From 681f988b643e870dfc2fd40addd2e2aace40d173 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jonas Hahn Date: Fri, 14 Nov 2025 11:48:23 +0100 Subject: [PATCH] auto up 11:48:23 up 3:25, 2 users, load average: 0.17, 0.26, 0.17 --- S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ | 120 ++++++++++++++++ .../drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote | Bin 0 -> 835 bytes .../drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg | 4 + S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ | 131 ++++++++++++++++++ book.typ | 2 + 5 files changed, 257 insertions(+) create mode 100644 S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ create mode 100644 S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote create mode 100644 S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg create mode 100644 S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ new file mode 100644 index 0000000..0a4fe2c --- /dev/null +++ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ @@ -0,0 +1,120 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 5, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Dispersion +$ + omega &= c k \ + omega &= c (k ) k. +$ +Die Geschwindigkeit aus der WEllengleichung wird Phasengeschwindigkeit genannt. + +Femtosekundenlaser durch Inteferenz von monochromatischem Licht. Im Vakuum gibt es keine Dispersion. + +Verallgeminerung: Ausbreitung eines Pules +$ + psi (x, t) &= integral_(- oo)^(oo) underbrace(A (k) e ^(i (k x - omega (k)t)), "Darstellung im Fourierraum") dif k \ + omega (k) &approx omega (k_0 ) + (k - k_0 ) (diff omega) / (diff k) (k_0 ) \ + psi (x, t) &= integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i (k_0 x - omega (k_0 )t) - (k - k_0 )(diff omega) / (diff t) t) \ + &= underbrace(e ^( i (k_0 x - omega ( k_0) t )), "monochromatische Welle bewegt sich mit" c_(p) ) integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i [(k - k_0 )(x - (diff omega) / (diff k) t)]) \ + c &= (diff omega) / (diff k) \ + c_(p) &= omega_0 /k_0. +$ + +Dispersionsrelation mit nicht konstantem $c$ +$ + omega &= c (k) k \ + c^2 &= [underbrace(g/h, "grosse Welle") + underbrace((sigma k) / (rho), "kleine Welle")] tan (k h) \ + c &= sqrt(T/rho), +$ +wobei $h$ die Wassertiefe und $sigma$ die Oberflaechenspannung ist. +Wo sind die Wellenzahlen gleich gross +$ + g/h &= (Delta k_(c)) / (rho) \ + ==> lambda_(c) &= 2 pi sqrt(sigma/(rho g)) \, space O ("cm"). +$ +In der zum Beispiel Nordsee +$ + "fuer" lambda >> lambda_(c) \, space k << k_(c) \ + "fuer" h k << 1 \ + ==> c^2 approx g h \, space k := "const". +$ +In der Tiefsee +$ + h k >> 1 \ + c = sqrt(g/k) \, space omega = c k = sqrt(g k) \ + c_(g) = (diff omega) / (diff k) = 1/2 sqrt(g/k)= 1/2 c_(p). +$ + +#theorem[ + Navier-Stokes Gleichung + $ + rho (partial _(t) arrow(v) + arrow(v) * arrow(nabla) arrow(v)) = rho arrow(g) - arrow(nabla) p. + $ +] + += Von der Maxwellgleichung zur Wellengleichung + +Faradaysche und Amperesche Gesetz +$ + arrow(nabla) times arrow(E) = - (diff arrow(B)) / (diff t) \, space arrow(nabla) times arrow(B) = epsilon_0 mu_0 (diff arrow(E)) / (diff t) \ + underbrace(arrow(nabla) times