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= Gekoppelte Schwingungen
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Zwei Fadenbendel mit Kopplungsfeder.
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Es gelten die Bewegungsleichungen:
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$ m_1 dot.double(x_1) = - D_1 x_1 - D_(1 2) (x_1 - x_2) \
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m_2 dot.double(x_2) = - D_2 x_2 - D_(12) (x_2-x_1) $
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diese stellen ein gekoppeltes DLG-System dar und koennen nur gemeinsam geloest werden.
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Spezialfall: $m_1 = m_2 = m$
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Fall: $A_1 = A_2 = A$
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$ x_1 = (psi^+ + psi^-) = ... = 2A &cos((omega_1 - omega_2)/2 t + (phi_1 - phi_2)/2) dot \ &cos((omega_1 + omega_2)/2 t + (phi_1 + phi_2)/2) $
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d.h. die Schwingungsenergie wird zwischen den beiden Pendeln hin- und hergereicht.
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#table(
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columns:2,
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[*gleichphasige Schwingung*], [*gegenphasige Schwingung*],
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[Feder nicht beansprucht], [],
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$psi^- = 0$, [],
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[phi_1 - phi_2 = phi]
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)
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Bemerkung: bei nicht-identischen Pedeln: unvollstaendiger Energie-Uebertrag
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== Beispiele
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Zwei Massen $m_1, m_2$ mit zwei Faeden mit laenge $l$ miteinander verbunden und haengend.
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$ l = l_1 = l_2 \
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m_1 >> m_2 $
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Energiebetrachtung $m_1/2 v_(1_"max")^2 =^"EES" m_2/2 v_(2_max)^2$
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= Mechanische Wellen
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MP $m_1$ gekoppelt an $m_i$ ($k$ MP).
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+ Schwingung breitet sich im Raum aus
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+ Schwingungsenergie wird transportiert (keine Materie)
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z.B. Schallwellen, Wasserwellen
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Wir betrachten die Ausbreitung in #underline[einer Richtung].
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== Darstellung harmonischer Wellen
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$ xi(z, t) = A sin(omega(t-z/v)) = A sin(omega t - k z), quad k = 2 pi/lambda, v eq "Phasengeschwindigkeit" $
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Hier ist $xi$ i.A. nicht der Ort, kann z.B auch der Schallauch sein, el. Feldstaerke.
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Wellenlaenge $lambda$: Abstand $Delta z$ zweier Punkte, fuer die die Auslenkung $xi(z_1, t) = xi(z_2,t)$ zur gleichen Zeit $t$
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Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich die Phase ausbreitet $v = omega/k = 2 pi v lambda/(2 pi) = v lambda$
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$ xi(z,t)&=c e^(i(omega z - k z)) + c^* e^(-i(omega t - k z)) \ &=A cos(omega t-k z)+B sin(omega t-k z) \ "mit" A&=c+c^* quad B=i(c-c^*) $
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an jedem festen Ort $z=z_0$: zeitlich periodische harmoische Schwingung
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$ xi(t)=A sin(omega t-k z_0)=A sin(omega t-phi) $
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zu jedem festen Zeitpunkt:
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