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// Diff template
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#import "../preamble.typ": *
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#show: conf.with(num: 4)
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= Wiederholung
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Im $RR^n $ mit $p >= 1$ gilt $norm(x)_(p) = (sum_(i=1)^(n) abs(x_i )^(p) )^(1/p) $.
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Dabei ist $(RR^n , norm(dot)_(p) )$ ein Banachraum. Ein Spezialfall fuer $p=2$ ist das Skalarprodukt.
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Q: Erzeugt ein Skalarprodukt immer eine Norm?
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= Hilbertraeume
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Zur Erinnerung fuer einen Vektorraum $V$ ist ein K-VR mit Skalarprodukt $angle.l dot \, dot angle.r$ und $norm(dot):= sqrt(angle.l dot \, dot angle.r)$, dann gilt:
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abs(angle.l x \, y angle.r) <= norm(x)dot norm(y) space forall x,y in V.
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#lemma[
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Sei V ein K-VR mit $K in {RR,CC}$ mit Skalarprodukt $angle.l dot\,dot angle.r$. Dann definiert $norm(x)= sqrt(angle.l x\,x angle.r) , space x in V$ eine Norm auf V.
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] <norm1>
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#proof[
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Dreiecksungleichung anwenden.
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norm(x+y)^2 = angle.l x+y \, x+y angle.r = angle.l x \, x angle.r + angle.l x \, y angle.r + angle.l y \, x angle.r + angle.l y \, y angle.r
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#definition[
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Sei V ein K-Vr mit $K in {RR,CC}$ mit Skalarprodukt $angle.l dot \, dot angle.r$. Wir nennen V einen *Hilbertraum* falls V unter der erzeugten Norm $norm(x)= sqrt(angle.l x \, x angle.r) , space x in V$, vollstaendig ist.
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#example[
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$RR^n $ mit dem Standardskalarprodukt ist ein Hilbertraum.
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Ein weiteres Beispiel ist der Folgenraum $l^2 $.
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Sei $l^2 := {a = (a_n )_(n in NN): a_n in CC space forall n in NN, sum_(i=1)^(oo) abs(a_n )^2 < oo }$.\
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Fuer $a in l^2 $ definiere
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$
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norm(a)_(2) = (sum_(n=1)^(oo) abs(a_n )^2 )^(1/2).
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Sind $a,b in l^2 , space N in NN$, so gilt
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sum_(i=0)^(oo) abs(a_n macron(b_n )) <=^("Cauchy-Schwarz") (sum_(i=0)^(oo) abs(a_n )^2 )^(1/2) (sum_(i=0)^(oo) abs(b_n )^2 )^(1/2) <= norm(a)^(2) norm(b)^(2).
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Also ist $angle.l a \, b angle.r = sum_(i=0)^(oo) a_n macron(b_n )$ absolut konvergent.
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Behauptung: $l^2 $ ist ien C-VR, denn sind $a,b in l^2 , space lambda in CC$ so gilt
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sum_(i=0)^(oo) abs(a_n + lambda b_n )^2 <= sum_( )^(oo) (abs(a_n )^2 + 2 abs(a_n )abs(lambda b_n )+ abs(lambda b_n )^2 ) \
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<= norm(a)^2 + 2 abs(lambda)norm(a)norm(b)+ norm(b)^2 abs(lambda)^2 < oo.
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T: $angle.l dot \, dot angle.r$ definiert ein Skalarprodukt auf $l^2 $.
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#theorem("hello")[
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$l^2 $ ist unter dem Skalarprodukt $angle.l a \, b angle.r = sum_( )^(oo) a_n macron(b_n )$ ein Hilbertraum.
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#proof[
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Sei $a^(k) = (a_n ^(k) )_(n in N)$ eine Cauchy-Folge im $l^2 $.
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Fuer $epsilon > 0$ wahle $N in NN$ sodass $norm(a^(k) - a^(l) )_(2) < epsilon space forall n, l <= N$. \
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Dann gilt fuer $k,l >= N , space n in NN$
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abs(a_n ^(k) - a_n ^(l) ) <= sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n ^(l) )^2 = norm(a^(k) - a^(l) ) < epsilon^2 .
