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S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ

@@ -0,0 +1,120 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Dispersion 
+$
+  omega &=  c k \ 
+   omega &=  c (k ) k.
+$
+Die Geschwindigkeit aus der WEllengleichung wird Phasengeschwindigkeit genannt.
+
+Femtosekundenlaser durch Inteferenz von monochromatischem Licht. Im Vakuum gibt es keine Dispersion.
+
+Verallgeminerung: Ausbreitung eines Pules
+$
+  psi (x, t) &=  integral_(- oo)^(oo)  underbrace(A (k) e ^(i (k x -  omega (k)t)), "Darstellung im Fourierraum") dif k \ 
+  omega (k) &approx omega (k_0 ) + (k -  k_0 ) (diff omega) / (diff k) (k_0 ) \ 
+  psi (x, t) &=  integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i (k_0 x -  omega (k_0 )t) - (k - k_0 )(diff omega) / (diff t) t)  \ 
+  &=  underbrace(e ^( i (k_0 x -  omega ( k_0) t )), "monochromatische Welle bewegt sich mit" c_(p) ) integral_(- oo)^(oo) dif k A (k) e ^( i [(k - k_0 )(x -  (diff omega) / (diff k) t)])  \ 
+  c &=  (diff omega) / (diff k) \ 
+  c_(p) &= omega_0 /k_0.
+$
+
+Dispersionsrelation mit nicht konstantem $c$
+$
+  omega &=  c (k) k \ 
+  c^2 &= [underbrace(g/h, "grosse Welle") +  underbrace((sigma k) / (rho), "kleine Welle")]  tan (k h) \ 
+  c &=  sqrt(T/rho),
+$
+wobei $h$ die Wassertiefe und $sigma$ die Oberflaechenspannung ist.
+Wo sind die Wellenzahlen gleich gross
+$
+  g/h &=  (Delta k_(c)) / (rho)  \ 
+  ==> lambda_(c) &=  2 pi sqrt(sigma/(rho g)) \, space O ("cm").
+$
+In der zum Beispiel Nordsee
+$
+  "fuer" lambda >> lambda_(c)  \, space  k << k_(c) \
+  "fuer" h k << 1 \
+  ==> c^2  approx g h \, space k := "const".
+$
+In der Tiefsee
+$
+  h k >> 1 \ 
+  c =  sqrt(g/k) \, space omega =  c k = sqrt(g k) \
+  c_(g) = (diff omega) / (diff k) = 1/2 sqrt(g/k)= 1/2 c_(p).
+$
+
+#theorem[
+  Navier-Stokes Gleichung 
+  $
+    rho (partial _(t) arrow(v) +  arrow(v) * arrow(nabla) arrow(v)) = rho arrow(g) -  arrow(nabla) p.
+  $
+]
+
+= Von der Maxwellgleichung zur Wellengleichung 
+
+Faradaysche und Amperesche Gesetz 
+$
+  arrow(nabla) times arrow(E) = -  (diff arrow(B)) / (diff t) \, space arrow(nabla) times arrow(B) =  epsilon_0 mu_0 (diff arrow(E)) / (diff t)  \ 
+  underbrace(arrow(nabla)  times arrow(nabla) times arrow(E), = arrow(nabla)  (underbrace(arrow(nabla)  * arrow(E), = 0\, "da" rho = 0))-  arrow(nabla) ^2 arrow(E)) =  arrow(nabla) times (- (diff arrow(B)) / (diff t) ) =  -  diff / (diff t) ( arrow(nabla) times arrow(B))=  -  epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 ) \ 
+  ==> arrow(nabla) ^2  arrow(E) -  epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(E)) / (diff t^2 )  =  0 \ 
+  arrow(B) (arrow(r), t) "analog" arrow(nabla) ^2 arrow(B) - epsilon_0 mu_0 (diff ^2 arrow(B)) / (diff t^2 ) = 0 \ 
+  ==> c_0 = 1/sqrt(epsilon_0 mu_0 ) approx 2.9 * 10 ^(8) "m"/"s" \ 
+  arrow(nabla) ^2 phi -  1/c^2  (diff ^2 phi) / (diff t^2 ) = 0 .. forall phi in {E_(x) , E_(y) , E_(z) , B_(x) , B_(y) , B_(z) }.
+$
+Spezialfall ebene Welle zum Beispiel Wellenvektor $k$ ist $k hat(z)$. Welle ist konstant in $x$ und $y$ $forall z, t$ $==>$ Ebene senkrecht auf $z$ haben konstante Phase und Amplitude 
+$
+  arrow(E) =  arrow(E) (z, t) .. "aus" arrow(nabla) * arrow(E) = 0 "folgt" partial _(z) E_(z) = 0 \ 
+  ==> E_(z) "const". \ 
+  arrow(E)_(0)  =  vec(E_(x), E_(y) , 0) \, space arrow(E) (z, t) =  arrow(E)_(0) e ^(i (k z -  omega t)) \ 
+  "mit" partial _(x) ^2 arrow(E) =  partial _(y)^2 arrow(E)= 0 .. "wird die WG" \ 
+  partial _(z) ^2 arrow(E) -  1/c^2 partial _(t) ^2  E= 0.
+$
+Allgemeiner 
+$
+  arrow(E) = arrow(E)_(0) e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega t))  \, space arrow(k) =  vec(k_(x) , k_(y) , k_(z) ) =  (2 pi)/lambda hat(k) \ 
+  arrow(nabla) ^2 arrow(E) -  1/c^2 partial _(t) ^2 arrow(E) = 0 \, space  "3 WG" \ 
+  "fuer jede Komponente" psi =  psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) -  omega t))  \ 
+  ==> partial _(t) ^2 psi = - omega ^2 psi_0 e ^(i (arrow(k)* arrow(r) - omega))  \ 
+  arrow(nabla) ^2 psi = psi_0 (i arrow(k))^2 e^(i (arrow(k) arrow(r) - omega t))  \ 
+  ==> - k^2 +  omega^2 /c^2 = 0 ==> c = omega/k.
+$
+Das Magnetfeld der ebenen Welle. Sei 
+$
+  arrow(E) =  underbrace(arrow(E)_(0)  hat(x), "Polarisation") e ^(i (k z -  omega t))  \ 
+  ==> arrow(nabla) times arrow(E) =  (diff arrow(B)) / (diff t)  \, space arrow(B) =  arrow(B) (arrow(r), t) \ 
+  - abs(mat(    hat(x), hat(y), hat(z);    partial _(x) , partial _(y) , partial _(z) ;    E_(x) , 0, 0;  )) =  - (partial _(z) E_(x) ) hat(y) =  (diff B_(y) ) / (diff t)  \ 
+  (diff B_(y) ) / (diff t) = - (diff E_(x) ) / (diff z) =  -  i k E_0 e ^(i (k z -  omega t))  \ 
+  ==> B_(y) =  k/omega E_0 e ^(i (k z -  omega t))  = 1/c E_0 e ^(i (k z -  omega t)) 
+$
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-14-09-19-41.rnote.svg"),
+)
+
+Es folgt 
+$
+  arrow(B) =  1/c^2  (arrow(k) times arrow(E)).
+$
+
+Warum dreht sich die Reflektion um in einem Koaxialkabel?

