init

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel02.typ

@@ -0,0 +1,184 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "2")
+
+= Aufgabe 1
+
+Abgabe in Papierform.
+
+// TODO Weiterschreiben der ersten Aufgabe wenn alles andere gut ist
+
+//Für $1 <= i < j <= n$ ist $tau_(i j)$ durch $tau_i j(l) = l$, falls $l in.not {i, j}$ sowie $tau_(i j) (i) = j$ und $tau_(i j)(j) = i$ ein Element von $S_n$ definiert. Zeigen Sie: $ angle.l {tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n} angle.r = S_n $
+//
+//Hinweis: Wie würden Sie ein Bücherregal sortieren.
+//
+//Da $S_n$ genau alle bijektiven Abbildungen der Menge $N = {1, 2, 3, ..., n}$ auf sich selbst enthaelt und $tau_(i, j) in S_n$ ist $tau_(i j)$ bijektiv.
+//
+//Fuer $G := angle.l{tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n}angle.r$ gelten die Gruppenaxiome.
+//Also ist $i d_N$ Element der Gruppe als neutrales Element. $tau_(i j)^2$ ist das inverse Element der Gruppe.
+//
+//
+//Jede Verknuepfung von bijektiven Abbildungen auf eine Gruppe $G$ ist wieder eine bijektive Abbildung auf $G$. Daher ist $angle.l {tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n} angle.r subset S_n$
+//
+//Nun gilt es zu zeigen, dass $S_n subset angle.l { tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n}angle.r$. Also, dass $ forall f in S_n: f in angle.l{ tau_(i j) : 1 <= i < j  <= n}angle.r $
+//
+//Der Defintionsbereich von $f in S_n$ und $g in G$ ist identisch. Es bleibt also zu zeigen, dass $ forall f in S_n exists g in G: f(N) = g(N) $
+//
+//Stets laesst sich $g$ wie folgt konstruieren:
+//
+//Sei $g_0 = id_N$. Fuer das kleinste $n_k$ mit $f(n_k) != n_k$ kann man stets $g_1 = tau_(g_0 (n_k) f (n_k)) compose g_0$ konstruieren, da $tau_(i j) = tau_(j i)$.
+//
+//Man erhaelt nun also $f(n) = g_1 (n)$
+
+= Aufgabe 2
+
+Sei $G$ eine beliebige Untergruppe der ganzen Zahlen $(ZZ, +)$. Zeigen Sie, dass eine ganze Zahl $n >= 0$ mit $G = n Z$ existiert.
+
+Hinweis: Jede nicht-leere Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element.
+
+Sei $G$ eine beliebige Untergruppe der ganzen Zahlen $(ZZ, +)$.
+
+Falls $G$ eine triviale Untergruppe ist, dann liefert $n = 0$ bzw. $n = 1$ die Loesung.
+
+Da $G$ nun eine nicht-leere Untergruppe ist, enthält $G$ mindestens ein Element ungleich Null.
+Da $G$ eine Gruppe unter der Addition ist, enthält $G$ auch entsprechende inverse Elemente, wenn es positive enthält.
+Wir betrachten die Menge $G sect NN = S$, also die positiven Elemente, die in $G$ liegen.
+Nach dem Hinweis hat jede nicht-leere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element.
+Sei $d$ das kleinste Element, das in $S$ enthalten ist.
+
+Jetzt zeigen wir, dass $G = d ZZ$.
+
+Wenn $s$ ein beliebiges Element in $S$ ist, können wir $s$ in der maximal gekuerzten Form $s = k d + r$ schreiben, wobei $0 <= r < d$ und $k in ZZ$.
+Aus der Gruppeneigenschaft von $G$ ist $r in G$, da $r = s - k d$ und $s, k d in G$.
+Da $d$ das kleinste Element in $S$ ist, muss $r$ gleich Null sein, sonst würde $0 < r < d$, was im Widerspruch zu unserer Annahme, dass $d = min(S)$ ist, wäre.
+Somit haben wir $s = k d$, was zeigt, dass $S$ von $d$ erzeugt wird.
+
+Da $s$ beliebig war, folgt $S = d ZZ$.
+
+Daher existiert eine ganze Zahl $n >= 0$, sodass $G = n ZZ$, da G alle Elemente von S und deren Inverse enthaelt.
+
+$qed$
+
+= Aufgabe 3
+
+Eine ausfuerliche Begruendung warum der angesprochene Isomorphismus existiert steht auf der Abgabe in Papierform.
+
+
+1. Wie viele verschiedene Gruppen mit 4 Elementen gibt es? 
+
+Es gibt zwei Gruppen. Namentlich die Klein-4-Gruppe und die zyklische $Z_4$ Gruppe.
+Jede weitere Gruppe mit $|G| = 4$ ist isomorph zu einer dieser beiden Gruppen.
+
+#stack(
+  dir: ltr,
+  table(
+    columns: 5,
+    [*$Z_4$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3],
+    [*1*], [1], [2], [3], [0],
+    [*2*], [2], [3], [0], [1],
+    [*3*], [3], [0], [1], [2],
+  ),
+
+  h(10pt),
+
+  table(
+    columns: 5,
+    [*$K_4$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3],
+    [*1*], [1], [0], [3], [2],
+    [*2*], [2], [3], [0], [1],
+    [*3*], [3], [2], [1], [0],
+  ),
+  
+)
+
+
+2. Wie viele verschiedene Gruppen mit 6 Elementen gibt es? 
+
+Es gibt zwei Gruppen. Namentlich die zyklische $Z_6$ Gruppe und die $S_3$ Gruppe.
+Jede weitere Gruppe mit $|G| = 6$ ist isomorph zu einer dieser beiden Gruppen.
+
+
+#stack(
+  dir: ltr,
+  table(
+    columns: 7,
+    [*$Z_6$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*], [*4*], [*5*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3], [4], [5],
+    [*1*], [1], [2], [3], [4], [5], [0],
+    [*2*], [2], [3], [0], [1], [0], [1],
+    [*3*], [3], [4], [5], [0], [1], [2],
+    [*4*], [4], [5], [0], [1], [2], [3],
+    [*5*], [5], [0], [1], [2], [3], [4],
+  ),
+  h(10pt),
+
+  table(
+    columns: 7,
+    [*$S_3$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*], [*4*], [*5*],
+    [*0*], [0], [1], [2], [3], [4], [5],
+    [*1*], [1], [2], [0], [4], [5], [3],
+    [*2*], [2], [0], [1], [5], [3], [4],
+    [*3*], [3], [5], [4], [0], [2], [1],
+    [*4*], [4], [3], [5], [1], [0], [2],
+    [*5*], [3], [4], [5], [0], [1], [2],
+))
+
+3. Finden Sie alle Normalteiler der Permutationsgruppe $S_3$.
+
+Sei $S_3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132)} = G$
+
+Nach Lagrange gilt $|G| = |G slash H||H|$. Da $|G| = 6$ muss $|H| in {1, 2, 3, 6}$.
+Kandidaten fuer Normalteiler sind somit die trivialen Untergruppen ${e}, G$ und ${(12), e}, {(13), e}, {(23), e}, {e, (123), (132)}$
+
+Die trivialen Untergruppen sind immer ein Normalteiler.
+Sei $H$ eine Untergruppe von $G$ mit $|H| = 2$. Dann kann H kein Normalteiler von $G$ sein, da eine Spiegelung nicht kommutativ ist mit einer anderen Spiegelung ist.
+
+$A_3$ ist ein Normalteiler, da eine Spiegelung und dann eine Drehung des Dreiecks gleich zu einer Drehung in die andere Richtung und dann der Spiegelung ist.
+
+Eigenschaft eines Normalteilers: $g H = H g$
+
+Die Normalteiler sind somit:
+
+- ${e}$
+- $A_3 = {e, (123), (132)}$
+- $S_3 = G$
+
+= Aufgabe 4
+
+// Schritte der Argumentation
+//
+// - Gitter begruenden
+// - Jede Zelle ist zueneinander symetrisch
+// - Falls ein Punkt in dieser Zelle liegt, dann auch in der am Urspung (durch Gruppeneigenschaft)
+// - Die Zelle hat die Form eines Parralelogramms
+// - Jeder Punkt in einem Parralelogramm hat einen kleineren Abstand zu einem der Eckpunkte als die groesste Seitenlaenge (Siehe Lemma L1)
+//
+
+Laut Vorlesung ist $Z^2 = {(x, y) : x, y ∈ ZZ}$ eine Gruppe. Sei $U ⊂ Z^2$ eine nicht triviale Untergruppe. In dieser gibt es ein Element $v != 0$ mit minimalem Abstand zum Ursprung $(0, 0)$. Angenommen $⟨v⟩ != U$. Dann gibt es ein weiteres Element $0 != w in U$, dass nicht in $⟨v⟩$ enthalten ist und minimalen Abstand zum Ursprung hat. Zeigen Sie, dass $⟨{v, w}⟩= U$ ist.
+
+Hinweis: Der Abstand von $(x, y)$ zum Ursprung ist $ sqrt(x^2 + y^2 )$.
+
+Sei $a = vec(a, b)$ ein beliebiges Element von $U$. Nun gilt es zu zeigen, dass $a = z_1 v + z_2 w$ (Darstellung durch Linearkombination von $v, w$) gilt, wobei $z_1, z_2 in ZZ$. 
+
+Zuerst laesst sich feststellen, dass $v$ und $w$ linearunabhaengig voneinander sein muessen, da sonst nach dem Argument aus Aufgabe 2 die Annahme, dass $v, w$ minimalen Abstand vom Ursprung haben und $w in.not angle.l v angle.r$, ein Widerspruch erzeugen wuerde.
+
+Angenommen  $a in.not angle.l v, w angle.r$. Dann liegt $a$ in einem durch $v$ und $w$, ausgehend von einem Punkt $p in angle.l v, w angle.r$, aufgespanntem Parralelogramm. Dies folgt aus der Gitterstuktur von $U$, welche durch Kombination von $w$ und $v$ erzeugt wird. Da $a$ ein Element der Untergruppe $U$ ist, existiert $a'$ auch in dem Parralelogramm welches ausgehend vom Ursprung durch $v$ und $w$ aufgespannt wird. Die beiden Parralelogramme und die relativen Positionen von $a, a'$ sind hier, wider durch die Gruppeneigenschaft, identisch.
+
+/// Geometrisches Lemma fuer Punkte in einem Parralelogramm //////////////////////////
+Nun wird folgendes Lemma gezeigt:
+
+Jeder Punkt in einem Parralelogramm hat einen kuerzeren Abstand zu einem der vier Punkte, welche es aufspannen, als $max(a, b)$ wobei $a, b$ die Seitenlaengen sind.
+
+Fuer den Beweis laesst sich feststellen, dass um jeden Eckpunkt des Parralelogramms eine offene Kreisscheibe mit Radius $r = max(|v|, |w|)$ gelegt werden kann. Diese Kreisscheiben ueberdecken das Parralelogramm vollstaendig. Das kommt daher, dass ein Parralelogramm sich durch die verbindenden Geraden von jeweils gegenueberliegenden Eckpunkten in vier Dreieicke aufteilen laesst.
+Nun liegt jedes dieser Dreiecke vollstaendig in der jeweiligen Kreisscheibe bis auf maximal zwei Eckpunkte, welche aber in einer anderen Scheibe liegen.
+
+Die Aussage, dass der Punkt in einer offenen Kreisscheibe um einen Eckpunkt liegt ist aequivalent zu der, welche wir zeigen wollten.
+///////////////////////////////////////
+
+Nach Lemma existiert ein Vektor $t$, sodass $|t| < max(|v|, |w|)$ und $a' = vec(t_x, t_y)$. Dies steht im Wiederspruch zu der Annahme, dass $v$ und $w$ die Elemente der Gruppe sind, welche den kleinsten Abstand zum Urspung haben.
+
+Also muss $t = 0$ gelten. Wodurch jedes Element in $U$ sich als Linarkombination von $v$ und $w$ darstellen laesst.
+$qed$
+

