anamech

2026-01-01 06:44:25 -05:00 · 2025-05-16 21:14:03 +02:00
parent b44739baee
commit c34ad20166
3 changed files with 179 additions and 1 deletions
--- a/S2/AnaMech/VL/AnMeVL6.typ
+++ b/S2/AnaMech/VL/AnMeVL6.typ
@@ -0,0 +1,37 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 6,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Das dritte Kepler Gesetz zeigt, dass $pi a b = T L/(q mu) ==> T = (2 mu a b pi) / (L) $.
+
+= Das $1/r$ Potential
+
+Es gilt $alpha>0$ und $r_("min") <r<r_("max") $ und $V_0 <= E <0$.
+
+Unser Ziel ist $1 + epsilon cos phi = r_0 /r)$.
+
+Wir wissen
+$
+	d phi = plus.minus L/r^2 (d r) / [(d mu (E - V_("eff") )]^(1/2).
+$
+
+Das kann dann durch Substitution geloest werden.
+
--- a/S2/AnaMech/preamble.typ
+++ b/S2/AnaMech/preamble.typ
@@ -4,7 +4,7 @@
 #let rot = math.op("rot")
 #let grad = math.op("grad")

-#let conf(num: none, date: "", type: none, body) = {
+#let conf(num: none, date: "", type: none, body, ueb: false) = {
 	// Global settings
 	show: default

