file
84
S3/Fest/VL/FestVL7.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,84 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Konventionelle Zelle und primitive Zelle.
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== Wigner-Seitz-Zelle
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Bestimmte Konstruktion der Elementarzelle mit nur einem Gitterpunkt, die die volle Symmetrie des Braveus-Gitters besitzt. Konstuktion
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- Halbiere die Verbindungsstrecken zu Nachbarpunkten durch Normalenebenen
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- Die Wigner-Seitz-Zelle ist nun der eingeschlossene Bereich
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== Richtungen und Ebenen
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=== Netzebene
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Eine Ebene im Kristall, die mit Gitterpunkten besetzt ist (wird auch Gitterebene genannt). Diese wird durch Schnittpunkte mit den Kristallachsen definiert.
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Die Punkte $m_1, m_2, m_3$ definieren eine Netzebene. Viele Eigenschaften eines Kristallgitters werden durch eine Schaar aequivalenter Netzebenen bestimmt.
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Definiere die *Mellerschen Indizes* und bilde die Kehrwerte
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1/m_1, 1/m_2, 1/m_3 \, space m_1, m_2, m_3 in NN
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und mutlipliziere mit kleinster Zahl $p$, die die Keherwerte zu teilerfremden ganzen Zahlen macht
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h = p/m_1 \, space k = p/m_2 \, space l = p/m_3.
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$
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Falls $m_(i) $ negativ, so schreibe einen Querstrich ueber den Index. Richtungen im Kristall werden so angegeben.
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$[100]$ Vektor steht in kubischen Kristallen senkrecht auf der entsprechenden Netzebene.
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== Wichtige Kristallstrukturen
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Fuer Kristalle aus Elementen nr wenige unterschiedlcieh Kristallstrukturen auffindbar. Die Art der Bindung ist einer der wichtigsten Faktoren fuer die Kristallstruktur.
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In NaCl sind ionische Bindngen ungerichtet $==>$ eine moeglichst dichte Packung.
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In Kohlenstoff sind die Hybridorbitale gerichtet mit einem Bidungswinkel von $109 degree $ $==>$ bestimmte Kristallstruktur
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fcc: Face center cubic \
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bcc: Body center cubic \
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hcp: Hexagonal close packed \
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dhcp: Double hexagonal close packed \
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diamond: Diamond structure \
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=== Koordinationszahl
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Diese ist die Zahl der naechsten Nachbarn.
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=== Packungsdichte
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Es ist der Anteil der Elementarzelle die mit Atomen gefuellt ist.
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== Kubische Kristalle
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- Kubisch primitives Gitter (simple cubic) kommt selben in einatomiger Basis (Metalle unter Druck)
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- Oefter bei mehratomiger Basis (naehere Raumausfuellung)
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Kubishch Raumzentrale Gitter
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- Metalle wie Eisen und Wolfram
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Kubisch Flachenzentrale Gitter
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- Mit einem Atom pro Gitterpunkt wie Edelgase
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Ist eine der zwei Moglichkeiten gleichgrosse Kugeln mit maximaler packugsdichte aneindnaderzugelgen. Das ist die dichteste Kugelpackung.
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||||
74
S3/Fest/VL/FestVL8.typ
Normal file
74
S3/Fest/VL/FestVL8.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,74 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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)
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= Uebersicht
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Es koennen auch mehrere Atome pro Gitterpunkt auftreten wie zum Beispiel bei NaCl, wo sich zwei Atomsorten stark in der Groesse unterscheiden.
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Hier ist ein Atom bei $(0, 0, 0)$ und das Andere bei $(1/2, 1/2, 1/2)$. Es gibt dort 18 naechste Nachbarn.
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Zwischenfrage: NaCl, CsCl beides Salze, werum verschiedene Kristallstrukturen?
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A: Verhaetnis der Ionenradien $==>$ Verschiedene Packungsdichte, da diese unter den Randbedingungen minimiert werden soll.
