mirror of
https://gitlab.gwdg.de/j.hahn02/university.git
synced 2026-01-01 06:44:25 -05:00
some new
This commit is contained in:
65
S2/AnaMech/VL/AnMeVL16.typ
Normal file
65
S2/AnaMech/VL/AnMeVL16.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,65 @@
|
||||
// Main VL template
|
||||
#import "../preamble.typ": *
|
||||
|
||||
// Fix theorems to be shown the right way in this document
|
||||
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
|
||||
#show: thmrules
|
||||
|
||||
// Main settings call
|
||||
#show: conf.with(
|
||||
// May add more flags here in the future
|
||||
num: 16,
|
||||
type: 0, // 0 normal, 1 exercise
|
||||
date: datetime.today().display(),
|
||||
//date: datetime(
|
||||
// year: 2025,
|
||||
// month: 5,
|
||||
// day: 1,
|
||||
//).display(),
|
||||
)
|
||||
|
||||
= Uebersicht
|
||||
|
||||
= Das Hamiltonsche Prinzip
|
||||
|
||||
Die Wirkung $S$ ist gegeben als ein Skalar gegeben durch das Funktional der erlaubten Bahnkurven
|
||||
$
|
||||
S [q] = integral _(t_1 ) ^(t_2 ) d t L (q, dot(q), t),
|
||||
$
|
||||
mit $q = (q_1 ,q_2, ..., q_(f) ), dot(q)_(k) = (dif q_(k) ) / (dif t), q_(k) (t_1 ), q_(k) (t_2 ) "fest" $.
|
||||
|
||||
Die physikalische Loesung folgt dann aus dem Extremem der Wirkung
|
||||
$
|
||||
delta S =^(!) 0
|
||||
$
|
||||
bei Variation der $q_(k) : (delta q_(k) = 0 )$
|
||||
$
|
||||
q_(k) -> tilde(q)_(k) + delta q_(k).
|
||||
$
|
||||
Aus der Variationsrechnung folgt dann die Euler-Lagrange Gleichung
|
||||
$
|
||||
dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0.
|
||||
$
|
||||
Die allgemeine Variationsrechnung ist dann gegeben durch
|
||||
$
|
||||
J [y]= integral_(s_1 )^(s_2 ) d s F (y, y', s), y' = (dif y) / (dif s).
|
||||
$
|
||||
|
||||
= Diskussion
|
||||
|
||||
- Bisher haben wir ein AWP der Form $q_(k) (t_0 ), dot(q)_(k) (t_0 )$ mit $2 f$ Konstanten
|
||||
- Mit dem Hamiltonschen Prinzip (HP) hat das AWP einfach die Form $q_(k) (t_1), q_(k) (t_2 )$ also wieder $2 f $ Konstanten
|
||||
|
||||
#example[
|
||||
Wurf von Kreide.
|
||||
|
||||
Die Frage ist mit welchen Anfangsbedingungen muss ich starten, damit ich dort hinten ankomme. Waehle also $dot(x), dot(z)$ bei $t_1 $ so, dass $(x, z) = (x_0 , 0)$ bei $t_2 $.
|
||||
Es gibt also einen eindeutigen Punkt bei dem wir schreiben koennen
|
||||
$
|
||||
x_0 = x_0 (dot(x) (t_1 ), dot(z) (t_1 ))
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
In der Mechanik treten immer DGL von 2. Ordnung in der Zeit auf. Ist das immer so in der Variationsrechnung?
|
||||
Wichtig ist noch das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Stetigkeit des Funktionals. Nicht jedes Funktional laesst sich mit der Euler-Lagrange Gleichung loesen.
|
||||
|
||||
165
S2/AnaMech/VL/AnMeVL17.typ
Normal file
165
S2/AnaMech/VL/AnMeVL17.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,165 @@
|
||||
// Main VL template
|
||||
#import "../preamble.typ": *
|
||||
|
||||
// Fix theorems to be shown the right way in this document
|
||||
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
|
||||
#show: thmrules
|
||||
|
||||
// Main settings call
|
||||
#show: conf.with(
|
||||
// May add more flags here in the future
|
||||
num: 5,
|
||||
type: 0, // 0 normal, 1 exercise
|
||||
date: datetime.today().display(),
|
||||
//date: datetime(
|
||||
// year: 2025,
|
||||
// month: 5,
|
||||
// day: 1,
|
||||
//).display(),
|
||||
)
|
||||
|
||||
= Uebersicht
|
||||
|
||||
Starrer Koerper mit N MP.