arrow(nabla) times arrow(E), = arrow(nabla) (underbrace(arrow(nabla) * arrow(E), = 0\, "da" rho = 0))- arrow(nabla) ^2 arrow(E)) = arrow(nabla) times (- (diff arrow(B)) / (diff t) ) = - diff / (diff t) ( arrow(nabla) times arrow(B))= - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) \ + ==> arrow(nabla) ^2 arrow(E) - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) = 0 \ + arrow(B) (arrow(r), t) "analog" arrow(nabla) ^2 arrow(B) - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(B)) / (diff t^2 ) = 0 \ + ==> c_0 = 1/sqrt(epsilon_0 mu_0 ) approx 2.9 * 10 ^(8) "m"/"s" \ + arrow(nabla) ^2 phi - 1/c^2 (diff ^2 phi) / (diff t^2 ) = 0 .. forall phi in {E_(x) , E_(y) , E_(z) , B_(x) , B_(y) , B_(z) }. +$ +Spezialfall ebene Welle zum Beispiel Wellenvektor $k$ ist $k hat(z)$. Welle ist konstant in $x$ und $y$ $forall z, t$ $==>$ Ebene senkrecht auf $z$ haben konstante Phase und Amplitude +$ + arrow(E) = arrow(E) (z, t) .. "aus" arrow(nabla) * arrow(E) = 0 "folgt" partial _(z) E_(z) = 0 \ + ==> E_(z) "const". \ + arrow(E)_(0) = vec(E_(x), E_(y) , 0) \, space arrow(E) (z, t) = arrow(E)_(0) e ^(i (k z - omega t)) \ + "mit" partial _(x) ^2 arrow(E) = partial _(y)^2 arrow(E)= 0 .. "wird die WG" \ + partial _(z) ^2 arrow(E) - 1/c^2 partial _(t) ^2 E= 0. +$ +Allgemeiner +$ + arrow(E) = arrow(E)_(0) e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega t)) \, space arrow(k) = vec(k_(x) , k_(y) , k_(z) ) = (2 pi)/lambda hat(k) \ + arrow(nabla) ^2 arrow(E) - 1/c^2 partial _(t) ^2 arrow(E) = 0 \, space "3 WG" \ + "fuer jede Komponente" psi = psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega t)) \ + ==> partial _(t) ^2 psi = - omega ^2 psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega)) \ + arrow(nabla) ^2 psi = psi_0 (i arrow(k))^2 e^(i (arrow(k) arrow(r) - omega t)) \ + ==> - k^2 + omega^2 /c^2 = 0 ==> c = omega/k. +$ +Das Magnetfeld der ebenen Welle. Sei +$ + arrow(E) = underbrace(arrow(E)_(0) hat(x), "Polarisation") e ^(i (k z - omega t)) \ + ==> arrow(nabla) times arrow(E) = (diff arrow(B)) / (diff t) \, space arrow(B) = arrow(B) (arrow(r), t) \ + - abs(mat( hat(x), hat(y), hat(z); partial _(x) , partial _(y) , partial _(z) ; E_(x) , 0, 0; )) = - (partial _(z) E_(x) ) hat(y) = (diff B_(y) ) / (diff t) \ + (diff B_(y) ) / (diff t) = - (diff E_(x) ) / (diff z) = - i k E_0 e ^(i (k z - omega t)) \ + ==> B_(y) = k/omega E_0 e ^(i (k z - omega t)) = 1/c E_0 e ^(i (k z - omega t)) +$ + +#figure( + image("typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg"), +) + +Es folgt +$ + arrow(B) = 1/c^2 (arrow(k) times arrow(E)). +$ + +Warum dreht sich die Reflektion um in einem Koaxialkabel? diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote b/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote new file mode 100644 index 0000000000000000000000000000000000000000..851c0910a18c97bc919cbc2392682da2406d946d GIT binary patch literal 835 zcmV-J1HAkniwFP!00000|Ls=WZsRx%{TDrZ1l?ujae@7cqA=7%PK-KMAj@q!LH~V^ zY&Q*Nf!%2yXC^=_i4w`fLz?o1yo5A%aUdJQC>NBGitK#$WOE^5*mpx{#=)P)L(E0A zi`(fKhIxJ_8%9}0-q!K8+vNk_IaP;H0+9-TYtO&+^^%)I$k}Ue9j>i)I%HsxeA)G z`yR;VL4xk8JRU!{eu!p`#r?