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= Lineare Abbildungen
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Eine Abb. $f: V -> W$, zwischen VR $V$ und $W$ ueber $K$ ist linear wenn
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$ forall x, y in V space forall lambda in K: f(x+y) = f(x) + f(y) and f(lambda x) = lambda f(x) $
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= Matrizen und lineare Gleichungssysteme
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Eine Matrix ist gleichbedeutend zu einer linearen Abbildung.
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== Inhomogene LGS
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Sei $arrow(x)_"hom"$ Lsg. des homogenen LGS $A arrow(x)_"hom" = bb(0)$.
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Sei $arrow(x)_"part"$ Lsg. des inhomogenen LGS $A arrow(x)_"part" = arrow(c)$.
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$ A(arrow(x)_"hom" + arrow(x)_"part") = arrow(c) $
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$arrow.r.curve$ Ein inhomogenes LGS hat genau dann eine eindeutige Lsg., wenn hom. Lsg. und inhom. Lsg. existieren.
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== Inverse
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Eine Matrix $A$ heisst invertierbar, wenn die zug. Abb. ein Isomorphismus ist. Die Matrix der Umkehrabb. heisst dann inverse Matrix $A^(-1)$.
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=== Eigenschaften
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+ jede invertierbare Matrix ist quadratisch
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+ sind $A, B in K^(n times n)$, dann ist $ B = A^(-1) <=> A B = B A = E_n, quad E_n = (delta_(i j)) $
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+ ist $A$ invertierbar, so auch $A^(-1)$
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+ sind $A,B in K^(n times n)$ invertierbar, so auch $A B$
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$arrow.r.curve$ Existiert inverse Matrix zur Kopf-Matrix eines inhom. LGS, so ist diese geloest durch $arrow(x) = A^(-1) arrow(c)$.
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== Determinante
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Diese ist relevant fuer das Loesen von LGS, invertieren von Matrizen, Subst. von Funktionen mehrerer Veraenderlicher und Eigenwertproblemen.
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$ n = 2, quad det(A) = abs(mat(a, b;c, d)) = a d - b c $
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$ n = 3, quad det(A) = abs(mat(a, b, c;d, e, f; g, h, i)) $
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=== Laplace'scher Entwicklungssatz
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Determinante kannn nach beliebiger Zeile oder Spalte entickelt werden.
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$ det(A) = abs(mat(a_11, a_12, a_13;a_21, a_22, a_23; a_31, a_32, a_33)) = a_11 abs(mat(a_22, a_23; a_32, a_33)) - a_21 abs(mat(a_12, a_13; a_32, a_33)) + a_31 abs(mat(a_12, a_13;, a_22, a_23)) $
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Allgemein gilt fuer $n >= 2$, $A in K^(n times n)$
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$ det(A) = sum^n_(i=1) (-1)^(i+1) a_(i 1) U_(i 1), quad U:="Unterdeterminante an der Stelle" (i 1) $
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== Transponierte
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Ist $A = (a_(i j))$, so ist die transponierte Matrix gegeben durch $a_(i j)^T = a_(j i)$.T
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Fuer quadrasiche Matrizen bleibt die Determinante beim Transponieren gleich. Ferner gilt $(A B)^T = B^T A^T$.
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