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Es folgt dass $(a_n ^(k) )_(n in NN) $ fuer jeder $n in NN$ eine Cauchy-Folge ist, sei $a_n = lim_(k -> oo) a_n ^(k) in CC , space a = (a_n )^(n in NN) $.
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Betrachte $m in NN$ und $k,l >= NN$. Dann gilt
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sum_(i=0)^(oo) abs(a_n^(k) - a_n ^(l) ) ^2 < epsilon^2.
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Im Grenzwert $l -> oo$ folgt $sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n )^2 < epsilon^2 space forall m in NN forall k >= N$. Im Grenzwert $m -> oo$ folgt $sum_(i=0)^(oo) abs(a_n ^(k) - a_n )^2 <= epsilon^2 space forall k >= N $, also $a^(k) - a in l^2 $ und damit $a in l^2 $. Aus der zweiten Ungleichung folgt ausserdem, dass $lim_(n -> oo) a^(n) = a$ in $l^2 $.
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Nun folgt eine Anwendung.
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#definition[
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Sei X eine Menge, $(Y,d_(y) )$ eine vollstaendiger metrischer Raum und $f_n: X -> Y , space n in NN$ eine FOlge von Abbildungen. Wir sagen, dass $(f_n )_(n in NN) $ gleichmaessig konvergent ist, falls gilt
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forall epsilon > 0 exists N in NN forall x in X forall k,l >= N: d_(y) (f_k (x), f_(l) (x)) < epsilon.
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+ Ist $(f_n )_(n in NN)$ gleichmaeig konvergent, so ist $(f_n (x))_(k in NN)$ fuer jedes $x in X$ eine Cauchy-Folge, d.h. $exists f (x) := lim_(n -> oo) f_n (x) space forall x in X $.
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+ Ist $(f_n )_(n in NN) $ gleichmaessig konvergent mit $f (x) = lim_(n -> oo) f_n (x) , space x in X$ so gibt es fuer jedes $epsilon>0$ ein $N in NN$ sodass $d_(y) (f (x), f_n (x))<epsilon space forall n >= N forall x in X$.
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#proof[
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Bilde den Grenzwert $k -> oo$ in der Definition einer gleichmaessig konvergenten Folge von Abbildungen und verwende
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lim_(n -> oo) d_(y) (f_n (x), f_(l) (x))= d_(y) (lim_(n -> oo) f_n (x), f_(l) (x)).
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Dabei wird benutzt, dass
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abs(d (x_k ,y)- d (y,y)) <= d (x_k x).
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#example[
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Sei $P (z) = sum_( )^(oo) a_n z^(m) $ eine Potenzreihe mit $a_n in CC$, Konvergenzradius $r (P) >0$ und $0 < delta<r (P)$. So konvergiert die Funktionenfolge
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P_n; B_(delta) -> CC
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#highlight[TODO: finish on why this series converges]
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Q: Sei $A in M_(m times m) $. Koennen wir aehnlich $sum_(i=0)^(oo) a_i A^(i) $ definieren?
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_PAUSE_
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= Operatornorm
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Wie kann man eine sinnvolle Norm fuer Matrizen $A in M_(n times m)$ (Operatoren) definieren?
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Wie kann ich eine Konvergez fuer die lineare Abbildung $sum_(i=0)^(oo) a_i A^(i) $ definieren?
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#definition[
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Seien $(V,norm(dot)_(V) ),(W,norm(dot)_(W) )$ normierte K-VR und eine lineare Abbildungen $A: V -> W$ gegeben. Wir nennen A *beschraenkt*, falls es eine positiv reele Konstante $C$ gilt, sodass $norm(A x)_(W) <= C norm(x)_(V) space forall x in V $. \
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Ist A beschraenkt, so defninieren wir die *Operatornorm* von A durch
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norm(A) := sup_(x in V \ x != 0) (norm(A x)_(W) ) / (norm(x)_(V) ).
