mirror of
https://gitlab.gwdg.de/j.hahn02/university.git
synced 2026-01-01 06:44:25 -05:00
init
This commit is contained in:
361
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel06.typ
Normal file
361
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel06.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,361 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "6")
|
||||
|
||||
#import "@preview/pavemat:0.1.0": pavemat
|
||||
|
||||
= Vektorraeume
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass die Menge
|
||||
|
||||
$ V := {x+y sqrt(2) | x, y in QQ} $
|
||||
|
||||
mit der Addition auf $RR$ und der durch
|
||||
|
||||
$ lambda dot (x + y sqrt(2)) := lambda x + lambda y sqrt(2) $
|
||||
|
||||
definierten Multiplikation mit Skalaren zu einem Vektorraum ueber $QQ$ wird und bestimmen Sie die Dimension von $V$.
|
||||
|
||||
Eigenschaften wie Distributivitaet und Assoziativitaet werden von $QQ$ vererbt.
|
||||
|
||||
Seien $v, w in VV$ und $lambda in QQ$.
|
||||
|
||||
$ v + w &= (a + b sqrt(2)) + (c + d sqrt(2)) \
|
||||
&= a + c + b sqrt(2) + d sqrt(2) \
|
||||
&= x + (b + d) sqrt(2) \
|
||||
&= x + y sqrt(2) in V $
|
||||
|
||||
da $a+c in QQ$ ud $b+d in QQ$.
|
||||
|
||||
$ lambda dot v &= lambda dot (x + y sqrt(2)) \
|
||||
&= lambda x + lambda y sqrt(2) in QQ $
|
||||
|
||||
da $lambda x in QQ$ und $lambda y in QQ$
|
||||
|
||||
Da $1$ und $sqrt(2)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
|
||||
|
||||
$ dim(V) = 2 $
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $V$ mit der Multiplikation auf $RR$ ein Koerper ist.
|
||||
|
||||
Es gilt zu zeigen:
|
||||
|
||||
*Addition*:
|
||||
|
||||
- Kommutative Addition
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Assoziative Addition
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Inverses der Addition
|
||||
|
||||
Sei $v = a + b sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
$ v + v' = 0 => v' &= -v \
|
||||
&= -(a + b sqrt(2)) \
|
||||
&=^(#[@dist]) underline(underline(-a - b sqrt(2))) $
|
||||
|
||||
- Neutrales der Addition
|
||||
|
||||
Das Neutrale ist hier $0 + 0 sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
*Multiplikation*:
|
||||
|
||||
- Kommutative Multiplikation
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Assoziative Multiplikation
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Inverses der Multiplikation
|
||||
|
||||
Sei $v = a + b sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
$ v v' = 1 => v' &= 1/v \
|
||||
&= 1/(a + b sqrt(2)) = (a - b sqrt(2))/((a + b sqrt(2))(a-b sqrt(2)))\
|
||||
&= (a - b sqrt(2))/(a^2 + 2 b^2) \
|
||||
&= underline(underline(underbrace(a/(a^2 + 2 b^2), c in QQ) - (b )/underbrace(a^2 + 2 b^2, d in QQ)sqrt(2))) $
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
- Neutrales der Multiplikation
|
||||
|
||||
Das Neutrale ist hier $1 + 0 sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
*Distributivitaet*:
|
||||
|
||||
$ (x + y sqrt(2)) (z + u sqrt(2)) &= x z + 2y u + x u sqrt(2) + z y sqrt(2) \
|
||||
&= 2y u + x z + (x u + z y)sqrt(2) \
|
||||
&= a + b sqrt(2)
|
||||
$ <dist>
|
||||
|
||||
Wobei $a = 2y u + x z in QQ$ und $b = x u + z y in QQ$.
