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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Poisson ($Omega = "Kreisscheibe mit Radius" 1 \, space Delta u = 0 \, space u | _(partial _(Omega) ) := f (RR)$).
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Fuer $norm(x)< 1$ ist die Loesung
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$
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u (x) = integral _(norm(y) = 1) K (x, y) f (y) dif y,
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$
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mit dem Integral-Kern
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$
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K (x, y) = (1 - norm(x)^2 ) / (2 pi) (1) / (norm(x - y)^2 ) .
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$
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Fuer $norm(x)= 1: u (x) = f (x)$ (muss so sein wegen der Randbedinung!)
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Nicht trivial ist zu zeigen, dass dieses $u$ auf ganz $overline(Omega) = overline(K )_(1) $ stetig ist. Und die Berechnung von $K$ mit Hilfe von Polar-Koordinaten Sperataion der Varablen, Reiehen-Entwicklung (und Untersuchung der Reihe!)
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Das Min-Max-Prinzip gilt auch fuer das Dirichlet-Problem.
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#theorem[
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Sei $Omega subset RR^n $ ein beschraenktes Gebiet. Ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) $ und $Delta u = 0$ auf $Omega$, so gilt
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$
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min_(partial Omega) u <= u <= max _(partial Omega) u.
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$
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Gilt auf $Omega$ nur $Delta u >= 0$ so ist $u <= max_(partial Omega) u$.
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]
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Es folgt, dass jede Loesung $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega)$ ist durch die Randwerte eindeutig bestimmt. Der Beweis ist wie beim Draht.
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#proof[
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Setzte $v (x) = u (x) + epsilon norm(x)^2 .. (epsilon > 0) $. $v$ stetig $==>$ nimmt Maximum auf $overline(Omega)$ (kompakt) an. Sei $x_0 in overline(Omega)$ Maximalstelle. Es ist $x_0 in partial Omega$ denn wenn $x_0 in Omega$ so waere die Hessematrix von $v$ in $x_0$ negativ definit ist. Also
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$
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tr (H_(v) (x_0 ) ) = sum H_(v) (x_0 )_(j j) = (partial _(1) ^2 + ... + partial _(n) ^2 )v (x_0 ) \
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= Delta u (x_0) + 2 n epsilon > 0 \
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==> x_0 in partial Omega and u (x) <= v (x) <= v (x_0 ) = u (x_0 ) + epsilon norm(x_0 )^2.
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$
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$epsilon -> 0$ liefert die obere Abschaetzung. Untere Abschaetung durch die Betrachtung von $- u$.
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#definition[
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Von-Neumann-Randbedigungen. Es fuer jede Loesung
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partial _(h) u (x_0 ) = f (x_0 ) space forall x_0 in partial Omega.
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$
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Hier ist $partial _(h) $ die Ableitung in Richtung des Einheits-Normalenvektorfelds $n$ auf dem Rand von $Omega$.
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#highlight[TODO: Zusammenfassung erstellen und die Poisson Gleichung verstehe]
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= Banach und Hilbertraeume
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Wiederholung der Grundlagen
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#definition[
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Das Tupel $(X, norm(*))$ heisst *Banachraum*, wenn $X$ ein Vektorraum und $norm(*)$ eine Norm auf $X$ ist, und $X$ bezueglich dieser NOrm vollstaendig ist. Also jede Cauchy-FOlge gegen ein eindeutiges $a in X$ konvergiert.
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]
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#definition[
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Ein Hilbertraum $(H, lr(angle.l *, * angle.r))$ ist ein Banachraum, dessen NOrm $norm(*)$ von einem Skalarprodukt induziert ist. Das heisst
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$
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norm(v) = sqrt(lr(angle.l v, v angle.r)) space forall v in H.
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$
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]
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Der $RR^n $ ist vollstaendig bezueglich der euklidischen Norm. Nicht vollstaendig ist $ (0, 1] subset RR$ mit $norm(*)$ als Abstand. Aequivalenz von Normen impliziert die gegenseitige Abschaetzung.
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Eine norm auf einem Vektorraum wird von einem Skalarprodukt induziert $<==>$
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$
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norm(v + w)^2 + norm(v - w)^2 = 2 norm(v)^2 + 2 norm(w)^2 space forall v, w in V.
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$
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Als Beispiel wieder, dass $C ([0, 1])$ nicht vollstaendig ist mit der Verbundenen Sprungfunktion.
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== Vervollstaendigung
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EIne Moeglichkeit, aus einem Vektorraum mit Skalarpodukt (Prae-Hilbertraum) einen vollstaendigen Raum zu konstruieren wird hier abstrakt demonstriert.
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Betrachte in einem normierten VR $X$ alle Cauchy-Folgen in $X$. Dies ist ein Vektorraum. Versieh diesen mit einer Norm (dass die angegebene Abbildung tatsaechlich eine Norm definiert, muss man Cauchy-Folgen miteinander identifizieren, wenn sie sich nur um eine Nullfolge in $X$ unterscheiden). $X$ kann in sinnvoller Weise als Teilmenge des Raumes $hat(X)$, den wir aus Cauchy-Folgen in $X$ konstruieren, verstanden werden. $hat(X)$ ist mit der angegeenen Norm vollstaendig.
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#definition[
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Eine lineare Abbildung $f: X -> Y$ zwischen normierten Vektorraeumen heisst *Isometrie*, falls gilt
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norm( f (x))_(Y) = norm(x)_(X) space forall x in X.
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Falls diese Raueme Prae-Hilbert-Raume sind dann auch
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lr(angle.l f (x), f (y) angle.r)_(Y) = lr(angle.l x, y angle.r)_(X).
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Jede Isometrie ist injektiv.
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#example[
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Der Shift-Operator auf dem Raum aller quadratsummierbaren Folgen
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#remark[
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Lineare Abbildungen $l^2 -> l^2 $ sind die "unendlichen Matrizen", mit denen Born, Heisenberg, Jorgan 1925 Quantenmechanik betrieben.
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Basis fuer den $l^2 $ ist
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e_(i) := (0, ..., 0, underbrace(1, i"-te Stelle"), 0, ..., 0, ...) space forall i in NN union {0}.
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Der Shift-Operator ist dann
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s(e_(i)) = e_(i + 1) \
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M_(s) := mat(
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0, 0, 0, ...;
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1, 0, 0, ...;
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0, 1, 0, ...;
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dots.v, dots.v , dots.v , ;
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).
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