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel03.typ

@@ -0,0 +1,292 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "3")
+
+// Aufgabe 1
+= Ringe mit Addition und Multiplikation
+
++ Zeigen Sie, dass
+  $ (ZZ slash 5 ZZ)^* := {1+ 5 ZZ, 2 + 5 ZZ, 3 + 5 ZZ, 4 + 5 ZZ} subset ZZ slash 5 ZZ $
+  
+  $ (ZZ slash 9 ZZ)^* := {1+ 9 ZZ, 2 + 9 ZZ, 4 + 9 ZZ, 5 + 9 ZZ, 7 + 9 ZZ, 8 + 9 ZZ} subset ZZ slash 9 ZZ $
+  
+  jeweils eine Gruppe bezueglich Multiplikation sind.
+  
+  //////////////////////////////
+  Geforderte Eigenschaften an eine Gruppe:
+
+  - Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier Elemente muss wieder in der Gruppe sein.
+  
+  - Inverses Element: Jedes Element muss ein multiplikatives Inverses in der Gruppe haben.
+  
+  - Assoziativität: Diese Eigenschaft wird von den ganzen Zahlen vererbt. $checkmark$
+  
+  - Neutrales Element: Es muss ein neutrales Element in der Gruppe geben. Dieses ist hier die 1. $checkmark$
+  
+  Für $(ZZ slash 5 ZZ)^*$ gibt es durch Modulo-Rechnen folgende Elemente in der Gruppe $E = {1, 2, 3, 4}$.
+  
+  Das Produkt zweier Elemente aus $E$ ergibt wieder ein Element in dieser Menge:
+
+  $ 1 dot 1 = 1, 1 dot 2 = 2, 1 dot 3 = 3, 1 dot 4 = 4 $
+  
+  $ 2 dot 2 = 4, 2 dot 3 = 1, 2 dot 4 = 3 $
+  
+  $ 3 dot 3 = 4, 3 dot 4 = 2 $
+  
+  $ 4 dot 4 = 1 $
+  
+  Jedes Element hat ein Inverses:
+  
+  $ 1^(-1) = 1, 2^(-1) = 3, 3^(-1) = 2, 4^(-1) = 4 $
+  
+  Für $(ZZ slash 9 ZZ)^*$ gibt es durch Modulo-Rechnen folgende Elemente in der Gruppe $E = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$.
+  
+  Das Produkt zweier Elemente aus $E$ ergibt wieder ein Element in dieser Menge:
+
+  $ 1 dot 1 = 1, 1 dot 2 = 2, 1 dot 4 = 4, 1 dot 5 = 5, 1 dot 7 = 7, 1 dot 8 = 8 $
+  
+  $ 2 dot 2 = 4, 2 dot 4 = 8, 2 dot 5 = 1, 2 dot 7 = 5, 2 dot 8 = 7 $
+  
+  $ 4 dot 4 = 7, 4 dot 5 = 2, 4 dot 7 = 1, 4 dot 8 = 5 $
+
+  $ 5 dot 5 = 7, 5 dot 7 = 8, 5 dot 8 = 4 $
+
+  $ 7 dot 7 = 4, 7 dot 8 = 2 $
+
+  $ 8 dot 8 = 1 $
+  
+  Jedes Element hat ein Inverses:
+  
+  $ 1^(-1) = 1, 2^(-1) = 5, 4^(-1) = 7, 5^(-1) = 2, 7^(-1) = 4, 8^(-1) = 8 $
+  
+  Damit ist alles gezeigt. $qed$
+
++ Finden Sie ein Element $x in (ZZ slash 9 ZZ)^*$, sodass $angle.l {x} angle.r = (ZZ slash 9 ZZ)^*$ gilt.
+
+  Nach Aufgabe 1a ist hat die Gruppe $(ZZ slash 9 ZZ)^*$ folgende Elemente $1, 2, 4, 5, 7, 8$. Es gilt $abs((ZZ slash 9 ZZ)^*) = 6$.
+  
+  Durch Testen jedes Elements finden wir, dass $x = 2$ die
+  gesamte Gruppe erzeugt, da:
+  $ 2^1 = 2 , quad 2^2 = 4 , quad 2^3 = 8 , quad 2^4 = 7 , quad 2^5 = 5 , quad 2^6 = 1 . $
+  
+  Somit ist $x = 2$ ein Generator von $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$, und wir haben
+  $angle.l 2 angle.r = (bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$.
+
++ Geben Sie einen Isomorphismus zwischen $(ZZ slash 9 ZZ, dot.op)$ und $(ZZ slash 6 ZZ, +)$ an.
+
+  Ein Isomorphismus zwischen den Gruppen $(bb(Z) \/ 9 bb(Z) , dot.op)$ und
+  $(bb(Z) \/ 6 bb(Z) , +)$ kann durch die Funktion
+  $ phi : (bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*) arrow.r bb(Z) \/ 6 bb(Z) $ gegeben
+  werden, wobei $phi (x)$ die Ordnung von $x$ in $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$
+  modulo 6 ist.
+  
+  Wählen wir nach Aufgabe 1b $x = 2$ als Generator von $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$, so
+  laesst sich $phi$ definieren durch $ phi (2^k) = k mod 6 . $
+  
+  Diese Zuordnung ist ein Isomorphismus, da sie bijektiv ist und die
+  Gruppenoperationen respektiert:
+  
+  $ phi (2^k dot.op 2^m) = phi (2^(k + m)) = (k + m) mod med 6 = phi (2^k) + phi (2^m) . $
+
+ Ist $(ZZ slash 5 ZZ)^∗$ auch zu einer Gruppe der Form $ZZ slash n ZZ$ für ein $n ∈ N$ isomorph? Falls ja, geben Sie einen Isomorphismus an.
+  
+  Die Gruppe $(bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*)$ ist also isomorph zu
+  $bb(Z) \/ 4 bb(Z)$, da beide Gruppen die gleiche Ordnung haben und
+  zyklisch sind.
+  
+  Ein Isomorphismus zwischen $(bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*)$ und
+  $bb(Z) \/ 4 bb(Z)$ ist durch die Abbildung
+  
+  $ phi : (bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*) arrow.r bb(Z) \/ 4 bb(Z) , quad phi (1) = 0 , quad phi (2) = 1 , quad phi (3) = 3 , quad phi (4) = 2 $
+  
+  gegeben.
+
+
+// Aufgabe 2
+= Homomorphismen
+
+Seien $G$ und $H$ Gruppen. Angenommen $G$ ist endlich und ihre Ordnung eine Primzahl $p$. Zeigen Sie:
+
++ Jeder Homomorphismus $phi: G arrow H$ ist entweder trivial oder injektiv.
+
+  Sei $phi.alt : G arrow.r H$ ein Homomorphismus. Da $G$ endlich und
+  $lr(|G|) = p$ eine Primzahl ist, gilt nach Lagrange für jede Untergruppe von $G$
+  entweder $lr(|H|) = 1$ oder $lr(|H|) = p$.
+  
+  Fuer den Kern gilt:
+  
+  $ phi (e_G) = e_H ==> ker (phi) != emptyset $
+
+  Sei $a, b in ker (phi)$. Dann:
+
+  $ phi (a) = e_H "und" phi (b) = e_H $
+
+  Da $phi$ ein Homomorphismus ist, folgt:
+
+  $ phi (a dot b) = phi (a) dot phi (b) = e_H dot e_H = e_H $
+
+  Also ist $a dot b in ker (phi)$
+  
+  Sei $a in ker (phi)$. Dann:
+
+  $ phi (a) = e_H $
+
+  Da $e_H = e^(-1)_H$ folgt:
+
+  $ phi (a^(-1)) = phi (a)^(-1)) = e_H^(-1) = e_H $
+
+  Da alle Eigenschaften fuer eine Untergruppe, namentlich nicht Leerheit, Abgeschlossenheit und die Existenz eines Inversen gegeben sind, ist das Kernbild des Homomorphismus, $ker (phi)$, eine Untergruppe von $G$.