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
+ Sei $W$ der von $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ in $RR$ erzeugte $QQ$-Vektorraum. Bestimmen Sie die Dimension. Zeigen Sie, dass $W$ auch ein Vektorraum ueber dem Koerper $V$ aus Teil (b) ist. Bestimmen Sie wieder die Dimensionen.
|
||||
|
||||
Unabhaengigkeit der Basen von $W$ zeigen:
|
||||
|
||||
Es muss gelten (mit $a, b, c, d in QQ$ und $a b c d != 0$):
|
||||
|
||||
$ a + b sqrt(2) + c sqrt(3) + d sqrt(6) = 0 \
|
||||
b sqrt(2) + c sqrt(3) = -1 dot (d sqrt(6) + a) \
|
||||
2 b^2 + 3 c^2 + 2 b c sqrt(6) = 6 d^2 + a^2 + 2 a d sqrt(6) \
|
||||
2 b c sqrt(6) - 2 a d sqrt(6) = - (2 b^2 + 3 c^2) + 6 d^2 + a^2 \
|
||||
sqrt(6) (2 b c - 2 a d ) = 6 d^2 + a^2 - (2 b^2 + 3 c^2) \
|
||||
sqrt(6) = (6 d^2 + a^2 - (2 b^2 + 3 c^2))/(2 b c - 2 a d ) =: l \
|
||||
$ <lind>
|
||||
|
||||
damit die Basen voneinander linear unabhaengig sind.
|
||||
|
||||
Da $QQ$ ein Koerper ist, gilt $l in QQ$. Somit muss $sqrt(6) in QQ$ damit die Gleichung eine Loesung hat.
|
||||
|
||||
Angenommen $sqrt(6) = p/q$, wobei $p, q$ teilerfremde positive natuerliche Zahlen sind.
|
||||
|
||||
Die Quadratwurzel von 6 kann keine natuerliche Zahl sein, da $4 < 6 < 9 => 2 < sqrt(6) < 3$.
|
||||
|
||||
$ sqrt(6) = p/q \
|
||||
6 q = p^2/q $
|
||||
|
||||
wobei $6 q in NN$. Es gilt $p^2/q in.not NN$, da sie teilerfremd sind $arrow.zigzag$.
|
||||
|
||||
Es folgt also $sqrt(6) in.not QQ$. Also kann @lind nicht geloest werden.
|
||||
|
||||
Da so $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
|
||||
|
||||
$ dim(W_QQ) = 4 $
|
||||
|
||||
Wenn wir nun $V$ als unseren Koerper betrachten, dann faellt direkt auf, dass $1 "und" sqrt(2)$ nicht mehr linear unabhaengig sind, da ($a + b sqrt(2), c + d sqrt(2) in V$):
|
||||
|
||||
$ a + b sqrt(2) &= (c + d sqrt(2)) sqrt(2) \
|
||||
&= 2 d + c sqrt(2) $
|
||||
|
||||
Auch sind $sqrt(3), sqrt(6)$ voneinander linear abhaengig:
|
||||
|
||||
$ sqrt(3)(a + b sqrt(2)) &= sqrt(6) (c + d sqrt(2)) \
|
||||
a sqrt(3) + b sqrt(6) &= 2 d sqrt(3) + c sqrt(6) $
|
||||
|
||||
Das gleiche laesst sich auch beim Einsetzen der Eigenschaften von $v in V$ und unter Betrachtung des ersten Teilergebnisses erkennen ($lambda_i in V$):
|
||||
|
||||
$ lambda_1 + lambda_2 sqrt(2) + lambda_3 sqrt(3) + lambda_4 sqrt(6) \
|
||||
<==> undershell((a_1 + a_2 sqrt(2)) + (2 b_1 + b_2 sqrt(2)), #[lin. abh.]) + undershell((c_1 sqrt(3) + c_2 sqrt(6)) + ( 2 d_1 sqrt(3) + d_2 sqrt(6)), #[lin. abh.]) $
|
||||
|
||||
Nach dem Selben Argument wie oben sind die beiden Bloecke, durch betrachten der jeweiligen Bassen, voneinander linear unabhaengig.
