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S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ

@@ -0,0 +1,235 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 2,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Wenn man N Oszillatoren koppelt, erhlaet man ein System mit wieviel Eigenfrequenzen?
+
+gekoppelte Oszillatoren und Eigenmoden
+
+$
+  psi_(n)  (t) =  x_(n) exp(i omega t) \ 
+  ==> m/K (dif psi_(n) ) / (dif t) =  psi_(n + 1)  -  2 psi_n +  psi_(n - 1) \ 
+  ==> -  omega^2 m/k x_n =  x_(n + 1) -  2 x_n +  x_(n - 1).
+$
+
+Dabei wird unter festen und periodischen Raendern unterschieden.
+
+- Randbedinungen selektonieren die Loesungen $omega''$ als Eigenwertproblem
+- Matrizen symmetrisch $==>$ $N$ Eigenwerte
+
+$
+  partial _(t) ^2 overline(psi) =  underline(M) overline(psi) \ 
+  vec(psi_1 (t), psi_2 (t), ..., psi_(n) (t)) =  overline(psi) (t) =  sum _(j =  1) ^(N) underbrace(A_(j) e^(i omega_(j) t), Q_(j) \ "Normalmoden")  arrow(e)_(j)  +  B_(j) e^(- i omega_(j) t) arrow(e)_(j)  \ 
+  arrow(psi) (t) =  sum _(i = 1) ^(N) Q_(j) (t) arrow(e)_(j)  \ 
+  arrow(e)_(j)  =  e ^(i k a n)  hat(e)_(z) .. k =  (2 pi)/ lambda.
+$
+
+Die Dispersionsrelation ist gegeben durch
+$
+  omega (k) =  sqrt((2 k)/m) (1 -  cos (k n))^(1/2).
+$
+Und in linearer Form als 
+$
+  omega =  c k.
+$
+Die erste Brillouin-Zone gibt an, welche Wellen sich ausbreiten koennen. Wie kann man dort sehen, dass dies diskret ist.
+
+Wir sagen 
+$
+  psi_1 =  psi_(n + 1)  \ 
+  e ^( i k n)  =  e ^( i k (n +  1)a)  \ 
+  e ^(i k n a) =  1 \ 
+  ==> 2 n a =  2 pi i \ 
+  k =  (2 pi)/a i/n
+$
+
+Gegenueberstellung von Welle und Schwingung
+
+Notationen 
+$
+   psi (t) =  psi_0 sin (omega t +  phi) \ 
+   psi (x, t) =  psi_0 sin (k x -  omega t +  phi) \ 
+   psi (r, t) =  psi_0 sin (k * r -  omega t +  phi).
+$
+Relationen
+$
+  v =  phi / (2 pi) \ 
+  T =  1/nu \ 
+  lambda =  (2 pi)/k \ 
+  I prop abs(psi (x, t))^2.
+$
+
+= Die Wellengleichung
+
+$
+  (diff^2  psi) / (diff t^2 ) =  c^2 (diff^2  psi) / (diff x^2 )  \ 
+  dot.double(psi) =  c ^2  psi''
+$
+
+$
+  psi (x, t) =  psi_0 sin (k x -  omega t) \ 
+  partial _(t) ^2 psi =  omega^2 psi_0 sin (k x -  omega t) \ 
+  omega/k = c =  lambda nu \ 
+  partial _(x) ^2 psi =  k^2 psi_0 sin (k x -  omega t)
+$ 
+
+Als homogene DGL 
+$
+   dot.double(psi) -  c^2 psi'' =  underbrace(0, "Quelle").
+$
+Die allgemeine Loesung ist
+$
+  psi (x, t) =  f_(1)  (x +  c t) +  f_2 (x - c t) , space f_1, f_2 in C^2 (RR).
+$
+In mehereren Dimenisonen
+$
+  dot.double(psi) - c^2 arrow(nabla) ^2 psi = 0 , space psi =  psi (arrow(r), t).
+$
+
+Kann ein Sperarationsansatz auch Loesungen liefern?
+
+$
+  psi (arrow(r), t) =  u (arrow(r)) e ^(i omega t)  \ 
+  u (arrow(r)) ( -  omega ^2 ) e ^( i omega t)  =  c ^2  e ^(i omega t)  arrow(nabla) ^2 u (arrow(r)) \ 
+  ==>  arrow(nabla) ^2  u +  k^2  u =  0 , space "stationaere Wellengleichung (Helmholtzgleichung)".
+$
+
+Die ruecklaufende Welle wird benoetigt um alle Randbedinungen abzudecken.
+
+Wellen breiten sich mit einer linearen Superposition aus.
+
+$
+  xi (x, t) =  sin (x +- v t) =  sin (k x -  omega t)
+$
+
+= Skalare Wellen und Vektorwellen
+
+$
+   psi (arrow(r), t) =  arrow(A) e ^(i (arrow(k) arrow(r) -  omega t)) 
+$
+
+Abhaengig von $arrow(A)$ ist die Welle entweder eine Skalarewelle oder eine Vektorwelle.
+
+$
+   arrow(k) * arrow(r) =  phi , space "Normalendarstellung einer Ebene" \ 
