mirror of
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S3/Fest/VL/FestVL16.typ
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93
S3/Fest/VL/FestVL16.typ
Normal file
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 16,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Es gilt, dass mit $N$ Atomen $3 N$ verschiedene Eigenfrequenzen existieren. Die Zustandsdichten im $k$-Raum sind
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1 "D": Z (k) = (N) / (2 pi /a) = L / (2 pi) \
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3 "D": Z (k) = N/Omega = V/ (2 pi )^3.
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Die Anzahl der Dispersionszweige ist dann
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D * r' \, space r': ("Atome") / ("Einheitszelle").
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Die Zustandsdichte im Freuqnezraum $D (omega)$. Gibt es bei bestimmten Frequenzen Schwingungen und wenn ja, wie viele? Sie sind also in $D (omega)$ enthalten.
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Fuer grosse $L$ und $N$ sind die Zustaende im $k$-Raum sehr eng gepackt, also kontinuierlich verteilt.
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Wie suchen also die Anzahl der Schwingungszustaende im Frequenzintervall $[omega, omega + Delta omega]$ fuer die Dispersion $omega (k)$.
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Die Zustandsdichte ist die Anzahl der Zustaende $A$ pro Volumen. Also gilt
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A = Z (k) Delta k = D (omega) Delta omega \
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==> D (omega) Delta omega = Z (k) integral _(omega = "const.") ^(omega + Delta k = "const.") dif ^3 k.
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Fuer die Integration ergibt sich
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dif ^3 k = dif S_(k) * dif k_(perp).
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Hier ist $abs(arrow(nabla) _(k) omega)$ auch senkrecht zur Oberflaeche mit $omega = "const."$. Dadurch folgt
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Delta omega = abs( arrow(nabla) _(k) omega) dif k^(perp) ==> dif ^3 k = dif S_(k) (Delta omega) / (arrow(nabla) _(k) omega (k)).
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Es ergibt sich
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D (omega) Delta omega = (V) / (2 pi) ^3 integral (dif S_(k) ) / (abs(arrow(nabla) _(k) omega (k))) Delta omega,
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als die Zustandsdichte im Frequenzraum. Das Integral ist im $k$-Raum ueber $omega = "const."$. Falls nun also $omega (k)$ bekannt ist, dann kann die Zustandsdichte im Frequenzraum auch berechnet werden. Falls $v_(g) = arrow(nabla) _(k) omega (arrow(k))$ aber klein ist, dann ist $D (omega)$ gross. Falls aber $v_(g) = 0$, dann ist die Zustandsdichte unendlich gross. Wenn die Zustandsdichte sehr gross ist, dann haben die Schwingungen makroskopischen Einfluss.
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#example[
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Zustandsdichte einatomige Basis fuer einen Dispersionszweig, longitudinale Schwingung im langwelligen Grenzfall. es folgt dann fuer die zweiatomige Basis mit $M_(1) = M_(2) $
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omega = sqrt((C a ^2 ) / (M) ) k ==> v_(g) = (diff omega) / (diff k) = sqrt((C a ^2 ) / (M) ).
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Einsetzen in die integralgleichung liefert dann
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D (omega) = (V) / (2 pi) ^3 integral_(omega = "const.") (dif S_(k) ) / (abs(v_(g) ))
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eine Kugeloberflaeche mit Radius $k$.
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Dadurch ist dann
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integral _(omega = "const.") dif S_(k) = 4 pi k^2.
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Es ergibt sich dann fuer die Zustandsdichte pro Dispersionszweig
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D (omega) = (V) / (2 pi ) ^3 (4 pi k ^2 ) / (abs(v_(g) )) = (V) / (2 pi^2 ) (omega^2 ) / (v_(g) ^3 ).
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]
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== 4.6 Quantisierung der Gitterschwingung und der Impuls von Phononen
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=== 4.6.1 Quantisierung
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Gitterschwingungen in harmonischer Naeherung kann Quantenmechanisch beschrieben werden. Dazu kann die Transfomation der Koordinaten um Oszillatoren voellig zu entkoppeln. Das Frequenzspktrum bleibt gleich, die Auslenkungen koennen dann nicht mehr einzelnen Atomen zugeordnet werden. Die dazugehoerigen Schwingungen heissen Normalschwingungen. Eigenwerte von folgendem harmonischen Operator
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H = T +U^("harm."),
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mit der kinetischen Energie der Gitteratome und der harmonischen Naeherung des Potentials.
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Bei einem Kristall in drei Dimenensionen mit $N$ Atomen $==>$ $3 N$ unabhaengige Oszillatoren, deren Frequenzen muessen denjenigen der klassischen Schwingung entsprechen. Bei einem harmonischen Oszillator sind die Eigenenergiewerte eines der Schwingungszustaende der Frequenz mit $omega_(r) (k)$ mit $r$ als Dispersionszweige
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E_(omega_(r) (k)) = (n_(k_(r) ) + 1/2) planck.reduce omega_(r) (arrow(k)).