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== Diamantstruktur
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Hat eine zweiatomige Basis mit $(0, 0, 0) \, space (1/4, 1/4, 1/4)$, welche insbesondere in $"sp"^(3)$ Hybridisierungen auftritt. Beispiele sind Diamant, Silizium und Germanium.
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Jedes Atom ist hier tetraedisch zum naechsten Nachbarn umgeben. Koordinationszahl 4 und Packungsdichte 0.34.
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Auf Abbildungen lassen sich diese zwei Typen von Strukturen noch besser erkennen.
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=== Hexagonal dichteste Kugelpackung (hexagonal close packed 'hcp')
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In der dichtesten Kugelpackung haben wir zwei Atome in der Einheitszelle. Auf den Posisitonen $(0, 0, 0) \, space (2/3, 1/3, 1/2)$. Packungsdichte von 0.74 und eine Koordinationszahl von 12. Es gibt zwei Gitter mit maximaler Raumausfuellung. Dies kann man auch in einer Abbildung gut sehen.
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Die ABA Struktur tritt in fcc auf und die ABC in bcc?
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== Graphit und Graphen
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Graphen ist ein Material, welches nur aus einer Atomlage besteht also in zwei Dimensionen. Die Struktur von Graphen ist also hexagonal in 2D.
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Das kann in einer Abbildung angeschaut werden. Graphen hat eine zweiatomige Basis. Wir haben hier eine Spiegelebene parallel zur Drehachse. In Schoentlies C6v.
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Es gilt
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$
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abs(a_1) = abs(a_2 ) = sqrt(3) underbrace(a_(B), "Bindungslaenge")\, space gamma = 120.
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$
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Hier ist $gamma$ der Winkel zwischen den Gitterpunkten in einer Ebene.
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Gestapeltes Graphen wird als Graphit bezeichnet.
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Graphit kann ABA (hexagonal) und ABC (rhomboedrische) gestapelt werden.
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Graphit: zwei Stapelarten
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- hexagonal oder ABA mit $alpha = beta = 90 degree \, space gamma = 120 degree \, space a_1 = a_2 \, space a_3 = 6.71 circle("A") $
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- rhomboedrische (triagonal) ABC mit $a_1 = a_2 = a_3 = 3.6 circle("A") \, space gamma = 39.49 degree $
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= Modifikationen von Graphit
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In ihrer unterscheidbaren Form 3 Lagen sind die beiden neuartigen Quantenmaterialien, die im Falle der ABC Stapelreihenfoge sogar magnetisch oder supraleitend werden koennen!
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= Reale Festkoerper- Oberflaechen & Fehlstellen
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=== Festkoerperoberflaechen
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An Oberflaechen sind anzeiehende Kfraefte nur ins Innere gerichtet und werden von keinen Kraeften kompensiert
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- die Anordnung der Atome und der Abstand der Atome kann von den Werten innerhalb des Kristalls abweichen
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- an Oberflaechen befinden sich ungesaettigte Bindungen ueberstrukturen, unterskoorinierte Atome $==>$ Oberflaechen haben besondere chemische und elektronische Eigenschaften. Diese weichen vom Inneren des Kristalls ab
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Zum Beispiel Katalysatoren koennen diese Oberflaecheneigenschaften spezifisch nutzen. Diese werden oft in der Industrie beim Bosch-Verfahren genutzt. Oder auch in Autos.
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Ein Beispiel laessti sich ein einer Abbildung erkennen. Dieses ist fuer den Einflus der lokalen Struktur auf Oberflaechenreaktivitaeten. Die Reaktion ist
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$
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2 "NO"_(2) + 4 "H"_(2) -> "N"_(2) + 4 "H"_(2) "O" \, space "Platinkatalysator".
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$
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Dies kann man wieder in einer SE Aufnahme erkennen.
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@@ -9,7 +9,7 @@
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show: default
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// Set the header
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[ExPhy III \ Vorlesung #(num)]
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[Festkoerper \ Vorlesung #(num)]
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// Make tcahe outline
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outline()
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24
S3/KFT/VL/KftVL5.typ
Normal file
24
S3/KFT/VL/KftVL5.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,24 @@
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||||
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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This was done per zoom.
