refactor various files

.gitignore

@@ -1,3 +1,15 @@
+# General stuff
 __pycache__/
 typst/
+*.o
+a.out
+
+# Some artifacts
 Hahn_gamma*
+
+# Seperate out all pdfs for now
+*.pdf
+
+# Just the VL PDFs?
+*VL*.pdf
+

README.md

@@ -1 +1,4 @@
-bb
+# Contains the source for my Studies
+
+This repo is split into the study semesters.
+

S1/input.txt

@@ -0,0 +1 @@
+# Input file for the current file of the semester

S2/AGLA/.anki

@@ -0,0 +1 @@
+University::Math::S2

S2/AGLA/.unicourse

@@ -0,0 +1,2 @@
+name: Lineare Algebra und Analytische Geometrie II
+short: AgII

S2/AGLA/VL/AgIIVL1.typ

@@ -0,0 +1,7 @@
+// AGLA template
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 1)
+
+= Uebersicht
+

S2/AGLA/index.typ

@@ -0,0 +1 @@
+= AGLA II

S2/AGLA/preamble.typ

@@ -0,0 +1,14 @@
+#import "../../default.typ": *
+
+#let conf(num: none, ueb: false, body) = {
+	// Global settings
+	show: default
+
+	// Set the header
+	[AGLA II \ Vorlesung #(num)]
+	// Make tcahe outline
+	outline()
+
+	// load the document
+	body
+}

S2/AGLA/template.typ

@@ -0,0 +1,7 @@
+// AGLA template
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 1)
+
+= Uebersicht
+