--- a/S2/DiffII/VL/DiIIVL7.typ
+++ b/S2/DiffII/VL/DiIIVL7.typ
@@ -0,0 +1,141 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 7,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Ist $f$ diffbar in $x_0 $, so gilt
+$
+	exists "lineare Abbildung" L: RR^n -> CC, "sodass" \
+	lim_(n -> 0) (f (x_0 + h) - f (x_0 ) -  L h) / (norm(h)) = 0, L =  d f (x_0 ).
+$
+
+#theorem[
+	Sei $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ in $a in U$ differenzierbar. Dann ist $f$ in $a$ in jede Richtung differenzierbar und es gilt
+	$
+		d f (a) h = partial / (partial n) f (a) =  sum_(i = 1)^(n) partial / (partial i) f (a) h_i .
+	$
+] <tem2>
+
+#proof[
+	Fuer $h$ hinreichend klein schreibe
+	$
+		f (a + h) =  f (a) + d f (a) h + R (h) "mit" lim_(h -> 0) (R (h)) / (norm(h)) = 0.
+	$
+	Fuer $h in RR^n $ und $t in RR$ hinreichend klein folgt
+	$
+		f (a + t h) =  f (a) + d f (a) (t h) + R (t h).
+	$
+	Fuer $t != 0$ folgt
+	$
+		d f (a) h = (f (a + t h) - f (a) -  R (t h)) / (t),
+	$ <gl1>
+	da $f$ in $a$ diffb. ist, gilt $lim_(t -> 0) (R (t h)) / (t) < norm(h) (R (t h)) / (t norm(h)) = 0$
+	Mit @gl1 folgt, dass der Grenzwert $lim_(t -> 0) (f (a + t h)- f (a)) / (t) $ existiert und dass gilt
+	$
+		d f (a) h = partial / (partial h) f (a).
+	$ <gl2> 
+	Das ist eine wichtige Gleichheit zwischen Differenzial und Richtungsableitung
+	Da $ d f (a) h$ eine lineare Abbildung ist, gilt
+	$
+		d f (a) h =  d f (a) (sum_(k = 1)^(n) e_k h_k ) =  sum_(k = 1)^(n) h_k underbrace(d f (a) e_k, #[@gl2] ).
+	$
+	Also $d f (a) h =  sum_(k = 1)^(n)  h_k * partial / (partial n) f (a)$.
+
+]
+
+#remark[
+	Sei $s in RR$.
+	$
+		lim_(t -> 0) (f (a + t * s h) - f (a)) / (s t) = partial / (partial s h)  f (a), \
+		s lim_(t' -> 0) (f (a + t' h)-f (a)) / (t') = s partial / (partial h) f (a).
+	$
+	Betrachte
+	$
+		f: U subset RR^n  -> CC, d f (a): RR^n ->  CC, h |-> d f (a) h =  sum_(k = 1)^(n) h_k partial / (partial k) f (a).
+	$
+]
+
+#definition[
+	Ist $f: U -> CC$ in $a in U$ partiell Differenzierbar, so definieren wir den Gradienten von $f$ in $a$ als
+	$
+		grad(f) (a) := vec(partial / (partial 1) f (a), partial / (partial 2) f (a), dots.v , partial / (partial n) f (a) ).
+	$
+	Wir schreiben auch
+	$
+		arrow(nabla) f (a) =  grad(f)  (a) =  f' (a).
+	$
+	
+]
+#example[
+	Ist $f (x_1, x_2 )= x_1 ^2 + x_2 ^2 $ so gilt in $(a_1,  a_2)$
+	$
+		arrow(nabla)  f (a) =  vec(2 a_1 , 2 a_2 ).
+	$
+]
+
+"Der Gradient gibt die Richtung des starksten Anstiegs an."
+
+#theorem[
+	Sei $U subset RR^n $ offen und $f: U ->  CC$ in $a in U$ differenzierbar. Ist $arrow(nabla) f (a) =  0$ so gilt
+	$
+		partial / (partial h) f (a) =  0, forall h in RR^n .
+	$
+	Ist $arrow(nabla)  f (a) != 0$, so gilt $abs(partial / (partial n) f (a)) <= norm(arrow(nabla) f (a))_(2) forall h in RR^n "mit" norm(h)_(2)  = 1$ und
+	Gleichheit fuer $h = (arrow(nabla)  f (a)) / (norm( arrow(nabla) f (a))_(2) ) $.
+]
+
+#proof[
+	Ist $arrow(nabla) f (a) = 0 "und" h in RR^n $, so folgt nach @tem2, $partial / (partial n) f (a) =  sum_(k = 1)^(n) partial / (partial n)  f (a) h_(k) =  arrow(nabla)  f (a) =  0 $.
+	Sei nun $h in RR^n $ mit $norm(h)_(2) =  1$. Mit Cauchy-Schwarz erhalten wir
+	$
+		abs(partial / (partial n) f (a)) =  abs( sum_(k = 1)^(n) h_k partial / (partial k) f (a)) =  underbrace(norm(h)_(2), =1) norm( arrow(nabla) f (a))_(2)
+	$
+	und Gleichheit fuer
+	$
+		h =  (arrow(nabla) f (a)) / (norm( arrow(nabla) f (a))_(2) ) 
+	$
+]
+
+
+$
+	f: U ->  CC, a in U
+$
+
+$
+	f "diffbar" ==>^(#[@tem2]) f "ist partiell diffbar".
+$
+
+#example[
+	Sei $f: RR^2 ->  RR$ gegeben durch 
+	$
+	f (x,y) =  cases((x ^2 y) / (x^2 + y^2 ) ,0).
+	$
+	Dann ist $f$ stetig in 0 und fuer jedes $h =  (h_1, h_2 ) in RR^2$ existiert die Richtungsableitung.
+
+	$
+		(f (h_1, h_2 ) - f (0,0) -  d f (0) h)/(norm((h_1, h_2 ))_(2) ) =  (h_1 ^2 h_2 ) / (norm((h_1, h_2 ))_(2) ^3)  =  (h_1 ^3 ) / (( 2 h_1 ^2 )^(3/2) )  = +- (1) / (2^(3/2) ) != 0 
+		
+	$
+	Also ist $f$  nicht diffbar in dem Punkt $(0,0)$.
+]
+
+#theorem[
+	Sei $U subset  RR^n $ offen, $f: U ->  CC$ in jedem Punkt in U partiell differenzierbar und die partiellen Ableitungen $partial / (partial k) f: U ->  CC, 1 <= k <= n "im" a in U$ stetig. Dann ist $f$ in $a$ differenzierbar.
+]