diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ new file mode 100644 index 0000000..651fc53 --- /dev/null +++ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ @@ -0,0 +1,103 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 3, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Ende der Herleitung der Wellengleichung fuer Schall. + +Kompressibilitaet + +$ + kappa = -1/(Delta p) ((Delta V)/V) \, space K = 1/kappa "Kompressibilitaetsmodul" \ + (Delta V) / (V) = (diff v) / (diff x) Delta t = Delta p ((Delta V) / (V) 1/(Delta p)) \, space (diff v) / (diff t) - 1/rho (diff p) / (diff x) \ + (diff v) / (diff x) = - (Delta p) / (Delta t) kappa = ^(lim_(Delta t -> oo) ) - (diff p) / (diff t) kappa \ + diff / (diff t) (- (diff p) / (diff t) kappa) = diff / (diff t) (diff v) / (diff x) = diff / (diff x) (diff v) / (diff t) = - 1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 ) \ + kappa (diff ^2 p) / (diff t^2 ) = 1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 ) ==> c^2 = 1/ (rho kappa) = kappa/rho \ + (diff p^2 ) / (diff t^2 ) - c^2 (diff p^2 ) / (diff x^2 ) = 0. +$ + +Hier werden Gleichgewichtswerte als Linearisierung genommen. + +Woher kommt $kappa$ beziehungsweise das Kompressibilitaetsmodul $K$? Es gilt + +$ + p V = N k T +$ + +die ideale Gasgleichung. + +Wir rechnen +$ + p V^(gamma) = p_0 V_0 ^(gamma) "Adiabatenexponent" \ + gamma = (c_(p) ) / (c_(V) ) = (f + 2) / (f) = 1.4 "bei Luft" \ + p = V^(- gamma) p_0 V_0 ^(gamma) \ + (diff p) / (diff V) = - gamma V^(- gamma - 1) p_0 V_0 ^(gamma) \ + ==> K_0 = V (diff p) / (diff V) = - gamma p_0 .. "beziehungsweise" .. K_(0) = 1/(gamma p_0 ) \, space p = rho k T \ + c_(s) = 1/(sqrt(rho k)) = sqrt((gamma p_0 ) / (rho_0 ) ). +$ +Fuer Luft folgt +$ + c_(s) approx sqrt((1.4 10^(5) ) / (1.25) ) ("m") / ("s") = sqrt((1.4 * 10 ^(4) ) / (1 * 12.5) ) = 3.35 * 100 ("m") / ("s") = 335 ("m") / ("s"). +$ + +Druck und Dichte sind alle durch harmonische Wellenfunktionen gegeben. Die Linearisierung des Drucks ist durch die enorm kleineen Schwankungen gerechtfertigt. + +Schallschnelle $v$ und Impedanz (Wellenwiderstand) $z = p/v$. Dann ist +$ + I = p v = z v^2 = p^2 /z \ + d W = arrow(F) * d arrow(s) \ + [I] = ("J") / ("m"^3 ) ("m") / ("s") = "W" 1/"m"^2 . +$ +Schall kann anhad der Frequenz und der Schalldruck Amplidude klassifiziert werden. Die Lautstaerke ist eine Logarithmische Funktion des Schalldruckpegels. Es ist fuer den Schalldruckpegel +$ + L_(p) := 10 log_(10) (p^2 ) / (p_(s)^2 ) = 20 log_(10) p/p_(s) \ + [L_(p) ] = "dB"\ + L := 10 log_(10) (I (nu)) / (I_("min") (nu)) \ + [L] = "Phon" +$ +Wie funktioniert das Hoeren anhand der Physiologie? + +Helmholtz +$ + arrow(nabla) ^2 u + k ^2 u = 0 \ + u (arrow(r)) * e ^(i omega t) . +$ +Raummoden visualisieren. + +== Schallwellen in Festkoerpern + +Wir fuehren den Spannungstensor ein. Der Festkoerper reagiert auf die Spannung $sigma = F/A$ mit Dehnung $epsilon = (diff xi) / (diff x) $ $epsilon_(i j) = (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) $ +$ + underbrace(sigma, "Matrix") = underbrace(E, "Tensor 3. Stufe") .. underbrace(epsilon, "Matrix") .. "Hooke". +$ +$F$ ist die Kraft und $A$ die Flaeche. +$sigma$, $epsilon$ sind