week 25 of the year

S2/AnaMech/other/Hahn_AM_9A5.py

@@ -0,0 +1,136 @@
+# Blatt 9 Aufgabe 5
+
+import numpy as np
+import matplotlib.pyplot as plt
+
+# Const
+m1 = 1.0  # kg
+m2 = 1.0  # kg
+l = 1.0   # m
+g = 9.81  # m/s^2
+
+# Params
+T = 30.0#s
+dt = 1e-4  # Timestep
+dt2 = 1e-5  # Timestep 2 (very long times)
+
+# Initial conditions
+theta1_0 = np.pi / 2
+theta2_0 = np.pi
+omega1_0 = 0.0
+omega2_0 = 0.0
+
+def a(theta, omega):
+    # Unpack the params
+    theta1, theta2 = theta
+    omega1, omega2 = omega
+    delta = theta1 - theta2
+
+    # Represent the equation in terms of M and Q
+    # L, m1, m2 not used for the matrix equation ??
+    # Do I need to use the result from task a) ?
+    M = np.array([
+        [2, np.cos(delta)],
+        [np.cos(delta), 1]
+    ])
+    Q = np.array([
+        -omega2**2 * np.sin(delta) - 2 * g * np.sin(theta1),
+        omega1**2 * np.sin(delta) - g * np.sin(theta2)
+    ])
+
+    # TODO: better method?
+    return np.linalg.solve(M, Q) # Return the acc in a theta double dot vector
+
+# Run the main simulation
+def run_simulation(theta0, omega0, dt):
+    # Setup state arrays
+    times = np.arange(0, T, dt)
+    theta = np.zeros((len(times), 2))
+    omega = np.zeros((len(times), 2))
+    energy = np.zeros(len(times))
+
+    # Initialize
+    theta[0] = theta0
+    omega[0] = omega0
+    acc = a(theta[0], omega[0])
+    print(acc)
+
+    # Iterate
+    for i in range(1, len(times)):
+        # VV-step
+        theta[i] = theta[i-1] + omega[i-1] * dt + 0.5 * acc * dt**2
+        a_new = a(theta[i], omega[i-1])
+        omega[i] = omega[i-1] + 0.5 * (acc + a_new) * dt
+        acc = a_new
+
+        # Energy
+        theta1, theta2 = theta[i]
+        omega1, omega2 = omega[i]
+        E_kin = 0.5 * m1 * (l * omega1)**2 + 0.5 * m2 * (
+            (l * omega1)**2 + (l * omega2)**2 +
+            2 * l**2 * omega1 * omega2 * np.cos(theta1 - theta2)
+        )
+        E_pot = - (m1 + m2) * g * l * np.cos(theta1) - m2 * g * l * np.cos(theta2)
+
+        # Save the total energy
+        energy[i] = E_kin + E_pot
+
+    # Return timeline
+    return times, theta, omega, energy
+
+# Start simulation
+theta0 = [theta1_0, theta2_0]
+omega0 = [omega1_0, omega2_0]
+times, theta, _, energy = run_simulation(theta0, omega0, dt)
+
+theta0 = [theta1_0 + 10 ** -7, theta2_0]
+omega0 = [omega1_0, omega2_0]
+_, theta2, _, _ = run_simulation(theta0, omega0, dt)
+
+theta0 = [theta1_0, theta2_0]
+omega0 = [omega1_0, omega2_0]
+times3, theta3, _, energy3 = run_simulation(theta0, omega0, dt2) # Smaller timestep
+
+# Quick plotting
+
+# Energy
+plt.figure(figsize=(12, 6))
+plt.plot(times, energy, label='Total energy', color='blue')
+plt.plot(times3, energy3, label='Total energy smaller dt', color='blue', linestyle="--")
+plt.xlabel('Time [s]')
+plt.ylabel('Energy [J]')
+plt.title('Total energy of the double pendulum')
+plt.grid(True)
+plt.legend()
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("double_energy.svg")
+
+# Angles
+plt.figure(figsize=(12, 6))
+
+# Reduce angles
+theta_mod = (theta + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi
+theta2_mod = (theta2 + np.pi) % (2 * np.pi) - np.pi
+
+# Plot with module (less information)
+#plt.figure(figsize=(12, 6))
+#plt.plot(times, theta_mod[:, 0], label=r'$\theta_1(t)$', color='red')
+#plt.plot(times, theta_mod[:, 1], label=r'$\theta_2(t)$', color='green')
+#plt.plot(times, theta2_mod[:, 0], label=r'$\theta_1(t)$ (small change)', color='blue')
+#plt.plot(times, theta2_mod[:, 1], label=r'$\theta_2(t)$ (small change)', color='gold')
+
+plt.plot(times, theta[:, 0] , label=r'$\theta_1(t)$', color='red')
+plt.plot(times, theta[:, 1] , label=r'$\theta_2(t)$', color='green')
+plt.plot(times3, theta3[:, 0] , label=r'$\theta_1(t)$ smaller dt', color='red', linestyle="--")
+plt.plot(times3, theta3[:, 1] , label=r'$\theta_2(t)$ smaller dt', color='green', linestyle="--")
+plt.plot(times, theta2[:, 0] , label=r'$\theta_1(t)$ changed', color='blue')
+plt.plot(times, theta2[:, 1] , label=r'$\theta_2(t)$ changed', color='yellow')
+
+plt.xlabel('Time [s]')
+plt.ylabel('Angle [rad]')
+plt.title('Trajectories of both pendulums')
+plt.legend()
+plt.grid(True)
+plt.tight_layout()
+plt.savefig("double_angles.svg")
+

