university/S2/ExPhyII/VL/ExIIVL21.typ

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	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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	//date: datetime(
	//	year: 2025,
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)

= Uebersicht

Fuer das Vektorpotential eines Dipols gilt
$
	arrow(A) (arrow(r), t) =  (mu_0 ) / (4 pi) q d_0 omega (cos (omega t -  k z)) / (r) hat(z).
$
Der Abstand der Schwerpunkte der Ladungen ist hier gegeben durch $d_0 $.
Es ist also eine Kugelwelle, welche sich vom Mittelpunkt des Hertzschen Dipols mit Geschwindigkeit $c$ ausbreitet. Die Dispersionsrelation fuer elektromagnetische Wellen ist gegeben durch
$
	c =  omega/k.
$
#highlight[Draw: Abbildung der Ladungsschwerpunkte im Herzschen Dipol]

Das Magnetfeld ist gegeben durch
$
	arrow(B) (arrow(r), t) =  1/(4 pi epsilon_0 c^2 r^3  ) [underbrace((dot(arrow(p)) times arrow(r)), "Nahfeld") + underbrace(r/c (dot.double(arrow(p)) times arrow(r)), "Fernfeld")],
$
wobei der erste Term das Nahfeld und der zweite das Fernfeld ist. Das Fernfeld ist hier die elektromagnetische Welle. Es gilt fuer die Aenderung des Dipolmomentes $arrow(p)$ 
$
	dot(p) =  (partial p) / (partial u)  \
	u =  t - r/c.
$ 
Das Nahfeld faellt mit $1/r^2 $ ab und das Fernfeld nur mit $1/r$. Das Magnetfeld $B$ ist immer senkrecht zur Dipolachse und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung.
Es gilt wie immer, dass ein zeitlich veraenderliches $arrow(B)$ erzeugt ein $arrow(E)$. Es kann analog zur letzten Rechnung berechnet werden, dass
$
	arrow(nabla) arrow(A) =  - 1/c^2 (partial phi_("el") ) / (partial t).
$
Die Deteils zu elektromagnetschen Wellen gibt es dann in der ExPhyIII VL.

= Relativitaet

Vor Einstein glaubt man es existierte ein Aether als Medium fuer die Ausbreitung der EM Wellen analog zum Wasser. Somit gelten die Maxwellgleichungen nur in den Bezugssystem in dem der Aether ruht. Ein Experiment zu diesem Zusammenhang ist das Mickelson-Moolay-Experiment.
Dabei wurde ein Lichtinteferrometer konstruiert um die Relativgeschwindigkeit von Licht und Aether zu messen.

#highlight[Draw: Abbildung des Inteferrometers]

Bei dem Experiment wurde das Interferrometer relativ zur Erdbeschleunigung verdreht um dann eine moegliche Geschwindigkeitsaenderung zu messen. Egal bei welcher Drehung hat sich die Messung auf dem Inteferrometer nicht veraendert.

Schlussfolgerung ist, dass es keinen Aether gibt und die Lichtgeschwindigkeit $c = 3 * 10^(8)"m"/"s" $ in jedem Medium gleich ist.
Die Theorie der Elektrodynamik kann in jedem Intertialsystem angewendet werden. Dies fuehrt aber dazu, dass Prozesse in unterschiedlichen Inertialsystemen unterschiedlich _interpretiert_ werden.

#example[
	Betrachte ein Elektron mit Ladung $e^(- ) $, welches sich, mit konstanter Geschwindigkeit, vom Vakuum in einen Bereich mit konstantem Magnetfeld $arrow(B)$ bewegt. Im Koerpereigenen System (hier gestrichen) gibt es keine Lorentzkraft, da das Teilchen ruht $v' = 0$ 

	#highlight[Draw: Abbildung der beiden Bereiche, des Magnetfeldes und der Geschwindigkeit]

	$
		=> arrow(F)'_(C) =  - e arrow(E)'.
	$
	Im ruhenden System tritt dann die Lorentzkraft auf, da sich das Teilchen bewegt
	$
		arrow(F)_(L) =  - e (arrow(v) times  arrow(B)).
	$
	Falls die Bewegungsgeschwindigkeit $v$ viel kleiner ist als die Lichtgeschwindigkeit $c$ ist, dann muessen beide Krafte gleich sein
	$
		-e arrow(E)' =  -e (arrow(v) times  arrow(B)) => arrow(E)' =  arrow(v) times arrow(B).
	$
]

= Erinnerung spezielle Relativitaetstheorie

Inertialsysteme $S, S'$ mit den Koordinaten
$
x, y, z, t \
x', y', z', t'.
$
Moege sich $S'$ mit konstanter Geschwindigkeit $arrow(v) = v hat(x)$ gegen $S$ bewegen.
Es gelten dann die Lorentz-Transformationen fuer die Bewegung in einer Dimension
$
	x' =  gamma (x - v t) \
	y' =  y \
	z' =  z \
	t' =  gamma (t - v/c^2 x),
$
wobei
$
	gamma =  1/(sqrt(1 - v^2 /c^2 ))
$
und die Ladung Lorentz-Invariant ist.

