Maphy und Festkoeper Vl1

S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ

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+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 1,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Es werden nur ausgewaehlte Aufgaben korrigiert werden. Also nicht das ganze Blatt.
+
+Die Uebungen werden sehr nah am Vorlesungsstoff sein.
+
+== Inhalt
+
+- Potenzreihen
+- Cauchy-Integralformel und Residuensatz
+- Schwarzraum und Distributionen
+- Spezielle partielle Differenzialgleichungen auch unter Randbedingungen
+- Greensche Funktion
+- Banachraeume und kompakte Operatoren
+- Spektralsatz am Beispiel der Strum-Liouville-Operatoren
+- Fourier-Reihen und Fourier-Integrale
+
+= Partielle Differenzialgleichungen
+
+Die schwingende Saide mit Ausschlag
+$
+  u (t, x).
+$
+Dies ist die Loesung der Gleichung in 2 Dimensionen.
+Die Wellengleichung lautet
+$
+  partial_(t) ^2 u (t, x) =  c^2 partial_(x) ^2 u (t, x) .. forall (t, x) in RR times (0, L)
+$
+mit den Randbedingungen
+$
+  u (t, 0) =  u (t, L) = 0 .. forall t in RR.
+$
+Die Saite ist also Eingespannt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c in RR^(star) $ ist fest vorgegeben.
+
+Wir suchen $u in C^2  (overline(u))$ mit $u in RR times (0, L)$.
+
+Es muessen die Wellengleichung die Randbedingungen und die Anfangsbedingungen von $u$ erfuellt sein
+$
+  u (0, x) =  f (x) , space partial_(t)  u (0, x) =  g (x) .. forall x in [0, L].
+$
+fuer fest gewaehlte $f in C^2 ([0, L]), g in C ([0, L])$.
+
+#definition[
+  Fuer $U subset RR^(m) $ offen setzt man
+]
+
+Die Laplace-Gleichung ist ein weiteres Beispiel fuer ein Anfangs-Randwert-Problem
+$
+  Delta f = 0.
+$
+
+Fuer PDE existieren Loesungen nicht fuer alle beliebigen $f (x)$ und $g (x)$.
+
+Fuer die Loesung gibt es den Ansatz Separation der Variablen
+$
+  u (t, x) =  v (t) w (x) , space v in C^2 (RR), w in C^2 ([0, L]).
+$
+Hier muss noch mehr ueber die beiden Funktionen bekannt sein, damit die Argumente spaeter funktionieren.
+
+Q: Wann und warum liefert dieser Ansatz Loesungen?
+
+#remark[
+  Fuer die Wellengleichung gibt es Loesungen welche nicht der Form der separierten Variablen ist.
+]
+
+#example[
+  Setze den Ansatz oben
+  $
+    u (x, t) = v (t) w (x)
+  $
+  in die allgemeine Wellengleichung ein. Dann ist das Ziel zwei Gleichungen der Form
+  $
+    v'' (t) +  lambda v (t) =  0 and w'' (x) +  lambda/(c^2 ) w (x) = 0.
+  $
+  Hierbei muss erstmal das $lambda$ gefunden werden durch zuerst die Feststellung, dass die beiden Quotienten beide gleich einem $hat(lambda)$  sind.
+]
+
+#lemma[
+  Das Randwertproblem 
+  $
+    w'' (x) +  lambda/(c^2 ) w (x) =  0 , space w (0) =  w (L) =  0
+  $
+  kann nur fuer $lambda > 0$ nicht-triviale Loesungen $in C^2 ([0, L])$ besitzen.
+]
+
+#proof[
+  Nehme den Ansatz
+  $
+    lambda angle.l w\, w angle.r = lambda integral _(0) ^(L) overline(w (x)) w (x) dif x.
+  $
+  Dann
+  - Loesung einsetzen
+  - Randbedingungen nutzen
+  - Positive definitheit vom Skalaprodukt nutzen
+  - Auch Nutzen, dass wir wissen, dass $w' != 0$ und gleichzeitig auch glatt ist
+]
+
+Daraus wissen wir dann, dass
+$
+  w (x) =  a cos (sqrt(lambda)/c x) +  b sin (sqrt(lambda)/c x)
+$  
+mit den Randbedingungen
+$
+  w (0) =  0 => a = 0 and w (L) = 0 =>  sqrt(lambda) =  pi c/L k , space k in NN.
+$
+Das gefundene $lambda$ kann dann in Gleichung
+$
+  v'' (t) +  lambda v (t) = 0
+$
+eingesetzt werden. Da ergibt sich dann eine Ueberlagerung von Cosinus und Sinus, da keine Randbedingungen vorliegen.
+
+Es laesst sich dann zeigen, dass sich jede Loesung der Wellengleichung mit Randbedingungen durch eine Reihe der Form
+$
+  u (t, x) =  sum ^(oo) _(k = 1)  (a_(k cos ((pi c)/L k t) + b_(k) sin ((pi c)/L k t) )) sin ((pi k)/L x).
+$
+Es gilt dann
+$
+  f (x) =  sum a_(k) sin ((pi k)/L x) and g (x) =  sum b_(k) (k c pi)/L sin (pi).
+$
+
+= Fourier-Reihen
+
+#theorem[
+  Konvergiert die Reihe 
+  $
+    1/2 a_(0)  +  sum_(i=1)^(oo) (a_(i) cos (i x) + b_(i) sin (i x) )
+  $
+  gleichmaessig auf $[- pi,  pi]$, so ist die Grenzfunktion $f$ stetig. Ausserdem gilt $f (- pi) =  f (pi)$ und 
+  $
+    a_(k) =  1/pi integral _(-  pi) ^(pi) f (s) cos (k s) dif s \
+    b_(k) = 1/pi integral 
+  $
+]
+
+- Was ist gleichmaessige Konvergenz
+
+#proof[
+  - Berechnen der $a_(k) and b_(k) $ im Bezug auf die Grenzfunktion
+]
+
+#definition[
+  Abschnittsweise $C$ Funktion.
+]
+
+#definition[
+  Periodische Standartforsetzung einer Funktion $f$.
+]
+
+#theorem[
+  Eine abschnittsweise $C$ Funktion auf $[- pi, pi]$. Dann konvergiert die Folge von Funktionen $tilde(f)$ mit gewissen Eigenschaften.
+]
+
+- Stetigkeitsaussagen uber die periodische Standartforsetzung
+- Gibbs-Phaenomen