S2/AnaMech/VL/AnMeVL4.typ

@@ -0,0 +1,132 @@
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 4)
+
+= Grundlagen der Netwon'schen Mechanik
+
++ MP
++ Das Ziel ist die Trajektorie im $RR^n $ (Euklidischer Raum)
+
+Die Wahl des KS (kartesisch)
+- Wahl des Urprungs
+- Orietierung der Achsen
+$
+	arrow(r) (t)= arrow(e)_(x) + y (t) arrow(e)_(y) + z (t) arrow(e)_(z) \
+	= vec(x,y,z)_(x y z) \
+	arrow(r)= r arrow(e)_(r) \
+	r = abs(arrow(r))= sqrt(x^2 + y^2 + z^2 )
+$
+
+Wir betrachten die nicht-relativistische Mechanik, sodass die Zeit absolut ist $t = t'$.  \
+Wir fordern jedoch die Forminvarianz aller physikalischer Gesetze.
+
+Beschleunigte Bezugsysteme werden wir nicht verlangen, dass die selben Gesetze entstehen.  \
++ Die Forminvarianz soll in allen Inertialsystemen gelten.
++ $"KS"= "IS"==> "KS' mit" arrow(v)_("rel") "bewegt auch IS"$
+
+Es gilt, dass in beiden Koordinatensystemen die Kraft gleich die zeitliche Ableitung des Impulses ist.
+
+== Wechsel zwischen IS
+
+Galilei-Tafel
+$
+	t'= t \
+	arrow(r')= arrow(r)-arrow(v)_("rel") t \
+	==> "Newton II invariant"
+$
+
+== Newtons Prinzip der Bestimmtheit
+
++ AWP: $arrow(r) (t_0 ),dot(arrow(r)) (t_0 )==> arrow(r) (t), forall t $
+	- Messwerte zur Zeit $t$: $arrow(r) (r),dot(arrow(r)),...,O(arrow(r),dot(arrow(r)),t) "(QM)"$
+	$==>$ Euklidischen Raum bei mikroskopischen Kraeften
++ Effektive Probleme mit Reibung
+	- Dynamik auf gekruemmten Flaechen
+
+Mathematische Ungenauigkeiten kommen durch eingefuehrte Idealisierungen.
+
+== Newton II
+In der mikroskopischen Physik gilt die Gleichung
+$
+	m dot.double(arrow(r))= arrow(f) (r,dot(arrow(r)),t).
+$
+Die Masse und die Kraefte kommen aus experimentellen Beobachtungen.
+
+== Kraefte
+
+Es gibt jetzt $N$ MP mit den Ortsvektoren $arrow(r)_(i) $.
+$
+	m_i dot.double(arrow(r))_(i) = arrow(f)_(i) (arrow(r)_(j) ,dot(arrow(r))_(j) ,t), j != i.
+$
+Das ergibt 3N Gleichungen.
+
+WICHTIG: Naeherung, welche immer verwendet wurde, die des abgeschlossenen Systems.
+
+Mikroskopisch ufndamentale Kraefte sind die #underline[Gravitaion] und die #underline[Elektro-/Magnetostatik]. Deren Potential ist Proporitional zu $r^(-1) $, d.h. sie sind ein radial Potiential. \
+Die daraus resultierende Kraft ist eine Paarkraft
+$
+	arrow(f)_(i j) = arrow(f)_(i j) (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )).
+$
+
+Actio $= $ Reactio: $arrow(f)_(i j) = -arrow(f)_(j i) $.
