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Tutorium ist immer Mi 2-6pm

Tutoren sind Oscar Cossarat und Simon Fischer

Das Hauptziel ist das Wissen aus dem ersten Semester ueber $f: RR ->  RR$ auf meherer Dimensionen zu verallgemeinern.

= Topologische Grundbegriffe

== Euklidischer Abstand im $RR^n$

In der Diff 1 haben wir Stetigkeit Diffbarkeit und Integrierbarkeit von Funktionen $f: [a, b] ->  RR, a < b$ besprochen.

Diese sind hier eindimensional und auf einem Kompaktum definiert.

$==>$ Verallgemeinrerung zu Funktionen $f: DD = RR^m ->  RR^n$ ?

$==>$ Konvergenz im $RR^n$ ?

#example[
	Auf $CC$ haben wir die Abstandsfunktion
	$
		d(a, b) = abs(a-b), quad a,b in CC,
	$
	wobei $abs(z) = abs(z_1+i z_2) := sqrt(z_1^2+z_2^2)$, $z_1, z_2 in RR$.
]

#definition[
	Sei $n in NN$. Wir definieren die Euklidische Norm als die Funktion $||dot||: RR^n ->  RR^+, quad (x_1,  ..., x_n) |-> sqrt(x_1^2 + ... + x_n^2 )$.

	Wir definieren die euklidische Metrik $d: RR^n times RR^n -> RR, quad x, y |-> d(x, y) = norm(x+y)$.
]

Wir schreiben $underline(x)$ fuer einen Vektor $x$. Ich werde einfache Symbole verwenden und nur im Notfall des Kontexts eine Unterscheidung machen.\ Erfuellt $d(x, y) = norm(x - y)$ die Eigenschaften einer Metrik?

#definition[
	Ein metrischer Raum ist ein Tupel $(X, d_x)$ aus einer Menge $X$ und einer Funktion $d_x: X times X ->  R^+$ mit drei Eigenschaften.

	+ $d(x,x) = 0 and d(x,y) != 0, x != y $
	+ Symetrie: $d(x,y) = d(y,x)$
	+ Dreiecksungleichung
]

Wir definieren das *Standard-Skalarprodukt* als $angle.l dot, dot angle.r: CC^n times CC^n -> CC$.

#lemma[
	Cauchy-Schwarz Ungleichung

	Fuer $x, y in CC^n$ gilt $abs(angle.l x\, y angle.r) <=  abs(x) dot abs(y)$
	
	Die beiden Vektoren sind genau dann linear abhaengig, wenn Gleichheit gilt
]

#proof[
	#highlight[TODO: Create proof for cauchy schwarz]
]

#lemma[
	Die euklidische metrik $d: RR^n times RR^n -> RR, (x, y) -> abs(x - y)$ ist eine Metrik auf $RR^n$.
]

#proof[
	#highlight[TODO: Proof, dass die euklidische Metrik eine Metrik auf R^n ist]
	// Hier wird der Teil 3 ueber das Ausschreiben von abs(x+y)^2 gemacht
	// Dannach kann die Cauchy Schwarz ungleichung verwendet werden um eine Abschaetzung nach oben zu gewinnen
	// Mit der binomischen 
]

== Konvergenz im $RR^n$

#remark[
	Sei $(X, d)$ ein metrischer Raum, $(a_k )_(k in NN)$ eine Folge in $X$ und $a in X$. Wir sagen, dass die Folge gegen $a$ konvergiert falls gilt:
	$
	forall epsilon > 0 exists k_0: d(a_k, a) < epsilon, forall k >= k_0 
	$
	alternativ: $lim_(k -> oo) d (a_k, a) = 0$.

	In dem Fall schreiben wir $lim_(n -> oo) a_k = a$.
]

#lemma[
Sei $x_k, k in NN$ eine Folge im $RR^n$	
	mit $x_k = (x_(k,1), x_(k,2), ...)$ und $a = (a_1, ..., a_n)$.

	Dann konvergiert die Folge genau dann gegen $a$, wenn $lim_(n -> oo) x_(n,j) = a_j, forall 1 <= j <= n$.
]<lem3>

#proof[
	#highlight[TODO: proof fuer das lemma, dass folgen komponentenweise konvergieren]

	Idee: verwende die Ungleichung $abs(x_k-a_l) <= abs(x_k-a) <= sum_(i=0)^(n) abs(x_k-a_l	)$
]

#definition[
	Wir werden eine Folge im $RR^n$ beschraenkt, falls es eine Konstante $R>0$ gibt, sodass $d(0, a_k) < R, forall k in NN$

	d.h $a_k in K_R(0), forall k in NN$
]

#remark[
	Ist eine Folge im $RR^n$ konvergent, so ist diese beschraenkt.
]

#theorem[
	Bolzano-Weierstrass

	Eine beschraenkte Folge im $RR^n$ besitzt eine konvergente Teilfolge.

]<bolz>

#proof[
	Induktion nach $n$. Fuer $n=1$ siehe Diff 1.
	Angenommen @bolz gilt fuer ein $n in NN$ und es ist eine beschraenkte Folge im $RR^(n+1)$ gegeben.

	Dann ist diese Folge beschraenkt auf $RR^n$ eine beschraenkte folge mit konvergenter Teilfolge.

	#highlight[TODO: Finish proof of Bolzano weierstrass fuer R^n]
]

#theorem[
	$RR^n$ mit der euklidischen Metrik ist vollstaendig.
]

#proof[
	Fuer eine Cauchyfolge F von Vektoren im $RR^n$ sind die Folgen der Komponenten wieder Cauchy-Folgen im $RR$. Diese haben wegen der Vollstaendigkeit von $RR$ einen Grenzwert. Nach @lem3 konvergiert also die Folge F.
]