Second week without fest

S3/KFT/VL/KftVL3.typ

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+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 3,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Elektrostatik 
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) =  (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )  \ 
+  arrow(nabla)  times  arrow(E) (arrow(x)) =  0.
+$
+In der Ebene gilt 
+$
+   arrow(E) (z) =  sign z (sigma) / (2 epsilon_0 ) hat(z).
+$
+Verallgemeinerung fuer beliebige Flaechen. Wir koennen keine allgmeeine Formen angeben. Es lassen sich aber Aussagen ueber die unmittelbare Naehe treffen. Wir betrachten eine Flaeche $A$ mit Normalenvektor $hat(n)$ und Ladungsdichte $sigma$ und einem elektrischen Feld $arrow(E)$. Wir setzen einen Zylinder mit der Hoehe $h$ in die Ebene. Es gilt 
+$
+  integral.surf _(partial V)  dif arrow(s) * arrow(E) =  (sigma A) / (epsilon_0 ) \ 
+  lim_(h -> 0) ==> (sigma A) / (epsilon_0 ) = ( hat(n) * arrow(E)_(+)  - hat(n) * arrow(E)_(-) ) * A \ 
+  ==> hat(n) * arrow(E)_(+) - hat(n) * arrow(E)_(-)  =  sigma/epsilon_0.
+$
+Das elektrische Feld hat also einen Sprung von $sigma/epsilon_0 $ an einer leitenden Ebene.
+
+Wir betrachten eine Schleife $S$
+
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg"),
+)
+in der Seitenansicht von einer Ebene. Es gilt 
+$
+  integral.cont_(S) dif arrow(r) * arrow(E) =  integral _(partial S) dif arrow(s) (arrow(nabla) times arrow(E)) = 0 \ 
+  a -> 0 ==> L (E_(+) ^(parallel) -  E_(-) ^(parallel ) ).
+$
+Die Parallelkomponente des Feldes bleibt also stetig.
+
+Wir betrachten zwei parallele Ebenen 
+
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg"),
+)
+
+#remark[
+  Alle Gleichungen der Elektrostatik sind linear $==>$ Die Loesungen fuer die Felder koennen nach dem *Superpositionsprinzip* addiert werden 
+  $
+    arrow(E)_(1), arrow(B)_(1) "Loesungen fuer" rho_(1) arrow(j)_(1) \
+    arrow(E)_(2), arrow(B)_(2) "Loesungen fuer" rho_(2) arrow(j)_(2)  \ 
+    ==> arrow(B) =  arrow(B )_(1) +  arrow(B)_(2)  and arrow(E) = arrow(E)_(1) +  arrow(E)_(2) "sind Loesungen fuer" rho = rho_(1) +  rho_(2)  and arrow(j) = arrow(j)_(1)  +  arrow(j)_(2).
+  $
+  Die Elektrostatik ist deshalb eine einfache Theorie, da sie linear ist.
+]
+
+In der Mitte der beiden Platten ist ein Feld von 
+$
+  arrow(E) =  sigma/epsilon_0 hat(z).
+$
+Aussherhalb ist es feldfrei.
+
+= Kugelschale
+
+Wir betrachten den Rand einer Kugel mit Radius $R$. Auf der Kugelschale ist gleichmaessig $sigma$. Die Gesamtladung ist 
+$
+  Q =  4 pi R^2 sigma.
+$
+Ausserhalb der Kugelschale ist durch den Gausschen Satz
+$
+  arrow(E) (arrow(r)) = Q/(4 pi epsilon_0 r^2  ) hat(r).
+$
+Und innerhalb folgt dann 
+$
+  arrow(E) =  0,
+$
+da dort keine Ladung eingeschlossen ist.
+
+Pruefen der Unstetigkeit am Rand der Kugel 
+$
+  E_(+ ) ^(perp) =  Q/(4 pi epsilon_0 R^2 ) -   0 \ 
+  = sigma/epsilon_0.
+$
+
+= Loesungen fuer beliebige Ladungsverteilungen
+
+Betrachte das elektrostatische Potential 
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) =  rho/epsilon_0 \ 
+  arrow(nabla) times arrow(E) =  0.
+$
+Wir nutzen, dass in einem einfach zusammenhaengenden Gebiet folgt aus $arrow(nabla) * arrow(E) =  0$, dass es ein skalares Feld $phi$ gibt mit 
+$
+  arrow(E) =  -  arrow(nabla) phi.
+$
+Hier wird $phi$ als elektrostatisches Potential bezeichnet.