+  
+  Falls $abs(ker (phi)) = G$, ist $phi$ trivial. Andernfalls ist
+  $lr(|ker (phi)|) = 1$, was bedeutet, dass $ker (phi) = { e }$,
+  das neutrale Element.
+
+  Angenommen $phi (a) = phi (b)$ fuer beliebige $a, b in G$, dann:
+
+  Wir betrachten das Element $a dot b^(-1) in G$ fuer beliebige $a, b in G$.
+  
+  $ phi (a dot b^(−1))=phi (a) dot phi (b^(−1)) $
+
+  Da $phi (a) = phi (b)$ und $phi (b^(-1)) = phi (b)^(-1)$, folgt:
+
+  $ phi (a dot b^(−1))=phi (a) dot phi (a)^(−1) = e_H $
+
+  Da $a dot b^(-1)$ nun im Kern ist, aber $ker (phi) = {e}$, folgt:
+
+  $ a dot b^(-1) = e ==> a = b $
+
+  Da $phi (a) = phi (b) ==> a = b$ ist $phi$ injektiv.
+
++ Jeder Homomorphismus $phi: H arrow G$ ist entweder trivial oder surjektiv.
+
+  Sei $phi : H arrow.r G$ ein Homomorphismus. Da $G$ die
+  Ordnung $p$ hat, ist jede echte Untergruppe von $G$ trivial. Das
+  Bild $"im"(phi)$ ist nach dem selben Argument wie in 2a eine Untergruppe von $G$, daher gilt
+  $lr(|"im"(phi)|) = 1$ oder $lr(|"im"(phi)|) = p$.
+  
+  Falls $lr(|"im"(phi)|) = 1$, ist $phi$ trivial. Sonst ist
+  $lr(|"im"(phi)|) = p$, was bedeutet, dass $"im"(phi) = G$.
+
+  Fuer surjektivitaet gilt es jetzt zu zeigen, dass
+  
+  $ ∀y∈G: ∃x∈G: ϕ(x)=y. $
+
+  Dabei gilt:
+
+  $ im (phi) = G ==> forall y in G: y in im (phi) $
+
+  $ y in im (phi) ==> exists x in G: phi (x) = y $
+  
+  also ist $phi$ surjektiv.
+
+// Aufgabe 3
+= Vektorraeume I
+
+Wir betrachten den Vekorraum $V = RR^4$ mit den folgenden Unterraeumen:
+
+$ U_1 = angle.l {(0, 1, 0, 2), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 1, 0)} angle.r, U_2 = angle.l {(1, 0, 3, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 3, 3, 3)} angle.r $
+
++ Bestimmen Sie $U_1 sect U_2$.
+
+  *Loesung* in Papierform.
+
+//  Pruefen auf lineare Unabhaengigkeit der beiden Unterraeume:
+//
+//  $ U_1:  a vec(0, 1, 0, 2) + b vec(1, 0, 1, 0) + c vec(-1, 0, 1, 0) =^! 0 $
+//  
+//  $ U_2: a vec(1, 0, 3, 0) + b vec(0, 1, 0, 0) + c vec(1, 3, 3, 3) =^! 0 $
+//
+//  Das Loesen mithilfe eines CAS liefert nur die triviale Loesung.
+//  
+//  Da jeweils alle drei Vektoren voneinander linear unabhaengig sind, koennen wir keinen verwerfen.
+//
+//  Aufstellen des Gleichungssystems:
+//
+//  $ mat(0, 1, -1, -1, 0, -1, 0;
+//        1, 0, 0, 0, -1, -3, 0;
+//        0, 1, 1, -3, 0, -3, 0;
+//        2, 0, 0, 0, 0, -3, 0) $
+//
+//  Loesen durch ein CAS ergibt folgenden Loesungsvektor:
+//
+//  $ X = vec(3/2 b, 2 a+2 b, a+b, a, -3/2 b, b) $
+//
+//  Einsetzen in die Gleichung von $U_2$ oder $U_1$ gibt:
+//
+//  $ a vec(1, 0, 3, 0) + b vec(2, 3, 6, 6) $
+//
+//  Also gilt:
+//
+//  $ U_1 sect U_2 = angle.l {(1, 0, 3, 0), (2, 3, 6, 6)} angle.r $
+  
++ Ist $U_1 union U_2 = V$?
+
+  //TODO
+  *Loesung* in Papierform.
+
+// Aufgabe 4
+= Vektorraeume II
+
++ Zeigen Sie, dass die Menge
+    $ V = {(x_1, x_2, x_3) in QQ^3: 7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0} $
+  ein Untervektorraum von $QQ^3$ ist.
+
+  Sei $V = { (x_1 , x_2 , x_3) in bb(Q)^3 : 7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3 = 0 }$.
+  Um zu zeigen, dass $V$ ein Untervektorraum ist, prüfen wir die drei
+  Bedingungen:
+
+  $V$ ist nicht leer: Es gilt $vec(0, 0, 0) in V ==> V != emptyset$.
+  
+  Abgeschlossenheit unter Addition:
+  Fuer $arrow(v) = (x_1 , x_2 , x_3) in V$ und
+  $arrow(w) = (y_1 , y_2 , y_3) in V$ gilt:
+  $ 7 (x_1 + y_1) + 2 (x_2 + y_2) - 3 (x_3 + y_3) = (7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3) + (7 y_1 + 2 y_2 - 3 y_3) = 0 , $
+  also ist $arrow(v) + arrow(w) in V$.
+  
+  Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:
+  Fuer $arrow(v) = (x_1 , x_2 , x_3) in V$ und $lambda in bb(Q)$ gilt:
+  $ 7 (lambda x_1) + 2 (lambda x_2) - 3 (lambda x_3) = lambda (7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3) = 0 , $
+  also ist $lambda arrow(v) in V$.
+
+  Restliche Eigenschaften, wie die Assoziativitaet oder Kommutativitaet werden vom Koerper der rationalen Zahlen $QQ$ vererbt.
+  
+  Da sonst alle drei Bedingungen erfüllt sind, ist $V$ ein Untervektorraum von
+  $bb(Q)^3$.
+
+  
++ Zeigen Sie, dass $V = angle.l {(2, -7, 0), (0, 3, 2), (1, 1, 3)} angle.r$ ist.
+
+  *Loesung* in Papierform.
+
+//  Damit $V$ durch die drei Vektoren $r = vec(2, -7, 0), v = vec(0, 3, 2), w = vec(1, 1, 3)$ vollstaendig aufgespannt wird muessen die Vektoren Elemente von V sein.
+//  
+//  // Was wenn V nur 2dimensional ist?
+//  
+//  Fuer $r:  7 dot 2 + 2 dot -7 - 3 dot 0 = 14 - 14 = 0$
+//  
+//  Fuer $v:  7 dot 0 + 2 dot 3 - 3 dot 2 = 0 + 6 - 6 = 0$
+//  
+//  Fuer $w:  7 dot 1 + 2 dot 1 - 3 dot 3 = 7 + 2 - 9 = 0$
+//
+//  Es gilt also $r, v, w, in V$.
+//
+//  Da $w$ linear abhaengig von $v$ und $r$ ist muessen wir diesen nicht betrachten. Berechnen des Kreuzproduktes von $v$ und $r$ liefert:
+//
+//  $ v times r = vec(7, 2, -3) $
+//
+//  Deshalb wird die Gesamte Ebene $V$ durch die Vektoren aufgespannt.
+  
+  
+  
++ Ist die Menge
+
+    $ W = {(x_1, x_2, x_3) in QQ^3: 7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 1} $
+  
+  ein Untervektorraum von $QQ^3$?
+  
+  Zuerst pruefe ich ob das neutrale Element in $W$ enthalten ist durch einsezten von $vec(0, 0, 0)$ in das Aussonderungsaxiom der Menge:
+  
+  $ 7 dot 0 + 2 dot 0 - 3 dot 0 = 0 != 1 $
+  
+  So kann $W$ kein Untervektorraum von $QQ^3$ sein, da diese Menge kein neutrales Element enthaelt.
+  

