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S1/ExPhyI/Hahn_ExPhy1_Woche3.typ

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+= Aufgabe 1 Freier Fall mit Reibung (10 Punkte)
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+In der Vorlesung wurde der freie Fall von Körpern unter Vernachlässigung der Luftreibung besprochen.
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+Dabei wirkt nur die (konstante) Erdanziehungskraft $F_g = (0,0, −m g)$ auf das Teilchen. Den Effekt der Luftreibung können wir (für nicht zu hohe Geschwindigkeiten) mit Stokesscher Reibung modellieren; dabei wirkt eine zweite, abbremsende Kraft $F_r = (0,0, −β v)$ mit Parameter $beta$ (Abhängig unter anderem von der Gröûe und Form des Teilchens, aber auch von Eigenschaften der Luft).
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+Die Trajektorie kann dann geschrieben werden als:
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+$z_r (t) = z_0 - (g m)/β (t - m/beta (1-e^((-beta t)/m))$
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+(a) Bestimmen Sie daraus die Geschwindigkeiten $v(t)$ des Teilchens.
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+$v_r (t) = -(g e^((-beta t)/m) +(g m)/β)$
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+(b) Leiten Sie nun die Beschleunigung $a(t)$ des Teilchens her.
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+$a_r (t) = (g beta)/m e^((-beta t)/m)$
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+(c) Nähern Sie für $x = (β t)/m << 1 $ die Exponentialfunktion bis zur zweiten Ordnung in $x$, und zeigen Sie, dass zu Beginn die Trajektorie mit der für den reibungsfreien Fall übereinstimmt. 
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+(d) Skizzieren Sie $z_g (t)$ (freier Fall ohne Reibung) und $z_r (t)$ (mit Reibung) in einem gemeinsamen Graphen.
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+(e) Skizzieren Sie separat $v_r (t)$ und $a_r (t)$.
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+= Aufgabe 3.2 Zugkraft (5 Punkte) 
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+Wir betrachten ein von der Decke herunterhängendes Seil mit linearer Massendichte $rho$ (Einheit: Kilogramm pro Meter) und Länge $L$. Bestimmen Sie die Zugkraft $T(z)$ (Einheit: Kilogramm × Meter / $"Sekunde"^2$) als Funktion der Höhe $z$. Hier ist die stationäre Lösung gesucht, d.h. alle Kräfte gleichen sich aus.
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+(a) Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.
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+Das Seil endet genau im Ursprung des Koordinatensystems.
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+(b) Definieren Sie ein Koordinatensystem (die z-Achse genügt hier).
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+(c) Beschreiben Sie in Worten die Zugkraft: Was sind ihre Ursachen, was bewirkt sie?
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+Ursachen fuer die Zugkraft sind die Masse $m$ des Seils kombiniert mit der Erdbeschleunigung $g$. Nun ist es so, dass Die Zugkraft an der Aufhaengung des Seils maximal ist und bei kleinerem $z$ linear abnimmt.
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+Das liegt daran, dass nur die Masse des Seils unter dem Aufhaengungspunkt (Fixierpunkt) zur Zugkraft $T$ beitraegt.
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+(d) Berechnen Sie $T(z)$ und überprüfen Sie die Einheiten. 
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+Man definiere die Masse als $m(z) = (L - z) rho$, wobei $0 <= z <= L$.
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+Dann folgt fuer aus der Kraftbeziehung $F = m a$ die Zugkraft $T(z) = m(z) g = (L - z) rho g$.
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+Einheiten der verwendeten Groessen sind gegeben als:
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+$[T] = N$;
+$[rho] = (k g)/m$;
+$[L - z] = m$;
+$[m] = k g$;
+$[g] = m/s^2$;
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+Einsetzen liefert folgende Aequivalenz:
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+$[(L - z) rho g] = [L - z] [rho] [g] = m (k g)/m m/s^2 = (m k g)/s^2 = N = [T]$
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