}V%=i8+P9Tl6-8t+QqX-4rYEE(N3SkJa_5E0a*!p8g zb6R8DjsbcP-)4g6ClIWlc{ z1;xLcGnx-t^Dve+KhxQ^uvS_Me6scbtvo&iQW$EvsA@$Wx<15@a9b=kSC-m1I_o?ao)XYz+-BLddxg0S_ N&p+FrsQ#D>001alr#1ip literal 0 HcmV?d00001 diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg b/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg new file mode 100644 index 0000000..c28a48d --- /dev/null +++ b/S3/ExPhyIII/VL/typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg @@ -0,0 +1,4 @@ + + + + \ No newline at end of file diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ new file mode 100644 index 0000000..86344ec --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ @@ -0,0 +1,131 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 5, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Poisson ($Omega = "Kreisscheibe mit Radius" 1 \, space Delta u = 0 \, space u | _(partial _(Omega) ) := f (RR)$). +Fuer $norm(x)< 1$ ist die Loesung +$ + u (x) = integral _(norm(y) = 1) K (x, y) f (y) dif y, +$ +mit dem Integral-Kern +$ + K (x, y) = (1 - norm(x)^2 ) / (2 pi) (1) / (norm(x - y)^2 ) . +$ +Fuer $norm(x)= 1: u (x) = f (x)$ (muss so sein wegen der Randbedinung!) + +Nicht trivial ist zu zeigen, dass dieses $u$ auf ganz $overline(Omega) = overline(K )_(1) $ stetig ist. Und die Berechnung von $K$ mit Hilfe von Polar-Koordinaten Sperataion der Varablen, Reiehen-Entwicklung (und Untersuchung der Reihe!) + +Das Min-Max-Prinzip gilt auch fuer das Dirichlet-Problem. + +#theorem[ + Sei $Omega subset RR^n $ ein beschraenktes Gebiet. Ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) $ und $Delta u = 0$ auf $Omega$, so gilt + $ + min_(partial Omega) u <= u <= max _(partial Omega) u. + $ + Gilt auf $Omega$ nur $Delta u >= 0$ so ist $u <= max_(partial Omega) u$. +] + +Es folgt, dass jede Loesung $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega)$ ist durch die Randwerte eindeutig bestimmt. Der Beweis ist wie beim Draht. + +#proof[ + Setzte $v (x) = u (x) + epsilon norm(x)^2 .. (epsilon > 0) $. $v$ stetig $==>$ nimmt Maximum auf $overline(Omega)$ (kompakt) an. Sei $x_0 in overline(Omega)$ Maximalstelle. Es ist $x_0 in partial Omega$ denn wenn $x_0 in Omega$ so waere die Hessematrix von $v$ in $x_0$ negativ definit ist. Also + $ + tr (H_(v) (x_0 ) ) = sum H_(v) (x_0 )_(j j) = (partial _(1) ^2 + ... + partial _(n) ^2 )v (x_0 ) \ + = Delta u (x_0) + 2 n epsilon > 0 \ + ==> x_0 in partial Omega and u (x) <= v (x) <= v (x_0 ) = u (x_0 ) + epsilon norm(x_0 )^2. + $ + $epsilon -> 0$ liefert die obere Abschaetzung. Untere Abschaetung durch die Betrachtung von $- u$. +] +#definition[ + Von-Neumann-Randbedigungen. Es fuer jede Loesung + $ + partial _(h) u (x_0 ) = f (x_0 ) space forall x_0 in partial Omega. + $ + Hier ist $partial _(h) $ die Ableitung in Richtung des Einheits-Normalenvektorfelds $n$ auf dem Rand von $Omega$. +] + +#highlight[TODO: Zusammenfassung erstellen und die Poisson Gleichung verstehe] + += Banach und Hilbertraeume + +Wiederholung der Grundlagen + +#definition[ + Das Tupel $(X, norm(*))$ heisst *Banachraum*, wenn $X$ ein Vektorraum und $norm(*)$ eine Norm auf $X$ ist, und $X$ bezueglich dieser NOrm vollstaendig