diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ new file mode 100644 index 0000000..8afdf49 --- /dev/null +++ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ @@ -0,0 +1,235 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 2, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Wenn man N Oszillatoren koppelt, erhlaet man ein System mit wieviel Eigenfrequenzen? + +gekoppelte Oszillatoren und Eigenmoden + +$ + psi_(n) (t) = x_(n) exp(i omega t) \ + ==> m/K (dif psi_(n) ) / (dif t) = psi_(n + 1) - 2 psi_n + psi_(n - 1) \ + ==> - omega^2 m/k x_n = x_(n + 1) - 2 x_n + x_(n - 1). +$ + +Dabei wird unter festen und periodischen Raendern unterschieden. + +- Randbedinungen selektonieren die Loesungen $omega''$ als Eigenwertproblem +- Matrizen symmetrisch $==>$ $N$ Eigenwerte + +$ + partial _(t) ^2 overline(psi) = underline(M) overline(psi) \ + vec(psi_1 (t), psi_2 (t), ..., psi_(n) (t)) = overline(psi) (t) = sum _(j = 1) ^(N) underbrace(A_(j) e^(i omega_(j) t), Q_(j) \ "Normalmoden") arrow(e)_(j) + B_(j) e^(- i omega_(j) t) arrow(e)_(j) \ + arrow(psi) (t) = sum _(i = 1) ^(N) Q_(j) (t) arrow(e)_(j) \ + arrow(e)_(j) = e ^(i k a n) hat(e)_(z) .. k = (2 pi)/ lambda. +$ + +Die Dispersionsrelation ist gegeben durch +$ + omega (k) = sqrt((2 k)/m) (1 - cos (k n))^(1/2). +$ +Und in linearer Form als +$ + omega = c k. +$ +Die erste Brillouin-Zone gibt an, welche Wellen sich ausbreiten koennen. Wie kann man dort sehen, dass dies diskret ist. + +Wir sagen +$ + psi_1 = psi_(n + 1) \ + e ^( i k n) = e ^( i k (n + 1)a) \ + e ^(i k n a) = 1 \ + ==> 2 n a = 2 pi i \ + k = (2 pi)/a i/n +$ + +Gegenueberstellung von Welle und Schwingung + +Notationen +$ + psi (t) = psi_0 sin (omega t + phi) \ + psi (x, t) = psi_0 sin (k x - omega t + phi) \ + psi (r, t) = psi_0 sin (k * r - omega t + phi). +$ +Relationen +$ + v = phi / (2 pi) \ + T = 1/nu \ + lambda = (2 pi)/k \ + I prop abs(psi (x, t))^2. +$ + += Die Wellengleichung + +$ + (diff^2 psi) / (diff t^2 ) = c^2 (diff^2 psi) / (diff x^2 ) \ + dot.double(psi) = c ^2 psi'' +$ + +$ + psi (x, t) = psi_0 sin (k x - omega t) \ + partial _(t) ^2 psi = omega^2 psi_0 sin (k x - omega t) \ + omega/k = c = lambda nu \ + partial _(x) ^2 psi = k^2 psi_0 sin (k x - omega t) +$ + +Als homogene DGL +$ + dot.double(psi) - c^2 psi'' = underbrace(0, "Quelle"). +$ +Die allgemeine Loesung ist +$ + psi (x, t) = f_(1) (x + c t) + f_2 (x - c t) , space f_1, f_2 in C^2 (RR). +$ +In mehereren Dimenisonen +$ + dot.double(psi) - c^2 arrow(nabla) ^2 psi = 0 , space psi = psi (arrow(r), t). +$ + +Kann ein Sperarationsansatz auch Loesungen liefern? + +$ + psi (arrow(r), t) = u (arrow(r)) e ^(i omega t) \ + u (arrow(r)) ( - omega ^2 ) e ^( i omega t) = c ^2 e ^(i omega t) arrow(nabla) ^2 u (arrow(r)) \ + ==> arrow(nabla) ^2 u + k^2 u = 0 , space "stationaere Wellengleichung (Helmholtzgleichung)". +$ + +Die ruecklaufende Welle wird benoetigt um alle Randbedinungen abzudecken. + +Wellen breiten sich mit einer linearen Superposition aus. + +$ + xi (x, t) = sin (x +- v t) = sin (k x - omega t) +$ + += Skalare Wellen und Vektorwellen + +$ + psi (arrow(r), t) = arrow(A) e ^(i (arrow(k) arrow(r) - omega t)) +$ + +Abhaengig von $arrow(A)$ ist die Welle entweder eine Skalarewelle oder eine Vektorwelle. + +$ + arrow(k) * arrow(r) = phi , space "Normalendarstellung einer Ebene" \ + psi (arrow(r), t) = A e ^(i (arrow(k) arrow(r) - omega t)) , space "ebene Welle" \ + psi (arrow(r), t) = A e ^(i (k r - omega t)) . + +$ + +== Kugelwellen + +Wir betrachten Kugelkoordinaten. + +Betrachte eine