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= Uebersicht
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116
S3/KFT/VL/KftVL6.typ
Normal file
116
S3/KFT/VL/KftVL6.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,116 @@
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||||
// Main VL template
|
||||
#import "../preamble.typ": *
|
||||
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||||
// Fix theorems to be shown the right way in this document
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||||
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
|
||||
#show: thmrules
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||||
// Main settings call
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||||
#show: conf.with(
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||||
// May add more flags here in the future
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||||
num: 6,
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||||
type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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||||
date: datetime.today().display(),
|
||||
//date: datetime(
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||||
// year: 2025,
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||||
// month: 5,
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||||
// day: 1,
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||||
//).display(),
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||||
)
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||||
= Uebersicht
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||||
== Kondensatoren und Kapazitaet
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Wir betrachten ein Volumen $V$ mit verschiedenen Ladungen $S_(i) $ (Leitern) im Inneren des Volumens.
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Die Laplace Gleichung
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Delta f_(i) (arrow(x)) = 0 space forall arrow(x) in V
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mit den Randbedingungen
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$
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f_(i) (arrow(x)) |_(S_(i)) = 1 \, space forall j != i : f_(i) |_(S_(j)) = 0.
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$
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||||
Linearitaet der Maxwellgleichungen
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$
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Phi (arrow(x)) = sum_(i = 1)^(N + 1) phi_(i) f_(i) (arrow(x)).
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$
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||||
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Ladung auf Leiter
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$
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||||
Q_(i) = integral _(S_(i) ) dif S sigma_(i) = epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif S arrow(E) * hat(n) = - epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) Phi \
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||||
= - epsilon_0 sum _(j = 1) ^(N + 1) phi_(j) integral _(S_(i) ) dif arrow(S)* arrow(nabla) f_(j) \
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||||
= sum _(j = 1) ^(N) C_(i j) phi_(j).
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||||
$
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||||
Mit der Kapazitaetsmatrix
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$
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||||
C_(i j) = underbrace(- epsilon_0 integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) f_(j), "Definition") = - epsilon_0 integral _(partial V) dif arrow(S)* (arrow(nabla) f_(j)) f_(i) \
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||||
= ^("Gauss") epsilon_0 integral _(V) dif ^3 x arrow(nabla) * (f_(i) arrow(nabla) f_(j) ) = epsilon_0 integral _(V) dif ^3 x (arrow(nabla) f_(i) * arrow(nabla) f_(j) ) + 0
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||||
$
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||||
welche nur von der Geometrie des Problems abhaengt. Diese hat eine Reihe von Eigenschaften
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- Sie ist symmetrisch $C_(i j) = C_(j i) $
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Es gilt
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$ sum _(i) C_(i j) = - epsilon_0 sum _(i) integral _(S_(i) ) dif arrow(S) * arrow(nabla) f_(j) \
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||||
= epsilon_0 integral _(partial V) dif arrow(S) * arrow(nabla) f_(j) \
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||||
= ^("Gauss") epsilon_0 integral _(V) dif^3 x underbrace(arrow(nabla) * (arrow(nabla) f_(j) ), = 0) = 0.
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||||
$
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#example[
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Plattenkondensator.
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Es gilt
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$
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C = mat(
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C_(1 1) , C_(1 2) ;
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C_(2 1) , C_(2 2) ;
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||||
) = mat(
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||||
C_(1 1) , - C_(1 1) ;
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||||
- C_(1 1) , C_(1 1) ;
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||||
).
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$
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||||
Dieser hat also einfach eine Kapazitaet von $C$.
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||||
Konkret gilt
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$
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arrow(E) = (sigma) / (epsilon_0 ) hat(z) \
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V = phi (0) - phi (d) = E d = (sigma d) / (epsilon_0 ) = (Q d) / (A epsilon_0 ) \
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||||
C = (Q) / (V) = (A epsilon_0 ) / (d).