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel04.typ

@@ -0,0 +1,226 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "4")
+
+= Basis von Vektorraeumen
+
+Sei $V$ ein $RR$-Vektorraum und $b_1, b_2, b_3, b_4$ eine Basis von $V$. Definiere
+
+$ v_1 = b_1 + 2b_2 + b, $
+$ v_2 = 2b_1 + b_3 + b_4 , $
+$ v_3 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 , $
+$ v_4 = b_2 + b_3 + b_4 , $
+$ w = 2b_1 − b_3 . $
+
++ Zeigen Sie, dass $v_1, v_2, v_3, v_4$ eine Basis von $V$ ist.
+  
+  *Abgabe in Papierform.*
+
+//  Jede Basis von $V$ kann durch Kombination von $v_i$ dargestellt werden.
+//  
+//  $ b_1 = v_3 - v_4 \
+//    b_2 = v_4 - v_2 + 2 b_1 \
+//    b_3 = v_4 - b_2 - b_4 \
+//    b_4 = v_1 - b_1 - 2 b_2 $
+//
+//  Es gilt $dim(V) = 4$. Angenommen, $dim(angle.l v_1, v_2, v_3, v_4 angle.r) = n != dim(V)$. Falls $n > dim(V)$, dann steht dies im Widerspurch zu der Annahme, dass $v_i$ nur durch 4 Basisvektoren konstruiert werden koennen.
+//
+//TODO Zweiter FALL
+//
+
+
+
++ Definiere die beiden Unterräume $U_1 = ⟨{v_1, v_2, v_3}⟩$ und $U_2 = ⟨{v_4, w}⟩$.
+
+  Bestimmen Sie jeweils eine Basis von $U_1 ∩ U_2$ und $U_1 + U_2$.
+
+  *Abgabe in Papierform.*
+  //$A = U_1 + U_2 := {a, b: a in U_1, b in U_2}$
+
+  //$BB_A = {v_1, v_2, v_3, v_4, w}$, da alle 5 Vektoren linear unabhaengig sind.
+
+  //$B= U_1 sect U_2$
+
+  //Aufstellen einer Matrix:
+
+  //$ mat(2, 0, 1, 2, 1, 0; 0, 1, 1, 0, 2, 0; -1, 1, 1, 1, 0, 0; 0, 1, 1, 1, 1, 0) $
+
+  //Dies ergibt folgenden Loesungsvektor:
+
+  //$ X = vec(1, 1, -1, 1, 1) $
+
+  //Also folgt: $BB_B = {(2, 1, 0, 1)}$
+
+
+= Lineare Unabhaengigkeit
+
+Im $QQ^4$ definieren wir die Vektoren
+
+$ v_1 = (1, 0, 0, 1), v_2 = (1, 2, 3, 4), v_3 = (4, 3, 2, 1), v_4 = (0, 1, 1, 0), $
+
+$ w_1 = (1, 2, 1, 2), w_2 = (−1, 0, 1, 0), w_3 = (0, 1, 0, 1) "und" w_4 = (1, 1, 1, −1). $
+
+Entscheiden Sie jeweils, ob die $v_i$ bzw. $w_i$ linear unabhängig sind.
+
+*Abgabe in Papierform.*
+
+//Aufstellen einer Matrix:
+//
+//$ M_v = mat(1, 0, 0, 1; 1, 2, 3, 4; 4, 3, 2, 1; 0, 1, 1, 0) M_w = mat(1, 2, 1, 2; -1, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 1; 1, 1, 1, -1) $
+//
+//Ermitteln der Determinanten:
+//
+//#image("Media/mat_v.png")
+//#image("Media/mat_w.png")
+//
+//$therefore$ Die $v_i$ sind nicht linear unabhaengig, wohingegen die $w_i$ linear unabhaengig sind.
+//
+= Vektorraum von Funktionen
+
+Sei $KK$ ein Körper und $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f : KK → KK$.
+
+Definiere $U_1 = {f ∈ V | f (x) = f (−x)}$ und $U_2 = {f ∈ V | f (x) = −f (−x)}$.
+
++ Zeigen Sie, dass $U_1$ und $U_2$ Unterräume von $V$ sind.
+
+  Ein Unterraum $U subset.eq V$ braucht drei Eigenschaften:
+  
+  1. $f (x) = 0 in U$ .
+  2. $f , g in U: f + g in U$.
+  3. $f in U, lambda in K: lambda f in U$.
+  
+  == $U_1 = { f in V divides f (x) = f (- x) }$
+  
+  Nullfunktion: $f (x) = 0$ gehört zu $U_1$, da $0 = 0, quad forall x in K$ gilt.
+  
+  Abg. unter Addition: Für $f , g in U_1$ gilt:
+
+  $ (f + g) (x) = f (x) + g (x) $ <sum1>
+
+  $ (f + g) (- x) = f (- x) + g (- x) $ <sum2>
+
+  $ therefore f (x) = f (- x) and g (x) = g (- x) &==>^(#[@sum1, @sum2]) (f + g) (x) = (f + g) (- x) \ 
+  &<==>^("Def.") f + g in U_1 $
+  
+  Abg. unter sk. Mult. : Für $f in U_1$ und $lambda in K$ gilt:
+  
+  $ (lambda f) (x) = lambda f (x) $ 
+
+  $ (lambda f) (- x) = lambda f (- x) $  
+
+  $ therefore f(x ) = f(-x)  ==> (lambda f) (x) = (lambda f) (- x) <==>  lambda f in U_1 $
+  
+  Damit ist $U_1$ ein Unterraum.
+  
+  == $U_2 = { f in V divides f (x) = - f (- x) }$
+  
+  Nullfunktion: $f (x) = 0$ gehört zu $U_2$, da $0 = - 0, quad forall x in K$ gilt.
+  
+  Abg. unter Addition: Für $f , g in U_2$ gilt:
+  
+  $ (f + g) (x) = f (x) + g (x) $
+
+  $ (f + g) (- x) = f (- x) + g (- x) $
+  
+  $ f (x) = - f (- x) and g (x) = - g (- x) $
+
+  $ therefore (f + g) (- x) = - f (x) - g (x) = - (f (x) + g (x)) = - (f + g) (x) <==>  f + g in U_2 $
+  
+  Abg. unter sk. Mult.: Für $f in U_2$ und $lambda in K$ gilt:
+  
+  $ (lambda f) (x) = lambda f (x) $ 
+
+  $ (lambda f) (- x) = lambda f (- x) $
+  
+  $ f (x) = - f (- x) $
+
+  $ therefore (lambda f) (- x) = - lambda f (x) = - (lambda f) (x)  <==> lambda f in U_2 $
+  
+  Damit ist $U_2$ ein Unterraum.
+
+////////////////////////////////////////////////////
+
++ Angenommen in $KK$ gilt $-1 != 1$. Zeigen Sie, dass $V = U_1 ⊕ U_2$ ist.
+
+  Die Bedingung $V = U_1 xor U_2$ bedeutet:
+  + $V = U_1 + U_2 <==> f = f_1 + f_2, f_1 in U_1 and f_2 in U_2$.
+  
+
+  + $U_1 sect U_2 = { 0 }$
+  
+  Für $f in V$, definiere:
+  
+  $ f_1 (x) = frac(f (x) + f (- x), 2) , quad f_2 (x) = frac(f (x) - f (- x), 2) . $
+  
+  Es gilt:
+  
+  $ f_1 (- x) = frac(f (- x) + f (x), 2) = frac(f (x) + f (- x), 2) = f_1 (x) ==> f_1 in U_1 $
+  
+  $ f_2 (- x) = frac(f (- x) - f (x), 2) = - frac(f (x) - f (- x), 2) = - f_2 (x) ==> f_2 in U_2 $
+  
+  $ f_1 (x) + f_2 (x) = frac(f (x) + f (- x), 2) + frac(f (x) - f (- x), 2) = f (x) $
+  
+  Damit ist $V = U_1 + U_2$.
+  
+  Sei $f in U_1 sect U_2$.
+  
+  Dann gilt:
+  
+  $ f (x) = f (- x) quad upright("und") quad f (x) = - f (- x) . $
+  
+  $ f (x) = - f (x) arrow.r.double.long 2 f (x) = 0 . $
+  
+  $ - 1 eq.not 1 <==> 0 eq.not 2 ==> f (x) = 0, forall x in K <==> f = 0 $
+  
+  Da beide Bedingungen erfüllt sind, folgt: $V = U_1 xor U_2$.
+  
+  
+
+
+
+= Polynome
+Sei $KK$ ein Körper und $f ∈ K[X]$ gegeben durch
+
+$ f(X) = sum_(j=0)^n a_j X_j $
+
+mit $n >= 1 "und" a_n != 0$.
+
+Zeigen Sie: Zu einem $c ∈ KK$ gibt es genau dann ein Polynom $g ∈ K[X]$ mit
+
+$ f = (X − c)g , $
+
+wenn gilt
+
+$ f(c) = sum_(j=0)^n a_j c_j = 0 $
+
+
+// [=>]
++ Angenommen $f = (X -c)g$. Dann gilt:
+
+  $ f(c) = (c-c)g = 0 quad checkmark $
+
++ Angenommen $f(c) = 0$.
+
+  Sei $X = Y + c <==> Y = X - c$.
+
+  $ f &= sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j $
+
+  Falls $Y=0$, dann gilt:
+
+  $ f &= sum_(j=0)^n a_j c^j = 0 = 0g $
+
+  nach Vorraussetzung.
+
+  Sonst gilt:
+
+  $ f &= sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j = sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j - a_j c^j + a_j c^j \
+   &= sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j - a_j c^j + underbrace(sum_(j=0)^n a_j c^j, f(c) = 0) $
+
+  Wobei in der expandierten Form von $(Y+c)^j$ nach dem Binomial Satz, jeder Summand den Faktor $Y$ entaehlt, ausser $c^j$, was sich hier aber kuerzt.
+
+  Da jeder Summand von $f$ den Faktor $Y = X - c$ mindestens einmal enthaelt ist $f$ restlos durch $X - c$ teilbar. Damit laesst sich $f$ wie folgt schreiben:
+
+  $ f = (X-c)g  <==> g = f/(X-c) quad checkmark $
+
+$qed$
+