|
||||
|
||||
Es folgt also:
|
||||
|
||||
$ dim(W_V) = 2 $
|
||||
|
||||
= Gleichungssystem
|
||||
|
||||
Loesen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
|
||||
|
||||
$ x+y &=-1 \
|
||||
-x + y &= -1 \
|
||||
x+y -z &= 0 $
|
||||
|
||||
sowohl ueber dem koerper $QQ$ als auch ueber dem Koerper $FF_3$.
|
||||
|
||||
Zuerst wird als Koerper $QQ$ angenommen.
|
||||
|
||||
Umformen in eine Matrix mit Loesungsspalte:
|
||||
|
||||
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; -1, 1, 0, -1; 1, 1, -1, 0; augment: #(-1)) $
|
||||
|
||||
Gaussverfahren anwenden:
|
||||
|
||||
#grid(columns: 4,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 1, -2, 1; augment: #(-1)) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
|
||||
)
|
||||
|
||||
Loesungsmatrix:
|
||||
|
||||
$ mat(1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $
|
||||
|
||||
Es folgt also:
|
||||
|
||||
$ x &= 0 \
|
||||
y &= -1 \
|
||||
z &= -1 $
|
||||
|
||||
Definiere den Koerper $FF_3 = {0, 1, 2}$.
|
||||
|
||||
Betrachten Matrix (Welche mit dem Gaussverfahren bistimmt wurde):
|
||||
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
|
||||
|
||||
Hier duerfen wir nicht durch 3 teilen, da $3 = 0$ in $FF_3$ gilt.
|
||||
|
||||
Also machen wir eine Fallunterscheidung fuer $z$:
|
||||
|
||||
Auch kann $z$ jeden Wert annehmen, da
|
||||
|
||||
$ -3 dot 0 = 0 \
|
||||
-3 dot 1 = 0 \
|
||||
- 3 dot 2 = 0 $
|
||||
|
||||
Fall 1: ($z = 0$)
|
||||
|
||||
Es muss gelten:
|
||||
|
||||
$ x = -1 = 2 \
|
||||
y = -2 = 1 $
|
||||
|
||||
Fall 2: ($z = 1$)
|
||||
|
||||
$ x + 1 = -1 = 2 => x = 1 \
|
||||
y + 1 = -2 = 1 => y = 0 $
|
||||
|
||||
Fall 3: ($z = 2$)
|
||||
|
||||
$ x + 2 = -1 = 2 => x = 0 \
|
||||
y + 2 = -2 = 1 => y = 2 $
|
||||
|
||||
|
||||
Die Loesungsmenge ist hier also:
|
||||
|
||||
$ LL = {(0, 2, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} $
|
||||
|
||||
= Matrix invertieren
|
||||
|
||||
Ist die Matrix $A in QQ^(4 times 4)$ mit $A = mat(1, 1, 0, 1; 0, 1, 0, 3; -1, 0, 1, 2; 0, 1, 1, 4)$ invertierbar?
|
||||
|
||||
Benutzen Sie nur die Hilfsmittel die einschliesslich der Vorlesung vom 29.1 zur Verfuegung stehen.
|
||||
|
||||
Bijektive Umformungen mit dem Gaussverfahren:
|
||||
|
||||
#grid(
|
||||
columns: 2,
|
||||
row-gutter: 10pt,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
-1, 0, 1, 2;
|
||||
0, 1, 1, 4) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
0, 1, 1, 3;
|
||||
0, 1, 1, 4) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 1, 1) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 0, 1) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 0;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 0, 1) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 0, 0;
|
||||
0, 1, 0, 0;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 0, 1) $,
|
||||
)
|
||||
|
||||
Da der $A$ eine $4 times 4$ Matrix ist und einen Rank von $4$ hat, ist $A$ invertierbar.
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
= Polynome II
|
||||
|
||||
Sei $V_n := {f in K[X]: deg(f) <= n}$ die Menge der Polynome von Grad hoechstens $n$ ueber einem Koerper $K$.