+   psi (arrow(r), t) =  A e ^(i (arrow(k) arrow(r) -  omega t)) , space "ebene Welle" \ 
+  psi (arrow(r), t) =  A e ^(i (k r -  omega t)) .
+    
+$
+
+== Kugelwellen
+
+Wir betrachten Kugelkoordinaten.
+
+Betrachte eine Loesung 
+$
+  psi (r, theta, phi, t) =  psi (r, t) \ 
+   dot.double(psi) =  c^2 arrow(nabla) ^2 psi \ 
+    arrow(nabla) ^2 psi , space "fuer kugelsymmetrisen Fall" \ 
+    arrow(nabla) ^2 psi =  1/r diff / (diff r^2 ) (r psi) \ 
+    ==> dot.double(psi)= c^2 1/r diff / (diff r^2 )  (r psi) \ 
+    diff / (diff t^2 )  (r psi) =  c^2 diff / (diff r^2 )  (r psi) ==>  psi (r, t) =  cases(
+      1/r f (r -  c t) \, space "auslaufen" , 1/r f(r +  c t) \, space ""
+    )\
+$
+
+== Zylinderwellen
+
+$
+   psi (rho, t) =  A 1/sqrt(rho) e ^(i (k s +-  c t)) \ 
+    dot.double(psi ) =  e ^2  r 1/rho diff / (diff rho)  (rho (diff psi) / (diff rho) ) \, space "loesung durch Besselfunktion"
+$
+
+Energiedichte 
+$
+   I prop abs(psi)^2 \ 
+   abs(psi)^2  prop 1/r^2 \, space "Energiesatz" \ 
+   I prop E^2 
+$
+
+= Stehende Welle
+
+Nur bestimmte Frequenzen erlauben fuer eine stehende Welle.
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote.svg"),
+)
+
+$
+   psi (x, t) =  A_0 sin ( -  k x -  omega t) +  A_(r)  sin (k x -  omega t)
+$
+Was ist die Randbedinungen bei $x =  0$?
+
+$
+   psi (x =  0, t) =  - A_0 sin (omega t) -  A_(r)  sin (omega t) = ^(!)  0 \ 
+   ==> A_(0)  =  - A_(r) =  A \, space "Vorzeichenwechsel der Amplitude oder einen Phasensprung" \ 
+   psi (x, t) =  A [sin ( -  k x  -  omega t ) +  sin ( -  k x +  omega t)] \ 
+    sin alpha +  sin beta =  2 sin ((alpha +  beta)/2) cos ((alpha -  beta)/2) \ 
+    ==> psi (x, t) =  -  2 A sin (k x) cos (omega t) ==> "zeitliche und raeumliche Abhaengigkeit werden separiert".
+$
+
+= Resonator
+
+Ein Resonator wird erzeugt, wenn zwei Waende gegenuebergestellt werden. Das heisst es gibt Randbedinungen an beiden Enden.
+
+Eigenwertproblem 
+$
+   L =  n lambda/2 \, space  n in NN \ 
+   lambda_(n)  =  (2 L ) / ( n) \, space k_(n) L =  n pi \, space c =  lambda nu =  nu (2 L) / (n)  \ 
+   ==> Delta y = (c) / (2 L).
+$
+Falls ein Ende offen ist, dann 
+$
+  L =  (2 n +  1) lambda/4.
+$
+
+$
+   psi (x, t) =  u (x) f (t) \ 
+   u'' +  k^2 u =  0.
+$
+
+= Schwingung einer rechteckigen Membran
+
+Die Kantenlaengen sind $a, b$. Es ergibt sich 
+$
+  arrow(nabla) ^2 u =  - k ^2 u \ 
+  u_(n, m)  =  u_0 sin ((n pi x) / (a))  sin ((m pi y)/b)) \, space n, m in NN \ 
+  ==>  k ^2 _(n, m)  =  pi^2 (n^2 /a^2 +  m^2 /b^2 ) \ 
+  omega ^2 _(n, m)  =  c^2 pi^2 (n^2 /a^2 +  m^2 /b^2 ) ==> "Raumfrequenzen"
+$
+
+= Schallwellen
+
+Starten mit der idealen Gasgleichung. Es schwingt der Druck
+$
+  p (x, t) =  p +  tilde(p) (x, t) \ 
+  rho (x, t) =   rho_0 +  tilde(rho) (x, t)
+$ 
+und die Auslenkung mit der Geschwindigkeit
+$
+  xi (x, t) \ 
+  v (x, t) =  dot(xi).
+$
+
+$
+   A Delta x rho (diff v) / (diff t)  =  ^("Taylor")  - A (diff p) / (diff x) Delta x \ 
+   (diff v) / (diff t)  =  -  1/rho (diff p) / (diff x) 
+$

book.typ

@@ -17,6 +17,7 @@
 
     - #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III]
         - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Wiederholung Wellen]
+        - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2]
 
     - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft]
         - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe]