From 2763e160b92d024b2c13cf1f5c7e17f5dc063e78 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jonas Hahn Date: Fri, 7 Nov 2025 15:40:53 +0100 Subject: [PATCH] Second week without fest --- S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ | 103 ++++++++++ S3/KFT/VL/KftVL3.typ | 182 ++++++++++++++++++ .../drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote | Bin 0 -> 3924 bytes .../drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg | 4 + .../drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote | Bin 0 -> 1007 bytes .../drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg | 4 + S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ | 23 +++ S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ | 108 +++++++++++ .../drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote | Bin 0 -> 644 bytes .../drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg | 4 + book.typ | 4 + 11 files changed, 432 insertions(+) create mode 100644 S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ create mode 100644 S3/KFT/VL/KftVL3.typ create mode 100644 S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote create mode 100644 S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg create mode 100644 S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote create mode 100644 S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg create mode 100644 S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ create mode 100644 S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ create mode 100644 S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote create mode 100644 S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ new file mode 100644 index 0000000..651fc53 --- /dev/null +++ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ @@ -0,0 +1,103 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 3, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Ende der Herleitung der Wellengleichung fuer Schall. + +Kompressibilitaet + +$ + kappa = -1/(Delta p) ((Delta V)/V) \, space K = 1/kappa "Kompressibilitaetsmodul" \ + (Delta V) / (V) = (diff v) / (diff x) Delta t = Delta p ((Delta V) / (V) 1/(Delta p)) \, space (diff v) / (diff t) - 1/rho (diff p) / (diff x) \ + (diff v) / (diff x) = - (Delta p) / (Delta t) kappa = ^(lim_(Delta t -> oo) ) - (diff p) / (diff t) kappa \ + diff / (diff t) (- (diff p) / (diff t) kappa) = diff / (diff t) (diff v) / (diff x) = diff / (diff x) (diff v) / (diff t) = - 1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 ) \ + kappa (diff ^2 p) / (diff t^2 ) = 1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 ) ==> c^2 = 1/ (rho kappa) = kappa/rho \ + (diff p^2 ) / (diff t^2 ) - c^2 (diff p^2 ) / (diff x^2 ) = 0. +$ + +Hier werden Gleichgewichtswerte als Linearisierung genommen. + +Woher kommt $kappa$ beziehungsweise das Kompressibilitaetsmodul $K$? Es gilt + +$ + p V = N k T +$ + +die ideale Gasgleichung. + +Wir rechnen +$ + p V^(gamma) = p_0 V_0 ^(gamma) "Adiabatenexponent" \ + gamma = (c_(p) ) / (c_(V) ) = (f + 2) / (f) = 1.4 "bei Luft" \ + p = V^(- gamma) p_0 V_0 ^(gamma) \ + (diff p) / (diff V) = - gamma V^(- gamma - 1) p_0 V_0 ^(gamma) \ + ==> K_0 = V (diff p) / (diff V) = - gamma p_0 .. "beziehungsweise" .. K_(0) = 1/(gamma p_0 ) \, space p = rho k T \ + c_(s) = 1/(sqrt(rho k)) = sqrt((gamma p_0 ) / (rho_0 ) ). +$ +Fuer Luft folgt +$ + c_(s) approx sqrt((1.4 10^(5) ) / (1.25) ) ("m") / ("s") = sqrt((1.4 * 10 ^(4) ) / (1 * 12.5) ) = 3.35 * 100 ("m") / ("s") = 335 ("m") / ("s"). +$ + +Druck und Dichte sind alle durch harmonische Wellenfunktionen gegeben. Die Linearisierung des Drucks ist durch die enorm kleineen Schwankungen gerechtfertigt. + +Schallschnelle $v$ und Impedanz (Wellenwiderstand) $z = p/v$. Dann ist +$ + I = p v = z v^2 = p^2 /z \ + d W = arrow(F) * d arrow(s) \ + [I] = ("J") / ("m"^3 ) ("m") / ("s") = "W" 1/"m"^2 . +$ +Schall kann anhad der Frequenz und der Schalldruck Amplidude klassifiziert werden. Die Lautstaerke ist eine Logarithmische Funktion des Schalldruckpegels. Es ist fuer den Schalldruckpegel +$ + L_(p) := 10 log_(10) (p^2 ) / (p_(s)^2 ) = 20 log_(10) p/p_(s) \ + [L_(p) ] = "dB"\ + L := 10 log_(10) (I (nu)) / (I_("min") (nu)) \ + [L] = "Phon" +$ +Wie funktioniert das Hoeren anhand der Physiologie? + +Helmholtz +$ + arrow(nabla) ^2 u + k ^2 u = 0 \ + u (arrow(r)) * e ^(i omega t) . +$ +Raummoden visualisieren. + +== Schallwellen in Festkoerpern + +Wir fuehren den Spannungstensor ein. Der Festkoerper reagiert auf die Spannung $sigma = F/A$ mit Dehnung $epsilon = (diff xi) / (diff x) $ $epsilon_(i j) = (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) $ +$ + underbrace(sigma, "Matrix") = underbrace(E, "Tensor 3. Stufe") .. underbrace(epsilon, "Matrix") .. "Hooke". +$ +$F$ ist die Kraft und $A$ die Flaeche. +$sigma$, $epsilon$ sind Tensoren und $E$ ist der Young'sche Modul. + +Wir stellen uns Massen und Federn in einem Gitter vor. Alle Potentiale koennen als Parabel genaehert werden und somit als Feder modelliert. Wir definieren das Verzerrungsfeld +$ + xi (x, y) \ + ==> epsilon_(i, j) = (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) . +$ +Bei Stahl ist $E tilde.equiv 2 * 10 ^(11) ("N") / ("m"^2 ) ("Pa") = 210 "GPa"$. +Es folgt fuer die BWGL +$ + Delta m dot.double(xi) = A Delta sigma = A E ( epsilon (x + Delta x) - epsilon (x)) \ + epsilon A Delta x dot.double(xi) = A (diff sigma) / (diff x) Delta x ==> dot.double(xi) = E/sigma xi'' \, space c = sqrt(E/sigma) +$ diff --git a/S3/KFT/VL/KftVL3.typ b/S3/KFT/VL/KftVL3.typ new file mode 100644 index 0000000..033775a --- /dev/null +++ b/S3/KFT/VL/KftVL3.typ @@ -0,0 +1,182 