Test

S3/Fest/VL/FestVL3.typ

@@ -0,0 +1,32 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
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+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
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+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Wiederholung
+$
+  E_("pot") =  N/2 sum _(i != j) ( ... ) \ 
+  E_(i j) :=   "WW-Energie zwischen Ion" i and j \ 
+  E_(i)  :=    "WW-Energie des Ion" i \, space E_(i) := sum _(i != j)  E_(i j) \ 
+  E_("pot") =  N/2 E_(i) "Summe der Ionenpole nach dem Summationsprinzip".
+$
+Zur Loesung einfacher Molekuele wird die LCAO-Methode genutzt um das Molekuelorbital durch eine Linearkombination zu modellieren.
+
+Helium kann durch Kombination aus $phi_(A) "und" phia_(B) $ dargestellt werden.

S3/Fest/VL/FestVL5.typ

@@ -0,0 +1,78 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
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+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
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+#show: conf.with(
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+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
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+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Im Extremfall kann ein s-Orbital und ein p-Orbital zu einem Hypbridorbital werden.
+
+Kohlenstoff Bindung
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-11-14-23-21.rnote.svg"),
+)
+
+Orbitalstrukturen veraendern sich je nach dem auf welcher Oberflaeche die Molekuele liegen.
+
+Bindungen am Kohlenstoff Molekuel.
+
+= Hybridisierung und abschluss kovalenter Bindung
+
+Betrachte die $"sp"^3 $-Hybridisierung. Das $2$s Orbital mischt mit allen $2$p Orbitalen zu einem $2"sp"^3 $-Hybrid.
+
+Darstellung vom Grundzustand zum hybridisierten Zustand in einem Energie-Spin-Orbital Diagramm.
+
+Die $4$ $"sp"^3 $-Hypbridorbitale maximieren bei der Anordnung den gegenseitigen Abstand $==>$ Es wird also ein Tetraeder gebildet mit einem Winkel von $109 degree$.
+
+Abbildung zeigt die Orientierung vier $"sp"^3 $-Hybridorbitalen im $"CH"_(4) $ mit Tetraederstruktur. Bei Diamant liegt auch diese Art von Bindung vor.
+
+= Wasserstoffbrueckenbindung
+
+Hier wird ein Wasserstoffatom bindet mit zwei anderen Atomen. Wie kann ein Elektron an zwei Atome binden?
+
+Der Wasserstoff nimmt an Bindung teil mit Elektronegativem Partner teil. Diese Bindung ist kovalent. Dadurch wird das Elektron so weit weggezogen, dass der Wasserstoff noch eine Van-der-Waals Bindung eingehen kann. Das Elektron vom H wird nahezu vollstaendig auf das andere Atom transformiert. Der positive Kern bleibt uebrig, welcher noch eine Bindung eingehen kann. Das $"H"^(+) $ agiert hier dann als Bruecke.
+Hier ist besonder, dass Wasserstoff sehr viel kleiner als die moeglichen Bindungspartner ist $==>$ Ein Proton kann nur zwei Partner binden.
+Der Character der Bindung ist ionisch aber hat eine extrem kleine Bindungsenergie von $0.1"eV"$ pro Bindung.
+
+Schema Wasserstoffbrueckenbindung in einer Darstellung.
+
+Kugel und Stock Darstellung als eine AFM Aufnahme von H-Brueckenbindungen zwischen Molekuelen auf einer Oberflaeche.
+
+Die H-Brueckenbindungen fuehrt zu der Dichteanomalie in Wasser und ist deshalb bedeutend fuer unser Leben.
+Hier wird bei fluessigem Wasser zwischen $0 degree - 4 degree$ die Wasserkomplexe durch HBB zusammengehalten und das Volumen erhoet sich wodurch die Dichte sinkt.
+Bei $4 degree$ brechen die Komplexe auf und die Dichte erhoet sich. Bei ueber $4 degree$ dominiert die uebliche thermische Ausdehnung.
+
+Organische Verbindungen in Eiweis DNA.
+
+= Kristallstrukturen
+
+Kristallstrukturen von Festkoerpern. Es geht um Einkristalle zum Beispiel Diamant oder Silicium. Am Rande wird noch ueber polykristalline Materialien gesprochen. Es werden keine amorphen Festkoerper behandelt. Es gibt auch noch Fluessigkristalle welche nicht behandelt werden.
+
+== Symmetrien und Klassifikationen im Kristallgitter
+
+Es ist wichtig zu wissen
+- Atomsorte
+- Anordnung (Bindung)
+
+Die Anordnung ist auch die Gitterstruktur und bedingt durch die Bindungsart. Es gibt verschiedene Anordnungen der gleichen Atomsorte.
+
+Kristalle haben regelmaesige Form. Sind die Atome auch regelmaessig?
+
+Verwendung von Symmetrien besonders hilfreich fuer die Beschreibung und Unterscheidung von Kristallen. Es gibt bestimmte Symmetrieoperationen
+- Translationssymmetrie (Gitter wird als ganzes verschoben)
+- Punktsymmetrien (Dabei wird mindestens ein Punkt festgehalten; Drehung oder Spiegelung)