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel05.typ

@@ -0,0 +1,232 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "5")
+
+= $CC$-Vektorraum
+
+Betrachte den $CC$-Vektorraum $V = CC^4$ und
+
+$ w_1 = (1, i, 0, −i), w_2 = (i, 1, 0, i), w_3 = (0, −2i, 0, i + 1) in CC^4 . $
+
+Sei $W = ⟨{w_1, w_2, w_3}⟩$. Bestimmen Sie einen zu $W$ komplementären Unterraum vom $V$ und geben Sie jeweils eine Basis von $U$ und $W$ an. 
+
+*Abgabe in Papierform*.
+
+//$ W_B = angle.l {w_1, w_2} angle.r $
+//
+//$ U_B = angle.l {(0, 0, 1 ,0), (i - 1, 1 - i, 0, 2)} angle.r $
+//
+//Es gilt: 
+//
+//$ V = W plus.circle U $
+//
+//was aus der linearen Unabhaengigkeit von den Basisvektoren von $W$ und $U$ folgt und da 
+//
+//$ dim(V) = dim(W) + dim(U) = 4 . $
+
+= Komplementaere Unterraeume
+
+Sei $K$ ein Körper und $V$ ein K-Vektorraum mit $m$ Unterräumen $W_1, . . . , W_m ⊂V$.
+
++ Zeigen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
+
+  #enum(numbering: "(i)",
+    enum.item(1)[Es gilt $V = W_1 ⊕. . . ⊕W_m$.], 
+    enum.item(2)[Für jedes $v ∈V$ gibt es eindeutige $w_1 ∈W_1, . . . , w_m ∈W_m "mit" v = w_1 + . . . + w_m$. ])
+
+      
+  Angenommen (i). Dann folgt:
+
+  Also ist hier die Null auf genau eine Weise darstellbar: 
+
+  $ 0 = w_1 + w_2 + ... <==> 0 = 0 + 0 ... $ <null>
+
+
+  Sei $v in V$.
+
+  $ v = w_1 + w_2 + ... = w'_1 + w'_2 + ... \
+  <==> 0 = (w_1 - w'_1) + (w_2 - w'_2) + ... $
+
+  Nach @null muss also $w_i = w'_i$, wodurch die Darstellung von $v$ eindeutig ist.
+  
+  Angenommen (ii). Dann gilt:
+  
+  $ v = w_1 + . . . + w_m <==> V = W_1 plus ... plus W_m .  $ <comp>
+
+  Sei $A(n) :<==> U = W_1 + ... + W_(n), O = W_(n+1) + ... + W_m: U plus.circle O$
+
+  Induktionsanfang (IA): Sei $V$ wie hier mit $n=1$ folgt:
+  
+  $ underbrace(W_1, U) plus underbrace(W_2 plus ... plus W_(m), O)  = V  $
+
+
+
+  
+  Sei nun $v in U sect O$, dann folgt:
+
+  $ v = u_1 = o_m $
+
+  Da $v$ jedoch eindeutig dargestellt werden muss, folgt $u_1 = o_m = 0$.
+
+  Also ist: 
+
+  $ U_1 sect W_m = 0 ==>^("mit" #[@comp]) U_1 plus.circle W_m $
+
+
+  Induktionshypothese (IH): Angenommen A(n), fuer $n in N$.
+
+  Induktionsschritt (IS): Nun gilt es zu zeigen, dass A(n+1) auch gilt.
+
+  ...
+
+  *Der Rest ist in Papierform*
+
+
++ Ist die folgende Aussage ebenfalls äquivalent zu den ersten beiden? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an. 
+
+  (iii) Es gilt $V = W_1 + . . . + W_m$ und $W_i ∩ W_j = {0}$ für alle $1 ≤i < j ≤m$. 
+
+  Gegenbeispiel:
+
+  $ V = RR^2, quad W_1 = angle.l (0, 1) angle.r , angle.l (1, 0) angle.r, angle.l (1, 1) angle.r $
+
+  Dann gilt:
+
+  $ V = W_1 + W_2 \
+   sect.big W_i = 0 $
+
+  da $W_1$ und $W_2$ linear unabhaengig sind und sich die drei Geraden im Ursprung schneiden.
+
+  Sei $v = (1, 1)$, dann folgt:
+
+  $ v = w_1 + w_2 = w_3 = vec(1, 0) + vec(0, 1) = vec(1, 1) $
+
+  Also ist die Darstellung von $v in V$ nicht eindeutig.
+
+= Projektionen
+
+Sei $K$ ein Körper und $V$ ein K-Vektorraum.
+Angenommen $ϕ: V →V$ ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft  $ϕ ◦ϕ = ϕ$ <2b1> .
+
+Zeigen Sie, dass es zwei Untervektorräume $W_1, W_2 ⊂V$ mit $V = W_1 ⊕W_2$ gibt, sodass die Gleichungen $ϕ(w_1) = w_1$ für alle $w_1 ∈W_1$ und $ϕ(w_2) = 0$ für alle $w_2 ∈W_2$ gelten.
+
+Setze folgenden UVR von $V$:
+
+$ W_1 = im(phi.alt), quad W_2 = ker(phi.alt) $
+
+Nun gilt fuer $v in V$:
+
+
+$ phi.alt(phi.alt(v)) &=^(#[@2b1]) phi.alt(v) \
+<==> phi.alt(phi.alt(v)) - phi.alt(v) &= 0 \
+<==>^("lin.") phi.alt(phi.alt(v) - v) &= 0 $
+
+Also folgt:
+
+$ k &= phi.alt(v) - v, quad k in ker(phi.alt) \
+<==> v &= phi.alt(v) - k, quad k in W_2, quad phi.alt(v) in W_1 $
+
+Da $v$ beliebig war, gilt: $V = W_1 + W_2$.
+
+Sei $x in W_1 sect W_2$.
+
+Dann gilt:
+
+$ x in W_1 &==> phi.alt(x) = x \
+ x in W_2 &==> phi.alt(x) = 0 \ 
+ therefore x &= 0 $
+
+Da $x$ beliebig war, folgt: $W_1 sect W_2 = 0$.
+
+Also ist $V = W_1 plus.circle W_2$. Die Eigenschaften von $phi.alt$ gelten nach Konstruktion.
+
+$qed$
+
+= Fibonacci
+
+Sei $V := {(a_i)_(i∈N) : a_i ∈R}$ der R-Vektorraum aller reellen Folgen.
+
+Wir definieren die lineare Abbildung $ϕ$ durch
+
+$ ϕ: V →V, (a_1, a_2, a_3, . . .) |-> (a_2, a_3, . . .) . $
+
+Definiere nun 
+
+$ psi = ϕ ◦ϕ −ϕ − id(V) . $ <fib>
+
++ Bestimmen Sie die Dimension von $ker(ψ)$.
+
+  Zuerst bestimme ich den Kern von $psi$:
+
+  $ ker(psi) = {v in V: psi(v) = 0 <==> phi(phi(v)) - phi(v) - v = 0} $
+
+  Die Funktion $phi$ verschiebt alle Elemente von $v in V$ um einen Index nach links.
+  
+  Aus der Definition von $phi$ folgt, dass folgendes gelten muss:
+
+  $ forall k in ker(psi): k_n = k_(n-1) + k_(n-2), quad n > 2 $ <ker>
+
+  Also gilt: Damit ein $v in V$  im Kern von $psi$ liegt muessen alle Elemente durch die ersten Beiden eindeutig bestimmt sein.
+
+  Eine moegliche Basis fuer den Kern ist:
+
+  $ bold(b'_1) = (1, 0, a_3, a_4, ...) \
+  bold(b'_2) = (0, 1, a_3, a_4, ...) $
+
+  Diese Basisvektoren sind linear unabhaengig und jedes Element laesst sich durch Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen.
+
+  Da sich der Kern durch zwei Basisvektoren darstellen laesst, folgt:
+
+  $ dim(ker(psi)) = 2 $
+
++ Finden Sei eine Basis $b_1, . . . , b_m$ von ker(ψ), die die Form $b_i = (α_i, α_i^2  , α_i^3 , . . .)$ für reelle Zahlen $α_1, . . . , α_m$ hat.
+
+  Jeder Basisvektor vom Kern muss im Kern liegen, also:
+
+  $ alpha^n = alpha^(n-1) + alpha^(n-2), quad forall n > 2 $
+
+  Hier waehlen wir $n=2$ o.E.d.A, da wir die Gleichung immer durch $alpha^t$ teilen koennen, da $alpha != 0$, da der Nullvektor kein Basisvektor vom Kern sein kann.
+
+  Wir wollen also die folgende Gleichung loesen:
+
+  $ alpha^2 - alpha - 1 = 0 $
+
+  Nach der Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung folgt fuer $alpha$:
+
+  $ alpha = (1+ sqrt(5))/2, quad dash(alpha) = (1- sqrt(5))/2 $
+
+  Da der Kern zweidimensional ist und $bold(b_1)$ und $bold(b_2)$ linear unabhaengig sind, folgt:
+  
+  Also folgt fuer diese spezifische Basis von $ker(psi)$:
+
+  $ bold(b)_1 = (alpha, alpha^2, alpha^3, ...), quad bold(b)_2 = (dash(alpha), dash(alpha)^2, dash(alpha)^3, ...)  $
+
++ Sei die Fibonacci-Folge $(F_n)_(n∈N)$ definiert durch: $F_1 = 1, F_2 = 1, F_(n+2) = F_(n+1) + F_n$ für alle $n ∈N$. Zeigen Sie, dass $F_n ∈ker(ψ)$ liegt und schreiben Sie $(F_n)$ als Linearkombination ihrer Basis $b_1, . . . , b_m$.
+
+  $ F_(n+2) &= F_(n+1) + F_n \
+   <==> F_(n) &= F_(n-1) + F_(n-2), forall n > 2 $
+
+  Damit liegt $F_n$ nach @ker im Kern von $psi$.
+
+  Wir wissen, dass $F_1 = 1$ und $F_2 = 1$, wodurch $F_((0)) = 0$ sein muesste.
+  Ermitteln von $c_1, c_2$, durch einsetzen in die bekannte Gleichung fuer ein Element des Kerns:
+
+  $ 0 &= c_1 ((1+ sqrt(5))/2)^0 + c_2 ((1- sqrt(5))/2)^0 <==> c_1 = - c_2  \
+   1 &= c_1 (1+ sqrt(5))/2 + c_2 (1- sqrt(5))/2  \
+   <==> 1 &=    c_2 (1- sqrt(5))/2 - c_2 (1+ sqrt(5))/2 <==> 1 = (-2 sqrt(5))/2 c_2 ==> c_2 = -1/sqrt(5) \
+   therefore &underline(c_2 &= -1/sqrt(5)) = - c_1 ==> underline(c_1 = 1/sqrt(5)) $
+
+  Also:
+
+  $ (F_n) = 1/sqrt(5) bold(b)_1 - 1/sqrt(5) bold(b)_2 $
+
++ Bestimmen Sie eine Formel $F_n = sum^m_(i=1) c_i alpha_i^n$ , mit der die Fibonacci-Folge direkt berechnet werden kann. 
+
+  Wir wissen aus den Vorherigen Aufgabenteilen alles um eine geschlossene Form fuer die Fibonaccifolge aufzuschreiben.
+
+  Wir muessen nur das Element der beiden Basisvektoren an $n$ Stelle ermitteln, was wir durch die Eigenschaft der Basisvektoren von Aufgabenteil b) tun koennen.
+
+
+  Also ergibt sich die geschlossene Formel als:
+
+  #rect($ F_n = 1/sqrt(5) ((1+ sqrt(5))/2)^n - 1/sqrt(5) ((1- sqrt(5))/2)^n $)