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||||
$
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||||
]
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||||
In einem Kondensator wird Energie gespeichert
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||||
$
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||||
U = (epsilon_0 ) / (2) integral dif^3 x arrow(E)^2 (arrow(x)) = (epsilon_0 ) / (2) A d ((sigma) / (epsilon_0 ) )^2 \
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||||
= 1/(2 epsilon_0 ) Q^2 /A d = 1/2 (Q^2 ) / (C) = 1/2 C V^2.
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||||
$
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||||
Fuer eine allgemeine Konfiguration
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||||
$
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||||
U = 1/2 sum _(i) Q_(i) phi_(i) \
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||||
= 1/2 sum _(i, j) C_(i j) phi_(i) phi_(j).
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$
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||||
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||||
= Magnetfelder
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Zum Zeitpunkt $arrow(j)$ ist auch der Zeitpunkt $arrow(B)$. Es gilt $rho = 0 ==> arrow(E) = 0$.
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||||
Maxwellgleichungen
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$
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||||
arrow(nabla) times arrow(B)= mu_0 arrow(j) \
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arrow(nabla) * arrow(B) = 0 space "es gibt keine magnetischen Monopole".
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$
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=== Konsistenzcheck
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Konti
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$
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(diff rho) / (diff t) + arrow(nabla) arrow(j) = 0 \
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"Zeitunabhaengig" ==> arrow(nabla) * arrow(j) = 0 \
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arrow(nabla) (arrow(nabla) times arrow(B)) = 0.
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American Journal of Physics: 92 (2024) 583 \
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J. Franklin, D. Griffiths, D. Schroeter \
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A taxonomy of magnetic field lines
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#remark[
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Magnetische Feldlinien muessen nicht geschlossen sein.
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@@ -145,3 +145,6 @@ $
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Q: Warum duerfen wir die gleichmaessige Konvergenz der Reihe annehmen? Wie wird diese bewiesen?
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131
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ
Normal file
131
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,131 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Poisson ($Omega = "Kreisscheibe mit Radius" 1 \, space Delta u = 0 \, space u | _(partial _(Omega) ) := f (RR)$).
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Fuer $norm(x)< 1$ ist die Loesung
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u (x) = integral _(norm(y) = 1) K (x, y) f (y) dif y,
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mit dem Integral-Kern
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K (x, y) = (1 - norm(x)^2 ) / (2 pi) (1) / (norm(x - y)^2 ) .
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Fuer $norm(x)= 1: u (x) = f (x)$ (muss so sein wegen der Randbedinung!)
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Nicht trivial ist zu zeigen, dass dieses $u$ auf ganz $overline(Omega) = overline(K )_(1) $ stetig ist. Und die Berechnung von $K$ mit Hilfe von Polar-Koordinaten Sperataion der Varablen, Reiehen-Entwicklung (und Untersuchung der Reihe!)
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Das Min-Max-Prinzip gilt auch fuer das Dirichlet-Problem.
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#theorem[
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Sei $Omega subset RR^n $ ein beschraenktes Gebiet. Ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) $ und $Delta u = 0$ auf $Omega$, so gilt
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min_(partial Omega) u <= u <= max _(partial Omega) u.
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Gilt auf $Omega$ nur $Delta u >= 0$ so ist $u <= max_(partial Omega) u$.
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]
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Es folgt, dass jede Loesung $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega)$ ist durch die Randwerte eindeutig bestimmt. Der Beweis ist wie beim Draht.
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#proof[
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Setzte $v (x) = u (x) + epsilon norm(x)^2 .. (epsilon > 0) $. $v$ stetig $==>$ nimmt Maximum auf $overline(Omega)$ (kompakt) an. Sei $x_0 in overline(Omega)$ Maximalstelle. Es ist $x_0 in partial Omega$ denn wenn $x_0 in Omega$ so waere die Hessematrix von $v$ in $x_0$ negativ definit ist. Also
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$
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tr (H_(v) (x_0 ) ) = sum H_(v) (x_0 )_(j j) = (partial _(1) ^2 + ... + partial _(n) ^2 )v (x_0 ) \
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= Delta u (x_0) + 2 n epsilon > 0 \
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==> x_0 in partial Omega and u (x) <= v (x) <= v (x_0 ) = u (x_0 ) + epsilon norm(x_0 )^2.
