mirror of
https://gitlab.gwdg.de/j.hahn02/university.git
synced 2026-01-01 06:44:25 -05:00
init
This commit is contained in:
184
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel02.typ
Normal file
184
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel02.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,184 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "2")
|
||||
|
||||
= Aufgabe 1
|
||||
|
||||
Abgabe in Papierform.
|
||||
|
||||
// TODO Weiterschreiben der ersten Aufgabe wenn alles andere gut ist
|
||||
|
||||
//Für $1 <= i < j <= n$ ist $tau_(i j)$ durch $tau_i j(l) = l$, falls $l in.not {i, j}$ sowie $tau_(i j) (i) = j$ und $tau_(i j)(j) = i$ ein Element von $S_n$ definiert. Zeigen Sie: $ angle.l {tau_(i j) : 1 <= i < j <= n} angle.r = S_n $
|
||||
//
|
||||
//Hinweis: Wie würden Sie ein Bücherregal sortieren.
|
||||
//
|
||||
//Da $S_n$ genau alle bijektiven Abbildungen der Menge $N = {1, 2, 3, ..., n}$ auf sich selbst enthaelt und $tau_(i, j) in S_n$ ist $tau_(i j)$ bijektiv.
|
||||
//
|
||||
//Fuer $G := angle.l{tau_(i j) : 1 <= i < j <= n}angle.r$ gelten die Gruppenaxiome.
|
||||
//Also ist $i d_N$ Element der Gruppe als neutrales Element. $tau_(i j)^2$ ist das inverse Element der Gruppe.
|
||||
//
|
||||
//
|
||||
//Jede Verknuepfung von bijektiven Abbildungen auf eine Gruppe $G$ ist wieder eine bijektive Abbildung auf $G$. Daher ist $angle.l {tau_(i j) : 1 <= i < j <= n} angle.r subset S_n$
|
||||
//
|
||||
//Nun gilt es zu zeigen, dass $S_n subset angle.l { tau_(i j) : 1 <= i < j <= n}angle.r$. Also, dass $ forall f in S_n: f in angle.l{ tau_(i j) : 1 <= i < j <= n}angle.r $
|
||||
//
|
||||
//Der Defintionsbereich von $f in S_n$ und $g in G$ ist identisch. Es bleibt also zu zeigen, dass $ forall f in S_n exists g in G: f(N) = g(N) $
|
||||
//
|
||||
//Stets laesst sich $g$ wie folgt konstruieren:
|
||||
//
|
||||
//Sei $g_0 = id_N$. Fuer das kleinste $n_k$ mit $f(n_k) != n_k$ kann man stets $g_1 = tau_(g_0 (n_k) f (n_k)) compose g_0$ konstruieren, da $tau_(i j) = tau_(j i)$.
|
||||
//
|
||||
//Man erhaelt nun also $f(n) = g_1 (n)$
|
||||
|
||||
= Aufgabe 2
|
||||
|
||||
Sei $G$ eine beliebige Untergruppe der ganzen Zahlen $(ZZ, +)$. Zeigen Sie, dass eine ganze Zahl $n >= 0$ mit $G = n Z$ existiert.
|
||||
|
||||
Hinweis: Jede nicht-leere Teilmenge der natürlichen Zahlen hat ein kleinstes Element.
|
||||
|
||||
Sei $G$ eine beliebige Untergruppe der ganzen Zahlen $(ZZ, +)$.
|
||||
|
||||
Falls $G$ eine triviale Untergruppe ist, dann liefert $n = 0$ bzw. $n = 1$ die Loesung.
|
||||
|
||||
Da $G$ nun eine nicht-leere Untergruppe ist, enthält $G$ mindestens ein Element ungleich Null.
|
||||
Da $G$ eine Gruppe unter der Addition ist, enthält $G$ auch entsprechende inverse Elemente, wenn es positive enthält.
|
||||
Wir betrachten die Menge $G sect NN = S$, also die positiven Elemente, die in $G$ liegen.
|
||||
Nach dem Hinweis hat jede nicht-leere Teilmenge der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element.
|
||||
Sei $d$ das kleinste Element, das in $S$ enthalten ist.
|
||||
|
||||
Jetzt zeigen wir, dass $G = d ZZ$.
|
||||
|
||||
Wenn $s$ ein beliebiges Element in $S$ ist, können wir $s$ in der maximal gekuerzten Form $s = k d + r$ schreiben, wobei $0 <= r < d$ und $k in ZZ$.
|
||||
Aus der Gruppeneigenschaft von $G$ ist $r in G$, da $r = s - k d$ und $s, k d in G$.
|
||||
Da $d$ das kleinste Element in $S$ ist, muss $r$ gleich Null sein, sonst würde $0 < r < d$, was im Widerspruch zu unserer Annahme, dass $d = min(S)$ ist, wäre.
|
||||
Somit haben wir $s = k d$, was zeigt, dass $S$ von $d$ erzeugt wird.
|
||||
|
||||
Da $s$ beliebig war, folgt $S = d ZZ$.
|
||||
|
||||
Daher existiert eine ganze Zahl $n >= 0$, sodass $G = n ZZ$, da G alle Elemente von S und deren Inverse enthaelt.
