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120
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ
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120
S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,120 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Dispersion
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omega &= c k \
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omega &= c (k ) k.
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Die Geschwindigkeit aus der WEllengleichung wird Phasengeschwindigkeit genannt.
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Femtosekundenlaser durch Inteferenz von monochromatischem Licht. Im Vakuum gibt es keine Dispersion.
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Verallgeminerung: Ausbreitung eines Pules
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psi (x, t) &= integral_(- oo)^(oo) underbrace(A (k) e ^(i (k x - omega (k)t)), "Darstellung im Fourierraum") dif k \
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omega (k) &approx omega (k_0 ) + (k - k_0 ) (diff omega) / (diff k) (k_0 ) \
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psi (x, t) &= integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i (k_0 x - omega (k_0 )t) - (k - k_0 )(diff omega) / (diff t) t) \
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&= underbrace(e ^( i (k_0 x - omega ( k_0) t )), "monochromatische Welle bewegt sich mit" c_(p) ) integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i [(k - k_0 )(x - (diff omega) / (diff k) t)]) \
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c &= (diff omega) / (diff k) \
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c_(p) &= omega_0 /k_0.
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$
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Dispersionsrelation mit nicht konstantem $c$
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omega &= c (k) k \
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c^2 &= [underbrace(g/h, "grosse Welle") + underbrace((sigma k) / (rho), "kleine Welle")] tan (k h) \
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c &= sqrt(T/rho),
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wobei $h$ die Wassertiefe und $sigma$ die Oberflaechenspannung ist.
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Wo sind die Wellenzahlen gleich gross
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g/h &= (Delta k_(c)) / (rho) \
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==> lambda_(c) &= 2 pi sqrt(sigma/(rho g)) \, space O ("cm").
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In der zum Beispiel Nordsee
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"fuer" lambda >> lambda_(c) \, space k << k_(c) \
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"fuer" h k << 1 \
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==> c^2 approx g h \, space k := "const".
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In der Tiefsee
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h k >> 1 \
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c = sqrt(g/k) \, space omega = c k = sqrt(g k) \
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c_(g) = (diff omega) / (diff k) = 1/2 sqrt(g/k)= 1/2 c_(p).
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#theorem[
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Navier-Stokes Gleichung
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rho (partial _(t) arrow(v) + arrow(v) * arrow(nabla) arrow(v)) = rho arrow(g) - arrow(nabla) p.
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= Von der Maxwellgleichung zur Wellengleichung
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Faradaysche und Amperesche Gesetz
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arrow(nabla) times arrow(E) = - (diff arrow(B)) / (diff t) \, space arrow(nabla) times arrow(B) = epsilon_0 mu_0 (diff arrow(E)) / (diff t) \
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underbrace(arrow(nabla) times arrow(nabla) times arrow(E), = arrow(nabla) (underbrace(arrow(nabla) * arrow(E), = 0\, "da" rho = 0))- arrow(nabla) ^2 arrow(E)) = arrow(nabla) times (- (diff arrow(B)) / (diff t) ) = - diff / (diff t) ( arrow(nabla) times arrow(B))= - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) \
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==> arrow(nabla) ^2 arrow(E) - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) = 0 \
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arrow(B) (arrow(r), t) "analog" arrow(nabla) ^2 arrow(B) - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(B)) / (diff t^2 ) = 0 \
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==> c_0 = 1/sqrt(epsilon_0 mu_0 ) approx 2.9 * 10 ^(8) "m"/"s" \
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arrow(nabla) ^2 phi - 1/c^2 (diff ^2 phi) / (diff t^2 ) = 0 .. forall phi in {E_(x) , E_(y) , E_(z) , B_(x) , B_(y) , B_(z) }.
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Spezialfall ebene Welle zum Beispiel Wellenvektor $k$ ist $k hat(z)$. Welle ist konstant in $x$ und $y$ $forall z, t$ $==>$ Ebene senkrecht auf $z$ haben konstante Phase und Amplitude
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arrow(E) = arrow(E) (z, t) .. "aus" arrow(nabla) * arrow(E) = 0 "folgt" partial _(z) E_(z) = 0 \
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==> E_(z) "const". \
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arrow(E)_(0) = vec(E_(x), E_(y) , 0) \, space arrow(E) (z, t) = arrow(E)_(0) e ^(i (k z - omega t)) \
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"mit" partial _(x) ^2 arrow(E) = partial _(y)^2 arrow(E)= 0 .. "wird die WG" \
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partial _(z) ^2 arrow(E) - 1/c^2 partial _(t) ^2 E= 0.