+
+Starke Version von Actio gleich Reactio: $arrow(f)_(i j) =  f_(i j) (abs(arrow(r)_(i) -arrow(r)_(j) ))arrow(e)_(i j) , space  f_(i j) = -f_(j i) , space arrow(e)_(i j) = (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) / (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )) $
+
+
+Die kleinen $f$ sind die Kraefte, welche die MP gegenseitig auf sich ausueben und die grossen $F$ sind die globalen externen Kraefte. \
+Allgemeine Form
+$
+	arrow(f)_(i) = sum_(j != i)^(N) arrow(f)_(n) + arrow(f)^("ext") _(i).
+$
+Fuer ein abgeschlossenes System gilt die Naeherung
+$
+	arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(0) space forall i.
+$
+
+= Abgeschlossene Systeme
+- N MP $==>$ $m_i $
+- $m_i != m_i (t)$ Q: Was bedeutet das?
+- Starkes Actio gleich Reactio
+
+== Massenschwerpunkt
+$
+	arrow(R)= (1) / (M) sum_(i=1)^(N) m_i arrow(r)_(i) , space M = sum m_i \
+	M dot.double(arrow(R))= sum m_i dot.double(arrow(r) )_(i) = sum (sum _(j != i) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i) )= sum arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(F)^("ext") \
+	M dot.double(arrow(R))= arrow(F)^("ext") 
+$
+nur geschlossen, falls $arrow(F)^("ext") = "const"$.
+
+$
+	arrow(R) (t)= arrow(V)_(0) (r)+ arrow(r)_(0) 
+$
+
+Damit haben wir nur noch $6N - 6$ Gleichungen zu loesen.
+
+= Gesamtimpuls
+$
+arrow(p)= sum  arrow(p)_(i) =  sum  m_i dot(arrow(r))_(i) \
+dot(arrow(p))= sum m_i dot.double(arrow(r))_(i) =  M dot.double(arrow(R))
+$
+
+$
+	arrow(F)^("ext") = 0 <==> (dif arrow(p)) / (dif t) = 0 , space arrow(p) "erhalten"
+$
+
+== Gesamtdrehimpuls
+
+$
+	arrow(L)&= sum arrow(l)_(i) = sum (arrow(r)times arrow(p)) \
+	&= sum m_i (arrow(r)_(i) times dot(arrow(r)))
+$
+
+$
+	dif / (dif t) arrow(L)= sum  m_i (dot(arrow(r))times dot(arrow(r))+ arrow(r)times arrow(r))= sum arrow(r)times (sum _(i != j) arrow(f)_(i j) +  arrow(f)^("ext") _(i) )\
+	sum arrow(r)times arrow(f)_(i j) = 1/2 sum  (arrow(r)times arrow(f)+ arrow(r)times arrow(f))=  1/2 sum (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )times arrow(f)_(i j) =  arrow(0)
+$
+
+Abgeschlossenes System: $(dif arrow(L)) / (dif t) = arrow(0)$
+
+$arrow(f)^("ext") _(i) != arrow(0) ==> dot(arrow(L))=  sum_(i=1)^(N) (arrow(r)_(i) times arrow(f)^("ext") _(i) )= arrow(N)$
+
+Naechsten Montag weiter in den abgeschlossenen Systemen. Danach die zentral Potentiale.
+