S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL4.typ

@@ -0,0 +1,147 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 4,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Eigenwertproblem 
+$
+  Delta v_(n)  =  lambda_(n) a_(n).
+$
+
+Waermeleitung in einem Draht in einer Dimension
+$
+  partial _(t)  u (t, x) =  rho partial _(x) ^2  u (t, x) .. ("W") \ 
+   u (t, 0) = u (t, L) =  0 .. ("R") \ 
+   u (0, x) =  f (x) \, space f (0) =  f (L) =  0 .. ("A").
+$
+Loesung durch Speration der Variablen 
+$
+  u (t, x) =  w (t) v (x) \, space  v in C^2  ([0, L]) \, space  w in C (RR_(+) ) \ 
+  ==> v'' (x) +  lambda v (x) =  0 \, space v (0) =  v (L) = 0 \ 
+  w' (t) +  lambda w (t) =  0 \ 
+  ==>  lambda =  ((pi k) / (L)) ^2 \, space k in NN \ 
+  ==>  u_(k)  (t, x) =  e ^(-  ((pi k)/L)^2 t) sin ((pi k x) / (L) ) .. "loest das Randwert-Problem".
+$
+
+Fuer $f$ wie oben ist das Anfangs-Randwert-PRoblem wie eine Loesung 
+$
+   u (t, x) =  sum_(k=1)^(oo) a_(k) u_(k) (t, x) \ 
+   a_(k) =  2/L integral_(0)^(L) f (x)sin ((pi k x) / (L) ) dif x.
+$
+#proof[
+  Man zeigt gleichmaessige Konvergenz der Reiehe auf $(0, oo) times [0, L]$ und somit dass auf $[0, oo) times [0, L]$ gliedweise differenziert werden darf. Dann zeigt man, dass die resultierenden Reihen wieder konvergieren.
+  #highlight[In der Saaluebung diesen Beweis machen]
+]
+#remark[
+  Auch wenn $f$ nur stueckweise $C$ ist, ist eine Loesung wie oben fuer $t >=  epsilon > 0$.
+]
+
+#theorem([Maximums-Prinzip])[
+  Sei $Omega =  (0, oo) times  (0, L)$ und zu $T > 0$ sei $H_(T) =  {(t, x) in RR^2 : t <= T}$. Ist $u$ eine auf $overline(Omega)$ stetige Loesung der Waermeleitungs-Gleichung, so gilt 
+  $
+    min_(H_(T) inter partial Omega  ) u <= u (t, x) <=  max _(H_(T) inter partial Omega) u .. forall (t, x) in H_(T)  inter Omega.
+  $
+  $u$ nimmt also Maximum und Minimum auf dem Rand an.
+]
+
+#proof[
+  - Setze zu $epsilon > 0$, $v := u +  epsilon x^2 $ $==>$ $partial _(t)  v -  partial _(x) ^2 v =  -  2 epsilon < 0$. Hier ist $u$ eine Loesung der PDE
+  - Sei $(t_0, x_0 )$ eine Maximal-Stelle von $v$ auf $overline(Omega) inter  H_(T) $. Diese existiert, da $v$ stetig und auf $overline(Omega) inter H_(T) $ kompakt ist
+  - Dann ist $a_0 :=  (t_0, x_0 ) in partial Omega inter H_(T) $. Angenommen, dann das nicht. Also $0 < t_0 <= T \, space 0 < x_0 < L$,
+    dann $grad v (a_0 ) =  0$, falls $t_0 < T$ (Extremum!)
+  - Es gilt $partial _(x) u (a_0 ) = 0 and partial _(t) u (a_0 ) >= 0$
+  - Zudem ist $partial _(x) ^2  v (a_0 ) <=  0$, da fuer $a_0 $ Maximum gilt, dass die Hessematrix von $v$ in $a_0 $ negativ definit ist 
+  - Somit folgte $partial _(t) v (a_0 ) -  partial _(x) ^2 v (a_0 ) >= 0$. Widerspruch
+  - Also ist $a_0 in partial Omega inter H_(T) $
+
+  Fuer $u$ folgt nun 
+  $
+    u (t, x) <=  v (t, x) <=  v (t_0, x_0 ) <=  u (t_0 , x_0 ) +  epsilon L^2 \ 
+    ==> sup_(H_(T) inter Omega)  u <=  max_(H_(T) inter partial Omega)  u +  epsilon L^2 .. "weil" a_0 "auf dem Rand liegt" \ 
+    ==> "obere Abschaetzung mit Hilfe von" epsilon -> 0.
+  $
+  Fuer die Abschaetzung nach unten betrachte $- u$ und das selbe Argument.
+  Fuer den Beweis muss nichts konkretes ueber $u$ bekannt sein.
+]
+
+Daraus laesst sich die Eindeutigkeit nach vorgegebenen Bedingungen folgern.
+
+#proof[
+  Sei $u, tilde(u)$ Loesungen der PDE. Dann ist $u -  tilde(u)$ Loesung zu den Randdaten $= 0$. Es folgt also aus dem Maximums-Prinzip 
+  $
+    0 <= u - tilde(u) <= 0 ==> u =  tilde(u) .. "unter Stetigkeit".
+  $
+]
+#remark[
+  Waermeleitung auf dem REchteck oder der Kreisscheibe $==>$  Sperationsansatzh wie bei der Wellengleichung. Hier koennen wir auch beweisen, dass jede Loesung des ARW-Problems sich als Reihe aus den gefundenen Loesungen schreiben laesst.