|
||||
|
||||
Lage im Raum festgelegt durch 3 Koerpereigene Punkte $P_1, P_2, P_3 $, welche nicht auf einer Gerade liegen.
|
||||
Dies sind die Ortsvektoren eines raumfesten Intertialsystems mit $arrow(r)_(1), arrow(r)_(2) , arrow(r)_(3) $, sind linear unabhaengig.
|
||||
|
||||
Es gibt dann also 3 Z.B. der Form $arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) = "const." , space (i ,j) = (1,2), (1, 3), (2, 3)$, wodurch es dann $f = 9 - 3 = 6$ Freiheitsgerade.
|
||||
Das Inertialsystem kann sich gleichfoermig bewegen, Translatiert sein oder sich um eine der Drei achsen gedreht haben.
|
||||
|
||||
== 4.2 Starrer Koerper
|
||||
|
||||
=== 4.2.1 SP Bewegung
|
||||
|
||||
Es gilt fuer den Schwerpunkt
|
||||
$
|
||||
arrow(R) = 1/M sum _(i) arrow(r)_(i) m_(i),
|
||||
$
|
||||
was 3 translatorischen Freiheitsgeraden entspricht. Dabei ist $arrow(r)_(i) $ das Inertialsystem und $arrow(r)'_(i) $ das Koerpereigene System.
|
||||
|
||||
=== 4.2.2 Traegheitsmoment
|
||||
|
||||
Wir betrachten eine Drehung $arrow(omega) = omega arrow(e)_(z) $. Die Drehung mit dem Winkel kann dann durch die rechte Hand Regel bestimmt werden.
|
||||
Der Drehwinkel ist hier $phi$. Die Geschwindigkeit auf dem Kreisbogen ist gegeben durch
|
||||
$
|
||||
2 pi rho = v T \
|
||||
=> v = omega rho,
|
||||
$
|
||||
wobei $rho$ der Abstand zum Ursprung ist. Die Kinetische Energie ist gegeben durch
|
||||
$
|
||||
T = 1/2 m arrow(v)^2 = 1/2 m rho^2 omega^2 = 1/2 m rho^2 dot(phi)^2 , space omega = dot(phi) = (dif phi) / (dif t).
|
||||
$
|
||||
Wir schreiben um zu
|
||||
$
|
||||
T = 1/2 Theta dot(phi)^2 \
|
||||
Theta = m rho ^2,
|
||||
$
|
||||
wobei $Theta$ das Traegheitsmoment bei Rotation um die z-Achse ist. Im allgemeinen ist das Traegheitsmoment fuer meherere MP gegeben durch
|
||||
$
|
||||
Theta = sum _(i) m_(i) rho_(i) ^2 \
|
||||
Theta = integral rho ^2 d m.
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== 4.2.3 Einschub Beschleunigte Bezugssysteme
|
||||
|
||||
Vom IS wird eine raeumliche verschiebung durch den Vektor $arrow(r)_(0) (t)$ in ein KS. Bei einer Koration kann die Rotation aus der Geometrie abgelesen werden.
|
||||
|
||||
Falls $O_(I S) = O_(K S) => "Die Vektoren sind gleich, aber nicht die Koordinaten"$.
|
||||
Fuer die Geschwindigkeiten folgt dann (wobei $arrow(e)_(i) $ die Basen im IS sind und $arrow(e)'_(i) $ die Basen im KS)
|
||||
|
||||
$
|
||||
sum _(i) dot(x)_(i) arrow(e)_(i) = sum _(i) [dot(x)_(i) arrow(e)_(i) + x'_(i) dot(arrow(e))'_(i) ] \
|
||||
=> arrow(v)_(I S) = arrow(v)_(K S) + sum _(i) x'_(i dot(arrow(e))'_(i).
|
||||
$
|
||||
Eine Drehung $D$ ist gegeben durch eine Drehmatrix mit $D D^(T) = D^(T) D = E$
|
||||
$
|
||||
arrow(e)'_(i) = D_(i j) arrow(e)_(j) => arrow(e)_(j) = D_(i j) arrow(e)'_(i) \
|
||||
dot(arrow(e))'_(i) = D_(i j) dot(arrow(e))_(j) + dot(D)_(i j) arrow(e)_(j) = dot(D)_(i j) arrow(e)_(j).
|
||||
$
|
||||
Wir muessen spaeter alles in das gestrichene System zurueckfuehren. Es folgt
|
||||
$
|
||||
dot(arrow(e))'_(i) = dot(D)_(i j) underbrace(D_(k j) arrow(e)'_(k), arrow(e)_(j) ) , space A = dot(D) D^(T).
|
||||
$
|
||||
Wir behaupten, dass $A + A^(T) = 0 => A "ist antisymetrisch"$.
|
||||
Rechne
|
||||
$
|
||||
dot(D) D^(T) + (dot(D) D^(T) )^(T) = dot(D) D^(T) + D dot(D)^(T) = dif / (dif t) (D D^(T) ) = dif / (dif t) E = 0.
|
||||
$
|
||||
Die Matrix $A$, gegeben durch
|
||||
$
|
||||
mat(
|
||||
0, A_(1 2), A_(1 3) ;
|
||||
- A_(1 2) , 0, A_(2 3) ;
|
||||
- A _(1 3) , - A_(2 3) , 0;
|
||||
),
|
||||
$
|
||||
hat also 3 unabhaengige Zahlen.
|
||||
Dann kann ein beliebiger Vektor $q$ an die Matrix $A$ multipliziert werden.
|
||||
Das ergibt ein Ergebnis aehnlich zum Kreuzprodukt.
|
||||
Waehle dann
|
||||
$
|
||||
A_(1 2) = - omega_(3) , A_(1 3) = omega_(2) , A_(2 3) = - omega_(1) \
|
||||
=> A arrow(q) = arrow(omega)times arrow(q).
|
||||
$
|
||||
Damit folgt dann fuer die Geschwindigkeit im IS
|
||||
$
|
||||
dot(arrow(r))_(I S) = dot(arrow(r))' _(K S) + arrow(omega) times arrow(r)'_(K S) + dot(arrow(r))_(0) , space arrow(omega): "instantantane Drehachse" \
|
||||
arrow(omega) = arrow(omega)'.
|
||||
$
|
||||
|
||||
=== 4.2.4 Kinetische Energie
|
||||
|
||||
Starrer Koerper: $dot(arrow(r))'_(mu) = arrow(0)$ in KS.
|
||||
Wir setzen also in den Ausdruck fuer die Kinetische Energie ein
|
||||
$
|
||||
T = sum_(i = 1)^(N) m_(i) /2 dot(arrow(r))_(i) ^2 = sum _(i) m_(i) /2 [dot(arrow(r))_(0) + (omega times arrow(r)'_(i) )]_(i) ^2 dot(arrow(r))_(0) = arrow(v)_(0) \
|
||||
= sum _(i) m_(i) /2 arrow(v)_(0) ^2 + sum _(i) m_(i) arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )+ sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )^2 .
|
||||
$
|
||||
Wir schreiben
|
||||
$
|
||||
T = M/2 arrow(v)_(0) ^2 + T_("mix") + T_("rot") \
|
||||
T_("mix") = arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i) ) \
|
||||
= sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i) * (arrow(v)_(0) times arrow(omega)) \
|
||||
$
|
||||
Nun kann dieser Term durch die Wahl von $0_(K S) $ vereinfacht werden.
|
||||
Falls der Schwerpunkt vom starren Koerper im Ursprung von KS liegt, dann faellt $T_("mix") $ weg. Falls wir einen Punkt des starren Koerpers fixieren, dann ist $v_0 = 0$ wodurch
|
||||
$
|
||||
T = T_("rot")
|
||||
$
|
||||
gilt.
|
||||
|
||||
=== 4.2.5 Traegheitstensor
|
||||
|
||||
Jetzt wollen wir die Rotationsenergie umschreiben zu
|
||||
$
|
||||
T_("rot") = sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)times arrow(r)'_(i) )^2 = sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)^2 arrow(r)'^2_(i) - (arrow(omega) * arrow(r)'_(i) )^2 ) \
|
||||
=> sum _(j) m_(j) /2 sum _(i k) (omega_(i) omega_(i) r'_(j k) r'_(j k) - omega_(i) r'_(j i) omega_(k) r'_(j k) ) \
|
||||
|
||||
= sum _(j) m_(j) /2 sum _(i k) omega_(i) omega_(k) (delta_(i k) r'_(j k) r'_(j i) - r'_(j k) ) = 1/2 sum _(i k) omega_(i) omega_(k) Theta_(i k) \
|
||||
Theta_(i k) = sum _(j) m_(j) (delta_(i k) (arrow(r)'_(j))^2 - r'_(j i) r'_(j k) ) \
|
||||
=> T_("rot") = 1/2 arrow(omega) ^(T) Theta arrow(omega) .