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel06.typ

@@ -0,0 +1,361 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "6")
+
+#import "@preview/pavemat:0.1.0": pavemat
+
+= Vektorraeume
+
++ Zeigen Sie, dass die Menge
+
+  $ V := {x+y sqrt(2) | x, y in QQ} $
+
+  mit der Addition auf $RR$ und der durch
+
+  $ lambda dot (x + y sqrt(2)) := lambda x + lambda y sqrt(2) $
+
+  definierten Multiplikation mit Skalaren zu einem Vektorraum ueber $QQ$ wird und bestimmen Sie die Dimension von $V$.
+
+  Eigenschaften wie Distributivitaet und Assoziativitaet werden von $QQ$ vererbt.
+
+  Seien $v, w in VV$ und $lambda in QQ$.
+
+  $ v + w &= (a + b sqrt(2)) + (c + d sqrt(2)) \
+  &= a + c + b sqrt(2) + d sqrt(2) \
+  &= x + (b + d) sqrt(2) \
+  &= x + y sqrt(2) in V $
+
+  da $a+c in QQ$ ud $b+d in QQ$. 
+
+  $ lambda dot v &= lambda dot (x + y sqrt(2))  \
+  &= lambda x + lambda y sqrt(2) in QQ $
+
+  da $lambda x in QQ$ und $lambda y in QQ$
+
+  Da $1$ und $sqrt(2)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
+
+  $ dim(V) = 2 $
+
++ Zeigen Sie, dass $V$ mit der Multiplikation auf $RR$ ein Koerper ist.
+
+  Es gilt zu zeigen:
+
+  *Addition*:
+
+  - Kommutative Addition
+
+    _Wird vererbt_
+  
+  - Assoziative Addition
+
+    _Wird vererbt_
+  
+  - Inverses der Addition
+
+    Sei $v = a + b sqrt(2)$.
+
+    $ v + v' = 0  => v' &= -v \ 
+    &= -(a + b sqrt(2)) \
+    &=^(#[@dist]) underline(underline(-a - b sqrt(2))) $
+  
+  - Neutrales der Addition
+
+    Das Neutrale ist hier $0 + 0 sqrt(2)$.
+
+  *Multiplikation*:
+  
+  - Kommutative Multiplikation
+
+    _Wird vererbt_
+  
+  - Assoziative Multiplikation
+
+    _Wird vererbt_
+  
+  - Inverses der Multiplikation
+  
+    Sei $v = a + b sqrt(2)$.
+
+    $ v v' = 1 => v' &= 1/v \
+    &= 1/(a + b sqrt(2)) =  (a - b sqrt(2))/((a + b sqrt(2))(a-b sqrt(2)))\
+    &= (a - b sqrt(2))/(a^2 + 2 b^2) \
+    &= underline(underline(underbrace(a/(a^2 + 2 b^2), c in QQ) - (b )/underbrace(a^2 + 2 b^2, d in QQ)sqrt(2))) $
+
+  
+  
+  - Neutrales der Multiplikation
+
+    Das Neutrale ist hier $1 + 0 sqrt(2)$.
+
+  *Distributivitaet*:
+
+  $ (x + y sqrt(2)) (z + u sqrt(2)) &= x z + 2y u + x u sqrt(2) + z y sqrt(2) \
+  &= 2y u + x z +  (x u + z y)sqrt(2) \
+  &= a + b sqrt(2)
+  $ <dist>
+
+  Wobei $a = 2y u + x z in QQ$ und $b = x u + z y in QQ$.
+
+  $qed$
+
++ Sei $W$ der von $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ in $RR$ erzeugte $QQ$-Vektorraum. Bestimmen Sie die Dimension. Zeigen Sie, dass $W$ auch ein Vektorraum ueber dem Koerper $V$ aus Teil (b) ist. Bestimmen Sie wieder die Dimensionen.
+
+  Unabhaengigkeit der Basen von $W$ zeigen:
+
+  Es muss gelten (mit $a, b, c, d in QQ$ und $a b c d != 0$):
+
+  $ a +  b sqrt(2) + c sqrt(3) + d sqrt(6) = 0 \
+   b sqrt(2)  +  c sqrt(3) =  -1 dot (d sqrt(6) + a) \
+   2 b^2  + 3 c^2 + 2 b c sqrt(6) =   6 d^2 + a^2 + 2 a d sqrt(6) \
+    2 b c sqrt(6) - 2 a d sqrt(6) = - (2 b^2  + 3 c^2) + 6 d^2 + a^2  \
+    sqrt(6) (2 b c - 2 a d ) =  6 d^2 + a^2 - (2 b^2  + 3 c^2) \
+    sqrt(6) =  (6 d^2 + a^2 - (2 b^2  + 3 c^2))/(2 b c - 2 a d ) =: l \
+  $ <lind>
+
+  damit die Basen voneinander linear unabhaengig sind.
+
+  Da $QQ$ ein Koerper ist, gilt $l in QQ$. Somit muss $sqrt(6) in QQ$ damit die Gleichung eine Loesung hat.
+
+  Angenommen $sqrt(6) = p/q$, wobei $p, q$ teilerfremde positive natuerliche Zahlen sind.
+
+  Die Quadratwurzel von 6 kann keine natuerliche Zahl sein, da $4 < 6 < 9 => 2 < sqrt(6) < 3$.
+
+  $ sqrt(6) = p/q \
+  6 q = p^2/q $
+
+  wobei $6 q in NN$. Es gilt $p^2/q in.not NN$, da sie teilerfremd sind $arrow.zigzag$.
+
+  Es folgt also $sqrt(6) in.not QQ$. Also kann @lind nicht geloest werden.
+
+  Da so $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
+
+  $ dim(W_QQ) = 4 $
+
+  Wenn wir nun $V$ als unseren Koerper betrachten, dann faellt direkt auf, dass $1 "und" sqrt(2)$ nicht mehr linear unabhaengig sind, da ($a + b sqrt(2), c + d sqrt(2) in V$):
+
+  $ a + b sqrt(2) &= (c + d sqrt(2)) sqrt(2) \ 
+   &= 2 d  + c sqrt(2) $
+
+   Auch sind $sqrt(3), sqrt(6)$ voneinander linear abhaengig:
+
+   $ sqrt(3)(a + b sqrt(2)) &= sqrt(6) (c + d sqrt(2)) \
+     a sqrt(3) + b sqrt(6) &= 2 d sqrt(3) + c sqrt(6)  $
+
+  Das gleiche laesst sich auch beim Einsetzen der Eigenschaften von $v in V$ und unter Betrachtung des ersten Teilergebnisses erkennen ($lambda_i in V$):
+
+  $ lambda_1 + lambda_2 sqrt(2) + lambda_3 sqrt(3) + lambda_4 sqrt(6) \
+  <==> undershell((a_1 + a_2 sqrt(2)) + (2 b_1 + b_2 sqrt(2)), #[lin. abh.]) + undershell((c_1 sqrt(3) + c_2 sqrt(6)) + ( 2 d_1 sqrt(3) + d_2 sqrt(6)), #[lin. abh.]) $
+
+  Nach dem Selben Argument wie oben sind die beiden Bloecke, durch betrachten der jeweiligen Bassen, voneinander linear unabhaengig.
+
+  Es folgt also:
+
+  $ dim(W_V) = 2 $
+
+= Gleichungssystem
+
+Loesen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
