Second week without fest

2025-12-31 22:34:25 -05:00 · 2025-11-07 15:40:53 +01:00
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commit 2763e160b9
11 changed files with 432 additions and 0 deletions
--- a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ
+++ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ
@@ -0,0 +1,103 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 3,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Ende der Herleitung der Wellengleichung fuer Schall.
+
+Kompressibilitaet
+
+$
+  kappa =  -1/(Delta p) ((Delta V)/V) \, space K = 1/kappa "Kompressibilitaetsmodul" \ 
+  (Delta V) / (V)  =  (diff v) / (diff x) Delta t =  Delta p ((Delta V) / (V) 1/(Delta p)) \, space (diff v) / (diff t) - 1/rho (diff p) / (diff x) \ 
+  (diff v) / (diff x) =  - (Delta p) / (Delta t) kappa = ^(lim_(Delta t -> oo) ) - (diff p) / (diff t) kappa \ 
+  diff / (diff t) (- (diff p) / (diff t) kappa) =  diff / (diff t) (diff v) / (diff x) =  diff / (diff x)  (diff v) / (diff t) =  -  1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 )  \ 
+  kappa (diff ^2 p) / (diff t^2 )  =  1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 )  ==>  c^2 =  1/ (rho kappa) =  kappa/rho \ 
+  (diff p^2 ) / (diff t^2 )  - c^2 (diff p^2 ) / (diff x^2 ) = 0.
+$
+
+Hier werden Gleichgewichtswerte als Linearisierung genommen.
+
+Woher kommt $kappa$ beziehungsweise das Kompressibilitaetsmodul $K$? Es gilt
+
+$
+  p V =  N k T
+$
+
+die ideale Gasgleichung.
+
+Wir rechnen
+$
+  p V^(gamma)  =  p_0 V_0 ^(gamma)  "Adiabatenexponent" \ 
+  gamma =  (c_(p) ) / (c_(V) ) = (f + 2) / (f)  = 1.4 "bei Luft" \
+  p =  V^(- gamma) p_0 V_0 ^(gamma) \ 
+  (diff p) / (diff V) =  - gamma V^(-  gamma - 1) p_0 V_0 ^(gamma) \ 
+  ==> K_0 =  V (diff p) / (diff V) = - gamma p_0 .. "beziehungsweise" .. K_(0) =  1/(gamma p_0 ) \, space p =  rho k T \ 
+  c_(s)  =  1/(sqrt(rho k)) =  sqrt((gamma p_0 ) / (rho_0 ) ).
+$
+Fuer Luft folgt
+$
+  c_(s) approx sqrt((1.4 10^(5) ) / (1.25) ) ("m") / ("s") =  sqrt((1.4 * 10 ^(4) ) / (1 * 12.5) ) =  3.35 * 100 ("m") / ("s") =  335 ("m") / ("s").
+$
+
+Druck und Dichte sind alle durch harmonische Wellenfunktionen gegeben. Die Linearisierung des Drucks ist durch die enorm kleineen Schwankungen gerechtfertigt.
+
+Schallschnelle $v$ und Impedanz (Wellenwiderstand) $z =  p/v$. Dann ist 
+$
+  I = p v =  z v^2 = p^2 /z \ 
+  d W =  arrow(F) * d arrow(s) \ 
+  [I] =  ("J") / ("m"^3 )  ("m") / ("s")  =  "W" 1/"m"^2 .
+$
+Schall kann anhad der Frequenz  und der Schalldruck Amplidude klassifiziert werden. Die Lautstaerke ist eine Logarithmische Funktion des Schalldruckpegels. Es ist fuer den Schalldruckpegel 
+$
+  L_(p) := 10 log_(10) (p^2 ) / (p_(s)^2  ) =  20 log_(10)  p/p_(s)  \ 
+  [L_(p) ] = "dB"\
+  L := 10 log_(10)  (I (nu)) / (I_("min") (nu))  \ 
+  [L] = "Phon"
+$
+Wie funktioniert das Hoeren anhand der Physiologie?
+
+Helmholtz 
+$
+  arrow(nabla) ^2 u +  k ^2  u =  0 \ 
+   u (arrow(r)) * e ^(i omega t) .