+#definition[
+ Einfach zusammenhaengendes Gebiet $G subset RR^3 $. Jede geschlossene Kurve in $G$ laesst sich in $G$ auf einen Punkt zusammenziehen. Dieses ist dann *Nullhomotop*.
+]
+Es folgt also 
+$
+   arrow(nabla) times arrow(E) =  arrow(nabla) times (- arrow(nabla) phi) = 0.
+$
+Verbleibende Gleichungen der Elektrostatik
+$
+  arrow(nabla)  * arrow(E) =  arrow(nabla)  * (-  arrow(nabla) phi) =  - Delta phi =  rho/epsilon_0.
+$
+Der Laplace Operator 
+$
+   Delta =  diff^2  / (diff x ^2 ) + diff^2  / (diff y ^2 )  + diff^2  / (diff z ^2 ).
+$
+Die Poissongleichung 
+$
+  Delta phi =  -  rho/ epsilon_0.
+$
+In Regionen wo die Ladungsdichte verschwindet gilt 
+$
+   Delta phi = 0.
+$
+
+#remark[
+  + $phi$ ist bis auf eine lineare Funition eindeutig definiert $phi (arrow(x)) ->  phi (arrow(x)) +  ( a +  arrow(b) * arrow(x))$ ist auch eine Loesung. Die Konvention ist hier $phi (arrow(x)) -> ^(abs(arrow(x)) -> oo) 0$
+  + Hamiltonfunction fuer Testladung $q$
+      $
+        H =  (arrow(p)^2 ) / (2 m) + q phi (arrow(x)) ==>  dot(p)_(alpha) =  -  (diff H) / (diff x_(alpha) ) =  -  q (diff phi) / (diff x_(alpha) )  \ 
+        dot(x)_(alpha)  =  (diff H) / (diff p_(alpha) )  =  p_(alpha) /m \ 
+        ==> m dot.double(arrow(x)) =  - q arrow(nabla) phi =  q arrow(E)
+      $
+  + Die Loesung der Laplacegleichung nennt man harmonische Funktionen. Fuer diese gibt es das Max-Prinzip.
+    Harmonische Funktionen koennen im Inneren des Definitionsbereiches kein echtes maximum oder Minimum annehmen. Es gilt auch
+    $
+      Delta phi (arrow(x)) =  0 "fuer Definitionsbereich" G.
+    $
+    Deshalb kann es auch keine stationaere Konfiguration fuer Ladungsverteilungen geben.
+]
+
+= Potential einer Punktladung 
+
+Es muss gelten 
+$
+  arrow(E) =  - arrow(nabla) phi \ 
+  rho (arrow(x)) =  Q delta ^((3)) (arrow(x)) \ 
+  ==> Delta phi =  -  Q/epsilon_0 delta ^((3))  (arrow(x)) \ 
+  phi (arrow(x)) =  (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))).
+$
+Nachpruefen des Ansatzes
+$
+   arrow(x) != 0 \ 
+   arrow(nabla) 1/arrow(x) =  - (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  \ 
+   ==> Delta 1/arrow(x) =  arrow(nabla) * arrow(nabla)  1/arrow(x) = -  arrow(nabla) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  \ 
+   = -  (1) / (abs(arrow(x))^3 )  arrow(nabla) arrow(x) -  sum _(alpha = 1) ^(3) x_(alpha)  diff / (diff x_(alpha) )  1/(abs(arrow(x))^3 ) \ 
+   = -  3/abs(arrow(x))^3 - x_(alpha)  ((- 3/2) * 2 x_(alpha) ) / (abs(arrow(x))^3 ) = 0.
+$
+Eine kleine Kugel um den Ursprung 
+$
+   integral.vol dif^3 x arrow(nabla)  * arrow(E) =  integral_(partial V ) dif arrow(s) * arrow(E) \ 
+   =  -  integral _(partial V )  dif arrow(s) * arrow(nabla) phi \ 
+   =  -  Q/(4 pi epsilon_0 ) integral _(partial V)  dif arrow(s) * arrow(nabla)  1/abs(arrow(x)) = 1/epsilon_0 Q \ 
+   =  (Q) / (4 pi epsilon_0 )  integral _(partial V)  dif arrow(s) * (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  =  (Q) / (4 pi epsilon_0 )  4 pi R^2 * 1/R^2.
+$
+
+= Elektrisches Feld einer Punktladung 
+
+Es folgt nach Berechnung
+$
+  arrow(E) (arrow(x)) =  -  arrow(nabla) phi \ 
+   =  (Q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  =  (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))^2 ) hat(x).
+$
+Dies ist also genau wieder das Coulomb-Gesetz.