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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 3,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Ende der Herleitung der Wellengleichung fuer Schall.
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Kompressibilitaet
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kappa = -1/(Delta p) ((Delta V)/V) \, space K = 1/kappa "Kompressibilitaetsmodul" \
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(Delta V) / (V) = (diff v) / (diff x) Delta t = Delta p ((Delta V) / (V) 1/(Delta p)) \, space (diff v) / (diff t) - 1/rho (diff p) / (diff x) \
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(diff v) / (diff x) = - (Delta p) / (Delta t) kappa = ^(lim_(Delta t -> oo) ) - (diff p) / (diff t) kappa \
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diff / (diff t) (- (diff p) / (diff t) kappa) = diff / (diff t) (diff v) / (diff x) = diff / (diff x) (diff v) / (diff t) = - 1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 ) \
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kappa (diff ^2 p) / (diff t^2 ) = 1/rho (diff ^2 p) / (diff x^2 ) ==> c^2 = 1/ (rho kappa) = kappa/rho \
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(diff p^2 ) / (diff t^2 ) - c^2 (diff p^2 ) / (diff x^2 ) = 0.
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$
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Hier werden Gleichgewichtswerte als Linearisierung genommen.
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Woher kommt $kappa$ beziehungsweise das Kompressibilitaetsmodul $K$? Es gilt
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p V = N k T
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die ideale Gasgleichung.
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Wir rechnen
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p V^(gamma) = p_0 V_0 ^(gamma) "Adiabatenexponent" \
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gamma = (c_(p) ) / (c_(V) ) = (f + 2) / (f) = 1.4 "bei Luft" \
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p = V^(- gamma) p_0 V_0 ^(gamma) \
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(diff p) / (diff V) = - gamma V^(- gamma - 1) p_0 V_0 ^(gamma) \
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==> K_0 = V (diff p) / (diff V) = - gamma p_0 .. "beziehungsweise" .. K_(0) = 1/(gamma p_0 ) \, space p = rho k T \
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c_(s) = 1/(sqrt(rho k)) = sqrt((gamma p_0 ) / (rho_0 ) ).
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Fuer Luft folgt
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c_(s) approx sqrt((1.4 10^(5) ) / (1.25) ) ("m") / ("s") = sqrt((1.4 * 10 ^(4) ) / (1 * 12.5) ) = 3.35 * 100 ("m") / ("s") = 335 ("m") / ("s").
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Druck und Dichte sind alle durch harmonische Wellenfunktionen gegeben. Die Linearisierung des Drucks ist durch die enorm kleineen Schwankungen gerechtfertigt.
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Schallschnelle $v$ und Impedanz (Wellenwiderstand) $z = p/v$. Dann ist
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I = p v = z v^2 = p^2 /z \
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d W = arrow(F) * d arrow(s) \
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[I] = ("J") / ("m"^3 ) ("m") / ("s") = "W" 1/"m"^2 .
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Schall kann anhad der Frequenz und der Schalldruck Amplidude klassifiziert werden. Die Lautstaerke ist eine Logarithmische Funktion des Schalldruckpegels. Es ist fuer den Schalldruckpegel
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L_(p) := 10 log_(10) (p^2 ) / (p_(s)^2 ) = 20 log_(10) p/p_(s) \
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[L_(p) ] = "dB"\
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L := 10 log_(10) (I (nu)) / (I_("min") (nu)) \
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[L] = "Phon"
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Wie funktioniert das Hoeren anhand der Physiologie?
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Helmholtz
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arrow(nabla) ^2 u + k ^2 u = 0 \
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u (arrow(r)) * e ^(i omega t) .
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Raummoden visualisieren.
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== Schallwellen in Festkoerpern
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Wir fuehren den Spannungstensor ein. Der Festkoerper reagiert auf die Spannung $sigma = F/A$ mit Dehnung $epsilon = (diff xi) / (diff x) $ $epsilon_(i j) = (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) $
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underbrace(sigma, "Matrix") = underbrace(E, "Tensor 3. Stufe") .. underbrace(epsilon, "Matrix") .. "Hooke".
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$F$ ist die Kraft und $A$ die Flaeche.
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$sigma$, $epsilon$ sind Tensoren und $E$ ist der Young'sche Modul.
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Wir stellen uns Massen und Federn in einem Gitter vor. Alle Potentiale koennen als Parabel genaehert werden und somit als Feder modelliert. Wir definieren das Verzerrungsfeld
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xi (x, y) \
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==> epsilon_(i, j) = (diff xi_(i) ) / (diff x_(j) ) .
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Bei Stahl ist $E tilde.equiv 2 * 10 ^(11) ("N") / ("m"^2 ) ("Pa") = 210 "GPa"$.
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Es folgt fuer die BWGL
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Delta m dot.double(xi) = A Delta sigma = A E ( epsilon (x + Delta x) - epsilon (x)) \
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epsilon A Delta x dot.double(xi) = A (diff sigma) / (diff x) Delta x ==> dot.double(xi) = E/sigma xi'' \, space c = sqrt(E/sigma)
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