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S1/ReMe/VL/VL17.typ

@@ -0,0 +1,12 @@
+= Kreuzprodukt
+
+= Skalarprodukt
+
+== Spatsprodukt
+
+= Matrizen
+
+sdf
+
+d
+dsf

S1/ReMe/VL/VL18.typ

@@ -0,0 +1,57 @@
+// 2025-01-06 09:05
+
+= Lineare Abbildungen
+
+Eine Abb. $f: V -> W$, zwischen VR $V$ und $W$ ueber $K$ ist linear wenn
+
+$ forall x, y in V space forall lambda in K: f(x+y) = f(x) + f(y) and f(lambda x) = lambda f(x) $
+
+= Matrizen und lineare Gleichungssysteme
+
+Eine Matrix ist gleichbedeutend zu einer linearen Abbildung.
+
+== Inhomogene LGS
+
+Sei $arrow(x)_"hom"$ Lsg. des homogenen LGS $A arrow(x)_"hom" = bb(0)$.
+
+Sei $arrow(x)_"part"$ Lsg. des inhomogenen LGS $A arrow(x)_"part" = arrow(c)$.
+
+$ A(arrow(x)_"hom" + arrow(x)_"part") = arrow(c) $
+
+$arrow.r.curve$ Ein inhomogenes LGS hat genau dann eine eindeutige Lsg., wenn hom. Lsg. und inhom. Lsg. existieren.
+
+== Inverse
+
+Eine Matrix $A$ heisst invertierbar, wenn die zug. Abb. ein Isomorphismus ist. Die Matrix der Umkehrabb. heisst dann inverse Matrix $A^(-1)$.
+
+=== Eigenschaften
+
++ jede invertierbare Matrix ist quadratisch
++ sind $A, B in K^(n times n)$, dann ist $ B = A^(-1) <=> A B = B A = E_n, quad E_n = (delta_(i j)) $
++ ist $A$ invertierbar, so auch $A^(-1)$
++ sind $A,B in K^(n times n)$ invertierbar, so auch $A B$
+
+$arrow.r.curve$ Existiert inverse Matrix zur Kopf-Matrix eines inhom. LGS, so ist diese geloest durch $arrow(x) = A^(-1) arrow(c)$.
+
+== Determinante
+
+Diese ist relevant fuer das Loesen von LGS, invertieren von Matrizen, Subst. von Funktionen mehrerer Veraenderlicher und Eigenwertproblemen.
+
+$ n = 2, quad det(A) = abs(mat(a, b;c, d)) = a d - b c $
+$ n = 3, quad det(A) = abs(mat(a, b, c;d, e, f; g, h, i)) $
+
+=== Laplace'scher Entwicklungssatz
+
+Determinante kannn nach beliebiger Zeile oder Spalte entickelt werden.
+
+$ det(A) = abs(mat(a_11, a_12, a_13;a_21, a_22, a_23; a_31, a_32, a_33)) = a_11 abs(mat(a_22, a_23; a_32, a_33)) - a_21 abs(mat(a_12, a_13; a_32, a_33)) + a_31 abs(mat(a_12, a_13;, a_22, a_23)) $
+
+Allgemein gilt fuer $n >= 2$, $A in K^(n times n)$
+
+$ det(A) = sum^n_(i=1) (-1)^(i+1) a_(i 1) U_(i 1), quad U:="Unterdeterminante an der Stelle" (i 1) $
+
+== Transponierte
+
+Ist $A = (a_(i j))$, so ist die transponierte Matrix gegeben durch $a_(i j)^T = a_(j i)$.T
+Fuer quadrasiche Matrizen bleibt die Determinante beim Transponieren gleich. Ferner gilt $(A B)^T = B^T A^T$.
+

S1/ReMe/VL/VL19.typ

@@ -0,0 +1,17 @@
+// 2025-01-07 13:02
+
+= Lineare Gleichungssysteme
+
+Das homogene LGS fuer $arrow(x)$ laesst sich nicht trivial loesen,
+wenn die Spalten von A linear abhaengig sind.
+okay
+df
+sdf
+d
+d
+d
+
+
+= Mehr Determinanten
+
+

S1/ReMe/VL/VL4.typ

@@ -0,0 +1,21 @@
+= 2024-11-04 08:42
+
+d
+
+== Stetigkeit und Diffbarkeit
+sdf
+
+Beispiel anhand der Funktion x^2 (bilden des Differenzenquotienten von Hand).
+
+Verschiedene Ableitungsregeln:
+
+- Additionsregel
+- Produktregel
+- Quotientenregel NAZ ZAN N^2
+- Kettenregel
+- Umkehrregel (Nacharbeiten)
+
+== Ableitugn von Potenzreihen
+
+Sei f(x) eine Potenzreihe in Standardform.
+Dann ist die Ableitung die Summe von der Potenzableitung angewendet.

S1/ReMe/VL/VL6.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+# 2024-11-11 08:19
+
+## Potenzreihen
+
+Um einen Punkt x0.
+Die Konvergenz ist ggf. auf ein Intervall beschraenkt.
+Ein Konvergenzkriterium ist bspw. das Wurzel oder Quotientenkriterium.
+> BSP: e^x = Die Reihe ueber x^n/n! -> r = oo
+
+Innerhalb des Konvergenzbereichs definiert die Potenzreihe eindeutig eine Funktion.
+
+## Entwickeln von Funktionen
+
+Blueprint:
+
+- Betrachten der Funktion
+- Ansatz fuer Potenzreihe
+  - f(x) = a0 + a1x + a2 x**2 + ...
+- Einsetzen des Entwicklungspunkts
+- Ableitungen bilden
+- Zusammenfassung in eine Reihe
+- Konvergenzradius pruefen
+
+Zum Ableiten koennen wieder die Allgemeinen Ableitungen von Potenzreihen gebildet werden und dann einfach den Entwicklungspunkt einsetzen.