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 3, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Elektrostatik +$ + arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) = (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 ) \ + arrow(nabla) times arrow(E) (arrow(x)) = 0. +$ +In der Ebene gilt +$ + arrow(E) (z) = sign z (sigma) / (2 epsilon_0 ) hat(z). +$ +Verallgemeinerung fuer beliebige Flaechen. Wir koennen keine allgmeeine Formen angeben. Es lassen sich aber Aussagen ueber die unmittelbare Naehe treffen. Wir betrachten eine Flaeche $A$ mit Normalenvektor $hat(n)$ und Ladungsdichte $sigma$ und einem elektrischen Feld $arrow(E)$. Wir setzen einen Zylinder mit der Hoehe $h$ in die Ebene. Es gilt +$ + integral.surf _(partial V) dif arrow(s) * arrow(E) = (sigma A) / (epsilon_0 ) \ + lim_(h -> 0) ==> (sigma A) / (epsilon_0 ) = ( hat(n) * arrow(E)_(+) - hat(n) * arrow(E)_(-) ) * A \ + ==> hat(n) * arrow(E)_(+) - hat(n) * arrow(E)_(-) = sigma/epsilon_0. +$ +Das elektrische Feld hat also einen Sprung von $sigma/epsilon_0 $ an einer leitenden Ebene. + +Wir betrachten eine Schleife $S$ + + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg"), +) +in der Seitenansicht von einer Ebene. Es gilt +$ + integral.cont_(S) dif arrow(r) * arrow(E) = integral _(partial S) dif arrow(s) (arrow(nabla) times arrow(E)) = 0 \ + a -> 0 ==> L (E_(+) ^(parallel) - E_(-) ^(parallel ) ). +$ +Die Parallelkomponente des Feldes bleibt also stetig. + +Wir betrachten zwei parallele Ebenen + + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg"), +) + +#remark[ + Alle Gleichungen der Elektrostatik sind linear $==>$ Die Loesungen fuer die Felder koennen nach dem *Superpositionsprinzip* addiert werden + $ + arrow(E)_(1), arrow(B)_(1) "Loesungen fuer" rho_(1) arrow(j)_(1) \ + arrow(E)_(2), arrow(B)_(2) "Loesungen fuer" rho_(2) arrow(j)_(2) \ + ==> arrow(B) = arrow(B )_(1) + arrow(B)_(2) and arrow(E) = arrow(E)_(1) + arrow(E)_(2) "sind Loesungen fuer" rho = rho_(1) + rho_(2) and arrow(j) = arrow(j)_(1) + arrow(j)_(2). + $ + Die Elektrostatik ist deshalb eine einfache Theorie, da sie linear ist. +] + +In der Mitte der beiden Platten ist ein Feld von +$ + arrow(E) = sigma/epsilon_0 hat(z). +$ +Aussherhalb ist es feldfrei. + += Kugelschale + +Wir betrachten den Rand einer Kugel mit Radius $R$. Auf der Kugelschale ist gleichmaessig $sigma$. Die Gesamtladung ist +$ + Q = 4 pi R^2 sigma. +$ +Ausserhalb der Kugelschale ist durch den Gausschen Satz +$ + arrow(E) (arrow(r)) = Q/(4 pi epsilon_0 r^2 ) hat(r). +$ +Und innerhalb folgt dann +$ + arrow(E) = 0, +$ +da dort keine Ladung eingeschlossen ist. + +Pruefen der Unstetigkeit am Rand der Kugel +$ + E_(+ ) ^(perp) = Q/(4 pi epsilon_0 R^2 ) - 0 \ + = sigma/epsilon_0. +$ + += Loesungen fuer beliebige Ladungsverteilungen + +Betrachte