S2/AnaMech/template.typ

@@ -1,4 +1,4 @@
-#import "./preamble.typ": *
+#import "../preamble.typ": *
  
 #show: conf.with(num: 1)
 

S2/CWR/template.typ

@@ -1,5 +1,5 @@
 // Diff template
-#import "./preamble.typ": *
+#import "../preamble.typ": *
  
 #show: conf.with(num: 1)
 

S2/DiffII/VL/DiIIVL4.typ

@@ -0,0 +1,198 @@
+// Diff template
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 4)
+
+
+= Wiederholung
+
+Im $RR^n $ mit $p >= 1$ gilt $norm(x)_(p) = (sum_(i=1)^(n) abs(x_i )^(p)   )^(1/p) $.
+
+Dabei ist $(RR^n , norm(dot)_(p) )$ ein Banachraum. Ein Spezialfall fuer $p=2$ ist das Skalarprodukt.
+
+Q: Erzeugt ein Skalarprodukt immer eine Norm?
+
+= Hilbertraeume
+
+Zur Erinnerung fuer einen Vektorraum $V$ ist ein K-VR mit Skalarprodukt $angle.l dot \, dot angle.r$ und $norm(dot):= sqrt(angle.l dot \, dot angle.r)$, dann gilt:
+$
+	abs(angle.l x \, y angle.r) <= norm(x)dot norm(y) space forall x,y in V.
+$
+
+#lemma[
+	Sei V ein K-VR mit $K in {RR,CC}$ mit Skalarprodukt $angle.l dot\,dot angle.r$. Dann definiert $norm(x)= sqrt(angle.l x\,x angle.r) , space x in V$ eine Norm auf V.
+]
+
+#proof[
+	Dreiecksungleichung anwenden.
+	$
+		norm(x+y)^2 = angle.l x+y \, x+y angle.r =  angle.l x \, x angle.r + angle.l  x \,  y angle.r + angle.l y \, x angle.r +  angle.l y \, y angle.r
+	$
+]
+
+#definition[
+	 Sei V ein K-Vr mit $K in {RR,CC}$ mit Skalarprodukt $angle.l dot \, dot angle.r$. Wir nennen V einen *Hilbertraum* falls V unter der erzeugten Norm $norm(x)= sqrt(angle.l x \, x angle.r) , space x in V$, vollstaendig ist.
+]
+
+#example[
+	- $RR^n $ mit dem Standardskalarprodukt ist ein Hilbertraum.
+]
+
+Ein weiteres Beispiel ist der Folgenraum $l^2 $.
+
+Sei $l^2 := {a = (a_n )_(n in NN): a_n in CC space forall n in NN, sum_(i=1)^(oo) abs(a_n )^2 < oo  }$.\
+Fuer $a in l^2 $ definiere 
+$
+	norm(a)_(2) =  (sum_(n=1)^(oo) abs(a_n )^2 )^(1/2).
+$
+Sind $a,b in l^2 , space N in NN$, so gilt
+$
+	sum_(i=0)^(oo) abs(a_n macron(b_n )) <=^("Cauchy-Schwarz") (sum_(i=0)^(oo) abs(a_n )^2 )^(1/2) (sum_(i=0)^(oo) abs(b_n )^2 )^(1/2) <=  norm(a)^(2) norm(b)^(2).
+$
+Also ist $angle.l a \, b angle.r = sum_(i=0)^(oo) a_n macron(b_n )$ absolut konvergent.
+
+Behauptung: $l^2 $ ist ien C-VR, denn sind $a,b in l^2  , space lambda in CC$ so gilt
+$
+	sum_(i=0)^(oo) abs(a_n +  lambda b_n )^2 <=  sum_( )^(oo) (abs(a_n )^2 + 2 abs(a_n )abs(lambda b_n )+ abs(lambda b_n )^2  ) \
+	<= norm(a)^2 +  2 abs(lambda)norm(a)norm(b)+ norm(b)^2 abs(lambda)^2 < oo.
+$
+
+T: $angle.l  dot \, dot angle.r$ definiert ein Skalarprodukt auf $l^2 $.
+
+#theorem[
+	$l^2 $ ist unter dem Skalarprodukt $angle.l a \, b angle.r =  sum_( )^(oo) a_n macron(b_n )$ ein Hilbertraum.
+]
+
+#proof[
+	Sei $a^(k) =  (a_n ^(k) )_(n in N)$ eine Cauchy-Folge im $l^2 $. \
+	Fuer $epsilon > 0$ wahle $N in NN$ sodass $norm(a^(k) - a^(l) )_(2) < epsilon space forall n, l <= N$. \