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Es gilt fuer die Anzahl der Dispersionszweige
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r = D * r'.
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@@ -30,3 +30,29 @@ $
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Zur Loesung einfacher Molekuele wird die LCAO-Methode genutzt um das Molekuelorbital durch eine Linearkombination zu modellieren.
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Helium kann durch Kombination aus $phi_(A) "und" phio_(B) $ dargestellt werden.
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Das H-atom wird dargestellt als Kombination aus $phi_(A) and phi_(B) $.
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Zeitunabhaengiger Hamilton-Operator
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- planck.reduce ^2 / (2 m ) arrow(nabla) _(e) ^2 - (e ^2 ) / (4 pi epsilon_0 ) (1/r_(A) + 1/r_(B) - 1/R ) phi = E phi.
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Ansatz
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psi (arrow(r), R) = c_(A) phi_(A) (arrow(r)_(A) ) + c_(B) phi_(B) (arrow(r)_(B) ) \
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phi_(i) (arrow(r)) = phi_(i) (arrow(r )_(i) ) = 1/(sqrt(pi a_0 ^3 )) e ^( - r_(i) /a_0 ) \, space a_0 = "const."
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Die gesamte Wellenfunktion ist normiert
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integral abs(psi)^2 dif ^3 r = 1.
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Das Ueberlappungsintegral ist gegeben durch
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S_(A B) = R_0 integral phi_(A) ^(star ) phi_(B) dif ^3 r.
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Das Helium Ion ist symmetrisch, also
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H_(A A) = H_(B B) \
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c_(A) = +- c_(B).
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$
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84
S3/Fest/VL/FestVL7.typ
Normal file
84
S3/Fest/VL/FestVL7.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,84 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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// May add more flags here in the future
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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//date: datetime(
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// year: 2025,
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// month: 5,
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// day: 1,
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//).display(),
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)
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= Uebersicht
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Konventionelle Zelle und primitive Zelle.
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== Wigner-Seitz-Zelle
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Bestimmte Konstruktion der Elementarzelle mit nur einem Gitterpunkt, die die volle Symmetrie des Braveus-Gitters besitzt. Konstuktion
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- Halbiere die Verbindungsstrecken zu Nachbarpunkten durch Normalenebenen
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- Die Wigner-Seitz-Zelle ist nun der eingeschlossene Bereich
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== Richtungen und Ebenen
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=== Netzebene
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Eine Ebene im Kristall, die mit Gitterpunkten besetzt ist (wird auch Gitterebene genannt). Diese wird durch Schnittpunkte mit den Kristallachsen definiert.
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Die Punkte $m_1, m_2, m_3$ definieren eine Netzebene. Viele Eigenschaften eines Kristallgitters werden durch eine Schaar aequivalenter Netzebenen bestimmt.
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Definiere die *Mellerschen Indizes* und bilde die Kehrwerte
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1/m_1, 1/m_2, 1/m_3 \, space m_1, m_2, m_3 in NN
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und mutlipliziere mit kleinster Zahl $p$, die die Keherwerte zu teilerfremden ganzen Zahlen macht
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h = p/m_1 \, space k = p/m_2 \, space l = p/m_3.
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$
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Falls $m_(i) $ negativ, so schreibe einen Querstrich ueber den Index. Richtungen im Kristall werden so angegeben.
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$[100]$ Vektor steht in kubischen Kristallen senkrecht auf der entsprechenden Netzebene.
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== Wichtige Kristallstrukturen
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Fuer Kristalle aus Elementen nr wenige unterschiedlcieh Kristallstrukturen auffindbar. Die Art der Bindung ist einer der wichtigsten Faktoren fuer die Kristallstruktur.
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In NaCl sind ionische Bindngen ungerichtet $==>$ eine moeglichst dichte Packung.
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In Kohlenstoff sind die Hybridorbitale gerichtet mit einem Bidungswinkel von $109 degree $ $==>$ bestimmte Kristallstruktur
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fcc: Face center cubic \
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bcc: Body center cubic \
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hcp: Hexagonal close packed \
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dhcp: Double hexagonal close packed \
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diamond: Diamond structure \
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=== Koordinationszahl
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Diese ist die Zahl der naechsten Nachbarn.
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=== Packungsdichte
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Es ist der Anteil der Elementarzelle die mit Atomen gefuellt ist.
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== Kubische Kristalle
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- Kubisch primitives Gitter (simple cubic) kommt selben in einatomiger Basis (Metalle unter Druck)
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- Oefter bei mehratomiger Basis (naehere Raumausfuellung)
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Kubishch Raumzentrale Gitter
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- Metalle wie Eisen und Wolfram
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Kubisch Flachenzentrale Gitter
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- Mit einem Atom pro Gitterpunkt wie Edelgase
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Ist eine der zwei Moglichkeiten gleichgrosse Kugeln mit maximaler packugsdichte aneindnaderzugelgen. Das ist die dichteste Kugelpackung.