das elektrostatische Potential +$ + arrow(nabla) * arrow(E) = rho/epsilon_0 \ + arrow(nabla) times arrow(E) = 0. +$ +Wir nutzen, dass in einem einfach zusammenhaengenden Gebiet folgt aus $arrow(nabla) * arrow(E) = 0$, dass es ein skalares Feld $phi$ gibt mit +$ + arrow(E) = - arrow(nabla) phi. +$ +Hier wird $phi$ als elektrostatisches Potential bezeichnet. +#definition[ + Einfach zusammenhaengendes Gebiet $G subset RR^3 $. Jede geschlossene Kurve in $G$ laesst sich in $G$ auf einen Punkt zusammenziehen. Dieses ist dann *Nullhomotop*. +] +Es folgt also +$ + arrow(nabla) times arrow(E) = arrow(nabla) times (- arrow(nabla) phi) = 0. +$ +Verbleibende Gleichungen der Elektrostatik +$ + arrow(nabla) * arrow(E) = arrow(nabla) * (- arrow(nabla) phi) = - Delta phi = rho/epsilon_0. +$ +Der Laplace Operator +$ + Delta = diff^2 / (diff x ^2 ) + diff^2 / (diff y ^2 ) + diff^2 / (diff z ^2 ). +$ +Die Poissongleichung +$ + Delta phi = - rho/ epsilon_0. +$ +In Regionen wo die Ladungsdichte verschwindet gilt +$ + Delta phi = 0. +$ + +#remark[ + + $phi$ ist bis auf eine lineare Funition eindeutig definiert $phi (arrow(x)) -> phi (arrow(x)) + ( a + arrow(b) * arrow(x))$ ist auch eine Loesung. Die Konvention ist hier $phi (arrow(x)) -> ^(abs(arrow(x)) -> oo) 0$ + + Hamiltonfunction fuer Testladung $q$ + $ + H = (arrow(p)^2 ) / (2 m) + q phi (arrow(x)) ==> dot(p)_(alpha) = - (diff H) / (diff x_(alpha) ) = - q (diff phi) / (diff x_(alpha) ) \ + dot(x)_(alpha) = (diff H) / (diff p_(alpha) ) = p_(alpha) /m \ + ==> m dot.double(arrow(x)) = - q arrow(nabla) phi = q arrow(E) + $ + + Die Loesung der Laplacegleichung nennt man harmonische Funktionen. Fuer diese gibt es das Max-Prinzip. + Harmonische Funktionen koennen im Inneren des Definitionsbereiches kein echtes maximum oder Minimum annehmen. Es gilt auch + $ + Delta phi (arrow(x)) = 0 "fuer Definitionsbereich" G. + $ + Deshalb kann es auch keine stationaere Konfiguration fuer Ladungsverteilungen geben. +] + += Potential einer Punktladung + +Es muss gelten +$ + arrow(E) = - arrow(nabla) phi \ + rho (arrow(x)) = Q delta ^((3)) (arrow(x)) \ + ==> Delta phi = - Q/epsilon_0 delta ^((3)) (arrow(x)) \ + phi (arrow(x)) = (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))). +$ +Nachpruefen des Ansatzes +$ + arrow(x) != 0 \ + arrow(nabla) 1/arrow(x) = - (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) \ + ==> Delta 1/arrow(x) = arrow(nabla) * arrow(nabla) 1/arrow(x) = - arrow(nabla) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) \ + = - (1) / (abs(arrow(x))^3 ) arrow(nabla) arrow(x) - sum _(alpha = 1) ^(3) x_(alpha) diff / (diff x_(alpha) ) 1/(abs(arrow(x))^3 ) \ + = - 3/abs(arrow(x))^3 - x_(alpha) ((- 3/2) * 2 x_(alpha) ) / (abs(arrow(x))^3 ) = 0. +$ +Eine kleine Kugel um den Ursprung +$ + integral.vol dif^3 x