diff --git a/S3/Fest/.anki b/S3/Fest/.anki new file mode 100644 index 0000000..99cf06e --- /dev/null +++ b/S3/Fest/.anki @@ -0,0 +1 @@ +University::Physics::S3 diff --git a/S3/Fest/.unicourse b/S3/Fest/.unicourse new file mode 100644 index 0000000..a5bcb34 --- /dev/null +++ b/S3/Fest/.unicourse @@ -0,0 +1,2 @@ +name: Festkoerperphysik +short: Fest diff --git a/S3/Fest/VL/FestVL1.typ b/S3/Fest/VL/FestVL1.typ new file mode 100644 index 0000000..a8ef387 --- /dev/null +++ b/S3/Fest/VL/FestVL1.typ @@ -0,0 +1,118 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 1, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Einfuehrung in die Festkoerperphysik + +== Literatur + +- Gross und Marx Festkoerperphysik +- Demtroeder Experimentalphysik III +- Hunklinger Festkoerperphysik + += Einleitung + +Was hat alles im Hs mit FK zu tun? + +- Bildschirme (Strom zu Licht) +- CPU (Rechenoperationen durch Transitoren) +- Speichermedien (Speicherung von Informationen) +- Led-Licht +- Glas +- Waermeleitfaehigkeit +- Leiter und Magneten + += Inhalt + ++ Bindungen im Festkoerper ++ Kristallstrukturen ++ Bestimmung der Kristallstrukturen ++ Dynamische Eigenschaften der Kristallgitter ++ Elektronische Eigenschaften der Kristallgitter ++ Elektronische Bendstruktur + +Was versthene wir unter Festkoerpern? + +Es ist harte Materie z.B. Einkristalle. Auch mit polykristallinen Materialien. +Diese weisen keine wohldefinierte Struktur in allen Bereichen des Materials auf. Sie sind also eine Zusammensetzung aus mehreren kristallinen Bereichen. + +- Amorphe Festkoerper (Glas) +- Neue Materialen (Quantenmaterialien und organische Halbleiter) + += Vom Atom zum Festkoerper + +Die Atome muessen Bindungen eingehen. Es gibt *Bindungskraefte* und *Bindungstypen*. + +Dazu zaehlen die elektromagnetischen Kraefte. + +Meist nur elektrische Kraft. + +Die magnetische Kraefte haben ienen verschwindenen Anteil. Die Gravitation ist auf Nanoebene irrelevant. + +Es koennen auch Mischformen der verschiedenen Bindungstypen auftreten. + +#table(columns: 3, +[*Bindungsenergie pro Atom*], [*Bindungsart*], [*Beispiel*], +[$0.1"eV"$], [Van-der-Waals Bindung], [Bindungen zwischen neutralen Atomen oder Molekuelen mit Edelgaskonfiguration], + [$6-11$eV pro Ionenpaar], [Ionische Bindung], [Salze], + [$4-7$eV], [Kovalente Bindung], [Keine Edelgaskonfiguration als Bindung zwischen neutralen Atomen], + [$1-5$eV], [metallische Bindung], [Atome geben einen Teil der Elektronen ab (Metalle)], + [$0.1$eV], [Wasserstoffbrueckenbindung], [Spezialfall der ionischen Bindung], + +) + +Die Bindungsenergie ist die Summe der Gesamtenergie der freien Atomen minus der Gesamtenergie des aus Atomen aufgebauten Festkoerpers. + +Desto groesser die Bindungsenergie ist, desto hoeher ist der Schmelzpunkt in der Regel. + +Der Bindungstyp ist von Bedeutungs fuer die Eigenschaften des Materials. + +== Van-der-Waals Bindungen +Bindung zwischen elektrisch neutralen Atomen und Mokeluelen die Kraft wirkt zwischen allen Atomen und Molekuelen. +Diese Bindungsart wirkt immer ist aber relativ Schwach und kann deshalb manchmal vernachlaessigt werden gegenueber der Anderen. Wenn also keine anderen Bindungen vorliegen ist diese um so relevanter. + +Der Mechanismus kommt durch induzierte Dipol Wechselwirkung zustande. + +#example[ + Eine kugelsymmetrische Elektronenverteilung in einem Atom hat kein permanentes Dipolmoment. Durch zeitliche Schwankungen der Ladungsverteilung der Elektronenwolke wird ein temporaeres Dipolmoment erzeugt. + + Der Dipol erzeugt dann ein elektrisches Feld der Form + $ + E prop arrow(p)/r^3 . + $ + Dieses induziert dann ein Feld bei den Nachbarn. Es entsteht eine Kettenreaktion. + Diese anziehende Wechselwirkungs ist begleitet von einer potentiellen Energiedifferenz im Raum + $ + E_("pot") (r) prop - (p_(1) p_(2) ) / (r^3 ) prop (alpha_(1) alpha_(2) ) / (r^(6) ) . + $ + Hier ist $alpha$ die Polarisierbarkeit des Materials. +] + +Der Abstossende teil wird durch die gleiche Ladung der Elektronen erzeugt. Die elektromagnetischen Wellenfunktionen ueberlappen sich dann. + +Durch das Pauliprinzip wirkt dieser Effekt als abstossende Kraft. Die Elektronen muessen also zu hoeheren Energieniveaus ausweichen. Dies kostet Energie, wodurch es wie eine abstossende Kraft wirkt. + +Das Lennard-Jones Potential bringt diese beiden Kraefte zusammen. Hier wird angenommen, dass die abstossende Kraft mit $r^(12) $ skaliert. Es gilt also +$ + E = a/r^(12) - b/r^(6). +$ + +Die Kerne spielen hier keine Rolle, da sich alles bei weniger Energie abspielt. diff --git a/S3/Fest/index.typ b/S3/Fest/index.typ new file mode 100644 index 0000000..de1da31 --- /dev/null +++ b/S3/Fest/index.typ @@ -0,0 +1 @@ += ExPhy III diff --git a/S3/Fest/preamble.typ b/S3/Fest/preamble.typ new file mode 100644 index 0000000..085f1d2 --- /dev/null +++ b/S3/Fest/preamble.typ @@ -0,0 +1,18 @@ +#import "../../data/default.typ": * +#import "../../data/theorems.typ": * + +#let rot = math.op("rot") +#let grad = math.op("grad") + +#let conf(num: none, date: "", type: none, body) = { + // Global settings + show: default + + // Set the header + [ExPhy III \ Vorlesung #(num)] + // Make tcahe outline + outline() + + // load the document + body +} diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ new file mode 100644 index 0000000..308f992 --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ @@ -0,0 +1,174 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 1, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Es werden nur ausgewaehlte Aufgaben korrigiert werden. Also nicht das ganze Blatt. + +Die Uebungen werden sehr nah am Vorlesungsstoff sein. + +== Inhalt + +- Potenzreihen +- Cauchy-Integralformel und Residuensatz +- Schwarzraum und Distributionen +- Spezielle partielle Differenzialgleichungen auch unter Randbedingungen +- Greensche Funktion +- Banachraeume und kompakte Operatoren +- Spektralsatz am Beispiel der Strum-Liouville-Operatoren +- Fourier-Reihen und Fourier-Integrale + += Partielle Differenzialgleichungen + +Die schwingende Saide mit Ausschlag +$ + u (t, x). +$ +Dies ist die Loesung der Gleichung in 2 Dimensionen. +Die Wellengleichung lautet +$ + partial_(t) ^2 u (t, x) = c^2 partial_(x) ^2 u (t, x) .. forall (t, x) in RR times (0, L) +$ +mit den Randbedingungen +$ + u (t, 0) = u (t, L) = 0 .. forall t in RR. +$ +Die Saite ist also Eingespannt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c in RR^(star) $ ist fest vorgegeben. + +Wir suchen $u in C^2 (overline(u))$ mit $u in RR times (0, L)$. + +Es muessen die Wellengleichung die Randbedingungen und die