Tensoren und $E$ ist der Young'sche Modul. + +Wir stellen uns Massen und Federn in einem Gitter vor. Alle Potentiale koennen als Parabel genaehert werden und somit als Feder modelliert. Wir definieren das Verzerrungsfeld +$ + xi (x, y) \ + ==> epsilon_(i, j) = (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) . +$ +Bei Stahl ist $E tilde.equiv 2 * 10 ^(11) ("N") / ("m"^2 ) ("Pa") = 210 "GPa"$. +Es folgt fuer die BWGL +$ + Delta m dot.double(xi) = A Delta sigma = A E ( epsilon (x + Delta x) - epsilon (x)) \ + epsilon A Delta x dot.double(xi) = A (diff sigma) / (diff x) Delta x ==> dot.double(xi) = E/sigma xi'' \, space c = sqrt(E/sigma) +$ diff --git a/S3/KFT/VL/KftVL3.typ b/S3/KFT/VL/KftVL3.typ new file mode 100644 index 0000000..033775a --- /dev/null +++ b/S3/KFT/VL/KftVL3.typ @@ -0,0 +1,182 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 3, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Elektrostatik +$ + arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) = (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 ) \ + arrow(nabla) times arrow(E) (arrow(x)) = 0. +$ +In der Ebene gilt +$ + arrow(E) (z) = sign z (sigma) / (2 epsilon_0 ) hat(z). +$ +Verallgemeinerung fuer beliebige Flaechen. Wir koennen keine allgmeeine Formen angeben. Es lassen sich aber Aussagen ueber die unmittelbare Naehe treffen. Wir betrachten eine Flaeche $A$ mit Normalenvektor $hat(n)$ und Ladungsdichte $sigma$ und einem elektrischen Feld $arrow(E)$. Wir setzen einen Zylinder mit der Hoehe $h$ in die Ebene. Es gilt +$ + integral.surf _(partial V) dif arrow(s) * arrow(E) = (sigma A) / (epsilon_0 ) \ + lim_(h -> 0) ==> (sigma A) / (epsilon_0 ) = ( hat(n) * arrow(E)_(+) - hat(n) * arrow(E)_(-) ) * A \ + ==> hat(n) * arrow(E)_(+) - hat(n) * arrow(E)_(-) = sigma/epsilon_0. +$ +Das elektrische Feld hat also einen Sprung von $sigma/epsilon_0 $ an einer leitenden Ebene. + +Wir betrachten eine Schleife $S$ + + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg"), +) +in der Seitenansicht von einer Ebene. Es gilt +$ + integral.cont_(S) dif arrow(r) * arrow(E) = integral _(partial S) dif arrow(s) (arrow(nabla) times arrow(E)) = 0 \ + a -> 0 ==> L (E_(+) ^(parallel) - E_(-) ^(parallel ) ). +$ +Die Parallelkomponente des Feldes bleibt also stetig. + +Wir betrachten zwei parallele Ebenen + + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg"), +) + +#remark[ + Alle Gleichungen der Elektrostatik sind linear $==>$ Die Loesungen fuer die Felder koennen nach dem *Superpositionsprinzip* addiert werden + $ + arrow(E)_(1), arrow(B)_(1) "Loesungen fuer" rho_(1) arrow(j)_(1) \ + arrow(E)_(2), arrow(B)_(2) "Loesungen fuer" rho_(2) arrow(j)_(2) \ + ==> arrow(B) = arrow(B )_(1) + arrow(B)_(2) and arrow(E) = arrow(E)_(1) + arrow(E)_(2) "sind Loesungen fuer" rho = rho_(1) + rho_(2) and arrow(j) = arrow(j)_(1) + arrow(j)_(2). + $ + Die Elektrostatik ist deshalb eine einfache Theorie, da sie linear ist. +] + +In der Mitte der beiden Platten ist ein Feld von +$ + arrow(E) = sigma/epsilon_0 hat(z). +$ +Aussherhalb ist es feldfrei. + += Kugelschale + +Wir betrachten den Rand einer Kugel mit Radius $R$. Auf der Kugelschale ist gleichmaessig $sigma$. Die Gesamtladung