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$epsilon -> 0$ liefert die obere Abschaetzung. Untere Abschaetung durch die Betrachtung von $- u$.
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#definition[
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Von-Neumann-Randbedigungen. Es fuer jede Loesung
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partial _(h) u (x_0 ) = f (x_0 ) space forall x_0 in partial Omega.
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Hier ist $partial _(h) $ die Ableitung in Richtung des Einheits-Normalenvektorfelds $n$ auf dem Rand von $Omega$.
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#highlight[TODO: Zusammenfassung erstellen und die Poisson Gleichung verstehe]
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= Banach und Hilbertraeume
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Wiederholung der Grundlagen
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#definition[
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Das Tupel $(X, norm(*))$ heisst *Banachraum*, wenn $X$ ein Vektorraum und $norm(*)$ eine Norm auf $X$ ist, und $X$ bezueglich dieser NOrm vollstaendig ist. Also jede Cauchy-FOlge gegen ein eindeutiges $a in X$ konvergiert.
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]
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#definition[
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Ein Hilbertraum $(H, lr(angle.l *, * angle.r))$ ist ein Banachraum, dessen NOrm $norm(*)$ von einem Skalarprodukt induziert ist. Das heisst
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norm(v) = sqrt(lr(angle.l v, v angle.r)) space forall v in H.
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]
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Der $RR^n $ ist vollstaendig bezueglich der euklidischen Norm. Nicht vollstaendig ist $ (0, 1] subset RR$ mit $norm(*)$ als Abstand. Aequivalenz von Normen impliziert die gegenseitige Abschaetzung.
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Eine norm auf einem Vektorraum wird von einem Skalarprodukt induziert $<==>$
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norm(v + w)^2 + norm(v - w)^2 = 2 norm(v)^2 + 2 norm(w)^2 space forall v, w in V.
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Als Beispiel wieder, dass $C ([0, 1])$ nicht vollstaendig ist mit der Verbundenen Sprungfunktion.
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== Vervollstaendigung
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EIne Moeglichkeit, aus einem Vektorraum mit Skalarpodukt (Prae-Hilbertraum) einen vollstaendigen Raum zu konstruieren wird hier abstrakt demonstriert.
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Betrachte in einem normierten VR $X$ alle Cauchy-Folgen in $X$. Dies ist ein Vektorraum. Versieh diesen mit einer Norm (dass die angegebene Abbildung tatsaechlich eine Norm definiert, muss man Cauchy-Folgen miteinander identifizieren, wenn sie sich nur um eine Nullfolge in $X$ unterscheiden). $X$ kann in sinnvoller Weise als Teilmenge des Raumes $hat(X)$, den wir aus Cauchy-Folgen in $X$ konstruieren, verstanden werden. $hat(X)$ ist mit der angegeenen Norm vollstaendig.
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#definition[
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Eine lineare Abbildung $f: X -> Y$ zwischen normierten Vektorraeumen heisst *Isometrie*, falls gilt
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norm( f (x))_(Y) = norm(x)_(X) space forall x in X.
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Falls diese Raueme Prae-Hilbert-Raume sind dann auch
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lr(angle.l f (x), f (y) angle.r)_(Y) = lr(angle.l x, y angle.r)_(X).
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]
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Jede Isometrie ist injektiv.
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#example[
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Der Shift-Operator auf dem Raum aller quadratsummierbaren Folgen
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]
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#remark[
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Lineare Abbildungen $l^2 -> l^2 $ sind die "unendlichen Matrizen", mit denen Born, Heisenberg, Jorgan 1925 Quantenmechanik betrieben.
