init

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel02.typ

@@ -0,0 +1,184 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "2")
+
+= Aufgabe 1
+
+Abgabe in Papierform.
+
+// TODO Weiterschreiben der ersten Aufgabe wenn alles andere gut ist
+
+//Für $1 <= i < j <= n$ ist $tau_(i j)$ durch $tau_i j(l) = l$, falls $l in.not {i, j}$ sowie $tau_(i j) (i) = j$ und $tau_(i j)(j) = i$ ein Element von $S_n$ definiert. Zeigen Sie: $ angle.l {tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n} angle.r = S_n $
+//
+//Hinweis: Wie würden Sie ein Bücherregal sortieren.
+//
+//Da $S_n$ genau alle bijektiven Abbildungen der Menge $N = {1, 2, 3, ..., n}$ auf sich selbst enthaelt und $tau_(i, j) in S_n$ ist $tau_(i j)$ bijektiv.
+//
+//Fuer $G := angle.l{tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n}angle.r$ gelten die Gruppenaxiome.
+//Also ist $i d_N$ Element der Gruppe als neutrales Element. $tau_(i j)^2$ ist das inverse Element der Gruppe.
+//
+//
+//Jede Verknuepfung von bijektiven Abbildungen auf eine Gruppe $G$ ist wieder eine bijektive Abbildung auf $G$. Daher ist $angle.l {tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n} angle.r subset S_n$
+//
+//Nun gilt es zu zeigen, dass $S_n subset angle.l { tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n}angle.r$. Also, dass $ forall f in S_n: f in angle.l{ tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n}angle.r $
+//
+//Der Defintionsbereich von $f in S_n$ und $g in G$ ist identisch. Es bleibt also zu zeigen, dass $ forall f in S_n exists g in G: f(N) = g(N) $
+//
+//Stets laesst sich $g$ wie folgt konstruieren:
+//
+//Sei $g_0 = id_N$. Fuer das kleinste $n_k$ mit $f(n_k) != n_k$ kann man stets $g_1 = tau_(g_0 (n_k) f (n_k)) compose g_0$ konstruieren, da $tau_(i j) = tau_(j i)$.
+//
+//Man erhaelt nun also $f(n) = g_1 (n)$
+
+= Aufgabe 2
+
+Sei $G$ eine beliebige Untergruppe der ganzen Zahlen $(ZZ, +)$. Zeigen Sie, dass eine ganze Zahl $n >= 0$ mit $G = n Z$ existiert.
+
+Hinweis: Jede nicht-leere Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element.
+
+Sei $G$ eine beliebige Untergruppe der ganzen Zahlen $(ZZ, +)$.
+
+Falls $G$ eine triviale Untergruppe ist, dann liefert $n = 0$ bzw. $n = 1$ die Loesung.
+
+Da $G$ nun eine nicht-leere Untergruppe ist, enthält $G$ mindestens ein Element ungleich Null.
+Da $G$ eine Gruppe unter der Addition ist, enthält $G$ auch entsprechende inverse Elemente, wenn es positive enthält.
+Wir betrachten die Menge $G sect NN = S$, also die positiven Elemente, die in $G$ liegen.
+Nach dem Hinweis hat jede nicht-leere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element.
+Sei $d$ das kleinste Element, das in $S$ enthalten ist.
+
+Jetzt zeigen wir, dass $G = d ZZ$.
+
+Wenn $s$ ein beliebiges Element in $S$ ist, können wir $s$ in der maximal gekuerzten Form $s = k d + r$ schreiben, wobei $0 <= r < d$ und $k in ZZ$.
+Aus der Gruppeneigenschaft von $G$ ist $r in G$, da $r = s - k d$ und $s, k d in G$.
+Da $d$ das kleinste Element in $S$ ist, muss $r$ gleich Null sein, sonst würde $0 < r < d$, was im Widerspruch zu unserer Annahme, dass $d = min(S)$ ist, wäre.
+Somit haben wir $s = k d$, was zeigt, dass $S$ von $d$ erzeugt wird.
+
+Da $s$ beliebig war, folgt $S = d ZZ$.