+$
+Raummoden visualisieren.
+
+== Schallwellen in Festkoerpern
+
+Wir fuehren den Spannungstensor ein. Der Festkoerper reagiert auf die Spannung $sigma =  F/A$ mit Dehnung $epsilon =  (diff xi) / (diff x) $ $epsilon_(i j)  =  (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) $
+$
+  underbrace(sigma, "Matrix") =  underbrace(E, "Tensor 3. Stufe") .. underbrace(epsilon, "Matrix")   .. "Hooke".
+$
+$F$ ist die Kraft und $A$ die Flaeche.
+$sigma$, $epsilon$ sind Tensoren und $E$ ist der Young'sche Modul.
+
+Wir stellen uns Massen und Federn in einem Gitter vor. Alle Potentiale koennen als Parabel genaehert werden und somit als Feder modelliert. Wir definieren das Verzerrungsfeld 
+$
+  xi (x, y) \ 
+  ==> epsilon_(i, j) =  (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) .
+$
+Bei Stahl ist $E tilde.equiv 2 * 10 ^(11) ("N") / ("m"^2 ) ("Pa") = 210 "GPa"$.
+Es folgt fuer die BWGL 
+$
+  Delta m dot.double(xi) = A Delta sigma =  A E ( epsilon (x +  Delta x) -  epsilon (x)) \ 
+   epsilon A Delta  x dot.double(xi) =  A (diff sigma) / (diff x)  Delta x ==> dot.double(xi) =  E/sigma xi'' \, space c =  sqrt(E/sigma)
+$
--- a/S3/KFT/VL/KftVL3.typ
+++ b/S3/KFT/VL/KftVL3.typ
@@ -0,0 +1,182 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 3,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Elektrostatik 
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) =  (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )  \ 
+  arrow(nabla)  times  arrow(E) (arrow(x)) =  0.
+$
+In der Ebene gilt 
+$
+   arrow(E) (z) =  sign z (sigma) / (2 epsilon_0 ) hat(z).
+$
+Verallgemeinerung fuer beliebige Flaechen. Wir koennen keine allgmeeine Formen angeben. Es lassen sich aber Aussagen ueber die unmittelbare Naehe treffen. Wir betrachten eine Flaeche $A$ mit Normalenvektor $hat(n)$ und Ladungsdichte $sigma$ und einem elektrischen Feld $arrow(E)$. Wir setzen einen Zylinder mit der Hoehe $h$ in die Ebene. Es gilt 
+$
+  integral.surf _(partial V)  dif arrow(s) * arrow(E) =  (sigma A) / (epsilon_0 ) \ 
+  lim_(h -> 0) ==> (sigma A) / (epsilon_0 ) = ( hat(n) * arrow(E)_(+)  - hat(n) * arrow(E)_(-) ) * A \ 
+  ==> hat(n) * arrow(E)_(+) - hat(n) * arrow(E)_(-)  =  sigma/epsilon_0.
+$
+Das elektrische Feld hat also einen Sprung von $sigma/epsilon_0 $ an einer leitenden Ebene.
+
+Wir betrachten eine Schleife $S$
+
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg"),
+)
+in der Seitenansicht von einer Ebene. Es gilt 
+$
+  integral.cont_(S) dif arrow(r) * arrow(E) =  integral _(partial S) dif arrow(s) (arrow(nabla) times arrow(E)) = 0 \ 
+  a -> 0 ==> L (E_(+) ^(parallel) -  E_(-) ^(parallel ) ).
+$
+Die Parallelkomponente des Feldes bleibt also stetig.
+
+Wir betrachten zwei parallele Ebenen 
+
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg"),
+)
+
+#remark[
+  Alle Gleichungen der Elektrostatik sind linear $==>$ Die Loesungen fuer die Felder koennen nach dem *Superpositionsprinzip* addiert werden 
+  $
+    arrow(E)_(1), arrow(B)_(1) "Loesungen fuer" rho_(1) arrow(j)_(1) \
+    arrow(E)_(2), arrow(B)_(2) "Loesungen fuer" rho_(2) arrow(j)_(2)  \ 
+    ==> arrow(B) =  arrow(B )_(1) +  arrow(B)_(2)  and arrow(E) = arrow(E)_(1) +  arrow(E)_(2) "sind Loesungen fuer" rho = rho_(1) +  rho_(2)  and arrow(j) = arrow(j)_(1)  +  arrow(j)_(2).