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]
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Basis fuer den $l^2 $ ist
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$
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e_(i) := (0, ..., 0, underbrace(1, i"-te Stelle"), 0, ..., 0, ...) space forall i in NN union {0}.
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$
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||||
Der Shift-Operator ist dann
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$
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s(e_(i)) = e_(i + 1) \
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M_(s) := mat(
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0, 0, 0, ...;
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1, 0, 0, ...;
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||||
0, 1, 0, ...;
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||||
dots.v, dots.v , dots.v , ;
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).
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$
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59
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL6.typ
Normal file
59
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL6.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,59 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 6,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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#theorem[
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Sei $(X, norm(*))$ ein normierter Vektorraum. Dann gilt:
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- Es gibt eine Isometrie $z: X -> hat(X)$ in einen Banachraum $hat(X)$, deren Bild dicht in $hat(X)$ liegt
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- Die Isometrie $z$ ist durch $(X, norm(*))$ im wesentlichen eindeutig bestimmt (d.h. ist $z_(2) :X -> hat(X)_(2) $ eine weitere Isometrie, so gibt es einen isometrischen Isomorphismus $phio$
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]
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#proof[
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Betrachte alle Cauchyfolgen in $QQ$. Nun laesst sich dort $QQ$ wiederfinden durch
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q |-> (q, q, ...) ~ (q + 1, q + 1/2, q + 1/3, ...).
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]
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Ob etwas eine Cauchyfolge ist kommt auf die bezuegliche Norm an.
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Betrachte
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L^2 ([0, 1], RR) \, space f = g <==> f = g + h \, space h : N -> RR \
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l^2 (CC) = {(a_0, a_1, a_2, a_3, ...) subset CC : underbrace(sum abs(a_(j) )^2, = norm(a)_(l^2 )^2 ) < oo } \
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||||
v_(n) = (v_(n, 0), v_(n, 1), ... ) "ist eine Folge in" l^2 (CC) "also" sum_(k = 0)^(oo) abs(v_(n, k))^2 < oo \
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||||
(v_(n) )_(n in NN) "ist Cauchyfolge".
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$
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Bildung des Grenzwerts
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$
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V = (lim_(n -> oo) v_(n, 0) , underbrace(lim_(n -> oo) v_(n, 1), in CC) , ...) in l^2 (CC).
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$
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Abstand
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$
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norm(v_(n) - V)^2 _(l^2 ) = sum_(k = 0)^(oo) abs(v_(n, k) - V_(k) )^2
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$
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Epsilon delta
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$
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||||
forall epsilon > 0 exists delta > 0 : norm(phio (v) - phio (u_0 )) < epsilon space forall v, u_0 "mit" norm(v - u_0 ) < delta \
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||||
phio_("linear") phio (v - u_0 ) \
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||||
norm(phio (w)) < epsilon space forall norm( w) < delta \, space norm(A)_(oo) = sup _(norm(w)= 1) norm(A (u)) = sup_(u != 0) (norm(A (u))) / (norm(u)).
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$
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84
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ
Normal file
84
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,84 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Hilbertraeume und ONS fuer PDEs. Fouriertrafo fuer die Loesung von PDEs.
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Harmonischer Oszillator
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(dif ^2 y) / (dif x ^2 ) + omega ^2 y = 0 \, space y = A e ^(i k x) \
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A e ^(i k x) (- k^2 + omega^2 ) = 0 ==> k = +- omega ==> y = A e ^(i omega x) + beta e^(- i omega x).
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$
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Motivation der Fourertransformation. Sei $u$ eine Funktion
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P: u |-> - i u^(1) \
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Q: u |-> x * u.
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Wir suchen einen Funktionenraum und eine lineare Transformation $u |-> hat(u)$, sodass $hat(P u) = Q hat(u)$.
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Aus einer DGL soll ein algebraischer Ausdruck werden. Mit dem Ansatz
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$
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hat(u) = integral K (x, xi) u (x) dif x.
