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130 lines
4.0 KiB
Typst
130 lines
4.0 KiB
Typst
#import "../preamble.typ": *
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#show: conf.with(num: 1)
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#set heading(numbering: "1.1.")
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Tutorium ist immer Mi 2-6pm
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Tutoren sind Oscar Cossarat und Simon Fischer
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Das Hauptziel ist das Wissen aus dem ersten Semester ueber $f: RR -> RR$ auf meherer Dimensionen zu verallgemeinern.
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= Topologische Grundbegriffe
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== Euklidischer Abstand im $RR^n$
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In der Diff 1 haben wir Stetigkeit Diffbarkeit und Integrierbarkeit von Funktionen $f: [a, b] -> RR, a < b$ besprochen.
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Diese sind hier eindimensional und auf einem Kompaktum definiert.
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$==>$ Verallgemeinrerung zu Funktionen $f: DD = RR^m -> RR^n$ ?
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$==>$ Konvergenz im $RR^n$ ?
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#example[
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Auf $CC$ haben wir die Abstandsfunktion
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$
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d(a, b) = abs(a-b), quad a,b in CC,
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$
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wobei $abs(z) = abs(z_1+i z_2) := sqrt(z_1^2+z_2^2)$, $z_1, z_2 in RR$.
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]
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#definition[
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Sei $n in NN$. Wir definieren die Euklidische Norm als die Funktion $||dot||: RR^n -> RR^+, quad (x_1, ..., x_n) |-> sqrt(x_1^2 + ... + x_n^2 )$.
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Wir definieren die euklidische Metrik $d: RR^n times RR^n -> RR, quad x, y |-> d(x, y) = norm(x+y)$.
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]
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Wir schreiben $underline(x)$ fuer einen Vektor $x$. Ich werde einfache Symbole verwenden und nur im Notfall des Kontexts eine Unterscheidung machen.\ Erfuellt $d(x, y) = norm(x - y)$ die Eigenschaften einer Metrik?
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#definition[
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Ein metrischer Raum ist ein Tupel $(X, d_x)$ aus einer Menge $X$ und einer Funktion $d_x: X times X -> R^+$ mit drei Eigenschaften.
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+ $d(x,x) = 0 and d(x,y) != 0, x != y $
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+ Symetrie: $d(x,y) = d(y,x)$
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+ Dreiecksungleichung
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]
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Wir definieren das *Standard-Skalarprodukt* als $angle.l dot, dot angle.r: CC^n times CC^n -> CC$.
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#lemma[
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Cauchy-Schwarz Ungleichung
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Fuer $x, y in CC^n$ gilt $abs(angle.l x\, y angle.r) <= abs(x) dot abs(y)$
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Die beiden Vektoren sind genau dann linear abhaengig, wenn Gleichheit gilt
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#proof[
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#highlight[TODO: Create proof for cauchy schwarz]
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]
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#lemma[
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Die euklidische metrik $d: RR^n times RR^n -> RR, (x, y) -> abs(x - y)$ ist eine Metrik auf $RR^n$.
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#proof[
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#highlight[TODO: Proof, dass die euklidische Metrik eine Metrik auf R^n ist]
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// Hier wird der Teil 3 ueber das Ausschreiben von abs(x+y)^2 gemacht
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// Dannach kann die Cauchy Schwarz ungleichung verwendet werden um eine Abschaetzung nach oben zu gewinnen
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// Mit der binomischen
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== Konvergenz im $RR^n$
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#remark[
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Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $(a_k )_(k in NN)$ eine Folge in $X$ und $a in X$. Wir sagen, dass die Folge gegen $a$ konvergiert falls gilt:
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$
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forall epsilon > 0 exists k_0: d(a_k, a) < epsilon, forall k >= k_0
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$
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alternativ: $lim_(k -> oo) d (a_k, a) = 0$.
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In dem Fall schreiben wir $lim_(n -> oo) a_k = a$.
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#lemma[
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Sei $x_k, k in NN$ eine Folge im $RR^n$
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mit $x_k = (x_(k,1), x_(k,2), ...)$ und $a = (a_1, ..., a_n)$.
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Dann konvergiert die Folge genau dann gegen $a$, wenn $lim_(n -> oo) x_(n,j) = a_j, forall 1 <= j <= n$.
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]<lem3>
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#proof[
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#highlight[TODO: proof fuer das lemma, dass folgen komponentenweise konvergieren]
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Idee: verwende die Ungleichung $abs(x_k-a_l) <= abs(x_k-a) <= sum_(i=0)^(n) abs(x_k-a_l )$
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#definition[
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Wir werden eine Folge im $RR^n$ beschraenkt, falls es eine Konstante $R>0$ gibt, sodass $d(0, a_k) < R, forall k in NN$
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d.h $a_k in K_R(0), forall k in NN$
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#remark[
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Ist eine Folge im $RR^n$ konvergent, so ist diese beschraenkt.
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#theorem[
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Bolzano-Weierstrass
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Eine beschraenkte Folge im $RR^n$ besitzt eine konvergente Teilfolge.
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]<bolz>
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#proof[
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Induktion nach $n$. Fuer $n=1$ siehe Diff 1.
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Angenommen @bolz gilt fuer ein $n in NN$ und es ist eine beschraenkte Folge im $RR^(n+1)$ gegeben.
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Dann ist diese Folge beschraenkt auf $RR^n$ eine beschraenkte folge mit konvergenter Teilfolge.
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#highlight[TODO: Finish proof of Bolzano weierstrass fuer R^n]
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#theorem[
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$RR^n$ mit der euklidischen Metrik ist vollstaendig.
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#proof[
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Fuer eine Cauchyfolge F von Vektoren im $RR^n$ sind die Folgen der Komponenten wieder Cauchy-Folgen im $RR$. Diese haben wegen der Vollstaendigkeit von $RR$ einen Grenzwert. Nach @lem3 konvergiert also die Folge F.
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