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Jonas Hahn
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85 lines
2.4 KiB
Typst
85 lines
2.4 KiB
Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Hilbertraeume und ONS fuer PDEs. Fouriertrafo fuer die Loesung von PDEs.
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Harmonischer Oszillator
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(dif ^2 y) / (dif x ^2 ) + omega ^2 y = 0 \, space y = A e ^(i k x) \
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A e ^(i k x) (- k^2 + omega^2 ) = 0 ==> k = +- omega ==> y = A e ^(i omega x) + beta e^(- i omega x).
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Motivation der Fourertransformation. Sei $u$ eine Funktion
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P: u |-> - i u^(1) \
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Q: u |-> x * u.
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Wir suchen einen Funktionenraum und eine lineare Transformation $u |-> hat(u)$, sodass $hat(P u) = Q hat(u)$.
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Aus einer DGL soll ein algebraischer Ausdruck werden. Mit dem Ansatz
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hat(u) = integral K (x, xi) u (x) dif x.
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Welche Anforderungen brauchen wir an $u$, sodass das Integral definiert ist. Es soll also partielle Integration durchfuehrbar sein
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i xi hat(u) (xi) = integral i xi e ^(i x xi) u (x) dif x = integral e ^(i x xi) (+ u') (x) dif x = - underbrace([e ^(- i xi x) u (x)]_(- oo) ^(oo), =^(!) 0) + integral e ^(- i x xi) partial _(x) u dif x = hat(u)' (xi).
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Um den bei der partiellen Integration auftretenden Randterm zu eliminieren, wird die Fourertransformation auf $L^(1) $ definiert.
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Q: Warum faellt dieser Term bei $L^(1) $ Funktionen weg?
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#theorem[
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Riemann-Lebesgue-Lemma.
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Es gilt
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lim_(abs(xi) -> oo) hat(u) (xi) = 0.
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Die Fourertransformation ist immer stetig. Im allgemeinen ist die Fourertransformation wie hier noch nicht integrierbar.
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Einfuehrung der Multi-Index Notation mit einem Produkt aber keine Summe. Es gilt dann
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P^(alpha) u (x) = (- i)^(abs(alpha)) partial^(alpha) u (x).
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#lemma[
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Falls $u in C^(k) (RR^(n) )$ und $P^(alpha) in L^(1) (RR^(n) ) space forall alpha : abs(alpha) <= k$, so ist
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hat(p ^(alpha) u ) = Q^(alpha) u \, space abs(alpha) <= k \
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abs( hat(u) (xi)) <= C (1) / (1 + norm(xi) k).
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Falls $u$ kompakt getragen ist, so kann $hat(u)$ in eine ueberall konvergente Potenzreihe entwickelt werden
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hat(u) (xi) = sum c_(k) (xi - xi_0 )^(k).
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#proof[
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Betrachte
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hat(P^(alpha) u) = Q^(alpha) hat(u) = x ^(alpha) hat(u)
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