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Allgemeiner
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arrow(E) = arrow(E)_(0) e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega t)) \, space arrow(k) = vec(k_(x) , k_(y) , k_(z) ) = (2 pi)/lambda hat(k) \
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arrow(nabla) ^2 arrow(E) - 1/c^2 partial _(t) ^2 arrow(E) = 0 \, space "3 WG" \
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"fuer jede Komponente" psi = psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega t)) \
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==> partial _(t) ^2 psi = - omega ^2 psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega)) \
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arrow(nabla) ^2 psi = psi_0 (i arrow(k))^2 e^(i (arrow(k) arrow(r) - omega t)) \
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==> - k^2 + omega^2 /c^2 = 0 ==> c = omega/k.
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Das Magnetfeld der ebenen Welle. Sei
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arrow(E) = underbrace(arrow(E)_(0) hat(x), "Polarisation") e ^(i (k z - omega t)) \
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==> arrow(nabla) times arrow(E) = (diff arrow(B)) / (diff t) \, space arrow(B) = arrow(B) (arrow(r), t) \
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- abs(mat( hat(x), hat(y), hat(z); partial _(x) , partial _(y) , partial _(z) ; E_(x) , 0, 0; )) = - (partial _(z) E_(x) ) hat(y) = (diff B_(y) ) / (diff t) \
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(diff B_(y) ) / (diff t) = - (diff E_(x) ) / (diff z) = - i k E_0 e ^(i (k z - omega t)) \
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==> B_(y) = k/omega E_0 e ^(i (k z - omega t)) = 1/c E_0 e ^(i (k z - omega t))
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$
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#figure(
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image("typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg"),
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)
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Es folgt
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arrow(B) = 1/c^2 (arrow(k) times arrow(E)).
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Warum dreht sich die Reflektion um in einem Koaxialkabel?
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BIN
S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote
Normal file
BIN
S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote
Normal file
Binary file not shown.
File diff suppressed because one or more lines are too long
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After Width: | Height: | Size: 5.3 KiB |
131
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ
Normal file
131
S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,131 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Poisson ($Omega = "Kreisscheibe mit Radius" 1 \, space Delta u = 0 \, space u | _(partial _(Omega) ) := f (RR)$).
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Fuer $norm(x)< 1$ ist die Loesung
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u (x) = integral _(norm(y) = 1) K (x, y) f (y) dif y,
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mit dem Integral-Kern
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K (x, y) = (1 - norm(x)^2 ) / (2 pi) (1) / (norm(x - y)^2 ) .
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Fuer $norm(x)= 1: u (x) = f (x)$ (muss so sein wegen der Randbedinung!)
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Nicht trivial ist zu zeigen, dass dieses $u$ auf ganz $overline(Omega) = overline(K )_(1) $ stetig ist. Und die Berechnung von $K$ mit Hilfe von Polar-Koordinaten Sperataion der Varablen, Reiehen-Entwicklung (und Untersuchung der Reihe!)
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Das Min-Max-Prinzip gilt auch fuer das Dirichlet-Problem.
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#theorem[
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Sei $Omega subset RR^n $ ein beschraenktes Gebiet. Ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) $ und $Delta u = 0$ auf $Omega$, so gilt
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min_(partial Omega) u <= u <= max _(partial Omega) u.
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Gilt auf $Omega$ nur $Delta u >= 0$ so ist $u <= max_(partial Omega) u$.
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Es folgt, dass jede Loesung $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega)$ ist durch die Randwerte eindeutig bestimmt. Der Beweis ist wie beim Draht.
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#proof[
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Setzte $v (x) = u (x) + epsilon norm(x)^2 .. (epsilon > 0) $. $v$ stetig $==>$ nimmt Maximum auf $overline(Omega)$ (kompakt) an. Sei $x_0 in overline(Omega)$ Maximalstelle. Es ist $x_0 in partial Omega$ denn wenn $x_0 in Omega$ so waere die Hessematrix von $v$ in $x_0$ negativ definit ist. Also
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tr (H_(v) (x_0 ) ) = sum H_(v) (x_0 )_(j j) = (partial _(1) ^2 + ... + partial _(n) ^2 )v (x_0 ) \
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= Delta u (x_0) + 2 n epsilon > 0 \
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==> x_0 in partial Omega and u (x) <= v (x) <= v (x_0 ) = u (x_0 ) + epsilon norm(x_0 )^2.
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$epsilon -> 0$ liefert die obere Abschaetzung. Untere Abschaetung durch die Betrachtung von $- u$.