+	Dann gilt fuer $k,l >= N , space n in NN$
+	$
+		abs(a_n ^(k) - a_n ^(l)   ) <= sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n ^(l) )^2 = norm(a^(k) - a^(l) ) < epsilon^2 .
+	$
+	Es folgt dass $(a_n ^(k) )_(n in NN) $ fuer jeder $n in NN$ eine Cauchy-Folge ist, sei $a_n =  lim_(k -> oo) a_n ^(k) in CC , space a =  (a_n )^(n in NN)  $.
+
+	Betrachte $m in NN$ und $k,l >= NN$. Dann gilt
+	$
+		sum_(i=0)^(oo) abs(a_n^(k) - a_n ^(l)  ) ^2 < epsilon^2.
+	$
+	Im Grenzwert $l -> oo$ folgt $sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n )^2 < epsilon^2 space forall m in NN forall k >= N$. Im Grenzwert $m ->  oo$ folgt $sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n )^2  <= epsilon^2 space forall k >= N $, also $a^(k) - a in l^2 $ und damit $a in l^2 $. Aus der zweiten Ungleichung folgt ausserdem, dass $lim_(n -> oo) a^(n) =  a$ in $l^2 $.
+]
+
+Nun folgt eine Anwendung.
+
+#definition[
+	Sei X eine Menge, $(Y,d_(y) )$ eine vollstaendiger metrischer Raum und $f_n: X ->  Y , space n in NN$ eine FOlge von Abbildungen. Wir sagen, dass $(f_n )_(n in NN) $ gleichmaessig konvergent ist, falls gilt
+	$
+		forall epsilon > 0 exists N in NN forall x in X forall k,l >= N: d_(y)  (f_k (x), f_(l) (x)) < epsilon.
+	$
+]
+
++ Ist $(f_n )_(n in NN)$ gleichmaeig konvergent, so ist $(f_n (x))_(k in NN)$ fuer jedes  $x in X$ eine Cauchy-Folge, d.h. $exists f (x) := lim_(n -> oo) f_n (x) space forall x in X $.
++ Ist $(f_n )_(n in NN) $ gleichmaessig konvergent mit $f (x) =  lim_(n -> oo) f_n (x) , space x in X$ so gibt es fuer jedes $epsilon>0$ ein $N in NN$ sodass $d_(y) (f (x), f_n (x))<epsilon space forall n >=  N forall x in X$.
+
+#proof[
+	Bilde den Grenzwert $k ->  oo$ in der Definition einer gleichmaessig konvergenten Folge von Abbildungen und verwende
+	$
+		lim_(n -> oo) d_(y) (f_n (x), f_(l) (x))= d_(y) (lim_(n -> oo) f_n (x), f_(l) (x)).
+	$
+	Dabei wird benutzt, dass
+	$
+		abs(d (x_k ,y)- d (y,y)) <= d (x_k x).
+	$
+]
+
+#example[
+	Sei $P (z) =  sum_( )^(oo) a_n z^(m) $ eine Potenzreihe mit $a_n in CC$, Konvergenzradius $r (P) >0$ und $0 < delta<r (P)$. So konvergiert die Funktionenfolge
+	$
+		P_n; B_(delta) -> CC
+	$
+	#highlight[TODO: finish on why this series converges]
+]
+
+Q: Sei $A in M_(m times m) $. Koennen wir aehnlich $sum_(i=0)^(oo) a_i A^(i) $ definieren?
+
+_PAUSE_
+
+= Operatornorm
+
+Wie kann man eine sinnvolle Norm fuer Matrizen $A in M_(n times m)$ (Operatoren) definieren?
+
+Wie kann ich eine Konvergez fuer die lineare Abbildung $sum_(i=0)^(oo) a_i A^(i) $ definieren?
+
+#definition[
+	Seien $(V,norm(dot)_(V) ),(W,norm(dot)_(W) )$ normierte K-VR und eine lineare Abbildungen $A: V ->  W$ gegeben. Wir nennen A *beschraenkt*, falls es eine positiv reele Konstante $C$ gilt, sodass $norm(A x)_(W) <= C norm(x)_(V) space forall x in V $. \