arrow(nabla) * arrow(E) = integral_(partial V ) dif arrow(s) * arrow(E) \ + = - integral _(partial V ) dif arrow(s) * arrow(nabla) phi \ + = - Q/(4 pi epsilon_0 ) integral _(partial V) dif arrow(s) * arrow(nabla) 1/abs(arrow(x)) = 1/epsilon_0 Q \ + = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral _(partial V) dif arrow(s) * (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) 4 pi R^2 * 1/R^2. +$ + += Elektrisches Feld einer Punktladung + +Es folgt nach Berechnung +$ + arrow(E) (arrow(x)) = - arrow(nabla) phi \ + = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(x)) / (abs(arrow(x))^3 ) = (Q) / (4 pi epsilon_0 abs(arrow(x))^2 ) hat(x). +$ +Dies ist also genau wieder das Coulomb-Gesetz. diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..2adc4466f322c036702a937fb5a28c795c94cf18 GIT binary patch literal 3924 zcmV-a53BGWiwFP!00000|LvXKZkxFghHs_#j$MI2!$03f4;O)<*s?9GEE)RQO*Y8A z_njf-xGlQP%N#7W?E)JovYwCRa7YekhWx%Pzif`D?P0&%E^g(+$}Km`!}`2lZoe#> z{nK{8xjXIGuczn3SwDI>++SWcd;9yR<<_m-&GLEt{B`?qeqL@%i>u=N&GNk2K0V`` z-iNSC;bwU}9ADOk{>QIAyl$7ofJ2 zAU>||e||b1F8c>9=6!iyEBG{iejGpFN_t(N&zqyxdVkn&mbVY?PTSu$%k57Q;=a*8 zK79MtKecAGrTxp(@%Y{P^Wg%aEsxtzn}_~TGzGnN_j)*ORbXh~<9c_}M%=GoHb?8$ z!{g&=1MVkjtK^c13r%7RIprHkan*9IULZ8*Ttn4HZGH0<74XjW8vk}Uyezk26;o+a za>Fn1Ur-63kB6T(Xv)hg+Py!c7C(Jiep&A>c+UQ^+ueNAI>_nmS6`No$II!tsY?@%N<$9XUu6DL$o(&z%jYs2XZVo&vrL#$RHv7)XL~~2-Y^*%nM!A8PRdH#s zeD{{oMLzOql+HR{%tg9JhQ^Dz{l&kBS5i&348oFkL#1H%$ zyJiI8C!9La$SY*cGFTohLootB?(3K$gXa~pxjttE$17wDT{C>+rQBlI3}1OMx8w)Q zYh=s4dwt>isEt1InbpX+^4djd)uhsBO4-=xdA4e?f}Ub)EGsYBSZO@lj78Nw%chlB zb4{yhw)arLxMxL`SJk@6gQd}Cb_T3Px`$xs3FeI4&{J%=4MqY)mFp@tau6j48wCSD zqwa~UbMjd5F#vPY)r@3e#k$Tqc9H~JO;%7zM-F@#+tH(sa@5@l%@#3K99w0Kq5!SR zm^+%MS*hOG>@&?KUGTxuBQT+Bs*1{^&Y5P5&&Ebp%GiR&UaS+I)%89*m}ZSen_App zeP(;8tdg>+p@-OV>&kmE)+e5|0f?WKwdYV?@X6TBS_@zkw))BnJ2!(hO9O1Iq=kdN z3DVn3+n`|6XfM5LgRR!Tn55Y%dkjF3(2$yG)Rq&lF|ce{Nvy`YL=Ga%Z&9?h8Ga$Q zxdN@K#yW{K+jJl#Yz5g4f=y%{lu%_FEv8e6-z{f#C^Ta|-CC1wXGs$JP*ui)9U05k zRgz?^ux18KlcKgdSjW0x3PzAkEOk9CRNC*0Xa)QD5RIu&VyY~d!!eChgr(o4|!Pwk*wuanU)~8r>#qX%_Xi1~WY;!9X?K;Y3 zryQ^_5(Y~S-wOLNgvoL}T#9Y5MME6t)?2TS%*#jy3){`EAQ>L^zN%{E)N zm1X-#R<>*_Dm0qSj+|p_yf&Adtt!^*>j<1+CC!&xoJ_MV&(>Ler)io^5~tak$|PH` za>_KDe4A!#_LD63G_FmvN#@IK)B22kU@6mV@pX=E_(q&%y?Rk5Sq?qNmwn$}Bo(k*qqKyB9W)SuM)e(p{;^v2{i`z)ZVgXl2Krdl7lzEmntK2L&gPS z2rDbLA*9e~G}mk_ISvB68f}E-e4<$ytOOdZ>XWocBB@hBG*!?7m?0*bP1m?-V(Y9C zjMU?`mF-(iRqFBSEIg~rAHqhCon1p&bu!Y0!dCBL{8nkQT)Yl_Oc{`E#23Lq@fsz}-$qd@a!mnOEM8OsAM>wpm)V_A*;;!E{`V zEskef43<&GW_HC`H7mq2*&MlkMKu$Gp*hlMNj>Gyvxc1D8$K9Y$qbw*8vd{(MPcnY zpfVCkD{HrkMnAM%O?dD$n=M_p@-jdYjXsy4dt8gwSfq)qbJhKqv5i(q^#@{FN2Dn>8ntslKxx&$ zb~CEwiy)PwS(tHp3<|99Xw(J2d4A5&OhXMoAU5V$4@!=GE2eQZGQ-i5zcuXuaW%*8 zc6AF@J1gXAGu_aHkc?