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#definition[
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Von-Neumann-Randbedigungen. Es fuer jede Loesung
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partial _(h) u (x_0 ) = f (x_0 ) space forall x_0 in partial Omega.
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Hier ist $partial _(h) $ die Ableitung in Richtung des Einheits-Normalenvektorfelds $n$ auf dem Rand von $Omega$.
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#highlight[TODO: Zusammenfassung erstellen und die Poisson Gleichung verstehe]
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= Banach und Hilbertraeume
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Wiederholung der Grundlagen
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#definition[
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Das Tupel $(X, norm(*))$ heisst *Banachraum*, wenn $X$ ein Vektorraum und $norm(*)$ eine Norm auf $X$ ist, und $X$ bezueglich dieser NOrm vollstaendig ist. Also jede Cauchy-FOlge gegen ein eindeutiges $a in X$ konvergiert.
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]
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#definition[
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Ein Hilbertraum $(H, lr(angle.l *, * angle.r))$ ist ein Banachraum, dessen NOrm $norm(*)$ von einem Skalarprodukt induziert ist. Das heisst
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norm(v) = sqrt(lr(angle.l v, v angle.r)) space forall v in H.
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Der $RR^n $ ist vollstaendig bezueglich der euklidischen Norm. Nicht vollstaendig ist $ (0, 1] subset RR$ mit $norm(*)$ als Abstand. Aequivalenz von Normen impliziert die gegenseitige Abschaetzung.
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Eine norm auf einem Vektorraum wird von einem Skalarprodukt induziert $<==>$
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norm(v + w)^2 + norm(v - w)^2 = 2 norm(v)^2 + 2 norm(w)^2 space forall v, w in V.
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Als Beispiel wieder, dass $C ([0, 1])$ nicht vollstaendig ist mit der Verbundenen Sprungfunktion.
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== Vervollstaendigung
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EIne Moeglichkeit, aus einem Vektorraum mit Skalarpodukt (Prae-Hilbertraum) einen vollstaendigen Raum zu konstruieren wird hier abstrakt demonstriert.
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Betrachte in einem normierten VR $X$ alle Cauchy-Folgen in $X$. Dies ist ein Vektorraum. Versieh diesen mit einer Norm (dass die angegebene Abbildung tatsaechlich eine Norm definiert, muss man Cauchy-Folgen miteinander identifizieren, wenn sie sich nur um eine Nullfolge in $X$ unterscheiden). $X$ kann in sinnvoller Weise als Teilmenge des Raumes $hat(X)$, den wir aus Cauchy-Folgen in $X$ konstruieren, verstanden werden. $hat(X)$ ist mit der angegeenen Norm vollstaendig.
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#definition[
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Eine lineare Abbildung $f: X -> Y$ zwischen normierten Vektorraeumen heisst *Isometrie*, falls gilt
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norm( f (x))_(Y) = norm(x)_(X) space forall x in X.
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$
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Falls diese Raueme Prae-Hilbert-Raume sind dann auch
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$
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lr(angle.l f (x), f (y) angle.r)_(Y) = lr(angle.l x, y angle.r)_(X).
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$
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]
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Jede Isometrie ist injektiv.
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#example[
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Der Shift-Operator auf dem Raum aller quadratsummierbaren Folgen
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#remark[
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Lineare Abbildungen $l^2 -> l^2 $ sind die "unendlichen Matrizen", mit denen Born, Heisenberg, Jorgan 1925 Quantenmechanik betrieben.
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Basis fuer den $l^2 $ ist
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e_(i) := (0, ..., 0, underbrace(1, i"-te Stelle"), 0, ..., 0, ...) space forall i in NN union {0}.
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$
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||||
Der Shift-Operator ist dann
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$
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s(e_(i)) = e_(i + 1) \
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M_(s) := mat(
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0, 0, 0, ...;
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||||
1, 0, 0, ...;
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||||
0, 1, 0, ...;
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||||
dots.v, dots.v , dots.v , ;
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||||
).
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||||
$
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||||
2
book.typ
2
book.typ
@@ -24,6 +24,7 @@
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||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ")[ExIIIVL3]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL4.typ")[ExIIIVL4]
|
||||
- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ")[ExIIIVL5]
|
||||
|
||||
- #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft]
|
||||
- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe]
|
||||
@@ -36,6 +37,7 @@
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL4.typ")[MaPhIIIVL4]
|
||||
- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ")[MaPhIIIVL5]
|
||||
|
||||
- #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest]
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||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]
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Reference in New Issue
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