+	Ist A beschraenkt, so defninieren wir die *Operatornorm* von A durch
+	$
+		norm(A) := sup_(x in V \ x != 0)  (norm(A x)_(W) ) / (norm(x)_(V) ).
+	$
+]
+
+#example[
+	Betrachte $A = mat(
+		3, 0;
+		0, 2;
+	)   $   als  lineare Abbildung $RR^2 ->  RR^2 $ mit $norm(dot)_(2) $ auf $RR^2 $. Dann gelten die Aussagen
+	$
+		norm(A x)_(2) =  sqrt((3 x_1 )^2 + (2 x_2 )^2 ) <= 3 norm((x_1 ,x_2 ))_(2) space forall x in RR^2 \
+		norm(A e_1 )_(2) = norm((3,0))_(2) = 3 norm(e_1 )_(2),
+	$also ist $norm(A) = 3$.
+]
+
+#remark[
+	Eine lineare Abbildung $A: V -> W$ zwischen K-VR $V,W$ nenn wir auch linearen Operator.
+]
+
+#lemma[
+	Seien $(V,norm(dot)_(V) ),(W,norm(dot)_(W) )$ normierte K-VR, $dim V < oo$ und $A: V ->  W$ eine lineare Abbildung. Dann ist A beschraenkt.
+]
+
+#proof[
+	Die erste Intuition ist, dass durch die endliche Dimension und die Linearitaet die Aussage entsteht.
+
+	Fuer $x in V$ sei $norm(x)= norm(x)_(V) +norm(A x)_(W) $. Dann ist $norm(dot): V ->  RR^(+) $ eine Norm auf V (Task).
+	Nach Satz folgt, dass es ein $C>0$ gibt sodass
+	$
+		norm(x) <= C norm(x)_(V)  space forall x in V. \
+		==> norm(A x)_(W)  <= C norm(x)_(V) space forall x in V.
+	$
+
+	Man kann den Beweis von den Aequivalenzen von Normen verwenden.
+]
+
+Ein Beispiel fuer einen unbeschraenkten lineare n Operator ist
+
+Der Startraum ist hier $V = C^(1) ([0,1])$. Und der Endraum $W = CC$.\
+Mit der verwendeten Norm $norm(f)= sup_(t in [0,1]) abs(f (t))$.
+
+Nun ist die Abbildung $A: V ->  W$ gegeben durch $A f := f'(0)$. Dann ist A nicht beschraenkt, da Oszillierende Funktionen wie $sin (n x)$. Denn $norm(f_n ) <= 1$ aber $abs(f'_(n) (0))= n$.
+
+#remark[
+	Ist $A: V -> W$ ein beschraenkter, linearer Operator, so gilt fuer $x,y in V$:
+	$
+		d_(W) (A x,A y) = norm(A x - A y)_(W)  =  norm(A (x - y))_(W)  <= norm(A) norm(x - y)_(V) = norm(A) dot d_(V) (x,y).
+	$
+]
+
+#definition[
+	Seien $(X,d_(x) )$ und $(Y,d_(y) )$ metrische Raeume und $f: X -> Y$ eine Abbildung. Wir nennen $f$ Lipschitz-stetig falls es ein $L >=0 $ gibt sodass
+	$
+		d_(y)  (f (y_1 ), f (y_2 )) <= L d_(x) (y_1, y_2 ) space forall y_1, y_2 in X.
+	$
+]
+
+#theorem[
+	Sei $A: V -> W$ ein linearer Operator zwischen normierten Raeumen $W,V$. Dann sind die folgenden Aussagen aequivalent:
+	+ A ist beschraenkt
+	+ A ist stetig
+	+ A ist stetig an der Stelle $x = 0$ $==>$ A ist beschraenkt
+]
+
+#proof[
+	Sei A stetig in $x = 0$. Wegen $A dot 0 = 0$ gibt es ein $delta > 0$ sodass $norm(A x)_(W) <= 1$ fuer alle $x in V "mit" norm(x)_(V)  <=  delta$. Sei $x in V \\ {0}$. Dann ist $norm((delta) / (norm(x)_(V) ) )_(V) = delta$
+	und damit $1 >= norm(A (delta) / (norm(x)_(V) ) x_(W) )=  norm((delta) / (norm(x)_(V) ) A x )_(W) =  (delta) / (norm(x)_(V)  ) norm(A x)_(W) $.
+
+	Es folgt $norm(A x)_(W)  <= (1) / (delta)norm(x)_(V) space forall x in V $ und A ist beschraenkt.
+	
+]
+