|
||||
$
|
||||
Ein Kreuzprodukt kann quadriert werden
|
||||
$
|
||||
(arrow(a)times arrow(b))^2 = arrow(a)^2 arrow(b)^2 - (arrow(a) * arrow(b))^2.
|
||||
$
|
||||
Mit Nebenrechnung
|
||||
$
|
||||
(arrow(a)times arrow(b))_(k) = epsilon_(k l m) a_(l) b_(m) \
|
||||
=> (arrow(a)times arrow(b)) * (arrow(a)times arrow(b)) = omega_(k l m) epsilon_(k r s) a_(l) b_(m) a_(r) b_(s) \
|
||||
= (delta_(l r) delta_(m s) - delta_(l s) delta _(m r) ) a_(l) b_(m) a_(r) b_(s) \
|
||||
= a_(l) a_(l) b_(m) b_(m) - (a_(l) b_(l)) ^2 .
|
||||
$
|
||||
|
||||
Der Traegheitstensor ist symetrisch und reel, diese ist also diagnonalisierbar. Mit
|
||||
$
|
||||
Theta_(D) = Lambda ^(T) Theta Lambda \
|
||||
Theta_(D) = mat(
|
||||
Theta_(1) , 0, 0;
|
||||
0, Theta_(2) , 0;
|
||||
0, 0, Theta_(3) ;
|
||||
).
|
||||
$
|
||||
Hier sind dann die $Theta_(i) $ die Haupttraegheitsmomente.
|
||||
|
||||
175
S2/AnaMech/VL/AnMeVL18.typ
Normal file
175
S2/AnaMech/VL/AnMeVL18.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,175 @@
|
||||
// Main VL template
|
||||
#import "../preamble.typ": *
|
||||
|
||||
// Fix theorems to be shown the right way in this document
|
||||
#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
|
||||
#show: thmrules
|
||||
|
||||
// Main settings call
|
||||
#show: conf.with(
|
||||
// May add more flags here in the future
|
||||
num: 5,
|
||||
type: 0, // 0 normal, 1 exercise
|
||||
date: datetime.today().display(),
|
||||
//date: datetime(
|
||||
// year: 2025,
|
||||
// month: 5,
|
||||
// day: 1,
|
||||
//).display(),
|
||||
)
|
||||
|
||||
= Uebersicht
|
||||
|
||||
Allgemeine Loesung quadratischer Lagrangefunktionen
|
||||
|
||||
$
|
||||
L = 1/2 [dot(arrow(q))^(T) tilde(T)dot(arrow(q)) - arrow(q)^(T) tilde(V)arrow(q)] = 1/2 sum _(i k) [tilde(T)_(i k) dot(q)_(i) dot(q)_(k) - tilde(V)_(i k) q_(i) q_(k) ],
|
||||
$
|
||||
wobei $k = 1, ..., f$ und die beiden Matrizen reel, quadratisch und symmetrisch sind. Dadurch sind diese diagonalisierbar.
|
||||
|
||||
Formal ist die Trafo
|
||||
$
|
||||
arrow(q) = C arrow(Q)
|
||||
$
|
||||
gesucht, mit
|
||||
$
|
||||
C^(T) tilde(T) C = E \
|
||||
C^(T) tilde(V)C = Omega^2,
|
||||
$
|
||||
wobei $Omega^2 $ dann eine diagonalisierte Matrix ist mit quadratischen Eintraegen.
|
||||
Nun wird eine Hauptachsentrafo, die V und T gleichzeitig diagonalisiert.
|
||||
Wir betrachten $omega_(r) ^2 != omega_(s) ^2 $ mit
|
||||
$
|
||||
(- omega_(r) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(r) = arrow(0) \
|
||||
(- omega_(s) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(s) = arrow(0) \
|
||||
tilde(T)^(T) = tilde(T) , space tilde(V)^(T) = tilde(V) , space T >= 0 \
|
||||
=> tilde(T)_(r s) = arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(s) = 0 , space arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(r) > 0.
