init

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel07.typ

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+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "7")
+
+= Vektorraeume
+
+Fuer eine Matrix $A = (a_(i j)) in K^(n times n)$ definieren wir die Reiehen- und Spaltensummen durch
+
+$ R_r (A) := sum^n_(i = 1) a_(r i) quad "und" quad S_s (A) := sum^n_(i = 1) a_(i s) . $
+
+Sei $V$ die Menge aller $n times n$- Matrizen fuer die alle Reiehen- und Spaltensummen gleich sind.
+Also
+
+$ V:= {A in K^(n times n):R_r (A) = S_s (A) "fuer alle" r, s = 1, ..., n} $
+
++ Zeigen Sie, dass $V$ ein Untervektorraum von $K^(n times n)$ ist.
+
+  Seien $v, w in V$.
+
+  Bei der Matrixaddition werden alle Reiehen und Spalten addiert. Dabei gilt:
+
+  $ v_(i j) = c_1, quad w_(i j) = c_2 $
+
+  Also
+
+  $ v_(i j) + w_(i j) = c_1 + c_2 = c => v + w in V $
+
+  $ lambda v = lambda v_(i j) = lambda c_1 = c => lambda v in V $
+
+  
+
++ Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von $V$.
+
+  Wir koennen alle Eintraege von $v in V$ beliebig waehlen, bis auf jeweils die letzen innerhalb einer Zeile oder Spalte. Daraus muss folgen:
+
+  $ dim(V) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2 $
+
+= Einheitsmatrix
+
+Sei $A in K^(n times n)$ mit der Eigenschaft, dass $A B = B A, quad forall B in K^(n times n)$ gilt.
+
+Zeigen Sie, dass $A = lambda E_n$ fuer ein $lambda in K$ ist.
+
+Hier gilt es zu zeigen, dass nur ein Vielfaches der Einheitsmatrix die Kommutativit mit einer beliebigen Matrix $B$ erfuellt.
+
+Sei $B = bb(1)$. Falls $A = bb(1)$ dann waehle $B != bb(1) and B != bb(0)$.
+
+Angenommen fuer $A$ gilt, dass $exists a_(i j): i != j: a = lambda != 0$.
+
+Nach Matrixmultiplikationsvorschrift ist diese nicht kommutativ $arrow.zigzag$.
+
+Wir wissen also, dass $A = mat(a, 0, 0, 0, ...;0, b, 0, 0, ...; 0, 0, c, 0, ...; 0, 0, 0, d, ...; dots.v, dots.v, dots.v, dots.v, dots.down)$ sein muss.
+
+Angenommen $a, b, c, ...$ sind ungleich. Dann laesst sich wieder durch Matrixmultiplikation ein Widerspruch erzeugen.
+
+Falls nun aber $a = b = c = ...$, dann ist $A = lambda E_n$. 
+
+$qed$
+
+= Inverse einer Matrix
+
+Bestimmen Sie das Inverse der Matrix $A = mat(1, -1, 0, 1; 1, 0, -1, 1; 2, 3, -4, 1; 1, 0, 0, 1)$.
+
+Anwenden des Gaussverfahrens mit der Erweiterten Matrix:
+
+$ mat(1, -1,  0, 1, 1, 0, 0, 0;
+      1,  0, -1, 1, 0, 1, 0, 0;
+      2,  3, -4, 1, 0, 0, 1, 0;
+      1,  0,  0, 1, 0, 0, 0, 1; augment: #4) $
+
+= Abbildungsmatrix
+
+
+Sei $frak(B)_1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}$ eine Basis von $QQ^3$ und $frak(B)_2 = {(1,1), (-1, 1)}$ eine Basis von $QQ^2$. Sei $phi: QQ^3 -> QQ^2$ gegeben durch die Abbildungsmatrix
+
+$ A = mat(1, 2, 3; 4, 5, 6) $
+
++ Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $A'$ von $phi$ bezueglich der Basen $frak(B_1)$ und $frak(B_2)$.
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++ Nach der Vorlesung gibt es $X in Q^(3 times 3)$ und $Y in QQ^(2 times 2)$, sodass $A = X A' Y$ gilt.
+  Bestimmen Sie $X$ und $Y$.