S2/AnaMech/other/Hahn_Blatt5A5.py

@@ -9,7 +9,7 @@ plt.semilogy(theta*180/np.pi, cs)
 plt.xlabel(r"Streuwinkel $\theta$ [deg]")
 plt.ylabel(r"$\csc^4(\theta/2)$")
 plt.title("Differentieller Wirkungsquerschnitt für $U(r) = \\alpha/r^2$")
-plt.show()
+plt.savefig("querschnitt.svg")
 
 # Task
 # Calculate the differential Wirkungsquerschnitt ds/dOm fuer das repulsive

S2/AnaMech/other/Makefile

@@ -0,0 +1,18 @@
+9:
+	cd build && python ../Hahn_AM_9A5.py
+
+5:
+	cd build && python ../Hahn_Blatt5A5.py
+
+fir:
+	cd build && python ../Hahn_AM_EX5.py
+
+nix:
+	nix-shell
+
+t:
+	typst compile --root ../../.. AnaMech_Hahn_Penning_Zettel_1.typ build/Zettel1.pdf
+
+clean:
+	rm -rf build/
+

S2/DiffII/VL/DiIIVL14.typ

@@ -0,0 +1,29 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+#theorem[
+	Sei $U subset RR^n times RR^n $ offen, $(a,b) in U, f: U -> RR^n $ stetig diffbar mit $f (a,b) =  0$ und $det (partial_(y) f^(i) )_(1 <= i, j <= n) .. (a,b) != 0 $. Dann gibt es eine difbare Funnktion $g: U' ->  U''$ sodass gilt
+	$
+		f (x,y) =  0 "fuer ein " x in U', y in U'' <=> y =  g (x).
+	$
+]
+