+]
+
+#lemma[
+  Betrachte $partial _(t) u -  partial _(x) ^2 u \, space "auf" Omega =  RR_(+) times (0, L) $. Mit 
+  $
+    u (t, 0) =  alpha \, space  u (t, L )=  beta .. forall t \ 
+    u (0, x) =  f (x) \, space  f (0) =  alpha \, space  f (L) =  beta.
+  $
+  Man kann dann die Loesung schreiben als 
+  $
+     u (t, x) =  u_0 (x) +  v (t, x),
+  $
+  wobei $v (t,x)$ Loesung des ARWP ist mit $v (0, x) =  0$ und $u_0 (x)$ die sogenannte stationaere Waermeleitung $u_0 '' =  0$ loest und $u_0 (0) =  alpha \, space u_0 (L) =  beta$.
+]
+
+Als Intuition beobachte, dass $v (t, x) ->  0 "fuer" t -> oo$ d.h. $u_0 (x) =  lim_(t -> oo) u (t, x)$. Nach (langer) Zeit kommt das System annaehernd zur Ruhe, fuer $t ->  oo$ wird es stationaer (es findet keine WAermeleitung mehr statt). 
+Dieses Verhalten findet man auch in hoeheren raeumlichen Dimensionen.
+
+Explizit im Draht ist die stationaere Loesung leicht zu berechnen. Es ergibt sich 
+$
+  u''_0 =  0 ==>  u_0 (x) =  c_0 +  c_1 x \ 
+  u_0 (0) =  alpha ==> c_0 =  alpha \, space u_0 (L) =  beta ==> c_1 = (beta - alpha) / (L) .
+$
+
+#definition([Dirichlet-Problem])[
+  Sei $Omega subset RR^(n) $ offen und zusammenhaengend (bei uns meist sogar konvex und beschraenkt) mit glattem Rand. Sei $f in C (partial  Omega)$. Gesucht ist $u in C (overline(Omega)) inter C^2 (Omega) "mit" Delta u = 0 "in" Omega \, space  u | _(partial Omega) =  f$. Hier ist $Delta  = sum _(i)  partial _(i)^2  $ der Laplace Operator. Man sagt auch, dass $u$ "harmonisch" ist.
+]
+
+Als explizites Beispiel kann man die offene Kreisscheibe $Omega subset RR^2 $ betrachten.
+
+Fuer $Omega subset  RR^2 $ offene Kreisscheibe ist (Poisson)
+$
+  u (x) =  cases(
+    (1 -  norm(x)^2 ) / (2 pi) integral _(norm(y)= 1)  (f (y)) / (norm(x - y)^2 ) dif s (y) .. norm(x) < 1 \
+  f (x) .. norm(x) = 1
+  )\
+$
+eine Loesung $u in C (overline(Omega)) inter  C^2  (Omega)$ des Dirichlet-Problems $Delta u =  0$ auf $Omega \, space u | _(partial Omega) =  f$ gegeben.
+
+Hier ist das INtegral das Kurven-Integral entalng des Einheitskreises (gegen den Uhrzeigersinn) 
+$
+  integral _(0) ^(2 pi) (f (gamma (t))) / (norm(x -  gamma (t))^2 )  norm(gamma' (t))  dif t
+$
+und $ norm(*)$ ist die euklidische Norm.
+
+Q: Wie kommt man darauf?
+
+Man geht anders herum vor und setzt den Sperarationsansatz an. Dann transfomiert man wieder auf Polarkoordinaten und erhaelt 
+$
+  U_(k) (r, theta) =  (a_(k) cos k +  b_(k) sin k) r ^(k) \ 
+  U_0 (r, theta) =  1/2 a_0.
+$
+
+Q: Warum duerfen wir die gleichmaessige Konvergenz der Reihe annehmen? Wie wird diese bewiesen?

book.typ

@@ -30,10 +30,13 @@
         - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Einleitung Fourier und PDE]
         - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL2.typ")[MaPhIIIVL2]
         - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL3.typ")[MaPhIIIVL3]
+        - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL4.typ")[MaPhIIIVL4]
 
     - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest]
         - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]
         - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL2.typ")[Bindungstypen II]
+        - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL3.typ")[FestVL3]
+        - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL5.typ")[FestVL5]
 
     = Semester I
 

data/default.typ

@@ -48,6 +48,9 @@
 #let grad = math.op("grad")
 #let div = math.op("div")
 
+#let phi = math.phi.alt
+#let phio = math.phi // old phi
+
 // flashcards
 #let flashcard(id, front, back) = {
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