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Jonas Hahn
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60 lines
1.9 KiB
Typst
60 lines
1.9 KiB
Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 6,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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#theorem[
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Sei $(X, norm(*))$ ein normierter Vektorraum. Dann gilt:
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- Es gibt eine Isometrie $z: X -> hat(X)$ in einen Banachraum $hat(X)$, deren Bild dicht in $hat(X)$ liegt
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- Die Isometrie $z$ ist durch $(X, norm(*))$ im wesentlichen eindeutig bestimmt (d.h. ist $z_(2) :X -> hat(X)_(2) $ eine weitere Isometrie, so gibt es einen isometrischen Isomorphismus $phio$
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#proof[
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Betrachte alle Cauchyfolgen in $QQ$. Nun laesst sich dort $QQ$ wiederfinden durch
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q |-> (q, q, ...) ~ (q + 1, q + 1/2, q + 1/3, ...).
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Ob etwas eine Cauchyfolge ist kommt auf die bezuegliche Norm an.
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Betrachte
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L^2 ([0, 1], RR) \, space f = g <==> f = g + h \, space h : N -> RR \
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l^2 (CC) = {(a_0, a_1, a_2, a_3, ...) subset CC : underbrace(sum abs(a_(j) )^2, = norm(a)_(l^2 )^2 ) < oo } \
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v_(n) = (v_(n, 0), v_(n, 1), ... ) "ist eine Folge in" l^2 (CC) "also" sum_(k = 0)^(oo) abs(v_(n, k))^2 < oo \
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(v_(n) )_(n in NN) "ist Cauchyfolge".
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Bildung des Grenzwerts
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V = (lim_(n -> oo) v_(n, 0) , underbrace(lim_(n -> oo) v_(n, 1), in CC) , ...) in l^2 (CC).
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Abstand
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norm(v_(n) - V)^2 _(l^2 ) = sum_(k = 0)^(oo) abs(v_(n, k) - V_(k) )^2
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Epsilon delta
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forall epsilon > 0 exists delta > 0 : norm(phio (v) - phio (u_0 )) < epsilon space forall v, u_0 "mit" norm(v - u_0 ) < delta \
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phio_("linear") phio (v - u_0 ) \
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norm(phio (w)) < epsilon space forall norm( w) < delta \, space norm(A)_(oo) = sup _(norm(w)= 1) norm(A (u)) = sup_(u != 0) (norm(A (u))) / (norm(u)).
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