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2.3 KiB
Typst
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Typst
#import "../preamble.typ": *
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#show: conf.with(num: 3)
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= Uebersicht
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- Team Captains
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- Skript! Mitschreiben?
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- Hoersaaluebung
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- 2. Klausur im WiSe 2025
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- Fragen?
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= Eindimensionale Systeme allgemein
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Einen Massepunkt mit Masse $m$ und Koordinate $q$
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Beispiele:
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+ Bewegung entlang einer kartesicschen Koordinate $q=x$
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+ Feste (krummlinige) Kurve im $RR^(3) $ Koordinate i.a. nicht kartesisch
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+ Problem als Resultat des Ausnutzens von erhaltungsgroessen (z.B. Zentralpotential, Hamiltonformalismus)
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Formal:
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$
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m dot.double(x)=f (x,dot(x),t),x (t_(0) ),dot(x) (t_(0) )
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$
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= Zeitunabhaengige Probleme
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$f=f (x)$
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$arrow(f) "ist konservativ" ==> exists V (arrow(r))==> arrow(f) (arrow(r)) = - arrow(nabla) V (arrow(r)) ==> E=T+V "(Energieerhaltung)"$
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$
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V (x) =- integral_(x)^(x_0 ) d x' f (x')
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$
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dieses $V$ existiert fuer stetige $f$. Im eindimensionalen Fall gilt dann
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f (x)=-V' (x).
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$
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$
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==> E=T (dot(x))+V (x) "erhalten"\
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(dif E) / (dif f) =0, forall t
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= Konsequenzen aus Energieerhaltung
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Reduktion von DGL 2. Ordnung auf DGL 1. Ordnung ist der wichtigste Punkt dieser Vorlesung.
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Sei $E$ fest aber beliebig vorgegeben. Dann wissen wissen wir
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E=m/2 dot(x)^2 +V (x)\
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==> dot(x)^2 = 2/m (E-V (x))
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was eine DGL 1. Ordnung darstellt.
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Aus der Definition der kinetischen Energie folgern wir die Ungleichung
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E >= V (x).
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es sind also nur diese $x$ erlaubt!
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Die oben stehende DGL kann mittels TdV geloest werden
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$
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(dif x) / (dif t) = +- sqrt(2/m (E-V (x)))\
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==> integral_(t)^(t_0 ) d t' = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2) \
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==> t-t_0 = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2)
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$
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== Integrationskonstanten
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Seien die Gesamtenergie $E$, $t_0 $ und die Startposition $x_0=x (t_0 )$ gegeben.
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Folgern von allgemeinen Aussagen ohne Rechnen
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+ $E=V (x_u ) <==> T = 0$ in dem Umkehrpunkt $x_u $
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+ Natuerlich gilt $T(E,V)=E-V$
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+ Verbotene Bereiche sind $x "mit" E < V (x)$, welche sich in einem $V$-$x$-Diagramm so erkannt werden koennen, dass
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+ Offene Bahnen bedeutet, dass $abs(x) "unbeschraenkt"$ dies ist der Bereich unter der $E$ -Kurve, so dass sie im weiteren Verlauf keinen Schnittpunkt mehr mit dieser hat
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+ Geschlossene Bahnen, diese sind das Gegenstueck zu den offenen Bahnen und sind periodisch wodurch sie zu Oszillatoren werden
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= Periodische Bahnen
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Fuer kleine Schwingungen entw
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