+  $
+  Die Elektrostatik ist deshalb eine einfache Theorie, da sie linear ist.
+]
+
+In der Mitte der beiden Platten ist ein Feld von 
+$
+  arrow(E) =  sigma/epsilon_0 hat(z).
+$
+Aussherhalb ist es feldfrei.
+
+= Kugelschale
+
+Wir betrachten den Rand einer Kugel mit Radius $R$. Auf der Kugelschale ist gleichmaessig $sigma$. Die Gesamtladung ist 
+$
+  Q =  4 pi R^2 sigma.
+$
+Ausserhalb der Kugelschale ist durch den Gausschen Satz
+$
+  arrow(E) (arrow(r)) = Q/(4 pi epsilon_0 r^2  ) hat(r).
+$
+Und innerhalb folgt dann 
+$
+  arrow(E) =  0,
+$
+da dort keine Ladung eingeschlossen ist.
+
+Pruefen der Unstetigkeit am Rand der Kugel 
+$
+  E_(+ ) ^(perp) =  Q/(4 pi epsilon_0 R^2 ) -   0 \ 
+  = sigma/epsilon_0.
+$
+
+= Loesungen fuer beliebige Ladungsverteilungen
+
+Betrachte das elektrostatische Potential 
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) =  rho/epsilon_0 \ 
+  arrow(nabla) times arrow(E) =  0.
+$
+Wir nutzen, dass in einem einfach zusammenhaengenden Gebiet folgt aus $arrow(nabla) * arrow(E) =  0$, dass es ein skalares Feld $phi$ gibt mit 
+$
+  arrow(E) =  -  arrow(nabla) phi.
+$
+Hier wird $phi$ als elektrostatisches Potential bezeichnet.
+#definition[
+ Einfach zusammenhaengendes Gebiet $G subset RR^3 $. Jede geschlossene Kurve in $G$ laesst sich in $G$ auf einen Punkt zusammenziehen. Dieses ist dann *Nullhomotop*.
+]
+Es folgt also 
+$
+   arrow(nabla) times arrow(E) =  arrow(nabla) times (- arrow(nabla) phi) = 0.
+$
+Verbleibende Gleichungen der Elektrostatik
+$
+  arrow(nabla)  * arrow(E) =  arrow(nabla)  * (-  arrow(nabla) phi) =  - Delta phi =  rho/epsilon_0.
+$
+Der Laplace Operator 
+$
+   Delta =  diff^2  / (diff x ^2 ) + diff^2  / (diff y ^2 )  + diff^2  / (diff z ^2 ).
+$
+Die Poissongleichung 
+$
+  Delta phi =  -  rho/ epsilon_0.
+$
+In Regionen wo die Ladungsdichte verschwindet gilt 
+$
+   Delta phi = 0.
+$
+
+#remark[
+  + $phi$ ist bis auf eine lineare Funition eindeutig definiert $phi (arrow(x)) ->  phi (arrow(x)) +  ( a +  arrow(b) * arrow(x))$ ist auch eine Loesung. Die Konvention ist hier $phi (arrow(x)) -> ^(abs(arrow(x)) -> oo) 0$
+  + Hamiltonfunction fuer Testladung $q$
+      $
+        H =  (arrow(p)^2 ) / (2 m) + q phi (arrow(x)) ==>  dot(p)_(alpha) =  -  (diff H) / (diff x_(alpha) ) =  -  q (diff phi) / (diff x_(alpha) )  \ 
+        dot(x)_(alpha)  =  (diff H) / (diff p_(alpha) )  =  p_(alpha) /m \ 
+        ==> m dot.double(arrow(x)) =  - q arrow(nabla) phi =  q arrow(E)
+      $
+  + Die Loesung der Laplacegleichung nennt man harmonische Funktionen. Fuer diese gibt es das Max-Prinzip.