+
+$ x+y &=-1 \
+-x + y &= -1 \
+x+y -z &= 0 $
+
+sowohl ueber dem koerper $QQ$ als auch ueber dem Koerper $FF_3$.
+
+Zuerst wird als Koerper $QQ$ angenommen.
+
+Umformen in eine Matrix mit Loesungsspalte:
+
+
+$ mat(1, 0, 1, -1; -1, 1, 0, -1; 1, 1, -1, 0; augment: #(-1)) $
+
+Gaussverfahren anwenden:
+
+#grid(columns: 4,
+$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 1, -2, 1; augment: #(-1)) $,
+$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
+$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
+$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
+) 
+
+Loesungsmatrix:
+
+$ mat(1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $
+
+Es folgt also: 
+
+$ x &= 0 \
+y &= -1 \
+z &= -1 $
+
+Definiere den Koerper $FF_3 = {0, 1, 2}$.
+
+Betrachten Matrix (Welche mit dem Gaussverfahren bistimmt wurde):
+
+$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
+
+Hier duerfen wir nicht durch 3 teilen, da $3 = 0$ in $FF_3$ gilt.
+
+Also machen wir eine Fallunterscheidung fuer $z$:
+
+Auch kann $z$ jeden Wert annehmen, da
+
+$ -3 dot 0 = 0 \
+ -3 dot 1 = 0 \
+ - 3 dot 2 = 0 $
+
+Fall 1: ($z = 0$)
+
+Es muss gelten:
+
+$ x = -1 = 2 \
+ y = -2 = 1 $
+
+Fall 2: ($z = 1$)
+
+$ x + 1 = -1 = 2 => x = 1 \
+ y + 1 = -2 = 1 => y = 0 $
+
+Fall 3: ($z = 2$)
+
+$ x + 2 = -1 = 2 => x = 0 \
+ y + 2 = -2 = 1 => y = 2 $
+
+
+Die Loesungsmenge ist hier also:
+
+$ LL = {(0, 2, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} $
+
+= Matrix invertieren
+
+Ist die Matrix $A in QQ^(4 times 4)$ mit $A = mat(1, 1, 0, 1; 0, 1, 0, 3; -1, 0, 1, 2; 0, 1, 1, 4)$ invertierbar?
+
+Benutzen Sie nur die Hilfsmittel die einschliesslich der Vorlesung vom 29.1 zur Verfuegung stehen.
+
+Bijektive Umformungen mit dem Gaussverfahren:
+
+#grid(
+  columns: 2,
+  row-gutter: 10pt,
+$ mat(1, 1, 0, 1;
+      0, 1, 0, 3;
+      -1, 0, 1, 2;
+      0, 1, 1, 4) $,
+$ mat(1, 1, 0, 1;
+      0, 1, 0, 3;
+      0, 1, 1, 3;
+      0, 1, 1, 4) $,
+$ mat(1, 1, 0, 1;
+      0, 1, 0, 3;
+      0, 0, 1, 0;
+      0, 0, 1, 1) $,
+$ mat(1, 1, 0, 1;
+      0, 1, 0, 3;
+      0, 0, 1, 0;
+      0, 0, 0, 1) $,
+$ mat(1, 1, 0, 1;
+      0, 1, 0, 0;
+      0, 0, 1, 0;
+      0, 0, 0, 1) $,
+$ mat(1, 0, 0, 0;
+      0, 1, 0, 0;
+      0, 0, 1, 0;
+      0, 0, 0, 1) $,
+    )
+
+Da der $A$ eine $4 times 4$ Matrix ist und einen Rank von $4$ hat, ist $A$ invertierbar.
+  
+$qed$
+
+= Polynome II
+
+Sei $V_n := {f in K[X]: deg(f) <= n}$ die Menge der Polynome von Grad hoechstens $n$ ueber einem Koerper $K$.
+
++ Zeigen Sie, dass $V_n$ ein Untervektorraum der Dimension $n+1$ von $K[X]$ ist.
+
+  Pruefen der Eigenschaften fuer einen Unterraum:
+
+  Abgeschlossenheit unter Addition:
+
+  Seien $f, g in V_n$, also $deg(f), deg(g) <= n$.
+
+  Nun gilt:
+
+  $ deg(f+g) = max({deg(f), deg(g)}) <= n ==> f+g in V_n $ 
+
+  Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:
+
+  Fuer $c in K$ und $c != 0$, gilt:
+
+  $ deg(c f ) = deg(f) ==> c f in V_n $
+
+  Das Nullpolynom ist in $V_n$ enthalten, da
+  
+  $ deg(0) = 0 <= n, quad forall n in NN $
+
+  Eine Basis von $V_n$ ist gegeben durch:
+
+  $ B_(V_n) = {X^0, X^1, X^2, ... , X^n} $
+
+  Diese Basis hat $n+1$ Elemenente, weshalb die gilt:
+
+  $ dim(V_n) = n+1 $
+
++ Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung
+
+  $ phi: V_n -> V_(n+2), quad f |-> (X^2 + 1)f $
+
+  eine lineare Abbildung ist.
+
+  Zuerst pruefen der ersten Eigenschaft:
+
+  Seien $f, g in V_n$ und $lambda in K$.
+
+  $ phi(f + g) &= (X^2 + 1)(f + g) \
+   &= X^2 dot f + f + X^2 dot g + g \
+   &= (X^2 + 1)f + (X^2 + 1)g \
+   &= phi(f) + phi(g) $
+
+  $ lambda dot phi(f) &= lambda dot (X^2 + 1) dot f \
+  &= (X^2 + 1) dot lambda f \
+  &= phi(lambda f) $
+
+  $qed$
+
+  Ein Polynom kann problemlos mit einem Skalar multipliziert werden.
+  Auch ist die Multiplikation mit einem Anderen Polynom anderer Ordnung moeglich.
+
+
++ In allen $V_n$ sei die Basis $X^0, X^1, ..., X^n$ gegeben.
+  Ist $f=a_n X^n + ... + a_0 X^0$ und $(X^2 + 1)f = b_(n+2) X^(n+2) + ... + b_0 X^0$, dann ist durch $phi_n$ 
+  auch eine Abbildung $Phi_n: K^(n+1) -> K^(n+3)$ mit 
+
+  $ (a_0, a_1, ..., a_n) |-> (b_0, b_1, ..., b_(n+2)) $
+
+  gegeben. Zeigen Sie, dass $Phi_n$ linear ist und bestimmen Sie die zugehoerige Matrix.
+
+  Sei $f,g in V^n$ und $lambda in K$.
+
+  $ Phi(f+g) &= Phi(f) + Phi(g) $
+  $ lambda dot Phi(f) &= Phi(lambda dot f) $
+
+  nach dem selben Argument wie in Teil (b).
+
+  Die zugehoerige Matrix sieht wie folgt aus:
+
+  #{
+  set text(size: 1.1em)
+
+  pavemat(
+    delim: "[",
+  )[$ mat(1, 0, 0, 0, 0, ..., 0;
+        0, 1, 0, 0, 0, ..., 0;
+        1, 0, 1, 0, 0, ..., 0;
+        0, 1, 0, 1, 0, ..., 0;
+        0, 0, 1, 0, 1, ..., 0;
+        dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.down, dots.down, 0;
+        0, 0, 0, 0, 1, 0, 1;) $]
+  }
+
+  wobei sie $n+1$ Spalten und $n+3$ Reihen hat.
+  

