Kft new vl

S3/KFT/VL/KftVL2.typ

@@ -0,0 +1,158 @@
+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+== Maxwellgleichungen
+
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) = rho/epsilon_0 \ 
+  arrow(nabla) * arrow(B) =  0 \ 
+  arrow(nabla)  times arrow(E) +  (diff arrow(B)) / (diff t)  = 0 \ 
+  arrow(nabla) times arrow(B) = mu_0 (arrow(j) +  epsilon_0  (diff arrow(E)) / (diff t) )
+$
+
+== Elektrostatik im Vakuum
+
+Ein Inertialsystem in dem alle Ladungen in Ruhe sind. Es folgt dann
+$
+  arrow(j) = 0 \ 
+  rho (arrow(x), t) =  rho (arrow(x)) \ 
+  ==> "Felder sind zeitunabhaengig" \ 
+  arrow(nabla)  times arrow(B) =  0 , space arrow(nabla)  * arrow(B) =  0 \ 
+  ==>  arrow(B) = 0.
+$
+
+In der Elektrostatik hat man effektiv nur noch zwei Maxwellgleichungen. Die Aufgabe ist also aus der Ladungsverteilung das elektrische Feld zu bestimmen
+
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) =  (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 ) 
+$
+
+Die Feldlinien sind kontinuierliche Linien tangential zum Vektorfeld.
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-12-52-14.rnote.svg"),
+)
+
+Die Dichte der Linien ist proportiional zu 
+$
+  abs(arrow(E) (arrow(x))).
+$
+
+= Gaussches Gesetz
+
+Wir betrachten ein Volumen $V subset  RR^3$ mit Oberflaeche $partial V$. Wir betrachten
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) =  (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )  \ 
+  ==> integral.vol arrow(nabla) * arrow(E) dif ^(3) x =  1/epsilon_0 integral.vol d^(3) x rho (arrow(x)) =  1/epsilon_0 underbrace(Q, "in" V "eingeschlossene Ladung") \ 
+  ==> ^("Gauss") integral.surf _(partial V) arrow(E) dif arrow(a).
+$
+
+Der elektrische Fluss durch die Oberflaeche $partial V$ ist gleich 
+$
+  1/epsilon_0 * Q_("in") .
+$
+
+Konsequenzen 
+- Wenn die gesamte Ladung in $Q$ verschwindet, dann auch der Fluss. Das E-Feld muss nicht notwendiger Weise verschwinden, da sich der Fluss kompensieren kann
+- Ladungsverteilung vollstaendig in einem Volumen $V$ und $V subset V'$  $==>$ der Fluss durch $partial V "und" partial V'$ ist identisch
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-13-02-44.rnote.svg"),
+)
+
+== Das elektrostatische Gleichgewicht
+
+Q: Kann man eine *zeitunabhaengige* Ladung im Vakuum, durch eine zusaetzliche Ladung, in einem stablilen Gleichgewicht halten?
+A: Es ist nicht moeglich.
+
+#theorem[
+  Earns Law
+]
+
+#proof[
+  Angenommen dies waere moeglich. Dadurch gibt es einen Punkt $arrow(r)  ^(star )  $ der stabil ist fuer eine Testladung $q (arrow(r)) > 0$ $==>$ in einer kleinen Umgebung $V$ um $arrow(r)^(star ) $ muss ein $arrow(E)$-Feld existieren, dass die Testladung ueber die Lorentzkraft wieder zurueck treibt. Das Feld muss also in Richtung von $arrow(r)^(star ) $ zeigen
+
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-13-13-32.rnote.svg"),
+)
+
+  $==>$ Es muss gelten 
+  $
+    integral.surf dif arrow(a) * arrow(E) < 0.
+  $
+  $==>$ In $V$ muss eine negative Ladung eingeschlossen sein.
+
+  Widerspruch.
+
+]
+
+Es gibt jedoch Fallen fuer elektrische Ladungen. Zum Beispiel die Paul-Falle. Hier werden zeitunabhaengige Felder genutzt mit einer bestimmten Geometrie.
+Bei der Penning Falle wird eine Kombination von elektrischem und magnetischem Feld genutzt.
+
+= Coulomb-Gesetz
+
+Dieses folgt aus den Maxwellgleichungen. Modell fuer eine Punktladung ist eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit Gesamtladung $Q$ innerhalb eines Radius $R$.
+
+Q: Welches Feld wird beim Abstand $r$ erzeugt?
+
+Durch die Kugelsymmetrie koennen wir annehmen, dass 
+$
+  arrow(E) (arrow(x)) =  E (r) hat(r) 
+$
+
+Wir betrachten dafuer die erste Maxwellgleichung
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) =  (rho) / (epsilon_0 ) ==> integral.vol arrow(nabla) * arrow(E) dif V = Q / epsilon_0 = integral.surf arrow(E) dif arrow(a) = 4 pi r^2 hat(r) * (E (r) hat(r)) = E (r) 4 pi r^2  \ 
+  ==> arrow(E) (arrow(r)) =  Q / (4 pi epsilon_0 r^2 ) hat(r).
+$
+
+Die Lorentzkraft auf eine feste Ladung $q$  ist daher 
+$
+  arrow(F) =  (q Q) / (4 pi epsilon_0 r^2 ) hat(r).
+$
+Daraus folgt dann also das Coulomb-Gesetz.
+
+= Einfache Ladungsverteilung und deren Felder
+
+DIe symmetrie Argumente liefern bereits eindeutige Loesungen aus 
+$
+  arrow(nabla) * arrow(E) (arrow(x)) = (rho (arrow(x))) / (epsilon_0 )  \ 
+  ==> arrow(nabla) times arrow(E) (arrow(x)) =  0 "ist automatisch erfuellt".
+$
+
+#highlight[TODO: Rechne das nach]
+
+== Beispiel einer unendlich ausgedehnten Ebene
+
+Angenommen $sigma$ ist konstant.
+Hier nimm die Box mit Tiefe $b$ und Hoehe $h$
+$
+  Q_("in")  = sigma b^2 \ 
+  A = 2 b^2 \ 
+  ==> Q_("in")/epsilon_0 = integral.surf arrow(E) dif arrow(a) = A E \ 
+  ==> arrow(E) = +- sigma/(2 epsilon_0) hat(z).
+$
+
+#figure(
+  image("typst-assets/drawing-2025-11-03-14-25-31.rnote.svg"),
+)

book.typ

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     - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft]
         - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe]
+        - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL2.typ")[Einfuehrung Elektrostatik]
 
     - #chapter("S3/MaPhyIII/index.typ")[MaPhy III]
         - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Einleitung Fourier und PDE]