%Ia9EPPjzGlZLSyS(?Cd1a%z92W>CZG$bM47V1Dg`B@fNTl z^K3CuB^V22ow1?Gqt1mzz0Na+w!pKRF0aR+$#gP1s1iEs*{Qi`+MG9*?I7FDh@tE$ zQ#(qeD-qZn*ych+xwC~lIHGKEovoE^FLr=7&1sa0oHMXF$eNm^@nv>3(anL{MiyWu zS8X-$)wvB;SkFQo-d?b5_N!UxsT!ME3#W$ei3H1@Eig8ASygt=3)|D#%3J9}RBAvb z&A$N~$iqEq$wl3#H$6nfmJ3~MolTxC7yE?L+nXyn2Gyd{jNPU#%}ld)x}a(BghSOj zvF-)R8iP$;id|HV-7mvT5RFYWL?Fm>7`D_~_hLQsJbOi1GMN(wWMFsNIw#wL-_U4s z4C!3qyP((;9H#%h%Isk?W$Nf3Y*HvzoKuhbO@BrrS+72y&Q=nIS3v#6Kw0m&ID{=U zsHH3!5Q9q&YFIl<+Bf20ipA1dy1i5lbDwn!W- zsZ@yF`#gst{GP^4#k0O2<(*=KUX3!z#$ja4u-L51G}>gAP2DL!qZvW7*CsU*A!+aY zBwKsZ&LkV(w3%hGSZA4I5#yCGIRX)=wZrsNEF!gKwp@5YXLUm(rfCw*SJQ|`OHXf_ zVxd*pPqVY7ssUK1*%BuE2Qkl9CUpt{MDHghg&?5#$uT6F;5&&T=HX`9+(Rx?tS-E5 znyuI2M|#Nwp{;mbc|FTw8&!LIGZ_w7wv3fGk#1^1Xe;DCjD&43;!`1YHjoK-%8GPZ zv6n%KW%l;r%O2JiyXU0u?;GishkW2Z=`M*%y4FQ690|Q#Ht9}M?iUZJ3&sVSt(xYf zTi?v;h9HinywmX+>`x?3<$uvw2WsXLO4w+bRuSx<^KJ7Pz&zF#?_ zu3OeW0JengGNyGh>y3HI*v#sN<|b+ijvi+svxda(7#a})b`09RNZQ`S_pe@QVJ00M z1(j`Y9!?E4-AR4U*UcP4a}sE_nq6k$43dQl)y#bjCz7a6tvwPLYNOehdn7QBdFO)g zR!lwe$=<#rh*3pT4Nu=CrEIk&#nY)4Qo>tsI(n9kJ=f5J;)P~Q>aloFX1~HbS_QQx z;q7L<>&n`-v9-}x&MI45&s%V;KSeVIN3KQnG@8{l2s9>^)zq$@S(0heG7o?j)@P+T zhL(ea^@K%B&wWMYMue5Ir5IYuQA;!`wI@0WJKYqGdU#`9V5_XziN%t$u-T{C?0RBX zU}skgUPensOJq)pvXVRN$bhS|maaRIxF?$0sG`zqJUors(YUI&4po{>mf?tIPq237 z2)fF7zRp!M*D)e8yU9>?TnWs^E{(MdFB9gBNV7eIJRzPw!FtQauHXS`Dhevx-?;CcTtAvazoq?@Zf3S*vhcMH>5vG^xyO}b=uw6pp|11(6Vw#YpZV9X1C>bqw_Fp5* zGozD2BGm1NH zj@!rOrhnRByQS${C86zt3T)3tlD>q6XZpZ5I?Z{xLF zHw)VRw0XF*ny=621~-e>p+h*9s{>0=tY69Kp1%Wn9}%o_asU9Rp~~L? literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg new file mode 100644 index 0000000..58671fe --- /dev/null +++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-30-30.rnote.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..0795a5a464c5e86985a3e9899009f690f56b6b60 GIT binary patch literal 1007 zcmV(eU-|8%eDM%oL9MuB5q<5v;;>6?#D)X_Z|cJ z*xPnDWz}}2L`s0c-<$^MjkxkJRWN{?E*;b8TwM}toccDwB zO<4DP-wfyPWWgxQ$j5Yit2W(^EUc5%GM7)!=al)MHbGa zX+x|Ku;|7l4b~?UH$4jI`(RDtiteeny zaxtvh>Z>PEq^s~I)`h;e};{G%{rmu^S(1SEmR_}f@P6{Ykt<@p4RU!-k%c5=* zh;^~|aah(+maT{1^V2{uXNnpvxy_Z)+*oap&Xggy(hWn{nB~_H_9?zo;Mu}Fe7H)q zb}@YM$bWwT*rr41=OcM7>K+p{eO+f)sezo!ts}@U4t{jMT&9yE#_%>+x+120B{CJ( zSf(X{a;sD(C8I_dg9M$mxsyn;s}93pL1msRC2ek;Vk#3HgbI9^Vuo?4mZu@_k9v%| z4~`(Ts;=)E&PJ(3-?n{3gg(9^9a5w6ibzhUl;eds z{ta=RfA6lmr7JiV&;Tl=X;ZZgG?pdiN{fkz?B;vE7P+P>7nv}Ma%Pf!iJ)n|)rFlh zG~KE!_En8?C#{cFNwU#8Y9;lK$?!H+vu0<@G!2P<+t+}Vk^7n47w_k#z%mcF>T27J zU1-uqMu2#WA{dfJDaGog?|jnW@_P*ao%HH~v8(d5hIE{Rge+wW8uO_ad^Z22oVYrd zyOCldLh=7tQ};5W0NFX42_b1N&6N_XsMF?Re=JTMMI!}vaA2-7K?kDNY805JRy-6X zGUrq=3FxR0=dLo5_!D8`Vt*t~w3O*TYrwAZ{HAo|uvHPlQlTG<6KSx|U>dt2=tbSM z6KSc&4)JV%EKYKYO%1SPC*#Dmod~oUjlGZIH0S!UI6>c#xw&A!=ma|hDfL5glCW!$ zIC1D3SDk1Dd!A=WFFb#&exlGXgmIZv*p{*@C!g&<$%(-u$cT`0Ibq~h{|e6mPrtR* zc7NZ~z*G7;8$MC=e>@KSnAU&uq2Mp+{QV!$`3;-OQ0}k+!h^Kb@-f&%xvh6GG-1x` zfb<$@c)8&R2tDXnO;_xDtA;wA=O*X5sd;XCo|~EHX6L!