ist. Also jede Cauchy-FOlge gegen ein eindeutiges $a in X$ konvergiert. +] + +#definition[ + Ein Hilbertraum $(H, lr(angle.l *, * angle.r))$ ist ein Banachraum, dessen NOrm $norm(*)$ von einem Skalarprodukt induziert ist. Das heisst + $ + norm(v) = sqrt(lr(angle.l v, v angle.r)) space forall v in H. + $ +] + +Der $RR^n $ ist vollstaendig bezueglich der euklidischen Norm. Nicht vollstaendig ist $ (0, 1] subset RR$ mit $norm(*)$ als Abstand. Aequivalenz von Normen impliziert die gegenseitige Abschaetzung. + +Eine norm auf einem Vektorraum wird von einem Skalarprodukt induziert $<==>$ +$ + norm(v + w)^2 + norm(v - w)^2 = 2 norm(v)^2 + 2 norm(w)^2 space forall v, w in V. +$ + +Als Beispiel wieder, dass $C ([0, 1])$ nicht vollstaendig ist mit der Verbundenen Sprungfunktion. + +== Vervollstaendigung + +EIne Moeglichkeit, aus einem Vektorraum mit Skalarpodukt (Prae-Hilbertraum) einen vollstaendigen Raum zu konstruieren wird hier abstrakt demonstriert. + +Betrachte in einem normierten VR $X$ alle Cauchy-Folgen in $X$. Dies ist ein Vektorraum. Versieh diesen mit einer Norm (dass die angegebene Abbildung tatsaechlich eine Norm definiert, muss man Cauchy-Folgen miteinander identifizieren, wenn sie sich nur um eine Nullfolge in $X$ unterscheiden). $X$ kann in sinnvoller Weise als Teilmenge des Raumes $hat(X)$, den wir aus Cauchy-Folgen in $X$ konstruieren, verstanden werden. $hat(X)$ ist mit der angegeenen Norm vollstaendig. + +#definition[ + Eine lineare Abbildung $f: X -> Y$ zwischen normierten Vektorraeumen heisst *Isometrie*, falls gilt + $ + norm( f (x))_(Y) = norm(x)_(X) space forall x in X. + $ + Falls diese Raueme Prae-Hilbert-Raume sind dann auch + $ + lr(angle.l f (x), f (y) angle.r)_(Y) = lr(angle.l x, y angle.r)_(X). + $ +] + +Jede Isometrie ist injektiv. + +#example[ + Der Shift-Operator auf dem Raum aller quadratsummierbaren Folgen +] + +#remark[ + Lineare Abbildungen $l^2 -> l^2 $ sind die "unendlichen Matrizen", mit denen Born, Heisenberg, Jorgan 1925 Quantenmechanik betrieben. +] + +Basis fuer den $l^2 $ ist +$ + e_(i) := (0, ..., 0, underbrace(1, i"-te Stelle"), 0, ..., 0, ...) space forall i in NN union {0}. +$ +Der Shift-Operator ist dann +$ + s(e_(i)) = e_(i + 1) \ + M_(s) := mat( + 0, 0, 0, ...; + 1, 0, 0, ...; + 0, 1, 0, ...; + dots.v, dots.v , dots.v , ; + ). +$ diff --git a/book.typ b/book.typ index 77211b4..b2ad5a4 100644 --- a/book.typ +++ b/book.typ @@ -24,6 +24,7 @@ - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ")[ExIIIVL3] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL4.typ")[ExIIIVL4] + - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ")[ExIIIVL5] - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft] - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe] @@ -36,6 +37,7 @@ - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2] - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3] - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL4.typ")[MaPhIIIVL4] + - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ")[MaPhIIIVL5] - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest] - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]