=== Anwendung auf Elektrodynamik

Das Ziel ist hier zu zeigen, dass Magnetismus ein relativitisches Phaenomen ist. Wir schauen und einen Leiter mit Laenge $l$ und Querschnitt $A$ an. In dem Leiter gibt es positive und negative Ladungen, welche sich entgegengesetzt mit Geschwindigkeit $v$ bewegen.

#highlight[Draw: Abbildung des Leiters mit den verschiedenen Ladungen und Geschwindigkeiten]

Wir nehmen an, dass die Anzahl der positiven und negativen Ladungen gleich ist $==>$ es herrscht Ladungsneutralitaet. Dadurch, dass die Ladungen so eng sind, koennen wir die Ladungsverteilung als Linienladungsdichte $lambda$ im Ruhesystem $S$ auffassen.
Der Strom ist dann gegeben durch
$
	I =  2 v lambda.
$
Betrachte ein Partikel $P$, welches sich parallel zum Leiter mit Geschwindigkeit $u < v$ bewegt. Im ortsfesten Korrdinatensystem $S$ wirkt auf $P$, durch die Ladungsneutralitaet, keine elektrische Kraft. Im koerpereigenen System $S'$ von $P$ sind die Geschwindigkeiten der Ladungen unterschiedlich. Es gilt also
$
	v'_(+-)  =  (v minus.plus u) / (1 - (v u) / (c^2 ) ) .
$
#highlight[Draw: Abbildung von den unterschiedlichen Abstaenden im Vergleich zur vorherigen Abbildung]

Durch die *Lorentzkontraktion* (bedingt durch die veraenderten Geschwindigkeiten) veraendern sich die Abstaende zwischen den Ladungen und somit auch die Ladungstraegerdichten $lambda$. Da 
$
	v'_(-)  > v'_(+) ,
$ 
gibt es eine Lorentzkontraktion zwischen den Ladungen. Dadurch siht es fuer den mitbewegten Beobachter so aus als ob der Leiter eine negative Ladung traegt. Es folgt also, dass
$
	lambda'_(+-) = +- gamma lambda \
	gamma_(+-)  =  1/(sqrt(1 - v'^2_(+-)/c^2   )).
$
Ohne Beweis wird behauptet, dass
$
	lambda'_("tot") =  lambda'_(+) +  lambda'_(-) =  (2 lambda' u v) / (c^2 sqrt(1 - v'^2 /c^2 )).
$
Jetzt muss also eine Coulomb-Kraft auf das Teilchen $P$ wirken, welche sich berechnet zu
$
	arrow(F)' = q arrow(E) = q (lambda'_("tot") ) / (2 pi epsilon_0 s),
$
wobei $s$ der Abstand des Teilchens zum Draht auf dem Lot ist. Wenn in $S'$ eine Kraft auf das Teilchen wirkt, muss im Ruhendensystem auch eine Kraft wirken. Es gilt dann fuer die Transformation der Kraefte
$
	arrow(F)'_(perp )  = 1/gamma F'_(perp) ,
$
da hier $arrow(F)' perp u$. Es gilt ferner
$
	F =  1/gamma arrow(F) =  sqrt(1 - u^2 /c^2 ) arrow(F) \
	F =  (-  lambda v) / (pi epsilon_0 c^2 )  (q u) / (s).
$
Fuer die parallele Komponente gilt dann
$
	arrow(F)_(parallel ) = F_(parallel).
$
Es wird also auch in $S$ die Ladung in Richtung Draht gezogen. Wieder durch die Ladungsneutralitaet kann die Kraft also keine elektrostatische Kraft sein $==>$ die Kraft ist also eine elektromagetische Kraft. Wir benutzten
$
	c^2  = (1) / (epsilon_0 mu_0 ) , \
	I = lambda v.
$ 
Es folgt dann also
#align(center, rect(
[$
	F = - q u underbrace((mu_0 I)/(2 pi s), "B-Feld").
$ <maglo>]))
Dies in @maglo entspricht genau der Lorentzkraft.
Ohne Herleitung transformieren sich die Felder zwischen einem Ruhendensystem $S$ und einem bewegten System $S'$
$
	E'_(x) =  E_(x) , space E'_(y)  &= gamma (E_(y) - v B_(z) ) , space E'_(z) =  gamma (E_(z) +  v B_(y) ), \
	B'_(x) =  B_(x) , space B'_(y) &=  gamma (B_(y) +  v/c^2 E_(z) ) , space B'_(z) =  gamma (B_(z)  - v/c^2 E_(y) ).
$
#example[
	Myonenzerfall. Myonen haben eine sehr kleine Zefallszeit. Die Zeit in einem bewegten Bezugsystem vergeht langsamer und somit koennen die Myonen so weiter fliegen. Kann dies auch gleichermassen ueber die Laengenkontraktion argumentiert werden?

	Die Zerfallszeit ist $tau = 2 mu"s"$ und die Geschwindigkeit $v = 0.998 c$ es gilt aber $tau' = 31.6 mu"s"$, womit die Myonen $9.34"km"$ weit fliegen koennen. Wohingegen sie ohne die Zeitdilletation nur knapp $600"m"$ weit kommen koennten.
]
#example[
	Im DESY werden Elektronen mit $6"GeV"$ beschleunigt, womit dann
	$
		gamma = 11742.
	$
]