(^W5A#H_m4I&D05>DHJ|a dDg0ikEN|+jZ@M%D@77MIKLG2=UQDJH002HP`xyWL literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg new file mode 100644 index 0000000..5017b05 --- /dev/null +++ b/S3/KFT/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-14-36-36.rnote.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ new file mode 100644 index 0000000..beb88f8 --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ @@ -0,0 +1,23 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 5, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Diese Vorlesung ist ausgefallen. diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ new file mode 100644 index 0000000..cc014e5 --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ @@ -0,0 +1,108 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 3, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Wiederholung der *Bessel'schen Ungleichung*. Betrachte $f in RR [- pi, pi] \, space c^(k) = 1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi) f (x) e ^(i k x) dif x$ +$ + ==> sum abs(c^(k) )^2 <= norm(f)_(L^2 ) ^2 \ + norm(f)_(L^2 ) ^2 = lr(angle.l f, f angle.r) \ + lr(angle.l f, g angle.r) = 1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi) overline(f (x)) g (x) dif x +$ + +Im Beweis +$ + norm(f - sum _(- n) ^(n) c_(k) e_(k) )^2 = lr(angle.l f - sum c_(k) e_(k) , f - sum c_(k) e_(k) angle.r) \ + = norm(f)^2 - sum abs(c_(k))^2 -> 0 .. (n -> oo) "wenn" sum c_(k) e_(k) "gegen" f "bezueglich" norm(*)_(L^2 ) \ + e_(k) (x) = e ^(i k x). +$ + +Es folgt die *Parseval'sche Gleichung* +$ + norm(f)_(2) ^(2) = lim_(n -> oo) sum_(- n)^(n) abs(c_(k) )^2 \ + ==> sum abs(c_(k) )^2 < oo. +$ +$==>$ Eindeutigkeit der Fourierkoeffizienten. + +#proof[ + Sei $f = sum c_(k) e_(k) \, space g = sum d_(k) e_(k) $. Mit $c_(k) = lr(angle.l e_(k) , f angle.r) \, space d_(k) = lr(angle.l e_(k) , g angle.r)$. + Ist $f != g$ so gilt + $ + 0 != norm(f - g)_(L^2 ) ^2 = sum abs(lr(angle.l e_(k) , f - g angle.r))^2 = sum abs(c_(k) - d_(k) )^2. + $ + Angenommen $c_(k) = d_(k) forall k ==> 0 != 0 $. Widerspruch. + $f ~ g$ bezueglich der $norm(*)_(L_(1) ) :<==> f "und" g "auf Nullmenge verschieden sein duerfen" $. + + Also $f, g in C [- pi, pi] ==>( f != g ==> exists x_0 in [- pi, pi]: f (x_0 ) != g (x_0 ))$. + Parseval $==>$ $sum_(k=1)^(oo) 1/k^2 = pi^2 /6$. + + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote.svg"), +) + + $ + f (x) = x "auf" [- pi, pi] \, space c_(k) = (- 1)^(k) ) i/k \, space k != 0, c_0 = 0 \ + ==> sum_(- oo)^(oo) abs(c_(k) )^2 = 2 sum_(k=1)^(oo) 1/k^2 =^("Parseval") lr(angle.l f, f angle.r) = 1/(2 pi) integral _(- pi) ^(pi) x^2 dif x = pi^2 /3 + $ +] + +Die Schwingende Rechtecksmembran durch den Tayloransatz loesen + +$ + u (t, x, y) = sum _(n = 1) ^(oo) sum_(m = 1)^(oo) (a_(m, n) cos (sqrt(lambda_(n, m) ) c t) + b_(n, m) sin (sqrt(lambda_(n, m) ) c t)) nu_(n, m). +$ + +Cladni-Figuren in Wolframalpha. + += Kreisfoernige Membran + +Wellengleichung +$ + arrow(nabla) ^2 u = 1/v^2 partial _(t) ^2 u. +$ +Produktansatz $==>$ $u = v (t) w (x, y)$. + +Wenn man auf Polarkoordinaten transformiert, dann muessen die Randbedingungen alle erfuellt sein, was man durch den Limes prueft. + +$ + (partial _(x) ^2 + partial _(y) ^2 ) v = - lambda v +$ + +Es wird dann wieder ein Ansatz gemacht +$ + V (r, theta) = R (r) A (theta) \ + ==> (r^2 R'' + v R')1/R + lambda r^2 = - (A'') / (A). +$ + +$ + 1/r partial _(r) (r partial _(r) (R (r) A (theta))) + 1 / r^2 partial _(theta) ^2 (R (r) A (theta)) + lambda R (r) A (theta) = ^(!) 0 +$ + +Potenzreihenansatz als +$ + f (rho ) = sum a_(k) rho^(k). + +$ +Es wird gleichmaessige Konvergenz angennommen. Es folgt +$ + rho^2 f'' (rho) = rho^2 (sum a_(k) k rho ^(k - 1) )' = rho^2 sum a_(k) k (k - 1) rho ^(k - 2). +$ +Nachdem die anderen Teile ausgerechnet wurden kann ein Koeffizientenvergleich gemacht werden. diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote b/S3/MaPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-07-10-46-32.rnote new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..f4636ce1f3f7b639a00a7dd3d717ecf4077535da GIT binary patch literal 644 zcmV-~0(<=*iwFP!00000|J_tsZrd;ry$iopVz`Klu3`iRW6?GdSrjNLo8h~6C@GHH z0&U;|{ir^~ZI<^QhjS*+K8+#vq#-~Vr$8#wy6i}ECcZy}-fzd=4dXH9vem}jbn^W? zeZz4$ezXphyL8Ydgd-6v2?--gRRkv2!P%=4*}n{pite z^KBNG8$-DO$?F=*XAsQ_kZEDjf&nZb-(x(L^j4zGn!)lhSyas_K6!+H8jx$BG4tk3 zo?SO#pnmGQ>a)^No9odTwReMG+^@?raVf=@c_+J6;0j=r38p{`;DBglB@Cxh)?hUl zsU%|pQRXn9wbYUdVWifeYsoc7V-(IRs5uf9MzM#>4E(KI5}#r$MS1?8w(ugbAIm6MnStdK@@xBDkmhP0u0yIFojapvO*Wilrq8!ZE7R=|0-Sa{juf@Y9UcBOSx94 zkuP0fg9SyU7L~x3iLc>r<*>D08S46@Yk^Y#Kon%OJEqvjd!BCT*mEE9GpcFCcD%0O eH{zokzt2s4(e0Mi)aPO%kok9kGqo4)1^@snE + + + \ No newline at end of file diff --git a/book.typ b/book.typ index 486a95a..f67b58a 100644 --- a/book.typ +++ b/book.typ @@ -18,13 +18,17 @@ - #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Wiederholung Wellen] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2] + - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ")[ExIIIVL3] - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft] - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe] - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL2.typ")[Einfuehrung Elektrostatik] + - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL3.typ")[KftVL3] - #chapter("S3/MaPhyIII/index.typ")[MaPhy III] - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Einleitung Fourier und PDE] + - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2] + - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3] - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest] - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]