S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ

@@ -0,0 +1,131 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Poisson ($Omega =  "Kreisscheibe mit Radius" 1 \, space  Delta  u =  0 \, space  u | _(partial _(Omega) ) :=  f (RR)$).
+Fuer $norm(x)< 1$ ist die Loesung 
+$
+  u (x) =  integral _(norm(y) = 1)  K (x, y) f (y) dif y,
+$
+mit dem Integral-Kern 
+$
+  K (x, y) =  (1 - norm(x)^2 ) / (2 pi)  (1) / (norm(x - y)^2 ) . 
+$
+Fuer $norm(x)=  1: u (x) = f (x)$ (muss so sein wegen der Randbedinung!)
+
+Nicht trivial ist zu zeigen, dass dieses $u$ auf ganz $overline(Omega) =  overline(K )_(1) $ stetig ist. Und die Berechnung von $K$ mit Hilfe von Polar-Koordinaten Sperataion der Varablen, Reiehen-Entwicklung (und Untersuchung der Reihe!)
+
+Das Min-Max-Prinzip gilt auch fuer das Dirichlet-Problem.
+
+#theorem[
+  Sei $Omega subset RR^n $ ein beschraenktes Gebiet. Ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) $ und $Delta u = 0$ auf $Omega$, so gilt 
+  $
+    min_(partial Omega) u <=  u <=  max _(partial Omega) u.
+  $
+  Gilt auf $Omega$  nur $Delta u >= 0$ so ist $u <=  max_(partial Omega) u$.
+]
+
+Es folgt, dass jede Loesung $u in C (overline(Omega)) inter  C^2  (Omega)$ ist durch die Randwerte eindeutig bestimmt. Der Beweis ist wie beim Draht.
+
+#proof[
+  Setzte $v (x) =  u (x) +  epsilon norm(x)^2 .. (epsilon > 0) $. $v$ stetig $==>$ nimmt Maximum auf $overline(Omega)$ (kompakt) an. Sei $x_0 in overline(Omega)$ Maximalstelle. Es ist $x_0 in partial Omega$ denn wenn $x_0 in Omega$ so waere die Hessematrix von $v$ in $x_0$ negativ definit ist. Also 
+  $
+    tr (H_(v) (x_0 ) ) = sum H_(v)  (x_0 )_(j j)  =  (partial _(1) ^2  +  ... +  partial _(n) ^2 )v (x_0 ) \ 
+    =  Delta u (x_0) +  2 n epsilon > 0 \ 
+    ==>  x_0 in partial Omega and u (x) <=  v (x) <=  v (x_0 ) =  u (x_0 ) +  epsilon norm(x_0 )^2.
+  $
+  $epsilon -> 0$ liefert die obere Abschaetzung. Untere Abschaetung durch die Betrachtung von $- u$.
+]
+#definition[
+  Von-Neumann-Randbedigungen. Es fuer jede Loesung 
+  $
+    partial _(h) u (x_0 ) =  f (x_0 ) space forall x_0 in partial Omega.
+  $
+  Hier ist $partial _(h) $ die Ableitung in Richtung des Einheits-Normalenvektorfelds $n$ auf dem Rand von $Omega$.
+]
+
+#highlight[TODO: Zusammenfassung erstellen und die Poisson Gleichung verstehe]
+
+= Banach und Hilbertraeume 
+
+Wiederholung der Grundlagen
+
+#definition[
+   Das Tupel $(X, norm(*))$ heisst *Banachraum*, wenn $X$ ein Vektorraum und $norm(*)$ eine Norm auf $X$ ist, und $X$ bezueglich dieser NOrm vollstaendig ist. Also jede Cauchy-FOlge gegen ein eindeutiges $a in X$ konvergiert.
+]
+
+#definition[
+   Ein Hilbertraum $(H, lr(angle.l *, * angle.r))$ ist ein Banachraum, dessen NOrm $norm(*)$ von einem Skalarprodukt induziert ist. Das heisst 
+  $
+    norm(v) = sqrt(lr(angle.l v, v angle.r)) space forall v in H.
+  $
+]
+