Loesung +$ + psi (r, theta, phi, t) = psi (r, t) \ + dot.double(psi) = c^2 arrow(nabla) ^2 psi \ + arrow(nabla) ^2 psi , space "fuer kugelsymmetrisen Fall" \ + arrow(nabla) ^2 psi = 1/r diff / (diff r^2 ) (r psi) \ + ==> dot.double(psi)= c^2 1/r diff / (diff r^2 ) (r psi) \ + diff / (diff t^2 ) (r psi) = c^2 diff / (diff r^2 ) (r psi) ==> psi (r, t) = cases( + 1/r f (r - c t) \, space "auslaufen" , 1/r f(r + c t) \, space "" + )\ +$ + +== Zylinderwellen + +$ + psi (rho, t) = A 1/sqrt(rho) e ^(i (k s +- c t)) \ + dot.double(psi ) = e ^2 r 1/rho diff / (diff rho) (rho (diff psi) / (diff rho) ) \, space "loesung durch Besselfunktion" +$ + +Energiedichte +$ + I prop abs(psi)^2 \ + abs(psi)^2 prop 1/r^2 \, space "Energiesatz" \ + I prop E^2 +$ + += Stehende Welle + +Nur bestimmte Frequenzen erlauben fuer eine stehende Welle. + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote.svg"), +) + +$ + psi (x, t) = A_0 sin ( - k x - omega t) + A_(r) sin (k x - omega t) +$ +Was ist die Randbedinungen bei $x = 0$? + +$ + psi (x = 0, t) = - A_0 sin (omega t) - A_(r) sin (omega t) = ^(!) 0 \ + ==> A_(0) = - A_(r) = A \, space "Vorzeichenwechsel der Amplitude oder einen Phasensprung" \ + psi (x, t) = A [sin ( - k x - omega t ) + sin ( - k x + omega t)] \ + sin alpha + sin beta = 2 sin ((alpha + beta)/2) cos ((alpha - beta)/2) \ + ==> psi (x, t) = - 2 A sin (k x) cos (omega t) ==> "zeitliche und raeumliche Abhaengigkeit werden separiert". +$ + += Resonator + +Ein Resonator wird erzeugt, wenn zwei Waende gegenuebergestellt werden. Das heisst es gibt Randbedinungen an beiden Enden. + +Eigenwertproblem +$ + L = n lambda/2 \, space n in NN \ + lambda_(n) = (2 L ) / ( n) \, space k_(n) L = n pi \, space c = lambda nu = nu (2 L) / (n) \ + ==> Delta y = (c) / (2 L). +$ +Falls ein Ende offen ist, dann +$ + L = (2 n + 1) lambda/4. +$ + +$ + psi (x, t) = u (x) f (t) \ + u'' + k^2 u = 0. +$ + += Schwingung einer rechteckigen Membran + +Die Kantenlaengen sind $a, b$. Es ergibt sich +$ + arrow(nabla) ^2 u = - k ^2 u \ + u_(n, m) = u_0 sin ((n pi x) / (a)) sin ((m pi y)/b)) \, space n, m in NN \ + ==> k ^2 _(n, m) = pi^2 (n^2 /a^2 + m^2 /b^2 ) \ + omega ^2 _(n, m) = c^2 pi^2 (n^2 /a^2 + m^2 /b^2 ) ==> "Raumfrequenzen" +$ + += Schallwellen + +Starten mit der idealen Gasgleichung. Es schwingt der Druck +$ + p (x, t) = p + tilde(p) (x, t) \ + rho (x, t) = rho_0 + tilde(rho) (x, t) +$ +und die Auslenkung mit der Geschwindigkeit +$ + xi (x, t) \ + v (x, t) = dot(xi). +$ + +$ + A Delta x rho (diff v) / (diff t) = ^("Taylor") - A (diff p) / (diff x) Delta x \ + (diff v) / (diff t) = - 1/rho (diff p) / (diff x) +$ diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote b/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote new file mode 100644 index 0000000..223508e Binary files /dev/null and b/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote differ diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote.svg b/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote.svg new file mode 100644 index 0000000..ea5f520 --- /dev/null +++ b/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-05-11-18-39.rnote.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/book.typ b/book.typ index 1663fa7..486a95a 100644 --- a/book.typ +++ b/book.typ @@ -17,6 +17,7 @@ - #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Wiederholung Wellen] + - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2] - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft] - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe]