From ea4a50cf6c90ab9ae4a9204daefe386e99492f1a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Jonas Hahn <jonashahn1@gmx.net>
Date: Fri, 18 Jul 2025 09:47:53 +0200
Subject: [PATCH] some new

---
 S2/AnaMech/VL/AnMeVL16.typ |  65 ++++++++++++
 S2/AnaMech/VL/AnMeVL17.typ | 165 ++++++++++++++++++++++++++++++
 S2/AnaMech/VL/AnMeVL18.typ | 175 ++++++++++++++++++++++++++++++++
 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL16.typ |  42 ++++++++
 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL17.typ |  63 ++++++++++++
 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL18.typ | 199 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL19.typ |  68 +++++++++++++
 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL20.typ | 188 +++++++++++++++++++++++++++++++++++
 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL21.typ | 174 ++++++++++++++++++++++++++++++++
 9 files changed, 1139 insertions(+)
 create mode 100644 S2/AnaMech/VL/AnMeVL16.typ
 create mode 100644 S2/AnaMech/VL/AnMeVL17.typ
 create mode 100644 S2/AnaMech/VL/AnMeVL18.typ
 create mode 100644 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL17.typ
 create mode 100644 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL18.typ
 create mode 100644 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL19.typ
 create mode 100644 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL20.typ
 create mode 100644 S2/ExPhyII/VL/ExIIVL21.typ

diff --git a/S2/AnaMech/VL/AnMeVL16.typ b/S2/AnaMech/VL/AnMeVL16.typ
new file mode 100644
index 0000000..c5dc070
--- /dev/null
+++ b/S2/AnaMech/VL/AnMeVL16.typ
@@ -0,0 +1,65 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 16,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+= Das Hamiltonsche Prinzip
+
+Die Wirkung $S$ ist gegeben als ein Skalar gegeben durch das Funktional der erlaubten Bahnkurven
+$
+	S [q] =  integral _(t_1 ) ^(t_2 ) d t  L (q, dot(q), t),
+$
+mit $q =  (q_1 ,q_2, ..., q_(f) ), dot(q)_(k) = (dif q_(k) ) / (dif t), q_(k) (t_1 ), q_(k) (t_2 ) "fest" $.
+
+Die physikalische Loesung folgt dann aus dem Extremem der Wirkung
+$
+	delta S =^(!) 0
+$
+bei Variation der $q_(k) : (delta q_(k) = 0 )$
+$
+	q_(k) -> tilde(q)_(k) + delta q_(k).
+$
+Aus der Variationsrechnung folgt dann die Euler-Lagrange Gleichung
+$
+	dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) - (partial L) / (partial q_(k) ) = 0.
+$
+Die allgemeine Variationsrechnung ist dann gegeben durch
+$
+	J [y]= integral_(s_1 )^(s_2 ) d s F (y, y', s), y' =  (dif y) / (dif s).
+$
+
+= Diskussion
+
+- Bisher haben wir ein AWP der Form $q_(k) (t_0 ), dot(q)_(k) (t_0 )$ mit $2 f$ Konstanten
+- Mit dem Hamiltonschen Prinzip (HP) hat das AWP einfach die Form $q_(k) (t_1), q_(k) (t_2 )$ also wieder $2 f $ Konstanten
+
+#example[
+	Wurf von Kreide.
+
+	Die Frage ist mit welchen Anfangsbedingungen muss ich starten, damit ich dort hinten ankomme. Waehle also $dot(x), dot(z)$ bei $t_1 $ so, dass $(x, z) = (x_0 , 0)$ bei $t_2 $.
+	Es gibt also einen eindeutigen Punkt bei dem wir schreiben koennen
+	$
+		x_0 =  x_0 (dot(x) (t_1 ), dot(z) (t_1 ))
+	$
+]
+
+In der Mechanik treten immer DGL von 2. Ordnung in der Zeit auf. Ist das immer so in der Variationsrechnung?
+Wichtig ist noch das Prinzip der kleinsten Wirkung und die Stetigkeit des Funktionals. Nicht jedes Funktional laesst sich mit der Euler-Lagrange Gleichung loesen.
+
diff --git a/S2/AnaMech/VL/AnMeVL17.typ b/S2/AnaMech/VL/AnMeVL17.typ
new file mode 100644
index 0000000..5760429
--- /dev/null
+++ b/S2/AnaMech/VL/AnMeVL17.typ
@@ -0,0 +1,165 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Starrer Koerper mit N MP.
+
+Lage im Raum festgelegt durch 3 Koerpereigene Punkte $P_1, P_2, P_3 $, welche nicht auf einer Gerade liegen.
+Dies sind die Ortsvektoren eines raumfesten Intertialsystems mit $arrow(r)_(1), arrow(r)_(2) , arrow(r)_(3)  $, sind linear unabhaengig.
+
+Es gibt dann also 3 Z.B. der Form $arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) =  "const." , space (i ,j) =  (1,2), (1, 3), (2, 3)$, wodurch es dann $f =  9 - 3 = 6$ Freiheitsgerade.
+Das Inertialsystem kann sich gleichfoermig bewegen, Translatiert sein oder sich um eine der Drei achsen gedreht haben.
+
+== 4.2 Starrer Koerper
+
+=== 4.2.1 SP Bewegung
+
+Es gilt fuer den Schwerpunkt
+$
+	arrow(R) =  1/M sum _(i) arrow(r)_(i) m_(i),
+$
+was 3 translatorischen Freiheitsgeraden entspricht. Dabei ist $arrow(r)_(i) $ das Inertialsystem und $arrow(r)'_(i) $ das Koerpereigene System.
+
+=== 4.2.2 Traegheitsmoment
+
+Wir betrachten eine Drehung $arrow(omega) =  omega arrow(e)_(z) $. Die Drehung mit dem Winkel kann dann durch die rechte Hand Regel bestimmt werden.
+Der Drehwinkel ist hier $phi$. Die Geschwindigkeit auf dem Kreisbogen ist gegeben durch
+$
+	2 pi rho =  v T \
+	=> v =  omega rho,
+$
+wobei $rho$ der Abstand zum Ursprung ist. Die Kinetische Energie ist gegeben durch
+$
+	T =  1/2 m arrow(v)^2 =  1/2 m rho^2 omega^2 =  1/2 m rho^2  dot(phi)^2 , space omega =  dot(phi) =  (dif phi) / (dif t).
+$
+Wir schreiben um zu
+$
+	T =  1/2 Theta dot(phi)^2  \
+	Theta =  m rho ^2,
+$
+wobei $Theta$ das Traegheitsmoment bei Rotation um die z-Achse ist. Im allgemeinen ist das Traegheitsmoment fuer meherere MP gegeben durch
+$
+	Theta =  sum  _(i)  m_(i) rho_(i) ^2 \
+	Theta =  integral rho ^2 d m.
+$
+
+=== 4.2.3 Einschub Beschleunigte Bezugssysteme
+
+Vom IS wird eine raeumliche verschiebung durch den Vektor $arrow(r)_(0) (t)$ in ein KS. Bei einer Koration kann die Rotation aus der Geometrie abgelesen werden.
+
+Falls $O_(I S) =  O_(K S) => "Die Vektoren sind gleich, aber nicht die Koordinaten"$.
+Fuer die Geschwindigkeiten folgt dann (wobei $arrow(e)_(i) $ die Basen im IS sind und $arrow(e)'_(i) $ die Basen im KS)
+
+$
+	sum _(i)  dot(x)_(i)  arrow(e)_(i)  =  sum _(i)  [dot(x)_(i) arrow(e)_(i) +  x'_(i) dot(arrow(e))'_(i) ] \
+	=> arrow(v)_(I S)  =  arrow(v)_(K S) +  sum _(i) x'_(i  dot(arrow(e))'_(i).
+$
+Eine Drehung $D$ ist gegeben durch eine Drehmatrix mit $D D^(T) =  D^(T) D = E$
+$
+	arrow(e)'_(i) =  D_(i j)  arrow(e)_(j) => arrow(e)_(j)  =  D_(i j) arrow(e)'_(i)  \
+	dot(arrow(e))'_(i)  =  D_(i j)  dot(arrow(e))_(j) +  dot(D)_(i j)  arrow(e)_(j)  = dot(D)_(i j)  arrow(e)_(j).
+$
+Wir muessen spaeter alles in das gestrichene System zurueckfuehren. Es folgt
+$
+	dot(arrow(e))'_(i) =  dot(D)_(i j)  underbrace(D_(k j) arrow(e)'_(k), arrow(e)_(j) ) , space A =  dot(D) D^(T).
+$
+Wir behaupten, dass $A +  A^(T) = 0 => A "ist antisymetrisch"$.
+Rechne
+$
+	dot(D) D^(T) +  (dot(D) D^(T) )^(T) =  dot(D) D^(T) +  D dot(D)^(T) =  dif / (dif t) (D D^(T) ) =  dif / (dif t) E = 0.
+$
+Die Matrix $A$, gegeben durch 
+$
+	mat(
+		0, A_(1 2), A_(1 3) ;
+		- A_(1 2) , 0, A_(2 3) ;
+		- A _(1 3) , - A_(2 3) , 0;
+	),
+$
+hat also 3 unabhaengige Zahlen.
+Dann kann ein beliebiger Vektor $q$ an die Matrix $A$ multipliziert werden.
+Das ergibt ein Ergebnis aehnlich zum Kreuzprodukt.
+Waehle dann 
+$
+	A_(1 2)  =  - omega_(3) , A_(1 3)  =  omega_(2) , A_(2 3) = -  omega_(1)  \
+	=> A arrow(q) =  arrow(omega)times arrow(q).
+$ 
+Damit folgt dann fuer die Geschwindigkeit im IS
+$
+	dot(arrow(r))_(I S)  =  dot(arrow(r))' _(K S)  +  arrow(omega) times arrow(r)'_(K S)  +  dot(arrow(r))_(0) , space arrow(omega): "instantantane Drehachse" \
+	arrow(omega) =  arrow(omega)'.
+$
+
+=== 4.2.4 Kinetische Energie
+
+Starrer Koerper: $dot(arrow(r))'_(mu) =  arrow(0)$ in KS.
+Wir setzen also in den Ausdruck fuer die Kinetische Energie ein
+$
+	T =  sum_(i =  1)^(N) m_(i) /2 dot(arrow(r))_(i) ^2 =  sum _(i) m_(i) /2 [dot(arrow(r))_(0) +  (omega times arrow(r)'_(i) )]_(i) ^2 dot(arrow(r))_(0) =  arrow(v)_(0) \
+	=  sum _(i) m_(i) /2 arrow(v)_(0) ^2 +  sum _(i) m_(i) arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )+  sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega) times arrow(r)'_(i) )^2   .
+$
+Wir schreiben 
+$
+	T =  M/2 arrow(v)_(0) ^2  +  T_("mix")  +  T_("rot") \
+	T_("mix") =  arrow(v)_(0) * (arrow(omega) times sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i) ) \
+	= sum _(i) m_(i) arrow(r)'_(i)  * (arrow(v)_(0) times arrow(omega)) \
+$
+Nun kann dieser Term durch die Wahl von $0_(K S) $ vereinfacht werden. 
+Falls der Schwerpunkt vom starren Koerper im Ursprung von KS liegt, dann faellt $T_("mix") $ weg. Falls wir einen Punkt des starren Koerpers fixieren, dann ist $v_0 = 0$ wodurch
+$
+	T =  T_("rot")
+$
+gilt.
+
+=== 4.2.5 Traegheitstensor
+
+Jetzt wollen wir die Rotationsenergie umschreiben zu
+$
+	T_("rot")  =  sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)times arrow(r)'_(i) )^2 =  sum _(i) m_(i) /2 (arrow(omega)^2 arrow(r)'^2_(i) - (arrow(omega) * arrow(r)'_(i) )^2  ) \
+	=> sum _(j) m_(j) /2 sum  _(i k)  (omega_(i) omega_(i) r'_(j k) r'_(j k) - omega_(i) r'_(j i) omega_(k) r'_(j k)   ) \
+	
+	= sum _(j) m_(j) /2 sum  _(i k) omega_(i) omega_(k) (delta_(i k)  r'_(j k) r'_(j i) - r'_(j k)   ) =  1/2 sum _(i k) omega_(i) omega_(k) Theta_(i k) \
+	Theta_(i k) =  sum _(j) m_(j)  (delta_(i k) (arrow(r)'_(j))^2 - r'_(j i) r'_(j k) ) \
+	=> T_("rot")  =  1/2 arrow(omega) ^(T) Theta arrow(omega) .
+$
+Ein Kreuzprodukt kann quadriert werden
+$
+	(arrow(a)times arrow(b))^2  =  arrow(a)^2 arrow(b)^2  - (arrow(a) * arrow(b))^2.
+$
+Mit Nebenrechnung
+$
+	(arrow(a)times  arrow(b))_(k)  =  epsilon_(k l m) a_(l) b_(m)  \
+	=> (arrow(a)times arrow(b)) * (arrow(a)times arrow(b)) =  omega_(k l m)  epsilon_(k r s)  a_(l) b_(m) a_(r) b_(s) \
+	=  (delta_(l r) delta_(m s)  - delta_(l s) delta _(m r) ) a_(l)  b_(m) a_(r) b_(s)  \
+	=  a_(l) a_(l) b_(m) b_(m) -  (a_(l) b_(l)) ^2 .
+$
+
+Der Traegheitstensor ist symetrisch und reel, diese ist also diagnonalisierbar. Mit
+$
+	Theta_(D) =  Lambda ^(T) Theta Lambda \
+	Theta_(D) = mat(
+		Theta_(1) , 0, 0;
+		0, Theta_(2) , 0;
+		0, 0, Theta_(3) ;
+	).
+$
+Hier sind dann die $Theta_(i) $ die Haupttraegheitsmomente.
+
diff --git a/S2/AnaMech/VL/AnMeVL18.typ b/S2/AnaMech/VL/AnMeVL18.typ
new file mode 100644
index 0000000..60f1f10
--- /dev/null
+++ b/S2/AnaMech/VL/AnMeVL18.typ
@@ -0,0 +1,175 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Allgemeine Loesung quadratischer Lagrangefunktionen
+
+$
+	L =  1/2 [dot(arrow(q))^(T) tilde(T)dot(arrow(q)) - arrow(q)^(T) tilde(V)arrow(q)] =  1/2 sum _(i k) [tilde(T)_(i k) dot(q)_(i) dot(q)_(k) - tilde(V)_(i k) q_(i) q_(k)  ],
+$
+wobei $k =  1, ..., f$ und die beiden Matrizen reel, quadratisch und symmetrisch sind. Dadurch sind diese diagonalisierbar.
+
+Formal ist die Trafo
+$
+	arrow(q) =  C arrow(Q)
+$
+gesucht, mit
+$
+	C^(T) tilde(T) C =  E \
+	C^(T) tilde(V)C =  Omega^2,
+$
+wobei $Omega^2 $ dann eine diagonalisierte Matrix ist mit quadratischen Eintraegen.
+Nun wird eine Hauptachsentrafo, die V und T gleichzeitig diagonalisiert.
+Wir betrachten $omega_(r) ^2 != omega_(s) ^2 $ mit
+$
+	(- omega_(r) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(r) = arrow(0) \
+	(- omega_(s) ^2 tilde(T)+ tilde(V))arrow(c)_(s) = arrow(0) \
+	tilde(T)^(T) = tilde(T) , space tilde(V)^(T) = tilde(V) , space T >= 0 \
+	=> tilde(T)_(r s)  =   arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(s)  =  0 , space arrow(c)_(r) ^(T) tilde(T) arrow(c)_(r)  > 0.
+$
+Nun werden die EW gefunden
+$
+	(- omega_(n) tilde(T) +  tilde(V))arrow(c)_(n) =  arrow(0) "ist unterbestimmtes LGS" \
+	=> arrow(q) (t) =  sum _(n = 1) ^(f) arrow(c)_(n) [a_(n) exp(i omega_(n) t) + b_(n) exp(- i omega_(n) t ) ] \
+	arrow(q) =  sum _(n) arrow(c)_(n) Q_(n) =  Q_(n) => dot.double(Q) +  omega_(n) ^2 Q = 0.
+$
+
+Nun schreiben wir fuer die Lagrangefunktion, dass
+$
+	L (Q,dot(Q)) = L (q (Q), dot(q) (dot(Q))) &= 1/2 [dot(arrow(Q))^(T) C^(T) tilde(T) C dot(arrow(Q)) - arrow(Q)^(T) C^(T) tilde(V) C arrow(Q)] \
+	&= 1/2 sum _(n) (dot(Q)^2 _(n) - omega_(n) ^2 Q_(n) ^2  ) =  sum _(n) L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ).
+$
+Das ergibt dann die entkoppelten Lagrangefunktionen
+$
+	L_(n) (Q_(n) , dot(Q)_(n) ) =  1/2 (dot(Q)^2_(n)- omega_(n) ^2 Q_(n)   ) <=> dot.double(Q)_(n) +  omega_(n) ^2 Q_(n) = 0.
+$
+Dabei gibt es mehrere Erhaltungsgroessen wie die Gesamtenergie und auch die Energie pro Mode.
+
+= Hamilton'sche Mechanik
+
+== Hamiltonfunktion und kanonische BWGL
+
+Bisher haben wir die Lagrangefunktion mit den generalisierten Koordinaten und den generalisierten Geschwindigkeiten betrachtet. Diese hat dann $2 f +  1$ Argumente, da sie
+im Allgemeinen auch von der Zeit abhaengen kann.
+Wir definieren die Hamiltonfunkition als $H: P -> RR$. Der Phasenraum ist dabei von den generalisieren Koordinaten und den generalisieren Impulsen aufgespannt.
+Der Zustand wird hier durch einen Punkt im Phasenraum beschrieben. Es gilt dabei wie gehabt fuer den generalisierten Impuls
+$
+	p_(k) =  (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) => dot(q)_(k) =  dot(q)_(k) (q, p, t).
+$
+Diese Implikation muss vorrausgesetzt werden. Die Hamiltonfuntkion ist dabei als das negative der Legendretransformation der Lagrangefunktion definiert.
+#definition[
+	Die Hamiltonfunktion ist gegeben durch
+	$
+		H = sum dot(q)_(k) (q, p, t) p_(k) - L (q, dot(q) (q, p, t), t).
+	$
+	Dieses Objekt ist immer genau dann erhalten, wenn die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhaengt.
+]
+
+#example[
+	Ein freies Teilchen in polarkoordinaten kann durch die Lagrangefunktion
+	$
+		L =  m/2 (dot(rho)^2 +  rho^2 dot(phi)^2  )
+	$
+	beschrieben werden. es folgt fuer den generaliserten Impuls
+	$
+		p_(phi)  =  m rho^2 dot(phi) \
+		p_(rho) =  m dot(rho).
+	$
+	Dadurch ergibt sich fuer die Hamiltonfunktion
+	$
+		H &=  p_(phi)  dot(phi) +  p_(rho) dot(rho) - L =  p_(phi) ^2 1/(m rho^2 ) +  p_(rho) ^2 1/m -  m/2 (p_(phi) ^2 /m^2 +  p_(phi) ^2 /(m^2 rho ^(4) ) rho^(2) ) \
+		&= 1/(2 m) [p_(phi) ^2 /rho^2 +  p_(rho) ^2 ].
+	$
+]
+
+== Kanonische BWGL oder Hamiltonsche BWGL
+
+Wir haben gegeben durch die Definition
+$
+	d H =  (partial H) / (partial q_(k) ) d q_(k) +  (partial H) / (partial p_(k) ) d p_(k) +  (partial H) / (partial t)  d t.
+$
+Aus der Definition von H folgt dann
+$
+	(partial H) / (partial q_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) )  - (partial L) / (partial q_(k) ) - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial q_(k) ) = -  (partial L) / (partial q_(k) )  = - dif / (dif t) (partial L) / (partial dot(q)_(k) ) =  - dot(p)_(k), \
+	(partial H) / (partial p_(k) ) &= sum _(l) p_(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) )  + dot(q)_(k)  - sum (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial p_(k) )   = dot(q)_(k), \
+	(partial H) / (partial t) &= sum _(l) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) p_(l) - sum _(l) (partial L) / (partial dot(q)_(l) ) (partial dot(q)_(l) ) / (partial t) - (partial L) / (partial t) =  - (partial L) / (partial t).
+$
+Als kanonische BWGL werden dann die Beziehungen
+$
+	(partial H) / (partial q_(k) )  =  - dot(p)_(k) , space (partial H) / (partial p_(k) ) =  dot(q)_(k)  , space k =  1, ..., f,
+$
+bezeichnet.
+
+#example[
+	Gegeben sei
+	$
+		L (x_1, x_2, x_3, dot(x)_(1) , dot(x)_(2) , dot(x)_(3) ) =  m/2 dot(arrow(r)) ^2  -  V (arrow(r)).
+	$
+	Es folgt dann ohne Rechnung
+	$
+		H =  1/(2 m) [p_(1) ^2 +  p_(2) ^2 + p_(3) ^2 ] +  V (arrow(r)) \
+		dot(p)_(i)  =  - (partial H) / (partial x_(i) )  =  - (partial V) / (partial x_(i) )  , space i =  1, 2, 3 , space dot(x)_(i)  =  (partial H) / (partial p_(i) )  =  p_(i) /m.
+	$
+	Fuer die Impulse ergibt sich dann
+	$
+		dot(arrow(p)) =  -  arrow(nabla) V \
+		arrow(p) =  m dot(arrow(r)).
+	$
+	Im Allgemeinen ist fuer kartesische Koordinaten der verallgemeinerte Impuls nicht gleich die Masse multipliziert it der verallgemeinerten Geschwindigkeit.
+]
+#example[
+	Fuer den harmonischen Oszillator ergibt sich dann
+	$
+		L =  m/2 dot(q)^2 - m/2 omega_(0) ^2  q^2 => H (q, p) =  p^2 /(2 m) +  1/2 m omega_(0) ^2  q^2 .
+	$
+	Jetzt koennen wir die kanonischen BWGL ausrechnen
+	$
+		(partial H) / (partial q)  =  m omega_0 ^2 q =  - dot(p) \
+		(partial H) / (partial p)  =  p/m =  dot(q).
+	$
+	Es folgt dann fuer das Gleichungssytem
+	$
+		vec(dot(q), dot(p)) =  mat(
+			0, 1/m;
+			- m omega_0 ^2 , 0;
+		) vec(q, p).
+	$
+	Ansatz ist dann
+	$
+		vec(q, p) =  arrow(c) e ^(lambda t) =>  vec(dot(q), dot(p)) =  lambda arrow(c) e ^(lambda t)  =  A arrow(c) e ^(lambda t) \
+		=> A arrow(c) =  lambda arrow(c) => det mat(
+			- lambda, 1/m;
+			- m omega_0 ^2 , - lambda;
+		) = 0 => lambda^2 +  omega_0 ^2 = 0 => lambda =  +- i omega_0.
+	$
+	In der Uebung folgt dann, dass
+	$
+		vec(q, p) =  a vec(1, i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t)  +  b vec(1, - i m omega_0 ) e ^(i omega_0 t) .
+	$
+	Dadurch ergibt sich dann fuer $q$ und den Impuls
+	$
+		q =  a e ^(i omega_0 t)  +  b e ^(-  i omega_0 t) \
+		p =  i m omega_0 (a e ^(i omega_0 t) - b e ^(-  i omega_0 t) ).
+	$
+	Das waere eine Loesung fuer die Phasenraumtrajektorien.
+]
+
+
diff --git a/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL16.typ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL16.typ
index b043db8..bfbe18d 100644
--- a/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL16.typ
+++ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL16.typ
@@ -39,6 +39,8 @@ $
 Bei unendlich langen Spulen ist das Magnetfeld aussen gleich Null.
 In der gegebenen Abbildung ist doch nur eine kleine Spule dargestellt.
 
+#highlight[TODO: what is the definition of j]
+
 === 3.4.1 Realisierung homogener Magnetfelder
 
 Ausserhalb einer Spule kann ein homogenes Magnetfeld durch ein Helmholtzspulenpaar erstellt werden. Dazu siehe die Abbildung.
@@ -124,3 +126,43 @@ $
 Der Strom selber ist ein Skalar und die Stromdichte ist eine Vektorielle Groesse.
 Die Vektorielle Groesse kann mittels der Eigenschaft eines nicht ausgerichteten Stroms eliminiert werden.
 
+== 3.5 Kraft auf Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld
+
+Allgemein gilt die empirisch gefundene allgemeine Lorentzkraft
+#highlight[TODO: wikipedia level explaination of this in detail]
+$
+	F = q (arrow(v) times arrow(B) +  arrow(E)).
+$
+Was ist das $q$ in einem stromdurchflossenen Leiter?
+Im allgemeinen ist dies nur eine einzelne Ladung, jedoch kann dies durch die Ladungsdichte mal dem Volumen eines kleinen Leiterstueckes betrachtet wird
+$
+	Q = rho V =  q * n * A * d L,
+$
+wobei $Q$ die Gesamtzahl der Ladungen, $n$ die Ladungstraegerdichte und $A$ die Querschnittsflaeche des Leiters ist. 
+Damit folgt dann fuer ein Leiterstueck
+$
+	d arrow(F)_(L) =  n * q * A * d L (arrow(v) times arrow(B)).
+$
+Und mit der Stromdichte $arrow(j) =  n * q * arrow(v)_("Drift") $ ergibt sich dann
+$
+	d arrow(F)_(L) =  A * d L (arrow(j) times arrow(B)) = I (d underbrace(arrow(L), "Richtung tech. Strom") times arrow(B)).
+$
+Dies ist also die Kraft auf ein stromdurchflossenes Leiterelement in einem externen Magnetfeld.
+
+= Kraft zwischen zwei parallelen Leitern
+
+Das magnetfeld von einem Draht hat die Form
+$
+	arrow(B) =  (mu_0 ) / (2 pi r)  I hat(phi).
+$
+Somit ergibt sich fuer die Kraft auf den einen Leiter
+$
+	d arrow(F)_(L)  I  (d arrow(L) times arrow(B)) \
+	d arrow(L) perp hat(phi) => d arrow(F) =  I_(1)  d L (mu_0 I_(2) ) / (2 pi r) hat(r).
+$
+Falls der Strom durch beide Leiter $1"A"$ ist und der Abstand gleich der Laenge gleich $1"m"$ ist, so betraegt die Kraft zwischen den Leitern
+$
+	F =  (mu_0 ) / (2 pi)  =  2 * 10 ^(-7) N.
+$
+Das Ampere ist genau so definiert, dass es passt. Diese Kraft kann mit zwei parallelen stromdurchflossenen Leitern demonstriert werden.
+
diff --git a/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL17.typ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL17.typ
new file mode 100644
index 0000000..c7ca40c
--- /dev/null
+++ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL17.typ
@@ -0,0 +1,63 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
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+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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+)
+
+= Uebersicht
+
+Das Superpositionsprinzip gilt auch fuer ein magnetisches Feld z.B. bei der Spule
+$
+	B =  mu_0 N/L I.
+$
+Die Lorentzkraft ist gegeben durch
+$
+	arrow(F)_(L) =  q (arrow(v)times arrow(B)).
+$
+Erinnerung fuer das Drude Modell fuer den Stromfluss. Dadurch laesst sich der elektrische Widerstand herleiten sowie andere Eigenschaften von stromdurchflossenen Leitern.
+Wenn sich Elektronen bewegen und mit dem Atomgitter streuen, dann gibt es auch hier einen Impulsuebertrag.
+Dies kann mittels des Barlouschen Rades demonstriert werden.
+
+== 3.6 Anwendung statischer Magnetfelder
+
+=== 3.6.1 Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
+
+Betrachte ein Magnetfeld mit nur einer Komponenten $B_(z) $, wobei die Schleifenachse in y-Richtung ausgerichtet ist.
+Diese stromdurchflossene Leiterschleife wird die Lorentzkraft erfahren.
+
+Hier ist sind die Lorentzkraefte gegeben durch
+$
+	arrow(F)_(1) =  I B a hat(x) \
+	arrow(F)_(2) = - I B a hat(x) = - arrow(F)_(1).
+$
+
+Die Kraefte greifen an unterschiedlichen Postitionen an
+$
+	arrow(r)_(1,2)  =  +- b/2 vec(cos phi, 0, sin phi).
+$
+Kraefte fuehren zu Drehmoment auf Schleife
+$
+	arrow(M) = sum arrow(r)_(i)  times arrow(F)_(i) \
+	arrow(M) =  I B a b sin phi hat(y) =  I arrow(A) times arrow(B).
+$
+Dies ist eine Anwendung zur Strommessung durch ein Drespulgavanometer.
+
+=== 3.6.2 Hall Effekt
+
+Zunaechst wird sie ueberlegt wie die Halbleiterplatte vom Stromdurchflossen sein muss, sodass die Hall-Spannung vermessen werden kann.
+Dann kann durch ein Kraeftegleichgeweicht zwischen Lorentzkraft und der Elektrischenkraft bedingt durch die Hallspannung.
+
diff --git a/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL18.typ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL18.typ
new file mode 100644
index 0000000..974b587
--- /dev/null
+++ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL18.typ
@@ -0,0 +1,199 @@
+// Main VL template
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+
+= Noch mehr Induktion und Energie
+
+Wenn sich ein Magnetfeld durch z.B. einen Wechselstrom veraendert, dann wird natuerlich auch eine Spannung im Leiter induziert.
+Die Energie im Magnetfeld ist gegeben durch
+$
+	W_("mag")  =  (1) / (2 mu_0 ) B^2.
+$
+Die Energie im elektrischen Feld ergibt sich analog dazu
+$
+	W_("el") =  1/2 epsilon_0 E^2 
+$
+
+= 5. Elektromagnetische Schwingungen und Wechselstrom
+
+== 5.1 Wechselstrom
+
+Betrachte Verhalten von Widerstand, Kondensator und Spule im Wechselstromkreis. Wir legen zunaechst eine Wechselspannung der allgemeinen Form
+$
+	U (t) =  U_0 cos (omega t),
+$
+wobei $omega$ die Kreisfrequenz ist, an.
+Wenn wir nun den Strom im einfachsten Wechselstromkreis betrachten (Spannungsquelle und Widerstand), dann ergibt sich
+$
+	I (t) =  U_0/R cos (omega t) =  I_0 cos (omega t).
+$
+Der Strom und die Spannung schwingen also in Phase.
+Die elektrische Leistung ergibt sich dann zu
+$
+	P_("el") = U (t) I (t) =  U_0 I_0 cos ^2 (omega t).
+$
+Auch diese ist dadurch in Phase mit den Anderen, wobei sie immer positiv ist.
+Die gemittelte Leistung ergibt sich dann zu
+$
+	angle.l P_("el")  angle.r = 1/T integral_(0)^(T) U_0 I_0 cos ^2 (omega t) d t =  1/2 U_0 I_0,
+$
+wobei die Periodendauer $T$ das Reziproke der Frequenz oder $(2 pi)/omega$.
+Ein Gleichstrom mit 
+$
+	I_("eff") =  I_0 /sqrt(2) , space U_("eff")  =  U_0 /sqrt(2),
+$
+haette die gleiche Leistung wie ein Wechselstrom mit $U_0 $ und $I_0 $.
+#example[
+	Die Hauswechselspannung hat eine Effektivspannung von $230"V"$, wodurch sich $U_0 $ zu
+	$
+		U_0 =  sqrt(2) * 230"V" =  325 "V"
+	$
+	ergibt.
+]
+
+Fuer den Fall, dass C oder L im Stromkreis, dann fuehrt das dazu, dass der Strom Phasenversetzt ist
+$
+	U (t) =  U_0 cos (omega t) \
+	I =  I_0 cos (omega t +  phi).
+$
+Dieser Phasenwinkel $phi$ beeinflusst die mittlere Leistung
+$
+	angle.l P angle.r =  (I_0 U_0 )/2 cos phi
+$
+Dadurch ist bei einem Winkel von $90 degree$ die mittlere Leistung gleich Null.
+#definition[
+	Die von L und C aufgenommene Leistung heisst *Blindleistung*.
+	In einem idealen Stromkreis dieser Form wird also alle Leistung wieder zurueckgegeben.
+	Die im ohmschen Widerstand verbrauchte Leistung wird *Wirkleistung* genannt.
+]
+
+#example[
+	Bei einer Spule ist es so, dass zum Aufbau des Magnetfeldes Energie benoetigt wird und zum Abbau wieder freigesetzt wird. Ganz nach dem Induktionsgesetz.
+]
+
+=== 5.1.1 Kondensator im Wechselstromkreis
+
+Der effektive Widerstand eines Kondensators haengt von der Frequenz $omega$ des Wechselstroms und von der Kapazitaet $C$ ab.
+Es wird also im Stromkreis der Widerstand durch einen Kondensator ausgetauscht.
+Aus der Maschenregel folgt dann
+$
+	U (t) - U_(C) (t) =  0.
+$
+Wir legen eine Sinusschwingung an. Dadurch ergibt sich
+$
+	U_0 sin (omega t) - Q/C =  0 => Q (t) =  U_0 C sin (omega t).
+$
+Fuer den Strom $I = (dif Q) / (dif t) $ folgt dann
+$
+	I =  underbrace(U_0 C omega, I_0 ) cos (omega t) = I_0 sin (omega t +  pi/2).
+$
+Man erkennt also, dass der maximale Strom in diesem Stromkreis direkt proportional zur Kreisfrequenz ist. Auch ist dieser zur Spannung um neunzig Grad verschoben. Dieser eilt also der Spannung vorraus.
+#definition[
+	Der *kapazitive Widerstand* ist gegeben durch
+	$
+		abs(R_(C) ) =  U_0 /I_0 =  1/(omega C).
+	$
+]
+
+=== 5.1.2 Spule im Wechselstromkreis
+
+Nun wird wieder der Kondensator durch eine Spule $L$ ausgetauscht. Nach der Maschenregel folgt wieder
+$
+	U (t) - L (dif I) / (dif t)  =  0. 
+$
+Einsetzen der Wechselspannung
+$
+	(dif I) / (dif t) =  U_0/L sin (omega t).
+$
+Nach Integration folgt dann
+$
+	I =  - U_0 /(omega L) cos (omega t) =  U_0 /(omega L) sin (omega t - pi/2).
+$
+Hier ist der Strom also um $pi/2$ nach hinten verschoben. Dieser hinkt also hinterher.
+#definition[
+	Der *induktive Widerstand* ist gegeben durch
+	$
+		R =  omega L.
+	$
+	Dies kann man durch das Induktionsgesetz erklaeren. Bei hohen Frequenzen wird das Magnetfeld oft umgepolt, wodurch die gegensaetzliche induzierte Spannung groesser wird.
+]
+
+=== 5.1.3 Einfache Netzwerke
+
+Hier wird der Hoch- und Tiefpassfilter betrachtet. Dazu koennen Spulen und Kondensatoren ausgenutzt werden um nur den Strom von verschiedenen Frequenzen passieren zu lassen.
+Eine Schaltung aus Kondensator und Widerstand kann als frequenzabhanngiger Widerstand verwendet werden. Dadurch fliesst nur ein Strom bei hohen Freuquenzen (Hochpass). Die tiefen Frequenzen werden durch den Kondensator geschluckt. Falls die Spannung ueber den Widerstand abgenommen wird, so erhalten wir einen Hochpass. Falls diese ueber den Kondensator abgenommen wird so erhalten wir einen Tiefpass filter. Mit Kirchhoff kann z.B. fuer einen Hochpass das Verhaeltnis der Spannungen errechnet werden
+$
+	U_a/U_(e) =  (omega R C ) / (sqrt(1 + (omega R C)^2 )).
+$
+Fuer einen Tiefpass folgt dann
+$
+	U_(a) /U_(e) =  1/(sqrt(1 +  (omega C R)^2 )).
+$
+Analog funktioniert dass durch die Induktivitaet einer Spule.
+
+=== 5.1.4 Allgemeiner Fall
+
+Hier werden Netzwerte mit Spulen, Kondensatoren und Widerstaenden betrachtet. Diese koennen zum Bespiel alle in Reihe geschaltet werden. Dann folgt durch die Maschenregel
+$
+	U  = L (dif I) / (dif t) +  Q/C +  I R.
+$
+Nach ableiten folgt dann
+$
+	(dif U) / (dif t)  =  L dot.double(I) +    dot(I)  R +   I/C.
+$
+Diese laesst sich mit dem allgemeinen Ansatz loesen
+$
+	U (t) =  U_0 e ^(i omega t)  , space I =  I_0 e ^( i omega t +  phi).
+$
+Nach Einsetzen folgt dann
+$
+	i omega U_0  =  (- L omega^2 +  i omega R +  1/C) I_0.
+$
+Nach Definition des komplexen Widerstandes $Z =  U/I$ folgt 
+$
+	Z =  R +  i (omega L - 1/(omega C)).
+$
+Dieser kann in einem Zeigerdiagramm dargestellt werden.
+Einfache Darstellung des komplexen Widerstandes in einem Zeigerdiagramm. Hier gilt dann
+$
+	Z =  abs(Z) e^(i phi), \
+	tan phi =  Im(Z)/Re(Z).
+$
+#definition[
+	Der Betrag vom komplexen Widerstand wird *Impedanz* genannt
+	$
+		abs(Z) =  sqrt(R^2 +  (omega L - 1/(omega C))^2 ).
+	$
+	Falls 
+	$
+		omega L =  1/(omega C),
+	$
+	dann wird die Phasenverschiebung gleich Null. Es koennen also Induktivitaet und Kapazitaet in einem Schaltkreis verwendet werden ohne eine Phasenverschiebung zu erlangen.
+]
+
+== 5.2 Der elektromagnetische Schwingkreis
+
+Schalte C und L in einem Stromkreis zusammen. Dadurch ergibt sich ein Schwingkreis. Wir stellen uns vor, dass wir den Kondensator mit einer Spannungsquelle aufladen koennen.
+Wir schauen uns an was nach der Zeit passiert. Die Energie im System wird also zwischen dem elektrischen Feld und dem magnetischen Feld hin und her geleitet.
+
+=== 5.2.1 Gedaempfte elektromagnetische Schwingungen
+
+Hier wird noch ein ohmscher Widerstand der Schaltung hinzugefuegt. Dann wird der Kondensator wieder aufgeladen und der Schwingkreis wird eingeschaltet.
+Der Strom laesst sich dann durch eine DGL berechnen. Dies wird jetzt in einem experiment betrachtet und dann in der naechsten Stunde noch genauer in der Theorie.
+
diff --git a/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL19.typ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL19.typ
new file mode 100644
index 0000000..5824996
--- /dev/null
+++ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL19.typ
@@ -0,0 +1,68 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
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+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
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+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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+	//date: datetime(
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+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Weiter bei der gedaempften Schwingung
+
+Wir betrachten wieder den klassischen RLC Schwingkreis.
+Die Differentialgleichung kann mittels einer Masche aufgestellt werden
+$
+	L (dif I) / (dif t)  +  I R +  Q/C = 0 \
+	=> L (dif ^2 I) / (dif t^2 ) +  (dif I) / (dif t) R +  I/C = 0.
+$
+Das ergibt dann die allgemeine Loesung
+$
+	I = A_(1) e ^(- (alpha -   beta)t) +  A_(2) e^(- (alpha + beta)t).
+$
+Die $A_(1) $ und $A_(2) $ lassen sich aus den Anfangsbedingungen berechnen.
+Fuer $alpha$ und $beta$  ergibt sich dann
+$
+	alpha =  R/(2 L) , space beta =  sqrt((R^2 ) / (4 L^2 ) - 1/(L C)).
+$
+Je nach Groesse von R, C und L unterscheidet man wie beim klassischen harmonischen Oszillator in drei Faelle. Die gedaempfte Schwingung bei imaginaeren $beta$, den aperiodischen Grenzfall bei $beta = 0$ und den Kriechfall bei rellem $beta$.
+Bei diesem RLC Schwingkreis wird die Energie im System zwischen der Feldenergie im Kondensator und der Energie in der Spule hin und her transferiert.
+Die Energien sind gegeben durch
+$
+	W_("Spule") =  1/2 L I^2 \
+	W_("Kondensator") =  1/2 C U ^2.
+$
+Die Eigenfrequenz ist gegeben durch
+$
+	omega_0 = 1/(sqrt(L C))
+$
+Im sog. Funkenschwingkreis kann dem System periodisch bei einer bestimmten Spannung Energie hinzugefuegt werden. Ein Funkenstoss fuehrt zu einer Entladung von C und das wiederrum zu einem Magnetfeld von L. Der Abbau von B fuehrt zu einer Umladung von C und das fuehrt zu einer geaempften Schwingung.
+
+Q: Warum entlaedt sich der Kondensator wenn dieser an einer konstanten Spannungsquelle angeschlossen ist? Verstehen von diesem Stromkreis.
+
+Q: Wie kann durch die Reihenfolge von Widerstand und Kondensator ein Hoch- und Tiefpassfilter gebaut werden?
+
+Elektrische Schwinkreise koennen auch induktiv (wie beim Transformator) gekoppelt werden.
+Ein Telsa Tranformator kann hochfrequente Hochspannungen erzeugen.
+
+Q: Haengt die Schwingfrequenz nicht von der Toleranz der Funkenbruecke ab?
+
+== 5.3 Herzscher Dipol
+
+Der herzsche Dipol wird auch als offener Schwingkreis bezeichnet. Ein kleines Leiterstueck ist ein offener Schwinkreis. Im geschlossenen Schwingkreis ist
+die Energie in entweder der Spule oder dem Kondensator lokalisiert. Im offenen Schwingkreis kommt es zur Energieabstrahlung von elektromagnetischen Wellen.
+Das wird auch als Antenne bezeichnet.
+Die Vorstellung ist hier, dass L und C gleichmaessig verteilt sind. Es ist die Induktivitaet des Drahtes und die Kapazitaet ist die Kapazitaet des Drahtes zur Umgebung.
+Es wird auf jeden Fall so sein, dass die Induktivitaet und Kapazitaet klein sind, wodurch die Eigenfrequenz gross wird. Die Kapazitaet ergibt sich zwischen der Erde und der Antenne.
+Statt einer Funkenstrecke kann eine Triode verwendet werden.
+
diff --git a/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL20.typ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL20.typ
new file mode 100644
index 0000000..9001932
--- /dev/null
+++ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL20.typ
@@ -0,0 +1,188 @@
+// Main VL template
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+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
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+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Wiederholung des Stromkreises mit einer Funkenbruecke.
+Versuch des Schwingkreises eines Senders.
+
+Einfache Rechnungen
+$
+	arrow(nabla) (arrow(nabla) times arrow(B)) -  mu_0 arrow(nabla) * arrow(j), \
+	integral.cont arrow(B) dif arrow(s) =  mu_0 integral arrow(j) dif arrow(a).
+$
+
+== 6.2 Maxwellgleichungen
+
+Die Maxwellgleichungen sind gegeben durch
+
+$
+	("M"1) .. arrow(nabla) times arrow(E) &=  (rho) / (epsilon_0 ), \
+	("M"2) .. arrow(nabla) arrow(B) &=  0, \
+	("M"3) .. arrow(nabla) times arrow(E) &=  -(partial arrow(B)) / (partial t), \
+	("M"4) .. arrow(nabla) times arrow(B) &=  mu_0 arrow(j) +  mu_0 epsilon_0 (partial arrow(E)) / (partial t).  \
+$
+Hinzu kommt der Zusammenhang zwischen Feldern und der Kraft
+$
+	("L"1) .. arrow(F) &=  q (arrow(E) +  arrow(v) times arrow(B)).
+$
+Weitere wichtige Beziehungen sind
+$
+	arrow(j) =  sigma arrow(E),
+$
+wobei $sigma$ die Ladungsbeweglichkeit ist.
+
+== 6.3 Elektromagnetische Wellen
+
+Man gehe von den Maxwellgleichungen aus. Dabei wird als Medium das Vakuum angenommen, also $arrow(j) = 0$ und $arrow(nabla) * arrow(E) = (rho) / (epsilon_0 ) =  0$.
+Wir starten mit
+$
+	arrow(nabla) times arrow(nabla) times arrow(B) - mu_0 epsilon_0 arrow(nabla) times arrow(E) = 0 \
+	arrow(nabla) (arrow(nabla) arrow(B)) -  Delta  arrow(B) +  epsilon_0 mu_0  (dif) / (dif t) (dif B) / (dif t)  = 0 \
+	=>  (arrow(nabla) * arrow(nabla) ) arrow(B) -  epsilon_0 mu_0 dif^2  / (dif t^2 )  arrow(B) =  0 .. ("Wellengleichung") \
+	=> Delta arrow(B) - epsilon_0 mu_0 (dif^2 arrow(B)) / (dif t^2  )  =  0.
+$
+Hier ist die Lichtgeschwindigkeit gegeben durch
+$
+	c ^2 =  (1) / (epsilon_0 mu_0 ).
+$
+Wodurch sich die Wellengleichung vereinfacht zu
+$
+	Delta arrow(B) = 1/c^2 (dif ^2 arrow(B)) / (dif t^2 ).
+$
+Die Wellen breiten sich also mit Lichtgeschwindigkeit aus.
+Gleiches Argument kann ausgehend von M3 gestartet werden und dann liefert es
+$
+	Delta arrow(E) =  1/c ^2 (dif ^2 arrow(E)) / (dif t ^2 ).
+$ <welle>
+Dabei wurden wieder die Zusammenhaenge genutzt
+$
+	arrow(nabla) times arrow(E) +  (dif arrow(B)) / (dif t) = 0 \
+	=> arrow(nabla) (arrow(nabla) arrow(E)) -  Delta  arrow(E) +  arrow(nabla) dif / (dif t) arrow(B) = 0.
+$
+Dabei ist im leeren Raum es auch moeglich, dass EM Wellen sich fortpflanzen.
+Die Wellengleichung @welle kann als ebene periodische Welle geloest werden.
+Betrachte dabei eine Welle, die sich in $z$-Richtung ausbreiten und nicht von $x$ oder $y$  abhaengen.
+Als Ansatz waehlen wir
+$
+	tilde(arrow(E)) (z, t) =  tilde(E)_(0)  e ^(i (k z -  omega t))  \
+	tilde(arrow(E)) (z, t) =  tilde(B)_(0)  e ^( i (k z - omega t)).
+$
+Dabei sind $tilde(E)_(0) "und" tilde(B)_(0) $ komplexe Amplituden und koennen sozusagen als Vektor betrachtet werden. Es gilt dabei
+$
+	tilde(E)_(0) = abs(tilde(E)_(0) ) e ^(i phi),
+$
+wobei $phi$ hier die Phase ist.
+Die tastaechliche physikalische Welle ist dann nur noch der Realteil der eigentlichen Welle. Hier ist
+$
+	k = (2 pi) / (lambda) , space "Wellenzahl, mit" , space lambda: "Wellenlaenge".
+$
+Dies sind Loesungen der Wellengleichung. Dabei stellen die Maxwellgleichungen weiter Einschraenkungen fuer $tilde(E) "und" tilde(B)$ dar.
+Es gilt fuer die Wellen
+$
+	sigma = arrow(nabla) arrow(E) => (partial E_(z) ) / (partial z) = 0 \
+	arrow(nabla) * arrow(B) = 0 => (partial B_(z) ) / (partial z) = 0.
+$
+Daraus folgt dann
+$
+	(E_0 )_(z) =  0 and (B_0 )_(z)  = 0,
+$
+wodurch die Amplitude keine z-Komponente hat.
+#remark[
+	Elektromagnetische Wellen sind also Transversalwellen und stehen senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung.
+]
+Es gilt durch Einsetzen der Ansaetze
+$
+	arrow(nabla) times arrow(E) =  - (dif B) / (dif t) \
+	=> - k (E_0 )_(y)  =  omega (B_0 )_(x)  and k (E_0 )_(x)  = omega (B_0 )_(y).
+$
+Wir koennen also sagen: Wenn das E-Feld in x-Richtung zeigt, dann zeigt das B-Feld in die y-Richtung.
+
+== Lernen aus den Wellen und MG
+
+Es gilt fuer die Form von EM Wellen
+$
+	arrow(E) (z, t) =  E_0 e ^(i (k z - omega t)) hat(x), \
+	arrow(B) (z, t) =  B_0 e ^(i (k z - omega t)) hat(y).
+$
+Es stehen $B_0 "und" E_0 $ im Zusammenhang durch $B_0 = E_0 * 1/c$
+Wenn man nur den Realteil betrachet, dann sieht das Ganze so aus
+$
+	arrow(E) (z, t) =  E_0 cos (k z - omega t +  phi) hat(x), \
+	arrow(B) (z, t) =  E_0 * 1/c cos (k z - omega t +  phi) hat(y).
+$
+Diese Wellen lassen sich auch graphisch darstellen in einem dreidimensionalen Graphen mit der Ausbreitungsrichtung auf einer der Achsen. Es sind im Grunde zwei uebereinandergelagerte Schwingungen mit gleicher Frequenz. Diese sind auch nicht gegeneinander Phasenverschoben.
+
+Wir haben also durch die Maxwellgleichungen die MW genauer untersucht.
+
+== 6.4 Elektromagnetsiches Feld eines schwingenden Dipols
+
+Ein offener Schwingkreis, welcher Energie in Form von EM Wellen abstrahlen kann wird als Herzscher Dipol bezeichnet. Wie genau lassen sich EM Wellen mittels des Herzschen Dipol erzeugen?
+Wir schauen und zuerst die Ladungsverteilung an. Der aufgeklappte Schwingkreis ist einfach nur ein gerader Leiterdraht. Angenommen dieser hat die Laenge $l$, eine Stromdichte $arrow(j) =  rho arrow(v)$. Wir interessieren und jetzt fuer das EM Feld an einem bestimmten Punkt $arrow(P)$ mit Ortsvektor $arrow(r)$. Die momentane Ladungsverteilung im Leiter ist gegeben durch $arrow(r)_(2) $.
+Die Ladung an diesem Punkt ist gegeben durch $dif q =  rho dif V$. Betrachte das Vektorfeld an $P$ durch Stromdichte
+$
+	arrow(A) (arrow(r)) =  (mu_0 ) / (4 pi) integral.vol (arrow(j) (arrow(r)') dif tau) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')).
+$
+Die Ladungsdichte schwingt dann durch die angelegte Wechselspannung hier ist $abs(arrow(r) - arrow(r)') := r  $.
+#definition[
+	*Retardierung* ist die Zeitabhaengigkeit der elektrischen Welle. Die Wirkung kommt also immer etwas Zeitverzoegert. Die Wirkung durch die schwingende Ladungsverteilung in der Antenne 
+	in $arrow(r)_(2) $ ausgeloest wird, benoetigt Zeit $Delta t =  r/c$ zu Punkt P.
+]
+Durch Einsetzen der Retartierung folgt dann
+$
+	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi)  integral.vol (arrow(j) (arrow(r)', t - r/c )) / (r) dif tau.
+$
+Wir machen die folgenden Annahmen zur Vereinfachung
+- $l << r$ $==>$ Die Entfernung vom Stab kann als ueberall gleich angenommen werden, wodurch $r$ vor das Integral gezogen werden kann
+- Die Geschwindigkeit der Ladungen $v$ im Stab ist viel langsamer als die Lichtgeschwindigkeit $c$ $==>$ Alle Wellen, welche an verschiedenen Punkten loslaufen erreichen P in gleicher Phase
+
+Es folgt mit den Vereinfachungen
+$
+	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi r) integral.vol arrow(v) rho (arrow(r)', t - r/c ) dif tau.
+$
+Die schwingende Ladungstraegerdichte $rho$  kann als negative Ladung zeitlich veranderlicher Geschwindigkeit aufgefasst werden. Diese schwingt (oszilliert) gegen die positiv geladenen Ionenruempfe. So kann ein Verbindungsvektor
+$
+	arrow(d) =  arrow(d_0) sin (omega t),
+
+$
+definiert werden, wobei $d$ der Abstand der Ladungsschwerpunkte im Leiter ist. Die Oszillation ist gegeben durch den Wechselstrom
+$
+	I =  I_0 cos (omega t).
+$
+Damit sieht der Stab wie ein schwingender Dipol aus und nennt sich *Herzscher Dipol*.
+Das Dipolmoment ist gegeben durch
+$
+	arrow(p) (t) =  arrow(d)_(0) q sin (omega t) hat(z).
+$
+Wir koennen wieder in das Vektorpotential einsetzen und erhalten
+$
+	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi )  q arrow(d)_(0) omega (cos (omega t -  k r)) / (r)  hat(z).
+$ <kugel>
+In @kugel ist eine Kugelwelle beschrieben, welche sich vom Mittelpunkt des Herzschen Dipols ausbreitet und in den unendlichen Raum propagiert. Dabei ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
+$
+	c = omega/k.
+$
+
+Am Freitag wird sich noch angeschaut wie man sich daraus das Magnetfeld berechnen kann. Dabei wird
+$
+	arrow(B) =  arrow(nabla) times arrow(A)
+$
+genutzt. Auf analoge Weise kann das elektrische Feld berechnet werden.
+
diff --git a/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL21.typ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL21.typ
new file mode 100644
index 0000000..69f75cf
--- /dev/null
+++ b/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL21.typ
@@ -0,0 +1,174 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 25,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Fuer das Vektorpotential eines Dipols gilt
+$
+	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi) q d_0 omega (cos (omega t -  k z)) / (r) hat(z).
+$
+Der Abstand der Schwerpunkte der Ladungen ist hier gegeben durch $d_0 $.
+Es ist also eine Kugelwelle, welche sich vom Mittelpunkt des Hertzschen Dipols mit Geschwindigkeit $c$ ausbreitet. Die Dispersionsrelation fuer elektromagnetische Wellen ist gegeben durch
+$
+	c =  omega/k.
+$
+#highlight[Draw: Abbildung der Ladungsschwerpunkte im Herzschen Dipol]
+
+Das Magnetfeld ist gegeben durch
+$
+	arrow(B) (arrow(r), t) =  1/(4 pi epsilon_0 c^2 r^3  ) [underbrace((dot(arrow(p)) times arrow(r)), "Nahfeld") + underbrace(r/c (dot.double(arrow(p)) times arrow(r)), "Fernfeld")],
+$
+wobei der erste Term das Nahfeld und der zweite das Fernfeld ist. Das Fernfeld ist hier die elektromagnetische Welle. Es gilt fuer die Aenderung des Dipolmomentes $arrow(p)$ 
+$
+	dot(p) =  (partial p) / (partial u)  \
+	u =  t - r/c.
+$ 
+Das Nahfeld faellt mit $1/r^2 $ ab und das Fernfeld nur mit $1/r$. Das Magnetfeld $B$ ist immer senkrecht zur Dipolachse und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
+Es gilt wie immer, dass ein zeitlich veraenderliches $arrow(B)$ erzeugt ein $arrow(E)$. Es kann analog zur letzten Rechnung berechnet werden, dass
+$
+	arrow(nabla) arrow(A) =  - 1/c^2 (partial phi_("el") ) / (partial t).
+$
+Die Deteils zu elektromagnetschen Wellen gibt es dann in der ExPhyIII VL.
+
+= Relativitaet
+
+Vor Einstein glaubt man es existierte ein Aether als Medium fuer die Ausbreitung der EM Wellen analog zum Wasser. Somit gelten die Maxwellgleichungen nur in den Bezugssystem in dem der Aether ruht. Ein Experiment zu diesem Zusammenhang ist das Mickelson-Moolay-Experiment.
+Dabei wurde ein Lichtinteferrometer konstruiert um die Relativgeschwindigkeit von Licht und Aether zu messen.