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$
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Welche Anforderungen brauchen wir an $u$, sodass das Integral definiert ist. Es soll also partielle Integration durchfuehrbar sein
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$
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i xi hat(u) (xi) = integral i xi e ^(i x xi) u (x) dif x = integral e ^(i x xi) (+ u') (x) dif x = - underbrace([e ^(- i xi x) u (x)]_(- oo) ^(oo), =^(!) 0) + integral e ^(- i x xi) partial _(x) u dif x = hat(u)' (xi).
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$
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||||
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||||
Um den bei der partiellen Integration auftretenden Randterm zu eliminieren, wird die Fourertransformation auf $L^(1) $ definiert.
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Q: Warum faellt dieser Term bei $L^(1) $ Funktionen weg?
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#theorem[
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Riemann-Lebesgue-Lemma.
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Es gilt
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lim_(abs(xi) -> oo) hat(u) (xi) = 0.
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$
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]
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Die Fourertransformation ist immer stetig. Im allgemeinen ist die Fourertransformation wie hier noch nicht integrierbar.
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Einfuehrung der Multi-Index Notation mit einem Produkt aber keine Summe. Es gilt dann
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$
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P^(alpha) u (x) = (- i)^(abs(alpha)) partial^(alpha) u (x).
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$
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#lemma[
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Falls $u in C^(k) (RR^(n) )$ und $P^(alpha) in L^(1) (RR^(n) ) space forall alpha : abs(alpha) <= k$, so ist
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$
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||||
hat(p ^(alpha) u ) = Q^(alpha) u \, space abs(alpha) <= k \
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||||
abs( hat(u) (xi)) <= C (1) / (1 + norm(xi) k).
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||||
$
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||||
Falls $u$ kompakt getragen ist, so kann $hat(u)$ in eine ueberall konvergente Potenzreihe entwickelt werden
|
||||
$
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||||
hat(u) (xi) = sum c_(k) (xi - xi_0 )^(k).
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||||
$
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]
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||||
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||||
#proof[
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Betrachte
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$
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||||
hat(P^(alpha) u) = Q^(alpha) hat(u) = x ^(alpha) hat(u)
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
17
book.typ
17
book.typ
@@ -13,30 +13,47 @@
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||||
language: "de",
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||||
summary: [ // this field works like summary.md of mdbook
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= Allgemein
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||||
- #chapter("data/deckblatt.typ")[Disclaimer]
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||||
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||||
= Semester III
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||||
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||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Wiederholung Wellen]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ")[ExIIIVL3]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL4.typ")[ExIIIVL4]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ")[ExIIIVL5]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL6.typ")[ExIIIVL6]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL7.typ")[ExIIIVL7]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ")[ExIIIVL8]
|
||||
|
||||
- #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft]
|
||||
- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe]
|
||||
- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL2.typ")[Einfuehrung Elektrostatik]
|
||||
- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL3.typ")[KftVL3]
|
||||
- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL4.typ")[KftVL4]
|
||||
- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL5.typ")[KftVL5]
|
||||
- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL6.typ")[KftVL6]
|
||||
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/index.typ")[MaPhy III]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Einleitung Fourier und PDE]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL4.typ")[MaPhIIIVL4]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ")[MaPhIIIVL5]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL6.typ")[MaPhIIIVL6]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ")[MaPhIIIVL7]
|
||||
|
||||
- #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest]
|
||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]
|
||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL2.typ")[Bindungstypen II]
|
||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL3.typ")[FestVL3]
|
||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL5.typ")[FestVL5]
|
||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL7.typ")[FestVL7]
|
||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL8.typ")[FestVL8]
|
||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL16.typ")[FestVL16]
|
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= Semester I
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6
data/deckblatt.typ
Normal file
6
data/deckblatt.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,6 @@
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= Disclaimer
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Entschuldigt die Rechtschreib- und Inhaltsfehler.
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Experiments, results, and materials may be incorrect, incomplete, or misleading. Some content may be subject to copyright. Use at your own risk.
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All content is provided for educational and informational purposes only.
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Reference in New Issue
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