ist +$ + Q = 4 pi R^2 sigma. +$ +Ausserhalb der Kugelschale ist durch den Gausschen Satz +$ + arrow(E) (arrow(r)) = Q/(4 pi epsilon_0 r^2 ) hat(r). +$ +Und innerhalb folgt dann +$ + arrow(E) = 0, +$ +da dort keine Ladung eingeschlossen ist. + +Pruefen der Unstetigkeit am Rand der Kugel +$ + E_(+ ) ^(perp) = Q/(4 pi epsilon_0 R^2 ) - 0 \ + = sigma/epsilon_0. +$ + += Loesungen fuer beliebige Ladungsverteilungen + +Betrachte das elektrostatische Potential +$ + arrow(nabla) * arrow(E) = rho/epsilon_0 \ + arrow(nabla) times arrow(E) = 0. +$ +Wir nutzen, dass in einem einfach zusammenhaengenden Gebiet folgt aus $arrow(nabla) * arrow(E) = 0$, dass es ein skalares Feld $phi$ gibt mit +$ + arrow(E) = - arrow(nabla) phi. +$ +Hier wird $phi$ als elektrostatisches Potential bezeichnet. +#definition[ + Einfach zusammenhaengendes Gebiet $G subset RR^3 $. Jede geschlossene Kurve in $G$ laesst sich in $G$ auf einen Punkt zusammenziehen. Dieses ist dann *Nullhomotop*. +] +Es folgt also +$ + arrow(nabla) times arrow(E) = arrow(nabla) times (- arrow(nabla) phi) = 0. +$ +Verbleibende Gleichungen der Elektrostatik +$ + arrow(nabla) * arrow(E) = arrow(nabla) * (- arrow(nabla) phi) = - Delta phi = rho/epsilon_0. +$ +Der Laplace Operator +$ + Delta = diff^2 / (diff x ^2 ) + diff^2 / (diff y ^2 ) + diff^2 / (diff z ^2 ). +$ +Die Poissongleichung +$ + Delta phi = - rho/ epsilon_0. +$ +In Regionen wo die Ladungsdichte verschwindet gilt +$ + Delta phi = 0. +$ + +#remark[ + + $phi$ ist bis auf eine lineare Funition eindeutig definiert $phi (arrow(x)) -> phi (arrow(x)) + ( a + arrow(b) * arrow(x))$ ist auch eine Loesung. Die Konvention ist hier $phi (arrow(x)) -> ^(abs(arrow(x)) -> oo) 0$ + + Hamiltonfunction fuer Testladung $q$ + $ + H = (arrow(p)^2 ) / (2 m) + q phi (arrow(x)) ==> dot(p)_(alpha) = - (diff H) / (diff x_(alpha) ) = - q (diff phi) / (diff x_(alpha) ) \ + dot(x)_(alpha) = (diff H) / (diff p_(alpha) ) = p_(alpha) /m \ + ==> m dot.double(arrow(x)) = - q arrow(nabla) phi = q arrow(E) + $ + + Die Loesung der Laplacegleichung nennt man harmonische Funktionen. Fuer diese gibt es das Max-Prinzip. + Harmonische Funktionen koennen im Inneren des Definitionsbereiches kein echtes maximum oder Minimum annehmen. Es gilt auch + $ + Delta phi (arrow(x)) = 0 "fuer Definitionsbereich" G. + $ + Deshalb kann es auch keine stationaere Konfiguration fuer Ladungsverteilungen geben. +] + += Potential einer Punktladung + +Es muss gelten +$ + arrow(E) = - arrow(nabla) phi \ + rho (arrow(x)) = Q delta ^((3)) (arrow(x)) \ + ==> Delta phi = - Q/epsilon_0 delta ^((3)) (arrow(x)) \ + phi (arrow(x)) = (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))). +$ +Nachpruefen des Ansatzes +$ + arrow(x) != 0 \ + arrow(nabla) 1/arrow(x) = - (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) \ + ==> Delta 1/arrow(x) = arrow(nabla) * arrow(nabla) 1/arrow(x) = - arrow(nabla) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) \ + = - (1) / (abs(arrow(x))^3 ) arrow(nabla) arrow(x) - sum _(alpha = 1) ^(3) x_(alpha) diff / (diff x_(alpha) ) 1/(abs(arrow(x))^3 ) \ + = - 3/abs(arrow(x))^3 - x_(alpha) ((- 3/2) * 2 x_(alpha) ) / (abs(arrow(x))^3 ) = 0. +$ +Eine kleine Kugel um den