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// Main VL Template
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#import "../preamble.typ": *
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#show: conf.with(
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num: 5
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$K in {RR,CC}$
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= Die Operatornorm als Normabbildung
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Die Normabbildung zwischen zwei VR $V, W$ mit zwei Normen $norm(*)_(V), norm(*)_(W) $. Definition eines beschraenkten linearen Operators. Dieser ist beschraenkt wenn er stetig ist.
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norm(A x)_(W) <= C norm(x)_(V) \
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norm(A) = sup_(x != 0 \ x in V) (norm(A x)_(W) ) / (norm(x)_(V) )
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#definition[
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Fuer $V,W$ normierte K-Vektroraeume schreiben wir $L (V,W)$ fuer die Mengeder beschraenkten K-linearen Abbildungen von $V -> W$, d.h.
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L (V,W) = {A : V -> W, A "ist K-linear und" norm(A) < oo }.
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Diese Menge ist ein K-VR. $(A_1 + A_2 ) (x)= A_1 x + A_2 x, forall x in V$ und $(lambda A) (x) = lambda (A x), forall x in V, forall A, A_1, A_2 in L (V,W) $
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#lemma[
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Seien $V,W$ normierte K-VR. DAnn ist $L (V,W)$ ein normierter Raum unter der Operatornorm.
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#proof[
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#highlight[Proof this with the definition of L (V,W)]
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Die Norm auf $L (V,W)$ haengt von den Normen $norm(*)_(V) $ auf $V$ und $norm(*)_(W) $ auf $W$ ab.
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#example[
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Sei $(V,norm(*)_(V) )= (W,norm(*)_(W) )= (RR^n , norm(*)_(oo) ), norm(x)_(oo) := max_(1 <= i <= n) abs(x_(i) ), forall x in RR^n $.
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Dann kann $L (RR^n, RR_m)$ durch die Menge der $m times n$ Matrizen beschrieben werden.\
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Fuer $A in M_(n times m) (RR) "mit" A = (a_(i j) _(1 <= i,j <= n) ) "und" x in RR^n $ erhalten wir
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norm(A x)_(oo) = abs(sum_(i=1)^(n) a_(i j) x_(j) ) <= max_(1 <= i <= n) (max_(1 <= i <= n) abs(x_(i) ) sum_(i=1)^(n) abs(a_(i j) ) ) \
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<= ( max_(1 <= i <= n) sum_(i = 1)^(n) abs(a_(i j) )) norm(x)_(oo)
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also $norm(A) <= max_(1 <= i <= n) sum_(i = 1)^(n) abs(a_(i j) )$.
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Wir aehlen $i_0 in {1, ..., n}$ mit $sum_(i = 1)^(n) abs(a_(i j) ) = max_(1 <= i <= n) abs(a_(i j) ) = M$ und sei
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x_0 = ("sign" 1_(i_0 ,1) , ..., "sign").
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Dann gilt $norm(x_0 )_(oo) = 1 "und" norm(A x_0 )_(oo) = M$. Es folgt $norm(A) = max_(1 <= i <= n) sum_(i=0)^(n) abs(a_(i j) )$.
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#theorem[
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Sei $V, norm(*)_(V) $ ein normierter Vektroraum und $(W, norm(*)_(W) )$ ein Banachraum. Dann ist die Menge von allen beschraenkten linearen Operatoren ein Banachraum unter der Operatornorm.
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#proof[
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Sei $(A_n)_(n in NN) $ eine Cauchyfolge in $L (V,W)$. Wir wollen zeigen, dass die $A_(n) x$ eine Cauchy-Folge bilden.
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Fuer $x in V, m,n in NN$ gilt
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norm(A_(n) x - A_m x)_(W) = norm((A_n - A_m ) (x))_(W) <= norm(A_n - A_m) * norm(x)_(V) .
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Wir folgern wenn $x in V$ dann ist die Folge $(A_n x)_(n in N) $ eine Cauchy-Folge in $W$. Also Existiert der Grenzwert und wir definierten die Abbildung
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A: V -> W, A x := lim_(n -> oo) A_n x, forall x in V.
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Die Linearitaet von A folgt aus der Linearitaet des Grenzwertes.
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A (lambda x + y) = lim_(n -> oo) A_n (lambda x + y) = lim_(n -> oo) (lambda A_n x + A_m y) = lambda lim_(n -> oo) A_n x + lim_(n -> oo) A_n y.
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Es gilt auch zu zeigen, dass die Grenzabbildung beschraenkt ist, damit diese in $L (W, V)$ ist.
