init

S1/ExPhyI/VL6.typ

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+= Arbeit, Leistung, Energie
+
+Arbeit ist ein Skalarprodukt von der Kraft und dem Weg.
+
+Leistung ist die Ableitung der Arbeit nach der Zeit.
+
+Energie ist eigentlich das Gleiche wie die Arbeit.
+
+Beispiele: Flaschenzug, Schraege Rampe
+
+== Wegunabhaengige Arbeit und konservative Kraftfelder
+
+- Falls $W_a = W_b$ fuer beliebige Wege $a, b$, ist das Weg-Integral *wegunabhaengig* und das Kraftfeld *konservativ*.
+
+aequivalent dazu sind folgende Aussagen:
+
+- $integral.cont arrow(F) d arrow(r) = 0$
+
+== Einschub: der Nabla-Operator $nabla$
+
+$ nabla = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
+
+partielle Ableitung
+
++ *Gradient* (Anwendung auf ein Skalar)
+  $ nabla f = op("grad") f = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
+  Der Gradient gibt die Richtung der groessten Aenderung von $f$ an
+
+  // Insert here a 2d graphic of Heightlines with
+  // a perpendicular gradient vector on them in red
+
+  der Gradient steht senkrecht auf den Hoehenlinien und ist tangential an der Falllinie.
+
++ *Divergenz* (Skalarprodukt mit einem Vektor) $arrow(u) = {u_x, u_y, u_z}$
+  $ nabla dot arrow(u) = "div" arrow(u) = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
+
+  anschaulich: Quellen und Senken eines Vektorfeldes
+
++ *Rotationen* (Vektorprodukt mit einem Vektor)
+  $ nabla times arrow(u) = "rot" arrow(u) $ (siehe oben)
+
+  anschaulich: Wirbel im Stroemungsfeld
+
++ *Kombinationen* $"div grad" f = nabla (nabla f) = Delta f$ (Laplace)
+  $= (delta^2 f)/(delta x^2), (delta^2 f)/(delta y^2), (delta^2 f)/(delta z^2)$
+
+
+Energie = gespeicherte Arbeit $[E] = J$
+
+$=$ die Faehigkeit, Arbeit zu verrichten
+
+Beispiel: Hubarbeit $m dot g dot h arrow$ potientielle Energie $m dot g dot h arrow "loslassen" arrow "kinetische Energie" 1/2 m v^2$
+
+== Der Energie-Erhaltungs-Satz (EES)
+
+2. Newtonsches Gesetz: $arrow(F) = m (d arrow(v))/(d t)$
+
+  $ integral arrow(F) dot arrow(v) d t = m integral (d arrow(v))/(d t) arrow(v) d t$
+
+  $I = integral arrow(F) dot arrow(v) d t = integral arrow(F) d arrow(r) = E_p^1 - E_p^2$ (Arbeit, potientielle Energie)
+
+  $II = m integral arrow(v) d arrow(r) = m/2 v^2_2 = m/2 v_1^2 = E_("kin")^2 - E_("kin")^1$
+
+  $ --> E_("kin")^1 + E_p^1 = E_("kin")^2 + E_p^2$ (EES der Mechanik)
+
+  Beschleunigungsarbiet (2.NG) wird als Zuwachs kinetischer Energie gespeichert.
+
+- Energie wird nicht "erzeugt" oder "verbraucht"
+- Energieformen werden ineinander umgewandelt
+
+Beispiel: Pendel
+
+// Skizze einfuegen
+
+1. $v = 0 arrow E_("kin") = 0, h = h_("max") arrow E_("pot") = m g h_("max")$
+
+2. $v = v_("max") arrow E_("kin") = 1/2 m v_("max")^2, h = 0 arrow E_("pot") = 0$
+
+3. Siehe 1
+
+= Kraftfelder und Potential
+
+Wir nehmen ein konservatives Kraftfeld an und gehen von Punkt $P$ um $delta arrow(r)$ zu Punkt $P'$
+
+// Skizze von verschiedenen Wegen von Punkt P zu P' in 2D und der Steitung dy
+// Vektoren fuer die Kraefte sind eingezeichnet
+
+es aendert sich die potientielle Energie $E_p (x, y, z) = E_p (P)$ um $delta E_p = (delta E_p)/(delta x) delta x + (delta E_p)/(delta y) delta y + (delta E_p)/(delta z) delta z$
+
+da wir eine Strecke in einem Kraftfeld zuruecklegen, verrichten wir Arbeit $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ (gespeichert als potientielle Energie)
+
+--> $F_x delta x + F_y delta y + F_z delta z =^"von oben" - (delta E_p)/(delta x) delta x - (delta E_p)/(delta y) delta y - (delta E_p)/(delta z) delta z$
+
+daher $F_x = - (delta E_p)/(delta x) delta x F_y = - (delta E_p)/(delta y) delta y F_z = - (delta E_p)/(delta z) delta z$
+
+$arrow(F) = - "grad" E_p = - nabla E_p$
+
+Nachtrag: Es existiert ein Skalarfeld DURCHSCHNITT $(arrow(r))$ (Potential), sodass $arrow(F) = - k nabla o (arrow(r))$
+
+($<--> arrow(F)(arrow(r))$ ist ein konservatives Kraftfeld)
+
+
+
+== Drehimpuls und Drehmoment
+
+MP mit Impuls $arrow(p)$ auf Bahn $arrow(r) (t)$
+
+Definition: $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p) = m (arrow(r) times arrow(v))$ Drehimpuls
+
+wichtig: immer in Bezug auf den Koordinatenursprung $O$.
+
+wir zerlegen $arrow(v) "in" arrow(v)_r || arrow(r)$ und $arrow(v)_phi "senkrecht" r$ (Polarkoordinaten)
+
+$ --> arrow(L) = m [ arrow(r) times (arrow(v)_r + arrow(v)_phi)] = m arrow(r) times arrow(v)_phi$
+
+$abs(arrow(L)) = m r omega r sin(90 degree) = m r^2 dot(phi)$
+
+$dot(arrow(L)) = (d arrow(L))/(d t) = [(d arrow(r))/(d t) times arrow(p)] + [arrow(r) times (d arrow(p))/(d t)]$
+
+$= arrow(v) times arrow(p) + arrow(r) times dot(arrow(p)) = arrow(r) times arrow(F)$
+
+
+Definition: $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$ (Drehmoment)
+
+=== Analogie
+
+#table(
+  columns: 2,
+  [Translation], [Rotation],
+  [Impuls $arrow(p)$], [Drehimpuls $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p)$],
+  [Kraft $arrow(F) = dot(arrow(p))$], [Drehmoment $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$],
+  [1. NG $arrow(p) = "const" <--> arrow(F) = 0$], [$arrow(L) "const" <--> arrow(D) = 0$],
+  [Position $arrow(r)$], [Winkel $phi$],
+  [Geschwindigkeit $arrow(v) = dot(arrow(r))$], [Winkelgeschwindigkeit $arrow(omega) = dot(phi) arrow(e)_z$],
+)
+
+Beispiel: Zentralkraftfelder $arrow(F) = f(r) arrow(e)_r$
+
+$ arrow(D) = f(r) arrow(r) times arrow(e)_r = 0 = dot(arrow(L))$
+
+$ --> arrow(L) = "const"$
+