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel07.typ

@@ -0,0 +1,81 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "7")
+
+= Vektorraeume
+
+Fuer eine Matrix $A = (a_(i j)) in K^(n times n)$ definieren wir die Reiehen- und Spaltensummen durch
+
+$ R_r (A) := sum^n_(i = 1) a_(r i) quad "und" quad S_s (A) := sum^n_(i = 1) a_(i s) . $
+
+Sei $V$ die Menge aller $n times n$- Matrizen fuer die alle Reiehen- und Spaltensummen gleich sind.
+Also
+
+$ V:= {A in K^(n times n):R_r (A) = S_s (A) "fuer alle" r, s = 1, ..., n} $
+
++ Zeigen Sie, dass $V$ ein Untervektorraum von $K^(n times n)$ ist.
+
+  Seien $v, w in V$.
+
+  Bei der Matrixaddition werden alle Reiehen und Spalten addiert. Dabei gilt:
+
+  $ v_(i j) = c_1, quad w_(i j) = c_2 $
+
+  Also
+
+  $ v_(i j) + w_(i j) = c_1 + c_2 = c => v + w in V $
+
+  $ lambda v = lambda v_(i j) = lambda c_1 = c => lambda v in V $
+
+  
+
++ Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von $V$.
+
+  Wir koennen alle Eintraege von $v in V$ beliebig waehlen, bis auf jeweils die letzen innerhalb einer Zeile oder Spalte. Daraus muss folgen:
+
+  $ dim(V) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2 $
+
+= Einheitsmatrix
+
+Sei $A in K^(n times n)$ mit der Eigenschaft, dass $A B = B A, quad forall B in K^(n times n)$ gilt.
+
+Zeigen Sie, dass $A = lambda E_n$ fuer ein $lambda in K$ ist.
+
+Hier gilt es zu zeigen, dass nur ein Vielfaches der Einheitsmatrix die Kommutativit mit einer beliebigen Matrix $B$ erfuellt.
+
+Sei $B = bb(1)$. Falls $A = bb(1)$ dann waehle $B != bb(1) and B != bb(0)$.
+
+Angenommen fuer $A$ gilt, dass $exists a_(i j): i != j: a = lambda != 0$.
+
+Nach Matrixmultiplikationsvorschrift ist diese nicht kommutativ $arrow.zigzag$.
+
+Wir wissen also, dass $A = mat(a, 0, 0, 0, ...;0, b, 0, 0, ...; 0, 0, c, 0, ...; 0, 0, 0, d, ...; dots.v, dots.v, dots.v, dots.v, dots.down)$ sein muss.
+
+Angenommen $a, b, c, ...$ sind ungleich. Dann laesst sich wieder durch Matrixmultiplikation ein Widerspruch erzeugen.
+
+Falls nun aber $a = b = c = ...$, dann ist $A = lambda E_n$. 
+
+$qed$
+
+= Inverse einer Matrix
+
+Bestimmen Sie das Inverse der Matrix $A = mat(1, -1, 0, 1; 1, 0, -1, 1; 2, 3, -4, 1; 1, 0, 0, 1)$.
+
+Anwenden des Gaussverfahrens mit der Erweiterten Matrix:
+
+$ mat(1, -1,  0, 1, 1, 0, 0, 0;
+      1,  0, -1, 1, 0, 1, 0, 0;
+      2,  3, -4, 1, 0, 0, 1, 0;
+      1,  0,  0, 1, 0, 0, 0, 1; augment: #4) $
+
+= Abbildungsmatrix
+
+
+Sei $frak(B)_1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}$ eine Basis von $QQ^3$ und $frak(B)_2 = {(1,1), (-1, 1)}$ eine Basis von $QQ^2$. Sei $phi: QQ^3 -> QQ^2$ gegeben durch die Abbildungsmatrix
+
+$ A = mat(1, 2, 3; 4, 5, 6) $
+
++ Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $A'$ von $phi$ bezueglich der Basen $frak(B_1)$ und $frak(B_2)$.
+
++ Nach der Vorlesung gibt es $X in Q^(3 times 3)$ und $Y in QQ^(2 times 2)$, sodass $A = X A' Y$ gilt.
+  Bestimmen Sie $X$ und $Y$.

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel08.typ

@@ -0,0 +1,21 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "8")
+
+= Determinanten I
+
+Sei $K$ ein Koerper mit $"char"(K) != 2$.
+
++ Seien $A, B$ zwei $n times n$ Matrizen mit Eintraegen in $K$. Definiere $b_(i j) := (-1)^(i+j) a_(i j)$.
+
+  Zeigen Sie, dass $A = det(B)$.
+
++ Bestimmen Sie abhaengig von $n$ die Determinante der Matrix:
+
+  $ C = mat(0, 1, ..., 1; 1, dots.down, dots.down, dots.v; dots.v, dots.down, dots.down, 1; 1, dots, 1, 0) $
+
+= Determinanten II
+
+= Lineare Abbildung
+
+= Dualraeume

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel09.typ

@@ -0,0 +1,11 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "9")
+
+=
+
+=
+
+=
+
+=

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel10.typ

@@ -0,0 +1,11 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "10")
+
+=
+
+=
+
+=
+
+=

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel11.typ

@@ -0,0 +1,11 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "11")
+
+=
+
+=
+
+=
+
+=

S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel12.typ

@@ -0,0 +1,11 @@
+// Load the preamble
+#import "../conf.typ": conf
+#show: conf.with(week: "12")
+
+=
+
+=
+
+=
+
+=