Anfangsbedingungen von $u$ erfuellt sein +$ + u (0, x) = f (x) , space partial_(t) u (0, x) = g (x) .. forall x in [0, L]. +$ +fuer fest gewaehlte $f in C^2 ([0, L]), g in C ([0, L])$. + +#definition[ + Fuer $U subset RR^(m) $ offen setzt man +] + +Die Laplace-Gleichung ist ein weiteres Beispiel fuer ein Anfangs-Randwert-Problem +$ + Delta f = 0. +$ + +Fuer PDE existieren Loesungen nicht fuer alle beliebigen $f (x)$ und $g (x)$. + +Fuer die Loesung gibt es den Ansatz Separation der Variablen +$ + u (t, x) = v (t) w (x) , space v in C^2 (RR), w in C^2 ([0, L]). +$ +Hier muss noch mehr ueber die beiden Funktionen bekannt sein, damit die Argumente spaeter funktionieren. + +Q: Wann und warum liefert dieser Ansatz Loesungen? + +#remark[ + Fuer die Wellengleichung gibt es Loesungen welche nicht der Form der separierten Variablen ist. +] + +#example[ + Setze den Ansatz oben + $ + u (x, t) = v (t) w (x) + $ + in die allgemeine Wellengleichung ein. Dann ist das Ziel zwei Gleichungen der Form + $ + v'' (t) + lambda v (t) = 0 and w'' (x) + lambda/(c^2 ) w (x) = 0. + $ + Hierbei muss erstmal das $lambda$ gefunden werden durch zuerst die Feststellung, dass die beiden Quotienten beide gleich einem $hat(lambda)$ sind. +] + +#lemma[ + Das Randwertproblem + $ + w'' (x) + lambda/(c^2 ) w (x) = 0 , space w (0) = w (L) = 0 + $ + kann nur fuer $lambda > 0$ nicht-triviale Loesungen $in C^2 ([0, L])$ besitzen. +] + +#proof[ + Nehme den Ansatz + $ + lambda angle.l w\, w angle.r = lambda integral _(0) ^(L) overline(w (x)) w (x) dif x. + $ + Dann + - Loesung einsetzen + - Randbedingungen nutzen + - Positive definitheit vom Skalaprodukt nutzen + - Auch Nutzen, dass wir wissen, dass $w' != 0$ und gleichzeitig auch glatt ist +] + +Daraus wissen wir dann, dass +$ + w (x) = a cos (sqrt(lambda)/c x) + b sin (sqrt(lambda)/c x) +$ +mit den Randbedingungen +$ + w (0) = 0 => a = 0 and w (L) = 0 => sqrt(lambda) = pi c/L k , space k in NN. +$ +Das gefundene $lambda$ kann dann in Gleichung +$ + v'' (t) + lambda v (t) = 0 +$ +eingesetzt werden. Da ergibt sich dann eine Ueberlagerung von Cosinus und Sinus, da keine Randbedingungen vorliegen. + +Es laesst sich dann zeigen, dass sich jede Loesung der Wellengleichung mit Randbedingungen durch eine Reihe der Form +$ + u (t, x) = sum ^(oo) _(k = 1) (a_(k cos ((pi c)/L k t) + b_(k) sin ((pi c)/L k t) )) sin ((pi k)/L x). +$ +Es gilt dann +$ + f (x) = sum a_(k) sin ((pi k)/L x) and g (x) = sum b_(k) (k c pi)/L sin (pi). +$ + += Fourier-Reihen + +#theorem[ + Konvergiert die Reihe + $ + 1/2 a_(0) + sum_(i=1)^(oo) (a_(i) cos (i x) + b_(i) sin (i x) ) + $ + gleichmaessig auf $[- pi, pi]$, so ist die Grenzfunktion $f$ stetig. Ausserdem gilt $f (- pi) = f (pi)$ und + $ + a_(k) = 1/pi integral _(- pi) ^(pi) f (s) cos (k s) dif s \ + b_(k) = 1/pi integral + $ +] + +- Was ist gleichmaessige Konvergenz + +#proof[ + - Berechnen der $a_(k) and b_(k) $ im Bezug auf die Grenzfunktion +] + +#definition[ + Abschnittsweise $C$ Funktion. +] + +#definition[ + Periodische Standartforsetzung einer Funktion $f$. +] + +#theorem[ + Eine abschnittsweise $C$ Funktion auf $[- pi, pi]$. Dann konvergiert die Folge von Funktionen $tilde(f)$ mit gewissen Eigenschaften. +] + +- Stetigkeitsaussagen uber die periodische Standartforsetzung +- Gibbs-Phaenomen