#import "../preamble.typ": *
 
#show: conf.with(num: 3)

= Uebersicht

- Team Captains
- Skript! Mitschreiben?
- Hoersaaluebung
- 2. Klausur im WiSe 2025
- Fragen?

= Eindimensionale Systeme allgemein

Einen Massepunkt mit Masse $m$  und Koordinate $q$ 

Beispiele:
+ Bewegung entlang einer kartesicschen Koordinate $q=x$
+ Feste (krummlinige) Kurve im $RR^(3) $ Koordinate i.a. nicht kartesisch
+ Problem als Resultat des Ausnutzens von erhaltungsgroessen (z.B. Zentralpotential, Hamiltonformalismus)

Formal:
$
	m dot.double(x)=f (x,dot(x),t),x (t_(0) ),dot(x) (t_(0) )
$

= Zeitunabhaengige Probleme

$f=f (x)$

$arrow(f) "ist konservativ" ==> exists V (arrow(r))==> arrow(f) (arrow(r)) = - arrow(nabla) V (arrow(r)) ==> E=T+V "(Energieerhaltung)"$

$
	V (x) =- integral_(x)^(x_0 ) d x' f (x')
$

dieses $V$ existiert fuer stetige $f$. Im eindimensionalen Fall gilt dann 
$
	f (x)=-V' (x).
$

$
	==> E=T (dot(x))+V (x) "erhalten"\
	(dif E) / (dif f) =0, forall t
$

= Konsequenzen aus Energieerhaltung

Reduktion von DGL 2. Ordnung auf DGL 1. Ordnung ist der wichtigste Punkt dieser Vorlesung.

Sei $E$ fest aber beliebig vorgegeben. Dann wissen wissen wir

$
	E=m/2 dot(x)^2 +V (x)\
	==> dot(x)^2 = 2/m (E-V (x))
$

was eine DGL 1. Ordnung darstellt.
Aus der Definition der kinetischen Energie folgern wir die Ungleichung
$
	E >= V (x).
$
es sind also nur diese $x$ erlaubt!
Die oben stehende DGL kann mittels TdV geloest werden

$
	(dif x) / (dif t) = +- sqrt(2/m (E-V (x)))\
	==>  integral_(t)^(t_0 ) d t' = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2) \
	==> t-t_0 = +- integral_(x)^(x_0 ) d x' (2/m (E-V (x')))^(-1/2) 
$

== Integrationskonstanten

Seien die Gesamtenergie $E$, $t_0 $ und die Startposition $x_0=x (t_0 )$ gegeben.
Folgern von allgemeinen Aussagen ohne Rechnen
+ $E=V (x_u ) <==>  T = 0$ in dem Umkehrpunkt $x_u $
+ Natuerlich gilt $T(E,V)=E-V$
+ Verbotene Bereiche sind $x "mit" E < V (x)$, welche sich in einem $V$-$x$-Diagramm so erkannt werden koennen, dass 
+ Offene Bahnen bedeutet, dass $abs(x) "unbeschraenkt"$ dies ist der Bereich unter der $E$ -Kurve, so dass sie im weiteren Verlauf keinen Schnittpunkt mehr mit dieser hat
+ Geschlossene Bahnen, diese sind das Gegenstueck zu den offenen Bahnen und sind periodisch wodurch sie zu Oszillatoren werden

= Periodische Bahnen

Fuer kleine Schwingungen entw