+    Harmonische Funktionen koennen im Inneren des Definitionsbereiches kein echtes maximum oder Minimum annehmen. Es gilt auch
+    $
+      Delta phi (arrow(x)) =  0 "fuer Definitionsbereich" G.
+    $
+    Deshalb kann es auch keine stationaere Konfiguration fuer Ladungsverteilungen geben.
+]
+
+= Potential einer Punktladung 
+
+Es muss gelten 
+$
+  arrow(E) =  - arrow(nabla) phi \ 
+  rho (arrow(x)) =  Q delta ^((3)) (arrow(x)) \ 
+  ==> Delta phi =  -  Q/epsilon_0 delta ^((3))  (arrow(x)) \ 
+  phi (arrow(x)) =  (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))).
+$
+Nachpruefen des Ansatzes
+$
+   arrow(x) != 0 \ 
+   arrow(nabla) 1/arrow(x) =  - (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  \ 
+   ==> Delta 1/arrow(x) =  arrow(nabla) * arrow(nabla)  1/arrow(x) = -  arrow(nabla) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  \ 
+   = -  (1) / (abs(arrow(x))^3 )  arrow(nabla) arrow(x) -  sum _(alpha = 1) ^(3) x_(alpha)  diff / (diff x_(alpha) )  1/(abs(arrow(x))^3 ) \ 
+   = -  3/abs(arrow(x))^3 - x_(alpha)  ((- 3/2) * 2 x_(alpha) ) / (abs(arrow(x))^3 ) = 0.
+$
+Eine kleine Kugel um den Ursprung 
+$
+   integral.vol dif^3 x arrow(nabla)  * arrow(E) =  integral_(partial V ) dif arrow(s) * arrow(E) \ 
+   =  -  integral _(partial V )  dif arrow(s) * arrow(nabla) phi \ 
+   =  -  Q/(4 pi epsilon_0 ) integral _(partial V)  dif arrow(s) * arrow(nabla)  1/abs(arrow(x)) = 1/epsilon_0 Q \ 
+   =  (Q) / (4 pi epsilon_0 )  integral _(partial V)  dif arrow(s) * (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  =  (Q) / (4 pi epsilon_0 )  4 pi R^2 * 1/R^2.
+$
+
+= Elektrisches Feld einer Punktladung 
+
+Es folgt nach Berechnung
+$
+  arrow(E) (arrow(x)) =  -  arrow(nabla) phi \ 
+   =  (Q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 )  =  (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))^2 ) hat(x).
+$
+Dies ist also genau wieder das Coulomb-Gesetz.
--- a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote
+++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote
--- a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg
+++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg
--- a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote
+++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote
--- a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg
+++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg
--- a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ
+++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ
@@ -0,0 +1,23 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Diese Vorlesung ist ausgefallen.
--- a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ
+++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ
@@ -0,0 +1,108 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 3,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Wiederholung der *Bessel'schen Ungleichung*. Betrachte $f in RR [- pi,  pi] \, space  c^(k) =  1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi) f (x) e ^(i k x)  dif x$
+$
+  ==> sum  abs(c^(k) )^2 <= norm(f)_(L^2 ) ^2  \ 
+  norm(f)_(L^2 ) ^2  =  lr(angle.l f, f angle.r) \ 
+  lr(angle.l f, g angle.r) =  1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi)  overline(f (x)) g (x) dif x
+$
+
+Im Beweis 
+$
+  norm(f -  sum  _(- n) ^(n) c_(k) e_(k) )^2 = lr(angle.l f -  sum  c_(k) e_(k) , f -  sum  c_(k) e_(k)   angle.r) \ 
+  = norm(f)^2 - sum abs(c_(k))^2  -> 0  .. (n ->  oo) "wenn" sum  c_(k) e_(k) "gegen" f "bezueglich" norm(*)_(L^2 )  \ 
+  e_(k) (x) =  e ^(i k x).
+$
+
+Es folgt die *Parseval'sche Gleichung*
+$
+   norm(f)_(2) ^(2)  =  lim_(n -> oo) sum_(- n)^(n) abs(c_(k) )^2 \ 
+   ==> sum abs(c_(k) )^2 < oo.