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $V_n$ ein Untervektorraum der Dimension $n+1$ von $K[X]$ ist.
|
||||
|
||||
Pruefen der Eigenschaften fuer einen Unterraum:
|
||||
|
||||
Abgeschlossenheit unter Addition:
|
||||
|
||||
Seien $f, g in V_n$, also $deg(f), deg(g) <= n$.
|
||||
|
||||
Nun gilt:
|
||||
|
||||
$ deg(f+g) = max({deg(f), deg(g)}) <= n ==> f+g in V_n $
|
||||
|
||||
Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:
|
||||
|
||||
Fuer $c in K$ und $c != 0$, gilt:
|
||||
|
||||
$ deg(c f ) = deg(f) ==> c f in V_n $
|
||||
|
||||
Das Nullpolynom ist in $V_n$ enthalten, da
|
||||
|
||||
$ deg(0) = 0 <= n, quad forall n in NN $
|
||||
|
||||
Eine Basis von $V_n$ ist gegeben durch:
|
||||
|
||||
$ B_(V_n) = {X^0, X^1, X^2, ... , X^n} $
|
||||
|
||||
Diese Basis hat $n+1$ Elemenente, weshalb die gilt:
|
||||
|
||||
$ dim(V_n) = n+1 $
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung
|
||||
|
||||
$ phi: V_n -> V_(n+2), quad f |-> (X^2 + 1)f $
|
||||
|
||||
eine lineare Abbildung ist.
|
||||
|
||||
Zuerst pruefen der ersten Eigenschaft:
|
||||
|
||||
Seien $f, g in V_n$ und $lambda in K$.
|
||||
|
||||
$ phi(f + g) &= (X^2 + 1)(f + g) \
|
||||
&= X^2 dot f + f + X^2 dot g + g \
|
||||
&= (X^2 + 1)f + (X^2 + 1)g \
|
||||
&= phi(f) + phi(g) $
|
||||
|
||||
$ lambda dot phi(f) &= lambda dot (X^2 + 1) dot f \
|
||||
&= (X^2 + 1) dot lambda f \
|
||||
&= phi(lambda f) $
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
Ein Polynom kann problemlos mit einem Skalar multipliziert werden.
|
||||
Auch ist die Multiplikation mit einem Anderen Polynom anderer Ordnung moeglich.
|
||||
|
||||
|
||||
+ In allen $V_n$ sei die Basis $X^0, X^1, ..., X^n$ gegeben.
|
||||
Ist $f=a_n X^n + ... + a_0 X^0$ und $(X^2 + 1)f = b_(n+2) X^(n+2) + ... + b_0 X^0$, dann ist durch $phi_n$
|
||||
auch eine Abbildung $Phi_n: K^(n+1) -> K^(n+3)$ mit
|
||||
|
||||
$ (a_0, a_1, ..., a_n) |-> (b_0, b_1, ..., b_(n+2)) $
|
||||
|
||||
gegeben. Zeigen Sie, dass $Phi_n$ linear ist und bestimmen Sie die zugehoerige Matrix.
|
||||
|
||||
Sei $f,g in V^n$ und $lambda in K$.
|
||||
|
||||
$ Phi(f+g) &= Phi(f) + Phi(g) $
|
||||
$ lambda dot Phi(f) &= Phi(lambda dot f) $
|
||||
|
||||
nach dem selben Argument wie in Teil (b).
|
||||
|
||||
Die zugehoerige Matrix sieht wie folgt aus:
|
||||
|
||||
#{
|
||||
set text(size: 1.1em)
|
||||
|
||||
pavemat(
|
||||
delim: "[",
|
||||
)[$ mat(1, 0, 0, 0, 0, ..., 0;
|
||||
0, 1, 0, 0, 0, ..., 0;
|
||||
1, 0, 1, 0, 0, ..., 0;
|
||||
0, 1, 0, 1, 0, ..., 0;
|
||||
0, 0, 1, 0, 1, ..., 0;
|
||||
dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.down, dots.down, 0;
|
||||
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1;) $]
|
||||
}
|
||||
|
||||
wobei sie $n+1$ Spalten und $n+3$ Reihen hat.
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user