S2/DiffII/template.typ

@@ -1,5 +1,5 @@
 // Diff template
-#import "./preamble.typ": *
+#import "../preamble.typ": *
  
 #show: conf.with(num: 1)
 

S2/Neuro/VL/NeuroVL2.typ

@@ -0,0 +1,107 @@
+#import "../preamble.typ": *
+ 
+#show: conf.with(num: 1)
+
+= Membrane Potential
+
+Outside the cells in the brain there is salt.
+Inside there is potassium.
+
+== Prerequisites for a Neuron to fire
+
+_Watch the embedded movie._
+
+There are different potentials build up in the membrane.
+
++ The charge is in equillibrium. But there is a gradient of Pr and Cl
++ Cloride will diffuse $==>$ on that side there are too many negative charges
++ The negative charge pushes the potassium to this side
++ Finally a potassium gradient stabilizes
+
+Why is the resulting potential negative?
+
+== Nernst and general Nernst eqation 
+$
+	V_(x) = (R T) / (z F) ln ([X]_(o) ) / ([X]_(i) ) \
+	V_(x) = (R T) / (z F) ln (P_("K") [K]_(o) + P_("Cl") ["Cl"]_(o) + ...  ) / (P_("K") [K]_(i) + P_("Cl") ["Cl"]_(i) + ... ) \
+
+$
+
+When the permeability for the potassium is low then the other ones play a bigger role.
+Potential is only there when permeability is existing.
+
+Q: What is similar to a low pass filter.
+
+In reality there are multiple conducters connected in parralel. Also the conductivity of the Na and K channles are changable.
+
+Q: What does a conductivity of $oo$ mean?
+
+= Hodgkin and Huxley
+
+Q: What have they done?
+A: They used squids to measure the axons, because they are $1"mm"$ thick
+
+Types of Neuronal Recording Methods
+- EEG (on top of the head)
+- ECoG (small hole in the head)
+- Extracellular (needles in the brain)
+- Intra cellular (needles in the cell of the brain)
+
+== Action Potential
+
++ The cell gets excited
++ Chainreaction of channel opening and gradient stabilisation
+	- Sodium channels open
+	- K chanels open
+	- Na channels become refactory
+	- ...
++ Refactory period
++ ...
+
+#highlight[TODO: continue the steps]
+
+Currents can add up to trigger an AP. THe refactory period is the time after an AP when Na channles are inactive. The firing rate is increaed with a highter input strenght.
+
+The lenght of the potiential depends on the type of cell. Then the refactory period is also longer. \
+The maximum firing rate is limited by the absolute refactory period.
+
+== The actual model
+
+$
+	I_("inj") = I_(C) + sum I_(k) (t) , space C = Q/u , space I_(C) = C (dif u) / (dif t) = C (dif V) / (dif t) \
+	I_(x) = I_(x) \
+	C (dif V_m ) / (dif t) = - sum I_(k) +  I_("inj") (t) \
+	sum I_k = g_("Na") (V_m - V_("Na") )+ g_(K)  (V_m - V_(K) )+ g_(L) (V_(m) - V_(L)  )\
+	C (dif V_m ) / (dif t) = - g_("Na") (V_m - V_("Na") )- g_(K)  (V_m - V_(K) )- g_(L) (V_(m) - V_(L)  ) + I_("inj") (t) \
+$
+
+Now the Equation becomes time dependent
+
+$
+	C (dif V_m ) / (dif t) = - macron(g)_("Na") m^(3) h  (V_m - V_("Na") )- macron(g)_(K) n  (V_m - V_(K) )- macron(g)_(L) (V_(m) - V_(L)  ) + I_("inj") (t). \
+	dot(x)= - (1) / (tau_(x)  u_(b))  A .
+$
+
+Capacitance is a biological constant.
+
+== Voltabe clamp method
+
+With this method it is possible to stimulate a cell and measure the floating current at the same time.
+
+There are substances to kill certain types of channels in the cell. If done so the graph of the potential changes.
+
+Also there is a method to measuer individual channels and their current they leave through.The AP is a positive feedback loop.
+
+The sodium channels cannot immeadiately open again. It takes about 1ms for them to open again. When measuring one always measurers multiple fibres (Suberposition).
+
+In the heart there are calcium channels.
+
+_Max firing frequency is about $1"kHz"$_
+
+== Propagation of AP
+
+There are multiple Methods of propagation the AP. One is to recreate the AP along the way (this takes time but is faster with higher diameter of the axon).
+
+The other method is the saltatory "jumpy" conduction. This is much faster and the AP jumps between the isolations.
+
+

S2/Neuro/preamble.typ

@@ -0,0 +1,20 @@
+#import "../../default.typ": *
+
+#let rot = math.op("rot")
+#let grad = math.op("grad")
+
+#let conf(num: none, date: "", body) = {
+	// Global settings
+	show: default
+
+	// Set the header
+	[ExPhy II \ Vorlesung #(num) \ #(date) \ Jonas Hahn]
+
+	// Make the outline
+	outline()
+
+	// load the document
+	body
+}
+
+

S2/Neuro/template.typ

@@ -1,4 +1,4 @@
-#import "./preamble.typ": *
+#import "../preamble.typ": *
  
 #show: conf.with(num: 1)
 

S3/input.txt

@@ -0,0 +1 @@
+# Input file for the current file of the semester

S3/links.md

@@ -1,3 +1,4 @@
 # Links 
 
-Preparation for the third semester links
+Preparation for the third semester links.
+