+$
+$==>$ Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten.
+
+#proof[
+  Sei $f =  sum  c_(k) e_(k)  \, space g =  sum  d_(k) e_(k) $. Mit $c_(k)  =  lr(angle.l e_(k) , f angle.r) \, space d_(k) =  lr(angle.l e_(k) , g angle.r)$.
+  Ist $f != g$ so gilt 
+  $
+    0 !=   norm(f - g)_(L^2 ) ^2 =  sum  abs(lr(angle.l e_(k) , f - g angle.r))^2  = sum  abs(c_(k)  -  d_(k) )^2.
+  $
+  Angenommen $c_(k) = d_(k) forall k ==> 0 != 0 $. Widerspruch.
+  $f ~ g$ bezueglich der $norm(*)_(L_(1) ) :<==> f "und" g "auf Nullmenge verschieden sein duerfen" $.
+
+  Also $f, g in C [- pi,  pi] ==>( f != g ==> exists x_0 in [- pi,  pi]: f (x_0 ) != g (x_0 ))$.
+  Parseval $==>$ $sum_(k=1)^(oo) 1/k^2 =  pi^2 /6$.
+
+  
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg"),
+)
+
+  $
+    f (x) =  x "auf" [- pi,  pi] \, space c_(k) =  (- 1)^(k) ) i/k \, space k != 0, c_0 = 0 \ 
+    ==> sum_(- oo)^(oo) abs(c_(k) )^2  =  2 sum_(k=1)^(oo) 1/k^2 =^("Parseval") lr(angle.l f, f angle.r) =  1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi)  x^2  dif x = pi^2 /3 
+  $
+]
+
+Die Schwingende Rechtecksmembran durch den Tayloransatz loesen
+
+$
+  u (t, x, y) =  sum _(n = 1)  ^(oo) sum_(m = 1)^(oo) (a_(m, n) cos (sqrt(lambda_(n, m) ) c t) +  b_(n, m) sin (sqrt(lambda_(n, m) ) c t)) nu_(n, m).
+$
+
+Cladni-Figuren in Wolframalpha.
+
+= Kreisfoernige Membran
+
+Wellengleichung 
+$
+  arrow(nabla) ^2 u =  1/v^2 partial _(t) ^2 u.
+$
+Produktansatz $==>$ $u =  v (t) w (x, y)$.
+
+Wenn man auf Polarkoordinaten transformiert, dann muessen die Randbedingungen alle erfuellt sein, was man durch den Limes prueft.
+
+$
+  (partial _(x) ^2 +  partial _(y) ^2 ) v =  - lambda v
+$
+
+Es wird dann wieder ein Ansatz gemacht
+$
+  V (r, theta) =  R (r) A (theta) \ 
+  ==>  (r^2 R'' +  v R')1/R +  lambda r^2 =  - (A'') / (A).
+$
+
+$
+  1/r partial _(r)  (r partial _(r)  (R (r) A (theta))) +  1 / r^2 partial _(theta) ^2  (R (r) A (theta)) +  lambda R (r) A (theta) = ^(!) 0
+$
+
+Potenzreihenansatz als 
+$
+   f (rho ) =  sum a_(k)  rho^(k).
+
+$
+Es wird gleichmaessige Konvergenz angennommen. Es folgt 
+$
+  rho^2 f'' (rho) =  rho^2 (sum a_(k) k rho ^(k - 1) )' =  rho^2  sum  a_(k) k (k - 1) rho ^(k - 2).
+$
+Nachdem die anderen Teile ausgerechnet wurden kann ein Koeffizientenvergleich gemacht werden.
--- a/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote
+++ b/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote
--- a/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg
+++ b/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg
@@ -0,0 +1,4 @@
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    - #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III]
        - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Wiederholung Wellen]
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    - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft]
        - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe]
        - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL2.typ")[Einfuehrung Elektrostatik]
+        - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL3.typ")[KftVL3]

    - #chapter("S3/MaPhyIII/index.typ")[MaPhy III]
        - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Einleitung Fourier und PDE]
+        - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2]
+        - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3]

    - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest]
        - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]