+
+Daher existiert eine ganze Zahl $n >= 0$, sodass $G = n ZZ$, da G alle Elemente von S und deren Inverse enthaelt.
+
+$qed$
+
+= Aufgabe 3
+
+Eine ausfuerliche Begruendung warum der angesprochene Isomorphismus existiert steht auf der Abgabe in Papierform.
+
+
+1. Wie viele verschiedene Gruppen mit 4 Elementen gibt es? 
+
+Es gibt zwei Gruppen. Namentlich die Klein-4-Gruppe und die zyklische $Z_4$ Gruppe.
+Jede weitere Gruppe mit $|G| = 4$ ist isomorph zu einer dieser beiden Gruppen.
+
+#stack(
+  dir: ltr,
+  table(
+    columns: 5,
+    [*$Z_4$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3],
+    [*1*], [1], [2], [3], [0],
+    [*2*], [2], [3], [0], [1],
+    [*3*], [3], [0], [1], [2],
+  ),
+
+  h(10pt),
+
+  table(
+    columns: 5,
+    [*$K_4$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3],
+    [*1*], [1], [0], [3], [2],
+    [*2*], [2], [3], [0], [1],
+    [*3*], [3], [2], [1], [0],
+  ),
+  
+)
+
+
+2. Wie viele verschiedene Gruppen mit 6 Elementen gibt es? 
+
+Es gibt zwei Gruppen. Namentlich die zyklische $Z_6$ Gruppe und die $S_3$ Gruppe.
+Jede weitere Gruppe mit $|G| = 6$ ist isomorph zu einer dieser beiden Gruppen.
+
+
+#stack(
+  dir: ltr,
+  table(
+    columns: 7,
+    [*$Z_6$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*], [*4*], [*5*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3], [4], [5],
+    [*1*], [1], [2], [3], [4], [5], [0],
+    [*2*], [2], [3], [0], [1], [0], [1],
+    [*3*], [3], [4], [5], [0], [1], [2],
+    [*4*], [4], [5], [0], [1], [2], [3],
+    [*5*], [5], [0], [1], [2], [3], [4],
+  ),
+  h(10pt),
+
+  table(
+    columns: 7,
+    [*$S_3$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*], [*4*], [*5*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3], [4], [5],
+    [*1*], [1], [2], [0], [4], [5], [3],
+    [*2*], [2], [0], [1], [5], [3], [4],
+    [*3*], [3], [5], [4], [0], [2], [1],
+    [*4*], [4], [3], [5], [1], [0], [2],
+    [*5*], [3], [4], [5], [0], [1], [2],
+))
+
+3. Finden Sie alle Normalteiler der Permutationsgruppe $S_3$.
+
+Sei $S_3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132)} = G$
+
+Nach Lagrange gilt $|G| = |G slash H||H|$. Da $|G| = 6$ muss $|H| in {1, 2, 3, 6}$.
+Kandidaten fuer Normalteiler sind somit die trivialen Untergruppen ${e}, G$ und ${(12), e}, {(13), e}, {(23), e}, {e, (123), (132)}$
+
+Die trivialen Untergruppen sind immer ein Normalteiler.
+Sei $H$ eine Untergruppe von $G$ mit $|H| = 2$. Dann kann H kein Normalteiler von $G$ sein, da eine Spiegelung nicht kommutativ ist mit einer anderen Spiegelung ist.
+
+$A_3$ ist ein Normalteiler, da eine Spiegelung und dann eine Drehung des Dreiecks gleich zu einer Drehung in die andere Richtung und dann der Spiegelung ist.