|
||||
$
|
||||
Nun werden die EW gefunden
|
||||
$
|
||||
(- omega_(n) tilde(T) + tilde(V))arrow(c)_(n) = arrow(0) "ist unterbestimmtes LGS" \
|
||||
=> arrow(q) (t) = sum _(n = 1) ^(f) arrow(c)_(n) [a_(n) exp(i omega_(n) t) + b_(n) exp(- i omega_(n) t ) ] \
|
||||
arrow(q) = sum _(n) arrow(c)_(n) Q_(n) = Q_(n) => dot.double(Q) + omega_(n) ^2 Q = 0.
|
||||
$
|
||||
|
||||
Nun schreiben wir fuer die Lagrangefunktion, dass
|
||||
$
|
||||
L (Q,dot(Q)) = L (q (Q), dot(q) (dot(Q))) &= 1/2 [dot(arrow(Q))^(T) C^(T) tilde(T) C dot(arrow(Q)) - arrow(Q)^(T) C^(T) tilde(V) C arrow(Q)] \
|
||||
&= 1/2 sum _(n) (dot(Q)^2 _(n) - omega_(n) ^2 Q_(n) ^2 ) = sum _(n) L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ).
|
||||
$
|
||||
Das ergibt dann die entkoppelten Lagrangefunktionen
|
||||
$
|
||||
L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ) = 1/2 (dot(Q)^2_(n)- omega_(n) ^2 Q_(n) ) <=> dot.double(Q)_(n) + omega_(n) ^2 Q_(n) = 0.
|
||||
$
|
||||
Dabei gibt es mehrere Erhaltungsgroessen wie die Gesamtenergie und auch die Energie pro Mode.
|
||||
|
||||
= Hamilton'sche Mechanik
|
||||
|
||||
== Hamiltonfunktion und kanonische BWGL
|
||||
|
||||
Bisher haben wir die Lagrangefunktion mit den generalisierten Koordinaten und den generalisierten Geschwindigkeiten betrachtet. Diese hat dann $2 f + 1$ Argumente, da sie
|
||||
im Allgemeinen auch von der Zeit abhaengen kann.
|
||||
Wir definieren die Hamiltonfunkition als $H: P -> RR$. Der Phasenraum ist dabei von den generalisieren Koordinaten und den generalisieren Impulsen aufgespannt.
|
||||
Der Zustand wird hier durch einen Punkt im Phasenraum beschrieben. Es gilt dabei wie gehabt fuer den generalisierten Impuls
|
||||
$
|
||||
p_(k) = (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) => dot(q)_(k) = dot(q)_(k) (q, p, t).
|
||||
$
|
||||
Diese Implikation muss vorrausgesetzt werden. Die Hamiltonfuntkion ist dabei als das negative der Legendretransformation der Lagrangefunktion definiert.
|
||||
#definition[
|
||||
Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch
|
||||
$
|
||||
H = sum dot(q)_(k) (q, p, t) p_(k) - L (q, dot(q) (q, p, t), t).
|
||||
$
|
||||
Dieses Objekt ist immer genau dann erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhaengt.
|
||||
]
|
||||
|
||||
#example[
|
||||
Ein freies Teilchen in polarkoordinaten kann durch die Lagrangefunktion
|
||||
$
|
||||
L = m/2 (dot(rho)^2 + rho^2 dot(phi)^2 )
|
||||
$
|
||||
beschrieben werden. es folgt fuer den generaliserten Impuls
|
||||
$
|
||||
p_(phi) = m rho^2 dot(phi) \
|
||||
p_(rho) = m dot(rho).
|
||||
$
|
||||
Dadurch ergibt sich fuer die Hamiltonfunktion
|
||||
$
|
||||
H &= p_(phi) dot(phi) + p_(rho) dot(rho) - L = p_(phi) ^2 1/(m rho^2 ) + p_(rho) ^2 1/m - m/2 (p_(phi) ^2 /m^2 + p_(phi) ^2 /(m^2 rho ^(4) ) rho^(2) ) \
|
||||
&= 1/(2 m) [p_(phi) ^2 /rho^2 + p_(rho) ^2 ].