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#example[
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Betrachte $A = mat(
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3, 0;
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0, 2;
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) $ als lineare Abbildung $RR^2 -> RR^2 $ mit $norm(dot)_(2) $ auf $RR^2 $. Dann gelten die Aussagen
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$
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norm(A x)_(2) = sqrt((3 x_1 )^2 + (2 x_2 )^2 ) <= 3 norm((x_1 ,x_2 ))_(2) space forall x in RR^2 \
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norm(A e_1 )_(2) = norm((3,0))_(2) = 3 norm(e_1 )_(2),
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$also ist $norm(A) = 3$.
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#remark[
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Eine lineare Abbildung $A: V -> W$ zwischen K-VR $V,W$ nenn wir auch linearen Operator.
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#lemma[
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Seien $(V,norm(dot)_(V) ),(W,norm(dot)_(W) )$ normierte K-VR, $dim V < oo$ und $A: V -> W$ eine lineare Abbildung. Dann ist A beschraenkt.
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#proof[
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Die erste Intuition ist, dass durch die endliche Dimension und die Linearitaet die Aussage entsteht.
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Fuer $x in V$ sei $norm(x)= norm(x)_(V) +norm(A x)_(W) $. Dann ist $norm(dot): V -> RR^(+) $ eine Norm auf V (Task).
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Nach Satz folgt, dass es ein $C>0$ gibt sodass
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$
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norm(x) <= C norm(x)_(V) space forall x in V. \
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==> norm(A x)_(W) <= C norm(x)_(V) space forall x in V.
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Man kann den Beweis von den Aequivalenzen von Normen verwenden.
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Ein Beispiel fuer einen unbeschraenkten lineare n Operator ist
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Der Startraum ist hier $V = C^(1) ([0,1])$. Und der Endraum $W = CC$.\
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Mit der verwendeten Norm $norm(f)= sup_(t in [0,1]) abs(f (t))$.
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Nun ist die Abbildung $A: V -> W$ gegeben durch $A f := f'(0)$. Dann ist A nicht beschraenkt, da Oszillierende Funktionen wie $sin (n x)$. Denn $norm(f_n ) <= 1$ aber $abs(f'_(n) (0))= n$.
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#remark[
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Ist $A: V -> W$ ein beschraenkter, linearer Operator, so gilt fuer $x,y in V$:
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d_(W) (A x,A y) = norm(A x - A y)_(W) = norm(A (x - y))_(W) <= norm(A) norm(x - y)_(V) = norm(A) dot d_(V) (x,y).
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#definition[
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Seien $(X,d_(x) )$ und $(Y,d_(y) )$ metrische Raeume und $f: X -> Y$ eine Abbildung. Wir nennen $f$ Lipschitz-stetig falls es ein $L >=0 $ gibt sodass
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d_(y) (f (y_1 ), f (y_2 )) <= L d_(x) (y_1, y_2 ) space forall y_1, y_2 in X.
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#theorem[
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Sei $A: V -> W$ ein linearer Operator zwischen normierten Raeumen $W,V$. Dann sind die folgenden Aussagen aequivalent:
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+ A ist beschraenkt
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+ A ist stetig
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+ A ist stetig an der Stelle $x = 0$ $==>$ A ist beschraenkt
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#proof[
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Sei A stetig in $x = 0$. Wegen $A dot 0 = 0$ gibt es ein $delta > 0$ sodass $norm(A x)_(W) <= 1$ fuer alle $x in V "mit" norm(x)_(V) <= delta$. Sei $x in V \\ {0}$. Dann ist $norm((delta) / (norm(x)_(V) ) )_(V) = delta$
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und damit $1 >= norm(A (delta) / (norm(x)_(V) ) x_(W) )= norm((delta) / (norm(x)_(V) ) A x )_(W) = (delta) / (norm(x)_(V) ) norm(A x)_(W) $.
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Es folgt $norm(A x)_(W) <= (1) / (delta)norm(x)_(V) space forall x in V $ und A ist beschraenkt.
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