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Fuer $n, m in NN$ gilt
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abs(norm(A_n )- norm(A_m )) <= norm(A_n - A_m ).
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Also existiert $alpha := lim_(n -> oo) norm(A_n)$. Fuer $x in V$ betrachte die Ungeleichung
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norm(A x)_(W) = norm( lim_(n -> oo) A_n x) <= lim_(n -> oo) (norm(A_n ) norm(x)_(W) )= alpha norm(x)_(W) \
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==> norm(A) <= alpha
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Jetzt zeigen wir, dass $A_n -> A$ fuer $n -> oo$ in $L (V,W)$.
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Sei $epsilon >0$. Da $(A_n )_(n in NN) $ Cauchy-Folge in $L (V,W)$ ist, gilt es $N in NN$ sodass $norm(A_n - A_m )< epsilon space forall n,m >= N$.
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Fuer $x in V, n,m >= N $ folgt $norm(A_n - A_m x)_(W) < epsilon norm(x)_(V) $.
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Im Grenzwert $m -> oo$ erhalten wir $(norm(A_n x - A x)_(W)) / (norm(x)_(V) ) < epsilon space forall x != 0, x in V$.
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Es folgt fuer $n >= N$ dass
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norm(A_n - A) = sup_(x in V \ x != 0) (norm((A_n - A) x)_(W) ) / (norm(x)_(V) ) < epsilon "und" lim_(n -> oo) A_n = A.
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= Banachalgebren
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Q: Anenommen wir wollen Potenzreihen $sum_(i=0)^(oo) a_i x^(i) ,a_i in K, n in NN $ fuer $x in A$ (statt $x in CC$) definieren. Welche Eigenschaften von A wuerden wir gerne voraussetzen?
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Wir wuerden gerne haben:
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+ Mulitplikationsabbildung
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+ K-Vektorraumstruktur
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+ Banachraum (Vollstaendigkeit)
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#definition[
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Eine Banachalgebra ist ein vollstaendiger normierter Vektorraum, welcher ein Banachraum mit einer Multiplikation ist, welche die folgenden Eigenschaften erfuellt
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+ es gibt ein neutrales Element $e in A$ mit $e x = x e = x space forall x in A$ (Einselement)
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+ $a (b c) = (a b) c space forall x,y,z in A$ (Assozitivitaet)
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+ $forall x,y,z in A forall lambda in K: x (y + z) = x y + x z)$ (Distributivitaet)
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+ Das Lambda laesst sich in einer Multiplikation vollstaendig hin und her verschieben
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+ $norm(x y) <= norm(x)* norm(y) space forall x,y in A$
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#example[
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Die normierten komplexen und reelen Zahlen sind Banachalgebren.
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Ist V ein normierter Banachraum, so auch alle Endomorphismen zwischen V unter der Operatornorm. Diese hat die Multiplikationsabbildung der Matrixmultiplikation. Die Identitaestabbildung ist das Einselement.
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#definition[
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Konvergente Reihe in einem Banachraum und die absolute Konvergenz
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#theorem[
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Sei $V,norm(*)_(V) $ ein Banachraum und $sum_(i=0)^(oo) x_(i) $ eine in V absolut konvergente Reihe. Dann ist $sum_(i=0)^(oo) x_(i) $ konvergent.
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#remark[
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Fuer A eine Banachalgebra mit Einselement e und $x in A$ setzen wir $x^(0) := e$.
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#theorem[
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Sei A eine Banachalgebra ueber K sowie $P (z) = sum_(i=0)^(oo) a_n z^(n) , space a_n in K forall n in Z^(+ ) $ eine Potenzreiehe mit Konvergenzradius $r = r (P) > 0$. Dann ist die Reihe $P_(A) (x):= sum_(i=0)^(oo) a_i x^(i) $ absolut konvergent fuer $x in A$ mit $norm(x) < r$. Die Funktion $P_(A): {x in A, norm(x) < r} -> A, x |-> P_(A) (x)$ ist Lipschitz-stetig auf jeder abgeschlossenen Kugel um den Ursprung mit einem Radius kleiner $r$. Fuer $x,y in overline(B_(rho) (0))$ dass
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norm(P_(A) (x)- P_(A) (y)) <= C_(rho) abs(x - y) "mit" C_(rho) = sum_(i=0)^(oo) i abs(a_i )rho^(i -1) .
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#proof[
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Sei x ein Element aus der Algebra A mit $norm(x )< r$. Fuer $n in NN$ gilt $norm(x^(n) <= norm(x)norm(x^(n-1) )) <= $
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