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74
S3/Fest/VL/FestVL8.typ
Normal file
74
S3/Fest/VL/FestVL8.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,74 @@
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// Main VL template
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#import "../preamble.typ": *
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// Fix theorems to be shown the right way in this document
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#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
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#show: thmrules
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// Main settings call
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#show: conf.with(
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num: 5,
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type: 0, // 0 normal, 1 exercise
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date: datetime.today().display(),
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)
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= Uebersicht
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Es koennen auch mehrere Atome pro Gitterpunkt auftreten wie zum Beispiel bei NaCl, wo sich zwei Atomsorten stark in der Groesse unterscheiden.
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Hier ist ein Atom bei $(0, 0, 0)$ und das Andere bei $(1/2, 1/2, 1/2)$. Es gibt dort 18 naechste Nachbarn.
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Zwischenfrage: NaCl, CsCl beides Salze, werum verschiedene Kristallstrukturen?
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A: Verhaetnis der Ionenradien $==>$ Verschiedene Packungsdichte, da diese unter den Randbedingungen minimiert werden soll.
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== Diamantstruktur
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Hat eine zweiatomige Basis mit $(0, 0, 0) \, space (1/4, 1/4, 1/4)$, welche insbesondere in $"sp"^(3)$ Hybridisierungen auftritt. Beispiele sind Diamant, Silizium und Germanium.
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Jedes Atom ist hier tetraedisch zum naechsten Nachbarn umgeben. Koordinationszahl 4 und Packungsdichte 0.34.
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Auf Abbildungen lassen sich diese zwei Typen von Strukturen noch besser erkennen.
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=== Hexagonal dichteste Kugelpackung (hexagonal close packed 'hcp')
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In der dichtesten Kugelpackung haben wir zwei Atome in der Einheitszelle. Auf den Posisitonen $(0, 0, 0) \, space (2/3, 1/3, 1/2)$. Packungsdichte von 0.74 und eine Koordinationszahl von 12. Es gibt zwei Gitter mit maximaler Raumausfuellung. Dies kann man auch in einer Abbildung gut sehen.
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Die ABA Struktur tritt in fcc auf und die ABC in bcc?
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== Graphit und Graphen
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Graphen ist ein Material, welches nur aus einer Atomlage besteht also in zwei Dimensionen. Die Struktur von Graphen ist also hexagonal in 2D.
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Das kann in einer Abbildung angeschaut werden. Graphen hat eine zweiatomige Basis. Wir haben hier eine Spiegelebene parallel zur Drehachse. In Schoentlies C6v.
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Es gilt
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abs(a_1) = abs(a_2 ) = sqrt(3) underbrace(a_(B), "Bindungslaenge")\, space gamma = 120.
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Hier ist $gamma$ der Winkel zwischen den Gitterpunkten in einer Ebene.
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Gestapeltes Graphen wird als Graphit bezeichnet.
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Graphit kann ABA (hexagonal) und ABC (rhomboedrische) gestapelt werden.
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Graphit: zwei Stapelarten
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- hexagonal oder ABA mit $alpha = beta = 90 degree \, space gamma = 120 degree \, space a_1 = a_2 \, space a_3 = 6.71 circle("A") $
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- rhomboedrische (triagonal) ABC mit $a_1 = a_2 = a_3 = 3.6 circle("A") \, space gamma = 39.49 degree $
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= Modifikationen von Graphit
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In ihrer unterscheidbaren Form 3 Lagen sind die beiden neuartigen Quantenmaterialien, die im Falle der ABC Stapelreihenfoge sogar magnetisch oder supraleitend werden koennen!
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= Reale Festkoerper- Oberflaechen & Fehlstellen
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=== Festkoerperoberflaechen
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An Oberflaechen sind anzeiehende Kfraefte nur ins Innere gerichtet und werden von keinen Kraeften kompensiert
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- die Anordnung der Atome und der Abstand der Atome kann von den Werten innerhalb des Kristalls abweichen
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- an Oberflaechen befinden sich ungesaettigte Bindungen ueberstrukturen, unterskoorinierte Atome $==>$ Oberflaechen haben besondere chemische und elektronische Eigenschaften. Diese weichen vom Inneren des Kristalls ab
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Zum Beispiel Katalysatoren koennen diese Oberflaecheneigenschaften spezifisch nutzen. Diese werden oft in der Industrie beim Bosch-Verfahren genutzt. Oder auch in Autos.
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Ein Beispiel laessti sich ein einer Abbildung erkennen. Dieses ist fuer den Einflus der lokalen Struktur auf Oberflaechenreaktivitaeten. Die Reaktion ist
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2 "NO"_(2) + 4 "H"_(2) -> "N"_(2) + 4 "H"_(2) "O" \, space "Platinkatalysator".
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$
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Dies kann man wieder in einer SE Aufnahme erkennen.
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@@ -9,7 +9,7 @@
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show: default
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// Set the header
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[ExPhy III \ Vorlesung #(num)]
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[Festkoerper \ Vorlesung #(num)]
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// Make tcahe outline
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outline()
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