+
+Eigenschaft eines Normalteilers: $g H = H g$
+
+Die Normalteiler sind somit:
+
+- ${e}$
+- $A_3 = {e, (123), (132)}$
+- $S_3 = G$
+
+= Aufgabe 4
+
+// Schritte der Argumentation
+//
+// - Gitter begruenden
+// - Jede Zelle ist zueneinander symetrisch
+// - Falls ein Punkt in dieser Zelle liegt, dann auch in der am Urspung (durch Gruppeneigenschaft)
+// - Die Zelle hat die Form eines Parralelogramms
+// - Jeder Punkt in einem Parralelogramm hat einen kleineren Abstand zu einem der Eckpunkte als die groesste Seitenlaenge (Siehe Lemma L1)
+//
+
+Laut Vorlesung ist $Z^2 = {(x, y) : x, y ∈ ZZ}$ eine Gruppe. Sei $U ⊂ Z^2$ eine nicht triviale Untergruppe. In dieser gibt es ein Element $v != 0$ mit minimalem Abstand zum Ursprung $(0, 0)$. Angenommen $⟨v⟩ != U$. Dann gibt es ein weiteres Element $0 != w in U$, dass nicht in $⟨v⟩$ enthalten ist und minimalen Abstand zum Ursprung hat. Zeigen Sie, dass $⟨{v, w}⟩= U$ ist.
+
+Hinweis: Der Abstand von $(x, y)$ zum Ursprung ist $ sqrt(x^2 + y^2 )$.
+
+Sei $a = vec(a, b)$ ein beliebiges Element von $U$. Nun gilt es zu zeigen, dass $a = z_1 v + z_2 w$ (Darstellung durch Linearkombination von $v, w$) gilt, wobei $z_1, z_2 in ZZ$. 
+
+Zuerst laesst sich feststellen, dass $v$ und $w$ linearunabhaengig voneinander sein muessen, da sonst nach dem Argument aus Aufgabe 2 die Annahme, dass $v, w$ minimalen Abstand vom Ursprung haben und $w in.not angle.l v angle.r$, ein Widerspruch erzeugen wuerde.
+
+Angenommen  $a in.not angle.l v, w angle.r$. Dann liegt $a$ in einem durch $v$ und $w$, ausgehend von einem Punkt $p in angle.l v, w angle.r$, aufgespanntem Parralelogramm. Dies folgt aus der Gitterstuktur von $U$, welche durch Kombination von $w$ und $v$ erzeugt wird. Da $a$ ein Element der Untergruppe $U$ ist, existiert $a'$ auch in dem Parralelogramm welches ausgehend vom Ursprung durch $v$ und $w$ aufgespannt wird. Die beiden Parralelogramme und die relativen Positionen von $a, a'$ sind hier, wider durch die Gruppeneigenschaft, identisch.
+
+/// Geometrisches Lemma fuer Punkte in einem Parralelogramm //////////////////////////
+Nun wird folgendes Lemma gezeigt:
+
+Jeder Punkt in einem Parralelogramm hat einen kuerzeren Abstand zu einem der vier Punkte, welche es aufspannen, als $max(a, b)$ wobei $a, b$ die Seitenlaengen sind.
+
+Fuer den Beweis laesst sich feststellen, dass um jeden Eckpunkt des Parralelogramms eine offene Kreisscheibe mit Radius $r = max(|v|, |w|)$ gelegt werden kann. Diese Kreisscheiben ueberdecken das Parralelogramm vollstaendig. Das kommt daher, dass ein Parralelogramm sich durch die verbindenden Geraden von jeweils gegenueberliegenden Eckpunkten in vier Dreieicke aufteilen laesst.
+Nun liegt jedes dieser Dreiecke vollstaendig in der jeweiligen Kreisscheibe bis auf maximal zwei Eckpunkte, welche aber in einer anderen Scheibe liegen.
+
+Die Aussage, dass der Punkt in einer offenen Kreisscheibe um einen Eckpunkt liegt ist aequivalent zu der, welche wir zeigen wollten.
+///////////////////////////////////////
+
+Nach Lemma existiert ein Vektor $t$, sodass $|t| < max(|v|, |w|)$ und $a' = vec(t_x, t_y)$. Dies steht im Wiederspruch zu der Annahme, dass $v$ und $w$ die Elemente der Gruppe sind, welche den kleinsten Abstand zum Urspung haben.
+
+Also muss $t = 0$ gelten. Wodurch jedes Element in $U$ sich als Linarkombination von $v$ und $w$ darstellen laesst.
+$qed$
+