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Typst
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Typst
// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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num: 6,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Es gilt
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integral _(A) arrow(nabla) times arrow(E) d A = integral.cont arrow(E) d arrow(r), \
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Phi (arrow(r)) = integral_(arrow(r))^(oo) arrow(E) (arrow(s)) d arrow(s).
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== Exkurs Computer
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Die Beschleunigung von Elektronen im Vakuum ist von grosser Relevanz fuer die Entwicklung.
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Entweder werden Elektronen durch ein Streugitter durchgelassen, sodass die Elektronen bis zur Anode fliegen (1) oder die Elektronen werden abgelenkt,
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sodass kein Strom fliesst (0).
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== 1.5 Spezielle Ladungsverteilungen
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=== 1.5.1 Elektrisches Feld einer Punktladung
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Bekanntlicher Weise ist das elektrische Feld einer Punktladung gegeben durch:
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arrow(E) = (q) / (4 pi epsilon_0 ) (arrow(r)) / (r^3 ).
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Doch wie stellt man korrekt die Punktladung als Ladungsverteilung dar?
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Man verwendet
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integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) = (Q) / (epsilon_0 ) \
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integral_(-oo)^(oo) delta (x) d x = 1 \
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integral_(-oo)^(oo) f (x) delta (x) d x = f (0)
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Die Punktladung hat die Ladungsdichte
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rho (arrow(r)) = q delta (arrow(r)) = q delta (x) delta (y) delta (z).
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Verwende die Poissongleichung zur Berechnung von $Phi (arrow(r)) + arrow(E) (arrow(r))$.
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=== 1.5.2 Das elektrische Feld einer Hohlkugel
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Es gilt, dass die Feldlinien immer Senkrecht auf der Oberflaeche stehen, da sonst die Ladungen so lange verschoben werden wuerden
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bis diese verschiebende Komponente verschwindet. Also gilt $arrow(E) || arrow(n)$, wobei $arrow(n)$ der Flaechennormalenvektor ist
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==> integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) = (Q) / (epsilon_0 ).
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Angenommen die Gesamtladung ist $Q$. Betrachte das Feld ausserhalb der Kugel $r>R_0 $.
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Hier werden Kugelkoordinaten verwendet mit einer kugelsymetrischen Ladungsverteilung $rho$. $arrow(E)$ weist in Richtung von $arrow(r)$ ($arrow(E) || arrow(n)$).
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Auch ist $r$ konstant, da wir eine Kugel betrachten.
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Berechne das Feld ausserhalb der Kugel
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integral.cont _(A) arrow(E) d arrow(A) = abs(arrow(E)) integral.cont _(A) d arrow(A), \
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integral.cont _(A) d arrow(A) = integral_(0 = phi)^(2 pi) integral_(0 = psi)^(pi) r^2 sin (psi) d psi d phi = 4 pi r^2, \
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==> E = 4 pi r^2 = (Q) / (epsilon_0 ) ==> E = k (Q) / (r^2 ), space r > R_0.
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Nun betrachten wir einen Punkt, welcher innerhalb der Kugel liegt.
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Q: Wie elektrisches Feld mit einem Oberflaechenintergral im Raum (e.g. Kugelobeflaeche) bestimmen?
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Die eingeschlossene Ladung einer Kugel mit dem selben Mittelpunkt als die Ladungskugel aber mit kleinerem Radius ist Null
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==> ^(?) E = 0.
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Ausserhalb der Kugel gilt
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Phi (r) = integral_(r)^(oo) E (arrow(s))d arrow(s) = (Q) / (4 pi epsilon_0 ) integral_(r)^(oo) (1) / (s^2 ) d s = k (Q) / (r) = Phi (r).
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Innerhalb gilt
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Phi (r) = integral_(r)^(R_0 ) 0 d s + integral_(R_(0) )^(oo) k (Q) / (s ^2 ) d s = 0 + k (Q) / (R_(0) ), \
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==> "Potential innerhalb der Kugel ist" Phi = k (Q) / (R_(0) ).
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Allgemein gilt, dass in jeder komplett geschlossenen leitenden Huelle das elektrische Feld Null ist. Dies gilt auch fuer elektromagnetische Wellen. Dieser Zusammenhang kann mithilfe
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eines Faraday'schen-Kaefigs demonstriert werden.
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Auch ist es so, dass die Ladungen in einem Kaefig nur auf er Aussenseite sitzen und auf der Innenseite alles neutral ist.
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