Ursprung +$ + integral.vol dif^3 x arrow(nabla) * arrow(E) = integral_(partial V ) dif arrow(s) * arrow(E) \ + = - integral _(partial V ) dif arrow(s) * arrow(nabla) phi \ + = - Q/(4 pi epsilon_0 ) integral _(partial V) dif arrow(s) * arrow(nabla) 1/abs(arrow(x)) = 1/epsilon_0 Q \ + = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral _(partial V) dif arrow(s) * (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) 4 pi R^2 * 1/R^2. +$ + += Elektrisches Feld einer Punktladung + +Es folgt nach Berechnung +$ + arrow(E) (arrow(x)) = - arrow(nabla) phi \ + = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) = (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))^2 ) hat(x). +$ +Dies ist also genau wieder das Coulomb-Gesetz. diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote new file mode 100644 index 0000000..2adc446 Binary files /dev/null and b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote differ diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg new file mode 100644 index 0000000..58671fe --- /dev/null +++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote new file mode 100644 index 0000000..0795a5a Binary files /dev/null and b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote differ diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg new file mode 100644 index 0000000..5017b05 --- /dev/null +++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ new file mode 100644 index 0000000..beb88f8 --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ @@ -0,0 +1,23 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 5, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Diese Vorlesung ist ausgefallen. diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ new file mode 100644 index 0000000..cc014e5 --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ @@ -0,0 +1,108 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 3, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Wiederholung der *Bessel'schen Ungleichung*. Betrachte $f in RR [- pi, pi] \, space c^(k) = 1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi) f (x) e ^(i k x) dif x$ +$ + ==> sum abs(c^(k) )^2 <= norm(f)_(L^2 ) ^2 \ + norm(f)_(L^2 ) ^2 = lr(angle.l f, f angle.r) \ + lr(angle.l f, g angle.r) = 1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi) overline(f (x)) g (x) dif x +$ + +Im Beweis +$ + norm(f - sum _(- n) ^(n) c_(k) e_(k) )^2 = lr(angle.l f - sum c_(k) e_(k) , f - sum c_(k) e_(k) angle.r) \ + = norm(f)^2 - sum abs(c_(k))^2 -> 0 .. (n -> oo) "wenn" sum c_(k) e_(k) "gegen" f "bezueglich" norm(*)_(L^2 ) \ + e_(k) (x) = e ^(i k x). +$ + +Es folgt die *Parseval'sche Gleichung* +$ + norm(f)_(2) ^(2) = lim_(n -> oo) sum_(- n)^(n) abs(c_(k) )^2 \ + ==> sum abs(c_(k) )^2 < oo. +$ +$==>$ Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten. + +#proof[ + Sei $f = sum c_(k) e_(k) \, space g = sum d_(k) e_(k) $. Mit $c_(k) = lr(angle.l e_(k) , f angle.r) \, space d_(k) = lr(angle.l e_(k) , g angle.r)$. + Ist $f != g$ so gilt + $ + 0 != norm(f - g)_(L^2 ) ^2 = sum abs(lr(angle.l e_(k) , f - g angle.r))^2 = sum abs(c_(k) - d_(k) )^2. + $ + Angenommen $c_(k) = d_(k) forall k ==> 0 != 0 $. Widerspruch. + $f ~ g$ bezueglich der $norm(*)_(L_(1) ) :<==> f "und" g "auf Nullmenge verschieden sein duerfen" $. + + Also $f, g in C [- pi, pi] ==>( f != g ==> exists x_0 in [- pi, pi]: f (x_0 ) != g (x_0 ))$. + Parseval $==>$ $sum_(k=1)^(oo) 1/k^2 = pi^2 /6$. + + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg"), +) + + $ + f (x) = x "auf" [- pi, pi] \, space c_(k) = (- 1)^(k) ) i/k \, space k != 0, c_0 = 0 \ + ==> sum_(- oo)^(oo) abs(c_(k) )^2 = 2 sum_(k=1)^(oo) 1/k^2 =^("Parseval") lr(angle.l f, f angle.r) = 1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi) x^2 dif x = pi^2 /3 + $ +] + +Die Schwingende Rechtecksmembran durch den Tayloransatz loesen + +$ + u (t, x, y) = sum _(n = 1) ^(oo) sum_(m = 1)^(oo) (a_(m, n) cos (sqrt(lambda_(n, m) ) c t) + b_(n, m) sin (sqrt(lambda_(n, m) ) c t)) nu_(n, m). +$ + +Cladni-Figuren in Wolframalpha. + += Kreisfoernige Membran + +Wellengleichung +$ + arrow(nabla) ^2 u = 1/v^2 partial _(t) ^2 u. +$ +Produktansatz $==>$ $u = v (t) w (x, y)$. + +Wenn man auf Polarkoordinaten transformiert, dann muessen die Randbedingungen alle erfuellt sein, was man durch den Limes prueft. + +$ + (partial _(x) ^2 + partial _(y) ^2 ) v = - lambda v +$ + +Es wird dann wieder ein Ansatz gemacht +$ + V (r, theta) = R (r) A (theta) \ + ==> (r^2 R'' + v R')1/R + lambda r^2 = - (A'') / (A). +$ + +$ + 1/r partial _(r) (r partial _(r) (R (r) A (theta))) + 1 / r^2 partial _(theta) ^2 (R (r) A (theta)) + lambda R (r) A (theta) = ^(!) 0 +$ + +Potenzreihenansatz als +$ + f (rho ) = sum a_(k) rho^(k). + +$ +Es wird gleichmaessige Konvergenz angennommen. Es folgt +$ + rho^2 f'' (rho) = rho^2 (sum a_(k) k rho ^(k - 1) )' = rho^2 sum a_(k) k (k - 1) rho ^(k - 2). +$ +Nachdem die anderen Teile ausgerechnet wurden kann ein Koeffizientenvergleich gemacht werden. diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote b/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote new file mode 100644 index 0000000..f4636ce Binary files /dev/null and b/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote differ diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg b/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg new file mode 100644 index 0000000..22930a4 --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/book.typ b/book.typ index 486a95a..f67b58a 100644 --- a/book.typ +++ b/book.typ @@ -18,13 +18,17 @@ - #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Wiederholung Wellen] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2] + - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ")[ExIIIVL3] - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft] - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe] - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL2.typ")[Einfuehrung Elektrostatik] + - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL3.typ")[KftVL3] - #chapter("S3/MaPhyIII/index.typ")[MaPhy III] - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Einleitung Fourier und PDE] + - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2] + - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3] - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest] - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]