+
+#highlight[Draw: Abbildung des Inteferrometers]
+
+Bei dem Experiment wurde das Interferrometer relativ zur Erdbeschleunigung verdreht um dann eine moegliche Geschwindigkeitsaenderung zu messen. Egal bei welcher Drehung hat sich die Messung auf dem Inteferrometer nicht veraendert.
+
+Schlussfolgerung ist, dass es keinen Aether gibt und die Lichtgeschwindigkeit $c = 3 * 10^(8)"m"/"s" $ in jedem Medium gleich ist.
+Die Theorie der Elektrodynamik kann in jedem Intertialsystem angewendet werden. Dies fuehrt aber dazu, dass Prozesse in unterschiedlichen Inertialsystemen unterschiedlich _interpretiert_ werden.
+
+#example[
+	Betrachte ein Elektron mit Ladung $e^(- ) $, welches sich, mit konstanter Geschwindigkeit, vom Vakuum in einen Bereich mit konstantem Magnetfeld $arrow(B)$ bewegt. Im Koerpereigenen System (hier gestrichen) gibt es keine Lorentzkraft, da das Teilchen ruht $v' = 0$ 
+
+	#highlight[Draw: Abbildung der beiden Bereiche, des Magnetfeldes und der Geschwindigkeit]
+
+	$
+		=> arrow(F)'_(C) =  - e arrow(E)'.
+	$
+	Im ruhenden System tritt dann die Lorentzkraft auf, da sich das Teilchen bewegt
+	$
+		arrow(F)_(L) =  - e (arrow(v) times  arrow(B)).
+	$
+	Falls die Bewegungsgeschwindigkeit $v$ viel kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit $c$ ist, dann muessen beide Krafte gleich sein
+	$
+		-e arrow(E)' =  -e (arrow(v) times  arrow(B)) => arrow(E)' =  arrow(v) times arrow(B).
+	$
+]
+
+= Erinnerung spezielle Relativitaetstheorie
+
+Inertialsysteme $S, S'$ mit den Koordinaten
+$
+x, y, z, t \
+x', y', z', t'.
+$
+Moege sich $S'$ mit konstanter Geschwindigkeit $arrow(v) = v hat(x)$ gegen $S$ bewegen.
+Es gelten dann die Lorentz-Transformationen fuer die Bewegung in einer Dimension
+$
+	x' =  gamma (x - v t) \
+	y' =  y \
+	z' =  z \
+	t' =  gamma (t - v/c^2 x),
+$
+wobei
+$
+	gamma =  1/(sqrt(1 - v^2 /c^2 ))
+$
+und die Ladung Lorentz-Invariant ist.
+
+=== Anwendung auf Elektrodynamik
+
+Das Ziel ist hier zu zeigen, dass Magnetismus ein relativitisches Phaenomen ist. Wir schauen und einen Leiter mit Laenge $l$ und Querschnitt $A$ an. In dem Leiter gibt es positive und negative Ladungen, welche sich entgegengesetzt mit Geschwindigkeit $v$ bewegen.
+
+#highlight[Draw: Abbildung des Leiters mit den verschiedenen Ladungen und Geschwindigkeiten]
+
+Wir nehmen an, dass die Anzahl der positiven und negativen Ladungen gleich ist $==>$ es herrscht Ladungsneutralitaet. Dadurch, dass die Ladungen so eng sind, koennen wir die Ladungsverteilung als Linienladungsdichte $lambda$ im Ruhesystem $S$ auffassen.
+Der Strom ist dann gegeben durch
+$
+	I =  2 v lambda.
+$
+Betrachte ein Partikel $P$, welches sich parallel zum Leiter mit Geschwindigkeit $u < v$ bewegt. Im ortsfesten Korrdinatensystem $S$ wirkt auf $P$, durch die Ladungsneutralitaet, keine elektrische Kraft. Im koerpereigenen System $S'$ von $P$ sind die Geschwindigkeiten der Ladungen unterschiedlich. Es gilt also
+$
+	v'_(+-)  =  (v minus.plus u) / (1 - (v u) / (c^2 ) ) .
+$
+#highlight[Draw: Abbildung von den unterschiedlichen Abstaenden im Vergleich zur vorherigen Abbildung]
+
+Durch die *Lorentzkontraktion* (bedingt durch die veraenderten Geschwindigkeiten) veraendern sich die Abstaende zwischen den Ladungen und somit auch die Ladungstraegerdichten $lambda$. Da 
+$
+	v'_(-)  > v'_(+) ,
+$ 
+gibt es eine Lorentzkontraktion zwischen den Ladungen. Dadurch siht es fuer den mitbewegten Beobachter so aus als ob der Leiter eine negative Ladung traegt. Es folgt also, dass
+$
+	lambda'_(+-) = +- gamma lambda \
+	gamma_(+-)  =  1/(sqrt(1 - v'^2_(+-)/c^2   )).
+$
+Ohne Beweis wird behauptet, dass
+$
+	lambda'_("tot") =  lambda'_(+) +  lambda'_(-) =  (2 lambda' u v) / (c^2 sqrt(1 - v'^2 /c^2 )).
+$
+Jetzt muss also eine Coulomb-Kraft auf das Teilchen $P$ wirken, welche sich berechnet zu
+$
+	arrow(F)' = q arrow(E) = q (lambda'_("tot") ) / (2 pi epsilon_0 s),
+$
+wobei $s$ der Abstand des Teilchens zum Draht auf dem Lot ist. Wenn in $S'$ eine Kraft auf das Teilchen wirkt, muss im Ruhendensystem auch eine Kraft wirken. Es gilt dann fuer die Transformation der Kraefte
+$
+	arrow(F)'_(perp )  = 1/gamma F'_(perp) ,
+$
+da hier $arrow(F)' perp u$. Es gilt ferner
+$
+	F =  1/gamma arrow(F) =  sqrt(1 - u^2 /c^2 ) arrow(F) \
+	F =  (-  lambda v) / (pi epsilon_0 c^2 )  (q u) / (s).
+$
+Fuer die parallele Komponente gilt dann
+$
+	arrow(F)_(parallel ) = F_(parallel).
+$
+Es wird also auch in $S$ die Ladung in Richtung Draht gezogen. Wieder durch die Ladungsneutralitaet kann die Kraft also keine elektrostatische Kraft sein $==>$ die Kraft ist also eine elektromagetische Kraft. Wir benutzten
+$
+	c^2  = (1) / (epsilon_0 mu_0 ) , \
+	I = lambda v.
+$ 
+Es folgt dann also
+#align(center, rect(
+[$
+	F = - q u underbrace((mu_0 I)/(2 pi s), "B-Feld").
+$ <maglo>]))
+Dies in @maglo entspricht genau der Lorentzkraft.
+Ohne Herleitung transformieren sich die Felder zwischen einem Ruhendensystem $S$ und einem bewegten System $S'$
+$
+	E'_(x) =  E_(x) , space E'_(y)  &= gamma (E_(y) - v B_(z) ) , space E'_(z) =  gamma (E_(z) +  v B_(y) ), \
+	B'_(x) =  B_(x) , space B'_(y) &=  gamma (B_(y) +  v/c^2 E_(z) ) , space B'_(z) =  gamma (B_(z)  - v/c^2 E_(y) ).
+$
+#example[
+	Myonenzerfall. Myonen haben eine sehr kleine Zefallszeit. Die Zeit in einem bewegten Bezugsystem vergeht langsamer und somit koennen die Myonen so weiter fliegen. Kann dies auch gleichermassen ueber die Laengenkontraktion argumentiert werden?
+
+	Die Zerfallszeit ist $tau = 2 mu"s"$ und die Geschwindigkeit $v = 0.998 c$ es gilt aber $tau' = 31.6 mu"s"$, womit die Myonen $9.34"km"$ weit fliegen koennen. Wohingegen sie ohne die Zeitdilletation nur knapp $600"m"$ weit kommen koennten.
+]
+#example[
+	Im DESY werden Elektronen mit $6"GeV"$ beschleunigt, womit dann
+	$
+		gamma = 11742.
+	$
+]