S2/ExPhyII/VL/ExIIVL16.typ

@@ -0,0 +1,126 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 16,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+E: 18.06.2025
+
+= Magnetfelder einer Spule
+
+Es gilt fuer den Laplace-Operator
+$
+	Delta arrow(A) =  - mu_0 arrow(j) \
+	Delta =  arrow(nabla) ^2 =  (partial_  (x) ^2 + partial_(y) + partial_(z) ^2 ) \
+	=> Delta arrow(A) =  vec(partial_(x) ^2 A_(x) +  partial_(y) ^2 A_(x) +  partial_(z) ^2 A_(x),  partial_(x) ^2 A_(y) +  partial_(y) ^2 A_(y) +  partial_(z) ^2 A_(y), partial_(x) ^2 A_(z) +  partial_(y) ^2 A_(z) +  partial_(z) ^2 A_(z)) \
+	Delta f =  (partial_(x) ^2 +  partial_(y) ^2 + partial_(z) ^2 )f =  arrow(nabla) (arrow(nabla) f).
+$
+
+Fuer eine Ampere'sche Schleife gilt
+$
+	integral.cont arrow(B) d arrow(s) =  integral_(a)^(b) arrow(B) d arrow(s) +  integral_(c)^(d) arrow(B) d arrow(s) \
+	= (B_1 - B_2 ) L =  mu_0 I =  0 \
+	=> B_1 = B_2.
+$
+Bei unendlich langen Spulen ist das Magnetfeld aussen gleich Null.
+In der gegebenen Abbildung ist doch nur eine kleine Spule dargestellt.
+
+=== 3.4.1 Realisierung homogener Magnetfelder
+
+Ausserhalb einer Spule kann ein homogenes Magnetfeld durch ein Helmholtzspulenpaar erstellt werden. Dazu siehe die Abbildung.
+
+=== 3.4.2 Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilung
+
+Das Amperesche Gesetz fuer stationare Stroeme ist eimmer gueltig, aber nur in speziellen Situationen anwendbar.
+Dies gilt nur wenn $B$ vor das Integral gezogen werden kann, z.B. in einem unendlich langen Leiter.
+Ansonsten benoetigen wir einen allgemeinen Zusammenhang zwischen Strom und Magnetfeld.
+Allgemeine gilt die Gleichung
+$
+	Delta arrow(A) =  - mu_0 arrow(j).
+$
+Diese kann mittels der Green-Funktion geloest werden.
+
+#theorem[
+	Biot-Savart Gesetz.
+
+	Es gilt
+
+	$
+		arrow(A) (arrow(r)) =  (mu_0 ) / (4 pi) integral (arrow(j) (arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')) d V'.
+	$
+	Aequivalent gilt dann durch $arrow(B) =  arrow(nabla) times arrow(A)$
+	$
+		arrow(B) (arrow(r)) =  (mu_0) / (4 pi) integral (arrow(j) (arrow(r)') times  (arrow(r)- arrow(r)')) / (abs(arrow(r) - arrow(r)')^3  ) d V'.
+	$
+] <bio>
+
+Dieses Gesetz in @bio kann vereinfacht werden, falls der Strom nur in einem duennen linienfoermigen Leiter fliesst, zu
+$
+	arrow(B) (arrow(r)) =  (mu_0 I) / (4 pi) integral ((d arrow(l) times hat(r))) / (r^2 ).
+$
+Hier gilt also
+$
+	integral arrow(j) * d V' =  integral d arrow(s)' underbrace(integral arrow(j) * d A', = I) = I integral d arrow(s)'.
+$
+#remark[
+	Das Biot-Savart Gesetz gilt _nicht_ fuer einzeln bewegte Ladungen, da es nur fuer stationaere Stroeme gilt.
+]
+
+=== 3.4.3 Anwendung des Biot-Savart Gesetzes
+
+Dies erfolgt am Beispiel einer kreisfoermigen Stromschleife.
+Die Berechnung erfolgt nur fuer Punkte auf der Symetrieachse, da es anderswo komplizierter ist.
+
+Zunaechst betrachten wir
+$
+	integral (d arrow(s)' times (arrow(r) - arrow(r)')) / (abs(arrow(r)- arrow(r)')^3 ) \
+	arrow(r) =  z * hat(z) \
+	arrow(r) - arrow(r)' = vec(0, 0, z) - a vec(cos phi, sin phi, 0) = vec(-a cos phi, - a sin phi, z) \
+	d arrow(s)' =  a * d phi * hat(phi) \
+	hat(phi) =  vec(-  sin phi, cos phi, 0)
+	=> d arrow(s)' =  a * d phi * vec(- sin phi, cos phi, 0).
+$
+Dadurch folgt durch zusammensetzen
+$
+	d arrow(s)' times  (arrow(r) - arrow(r)') =  a d phi vec(- sin phi, cos phi, 0) times vec(-a cos phi, -a sin phi, z) = a * d phi * vec(z cos phi, z sin phi, a).
+$
+Berechne $B_(x) , B_(y) , B_(z) $ einzeln
+$
+	B_(x) =  (mu_0 I) / (4 pi) integral _(0)  ^(2 pi) (z cos phi * a * d phi) / (a ^2 +  z ^2) ^(3/2)  =^("Integral") 0 \
+	
+	=> ^("Rotationssymetrie")  B_(y)  = 0.
+$
+Betrachte die $B_(z) $ Komponente des Kreuzproduktes und berechne
+$
+	B_(z) = (mu_0 I ) / ( 4 pi) integral_(0)^(2 pi) (a^2 * d phi ) / ((a^2 +  z^2 )^(3/2) ) = 1/2 mu_0 I (a^2 ) / ((a^2 + z^2 )^(3/2) ).
+$
+Fuer $z >> a$ ergibt sich dann
+$
+	B_(z) approx 1/2 mu_0 I a^2 /z^3.
+$
+Dies laesst sich mit der Kreisflaeche des Leiters $arrow(A) = pi a ^2 hat(z)$ umformen zu
+$
+	arrow(B) = mu_0/(2 pi) (I arrow(A)) / (z^3 ),
+$
+wobei $arrow(A)$ hier natuerlich nicht das Vektorpotential ist. Die Groesse $arrow(p)_(m) =  I arrow(A)$ 
+wird magnetisches Dipolmoment genannt, hier also das einer Stromschleife. $arrow(A)$ ist hier wieder die Flaeche. Es folgt also fuer die Naeherung
+$
+	arrow(B) =  (mu_0 arrow(p)_(m) ) / (2 pi z^3 ).
+$
+Der Strom selber ist ein Skalar und die Stromdichte ist eine Vektorielle Groesse.
+Die Vektorielle Groesse kann mittels der Eigenschaft eines nicht ausgerichteten Stroms eliminiert werden.
+

S2/Neuro/VL/NeuroVL8.typ

@@ -0,0 +1,22 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 8,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+