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Typst
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#import "../preamble.typ": *
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#show: conf.with(num: 4)
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= Grundlagen der Netwon'schen Mechanik
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+ MP
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+ Das Ziel ist die Trajektorie im $RR^n $ (Euklidischer Raum)
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Die Wahl des KS (kartesisch)
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- Wahl des Urprungs
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- Orietierung der Achsen
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arrow(r) (t)= arrow(e)_(x) + y (t) arrow(e)_(y) + z (t) arrow(e)_(z) \
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= vec(x,y,z)_(x y z) \
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arrow(r)= r arrow(e)_(r) \
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r = abs(arrow(r))= sqrt(x^2 + y^2 + z^2 )
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Wir betrachten die nicht-relativistische Mechanik, sodass die Zeit absolut ist $t = t'$. \
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Wir fordern jedoch die Forminvarianz aller physikalischer Gesetze.
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Beschleunigte Bezugsysteme werden wir nicht verlangen, dass die selben Gesetze entstehen. \
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+ Die Forminvarianz soll in allen Inertialsystemen gelten.
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+ $"KS"= "IS"==> "KS' mit" arrow(v)_("rel") "bewegt auch IS"$
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Es gilt, dass in beiden Koordinatensystemen die Kraft gleich die zeitliche Ableitung des Impulses ist.
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== Wechsel zwischen IS
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Galilei-Tafel
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t'= t \
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arrow(r')= arrow(r)-arrow(v)_("rel") t \
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==> "Newton II invariant"
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== Newtons Prinzip der Bestimmtheit
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+ AWP: $arrow(r) (t_0 ),dot(arrow(r)) (t_0 )==> arrow(r) (t), forall t $
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- Messwerte zur Zeit $t$: $arrow(r) (r),dot(arrow(r)),...,O(arrow(r),dot(arrow(r)),t) "(QM)"$
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$==>$ Euklidischen Raum bei mikroskopischen Kraeften
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+ Effektive Probleme mit Reibung
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- Dynamik auf gekruemmten Flaechen
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Mathematische Ungenauigkeiten kommen durch eingefuehrte Idealisierungen.
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== Newton II
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In der mikroskopischen Physik gilt die Gleichung
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m dot.double(arrow(r))= arrow(f) (r,dot(arrow(r)),t).
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Die Masse und die Kraefte kommen aus experimentellen Beobachtungen.
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== Kraefte
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Es gibt jetzt $N$ MP mit den Ortsvektoren $arrow(r)_(i) $.
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m_i dot.double(arrow(r))_(i) = arrow(f)_(i) (arrow(r)_(j) ,dot(arrow(r))_(j) ,t), j != i.
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Das ergibt 3N Gleichungen.
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WICHTIG: Naeherung, welche immer verwendet wurde, die des abgeschlossenen Systems.
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Mikroskopisch ufndamentale Kraefte sind die #underline[Gravitaion] und die #underline[Elektro-/Magnetostatik]. Deren Potential ist Proporitional zu $r^(-1) $, d.h. sie sind ein radial Potiential. \
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Die daraus resultierende Kraft ist eine Paarkraft
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arrow(f)_(i j) = arrow(f)_(i j) (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )).
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Actio $= $ Reactio: $arrow(f)_(i j) = -arrow(f)_(j i) $.
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Starke Version von Actio gleich Reactio: $arrow(f)_(i j) = f_(i j) (abs(arrow(r)_(i) -arrow(r)_(j) ))arrow(e)_(i j) , space f_(i j) = -f_(j i) , space arrow(e)_(i j) = (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) ) / (abs(arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )) $
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Die kleinen $f$ sind die Kraefte, welche die MP gegenseitig auf sich ausueben und die grossen $F$ sind die globalen externen Kraefte. \
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Allgemeine Form
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arrow(f)_(i) = sum_(j != i)^(N) arrow(f)_(n) + arrow(f)^("ext") _(i).
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Fuer ein abgeschlossenes System gilt die Naeherung
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arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(0) space forall i.
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= Abgeschlossene Systeme
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- N MP $==>$ $m_i $
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- $m_i != m_i (t)$ Q: Was bedeutet das?
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- Starkes Actio gleich Reactio
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== Massenschwerpunkt
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arrow(R)= (1) / (M) sum_(i=1)^(N) m_i arrow(r)_(i) , space M = sum m_i \
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M dot.double(arrow(R))= sum m_i dot.double(arrow(r) )_(i) = sum (sum _(j != i) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i) )= sum arrow(f)^("ext") _(i) = arrow(F)^("ext") \
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M dot.double(arrow(R))= arrow(F)^("ext")
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nur geschlossen, falls $arrow(F)^("ext") = "const"$.
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arrow(R) (t)= arrow(V)_(0) (r)+ arrow(r)_(0)
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Damit haben wir nur noch $6N - 6$ Gleichungen zu loesen.
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= Gesamtimpuls
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arrow(p)= sum arrow(p)_(i) = sum m_i dot(arrow(r))_(i) \
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dot(arrow(p))= sum m_i dot.double(arrow(r))_(i) = M dot.double(arrow(R))
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arrow(F)^("ext") = 0 <==> (dif arrow(p)) / (dif t) = 0 , space arrow(p) "erhalten"
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== Gesamtdrehimpuls
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arrow(L)&= sum arrow(l)_(i) = sum (arrow(r)times arrow(p)) \
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&= sum m_i (arrow(r)_(i) times dot(arrow(r)))
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dif / (dif t) arrow(L)= sum m_i (dot(arrow(r))times dot(arrow(r))+ arrow(r)times arrow(r))= sum arrow(r)times (sum _(i != j) arrow(f)_(i j) + arrow(f)^("ext") _(i) )\
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sum arrow(r)times arrow(f)_(i j) = 1/2 sum (arrow(r)times arrow(f)+ arrow(r)times arrow(f))= 1/2 sum (arrow(r)_(i) - arrow(r)_(j) )times arrow(f)_(i j) = arrow(0)
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Abgeschlossenes System: $(dif arrow(L)) / (dif t) = arrow(0)$
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$arrow(f)^("ext") _(i) != arrow(0) ==> dot(arrow(L))= sum_(i=1)^(N) (arrow(r)_(i) times arrow(f)^("ext") _(i) )= arrow(N)$
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Naechsten Montag weiter in den abgeschlossenen Systemen. Danach die zentral Potentiale.
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