+Der $RR^n $ ist vollstaendig bezueglich der euklidischen Norm. Nicht vollstaendig ist $ (0, 1] subset RR$ mit $norm(*)$ als Abstand. Aequivalenz von Normen impliziert die gegenseitige Abschaetzung.
+
+Eine norm auf einem Vektorraum wird von einem Skalarprodukt induziert $<==>$ 
+$
+  norm(v +  w)^2 +  norm(v - w)^2  =  2 norm(v)^2  +  2 norm(w)^2  space forall v, w in V.
+$
+
+Als Beispiel wieder, dass $C ([0, 1])$ nicht vollstaendig ist mit der Verbundenen Sprungfunktion.
+
+== Vervollstaendigung
+
+EIne Moeglichkeit, aus einem Vektorraum mit Skalarpodukt (Prae-Hilbertraum) einen vollstaendigen Raum zu konstruieren wird hier abstrakt demonstriert.
+
+Betrachte in einem normierten VR $X$ alle Cauchy-Folgen in $X$. Dies ist ein Vektorraum. Versieh diesen mit einer Norm (dass die angegebene Abbildung tatsaechlich eine Norm definiert, muss man Cauchy-Folgen miteinander identifizieren, wenn sie sich nur um eine Nullfolge in $X$ unterscheiden). $X$ kann in sinnvoller Weise als Teilmenge des Raumes $hat(X)$, den wir aus Cauchy-Folgen in $X$ konstruieren, verstanden werden. $hat(X)$ ist mit der angegeenen Norm vollstaendig.
+
+#definition[
+  Eine lineare Abbildung $f: X ->  Y$ zwischen normierten Vektorraeumen heisst *Isometrie*, falls gilt 
+  $
+    norm( f (x))_(Y) =  norm(x)_(X)  space forall x in X.
+  $
+  Falls diese Raueme Prae-Hilbert-Raume sind dann auch 
+  $
+    lr(angle.l f (x), f (y) angle.r)_(Y) =  lr(angle.l x, y angle.r)_(X).
+  $
+]
+
+Jede Isometrie ist injektiv.
+
+#example[
+  Der Shift-Operator auf dem Raum aller quadratsummierbaren Folgen
+]
+
+#remark[
+  Lineare Abbildungen $l^2 ->  l^2 $ sind die "unendlichen Matrizen", mit denen Born, Heisenberg, Jorgan 1925 Quantenmechanik betrieben.
+]
+
+Basis fuer den $l^2 $ ist
+$
+  e_(i) := (0, ..., 0, underbrace(1, i"-te Stelle"), 0, ..., 0, ...) space forall i in NN union  {0}.
+$
+Der Shift-Operator ist dann 
+$
+  s(e_(i)) =  e_(i +  1) \ 
+  M_(s) := mat(
+    0, 0, 0, ...;
+    1, 0, 0, ...;
+    0, 1, 0, ...;
+    dots.v, dots.v , dots.v , ;
+  ).
+$

book.typ

@@ -24,6 +24,7 @@
         - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL2.typ")[ExIIIVL2]
         - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL3.typ")[ExIIIVL3]
         - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL4.typ")[ExIIIVL4]
+        - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ")[ExIIIVL5]
 
     - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft]
         - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe]
@@ -36,6 +37,7 @@
         - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2]
         - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3]
         - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL4.typ")[MaPhIIIVL4]
+        - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ")[MaPhIIIVL5]
 
     - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest]
         - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]