init

S2/AnaMech/AnaMech_Hahn_Penning_Zettel_1.typ

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+#import "./preamble.typ": *; #show: conf.with(num: 1, ueb: true)
+
+= Aufgabe 1
+
++	Gegeben ist eine homogene gewoehnliche lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung $dot.double(y) + a y = 0$.
+	Diese kann mittels eines Exponentialansatz $y = c e^(lambda t)$	geloest werden.
+	Umformen liefert fuer $lambda$ die beiden Loesungen $lambda_1$ und $lambda_2$
+
+	$
+		(c_1  e^(lambda t))'' + (a c_2  e^(lambda t))'  = 0\
+		<==> c_1  lambda^2 e^(lambda t) + a c_2 lambda e^(lambda t) = 0\
+		==> lambda^2 + a lambda = 0\
+		==> lambda_1 = 0 and lambda_2 = -a.
+	$
+
+	Da die Nullfunktion nicht interessant ist folgt fuer die allgemeine Loesung:
+
+	$
+		y(t) = c_1 + c_2 e^(-a t) 
+	$
+	
++	Der Ansatz fuer das eindimentionsale Problem ist hier $x(t) = x_0 + v_0 t + 1/2 a t^2$.
+	
+	Einsetzen liefert die BWGL
+
+	$
+		r(t) = x(t) = x_0 + v_0 t - 1/2 g t^2.
+	$
+
++	Grundsaetzlich gilt, dass $nabla V(r) = arrow(F)(arrow(r))$. Es kann also das Kraftfeld integriert werden um das relative Potential zu erhalten.
+	$
+		arrow(F)(arrow(r)) = (alpha) / (r^2 ) arrow(e)_(r) \
+
+	$
+	
+	$
+		arrow(F)(arrow(r)) = (beta) / (r^3 ) arrow(e)_(r) 
+	$
+
+	#highlight[Wie das am besten rechen? Nutzen von Abkuerzungen.]
+
++ 	Potentiale Ableiten.
+	
+	$
+		dif / (dif x) kappa x^2 = 2 kappa x\
+		dif / (dif x) V_0 sin^2 (kappa x) = 
+	$