|
||||
$
|
||||
]
|
||||
|
||||
== Kanonische BWGL oder Hamiltonsche BWGL
|
||||
|
||||
Wir haben gegeben durch die Definition
|
||||
$
|
||||
d H = (partial H) / (partial q_(k) ) d q_(k) + (partial H) / (partial p_(k) ) d p_(k) + (partial H) / (partial t) d t.
|
||||
$
|
||||
Aus der Definition von H folgt dann
|
||||
$
|
||||
(partial H) / (partial q_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) ) = - (partial L) / (partial q_(k) ) = - dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) = - dot(p)_(k), \
|
||||
(partial H) / (partial p_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) ) + dot(q)_(k) - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) ) = dot(q)_(k), \
|
||||
(partial H) / (partial t) &= sum _(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) p_(l) - sum _(l) (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) - (partial L) / (partial t) = - (partial L) / (partial t).
|
||||
$
|
||||
Als kanonische BWGL werden dann die Beziehungen
|
||||
$
|
||||
(partial H) / (partial q_(k) ) = - dot(p)_(k) , space (partial H) / (partial p_(k) ) = dot(q)_(k) , space k = 1, ..., f,
|
||||
$
|
||||
bezeichnet.
|
||||
|
||||
#example[
|
||||
Gegeben sei
|
||||
$
|
||||
L (x_1, x_2, x_3, dot(x)_(1) , dot(x)_(2) , dot(x)_(3) ) = m/2 dot(arrow(r)) ^2 - V (arrow(r)).
|
||||
$
|
||||
Es folgt dann ohne Rechnung
|
||||
$
|
||||
H = 1/(2 m) [p_(1) ^2 + p_(2) ^2 + p_(3) ^2 ] + V (arrow(r)) \
|
||||
dot(p)_(i) = - (partial H) / (partial x_(i) ) = - (partial V) / (partial x_(i) ) , space i = 1, 2, 3 , space dot(x)_(i) = (partial H) / (partial p_(i) ) = p_(i) /m.
|
||||
$
|
||||
Fuer die Impulse ergibt sich dann
|
||||
$
|
||||
dot(arrow(p)) = - arrow(nabla) V \
|
||||
arrow(p) = m dot(arrow(r)).
|
||||
$
|
||||
Im Allgemeinen ist fuer kartesische Koordinaten der verallgemeinerte Impuls nicht gleich die Masse multipliziert it der verallgemeinerten Geschwindigkeit.
|
||||
]
|
||||
#example[
|
||||
Fuer den harmonischen Oszillator ergibt sich dann
|
||||
$
|
||||
L = m/2 dot(q)^2 - m/2 omega_(0) ^2 q^2 => H (q, p) = p^2 /(2 m) + 1/2 m omega_(0) ^2 q^2 .
|
||||
$
|
||||
Jetzt koennen wir die kanonischen BWGL ausrechnen
|
||||
$
|
||||
(partial H) / (partial q) = m omega_0 ^2 q = - dot(p) \
|
||||
(partial H) / (partial p) = p/m = dot(q).
|
||||
$
|
||||
Es folgt dann fuer das Gleichungssytem
|
||||
$
|
||||
vec(dot(q), dot(p)) = mat(
|
||||
0, 1/m;
|
||||
- m omega_0 ^2 , 0;
|
||||
) vec(q, p).
|
||||
$
|
||||
Ansatz ist dann
|
||||
$
|
||||
vec(q, p) = arrow(c) e ^(lambda t) => vec(dot(q), dot(p)) = lambda arrow(c) e ^(lambda t) = A arrow(c) e ^(lambda t) \
|
||||
=> A arrow(c) = lambda arrow(c) => det mat(
|
||||
- lambda, 1/m;
|
||||
- m omega_0 ^2 , - lambda;
|
||||
) = 0 => lambda^2 + omega_0 ^2 = 0 => lambda = +- i omega_0.
|
||||
$
|
||||
In der Uebung folgt dann, dass
|
||||
$
|
||||
vec(q, p) = a vec(1, i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t) + b vec(1, - i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t) .
|
||||
$
|
||||
Dadurch ergibt sich dann fuer $q$ und den Impuls
|
||||
$
|
||||
q = a e ^(i omega_0 t) + b e ^(- i omega_0 t) \
|
||||
p = i m omega_0 (a e ^(i omega_0 t) - b e ^(- i omega_0 t) ).
|
||||
$
|
||||
Das waere eine Loesung fuer die Phasenraumtrajektorien.
|
||||
]
|
||||
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user