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
= Aufgabe 3
|
||||
|
||||
Eine ausfuerliche Begruendung warum der angesprochene Isomorphismus existiert steht auf der Abgabe in Papierform.
|
||||
|
||||
|
||||
1. Wie viele verschiedene Gruppen mit 4 Elementen gibt es?
|
||||
|
||||
Es gibt zwei Gruppen. Namentlich die Klein-4-Gruppe und die zyklische $Z_4$ Gruppe.
|
||||
Jede weitere Gruppe mit $|G| = 4$ ist isomorph zu einer dieser beiden Gruppen.
|
||||
|
||||
#stack(
|
||||
dir: ltr,
|
||||
table(
|
||||
columns: 5,
|
||||
[*$Z_4$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*],
|
||||
[*0*], [0], [1], [2], [3],
|
||||
[*1*], [1], [2], [3], [0],
|
||||
[*2*], [2], [3], [0], [1],
|
||||
[*3*], [3], [0], [1], [2],
|
||||
),
|
||||
|
||||
h(10pt),
|
||||
|
||||
table(
|
||||
columns: 5,
|
||||
[*$K_4$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*],
|
||||
[*0*], [0], [1], [2], [3],
|
||||
[*1*], [1], [0], [3], [2],
|
||||
[*2*], [2], [3], [0], [1],
|
||||
[*3*], [3], [2], [1], [0],
|
||||
),
|
||||
|
||||
)
|
||||
|
||||
|
||||
2. Wie viele verschiedene Gruppen mit 6 Elementen gibt es?
|
||||
|
||||
Es gibt zwei Gruppen. Namentlich die zyklische $Z_6$ Gruppe und die $S_3$ Gruppe.
|
||||
Jede weitere Gruppe mit $|G| = 6$ ist isomorph zu einer dieser beiden Gruppen.
|
||||
|
||||
|
||||
#stack(
|
||||
dir: ltr,
|
||||
table(
|
||||
columns: 7,
|
||||
[*$Z_6$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*], [*4*], [*5*],
|
||||
[*0*], [0], [1], [2], [3], [4], [5],
|
||||
[*1*], [1], [2], [3], [4], [5], [0],
|
||||
[*2*], [2], [3], [0], [1], [0], [1],
|
||||
[*3*], [3], [4], [5], [0], [1], [2],
|
||||
[*4*], [4], [5], [0], [1], [2], [3],
|
||||
[*5*], [5], [0], [1], [2], [3], [4],
|
||||
),
|
||||
h(10pt),
|
||||
|
||||
table(
|
||||
columns: 7,
|
||||
[*$S_3$*], [*0*], [*1*], [*2*], [*3*], [*4*], [*5*],
|
||||
[*0*], [0], [1], [2], [3], [4], [5],
|
||||
[*1*], [1], [2], [0], [4], [5], [3],
|
||||
[*2*], [2], [0], [1], [5], [3], [4],
|
||||
[*3*], [3], [5], [4], [0], [2], [1],
|
||||
[*4*], [4], [3], [5], [1], [0], [2],
|
||||
[*5*], [3], [4], [5], [0], [1], [2],
|
||||
))
|
||||
|
||||
3. Finden Sie alle Normalteiler der Permutationsgruppe $S_3$.
|
||||
|
||||
Sei $S_3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132)} = G$
|
||||
|
||||
Nach Lagrange gilt $|G| = |G slash H||H|$. Da $|G| = 6$ muss $|H| in {1, 2, 3, 6}$.
|
||||
Kandidaten fuer Normalteiler sind somit die trivialen Untergruppen ${e}, G$ und ${(12), e}, {(13), e}, {(23), e}, {e, (123), (132)}$
|
||||
|
||||
Die trivialen Untergruppen sind immer ein Normalteiler.
|
||||
Sei $H$ eine Untergruppe von $G$ mit $|H| = 2$. Dann kann H kein Normalteiler von $G$ sein, da eine Spiegelung nicht kommutativ ist mit einer anderen Spiegelung ist.
|
||||
|
||||
$A_3$ ist ein Normalteiler, da eine Spiegelung und dann eine Drehung des Dreiecks gleich zu einer Drehung in die andere Richtung und dann der Spiegelung ist.
|
||||
|
||||
Eigenschaft eines Normalteilers: $g H = H g$
|
||||
|
||||
Die Normalteiler sind somit:
|
||||
|
||||
- ${e}$
|
||||
- $A_3 = {e, (123), (132)}$
|
||||
- $S_3 = G$
|
||||
|
||||
= Aufgabe 4
|
||||
|
||||
// Schritte der Argumentation
|
||||
//
|
||||
// - Gitter begruenden
|
||||
// - Jede Zelle ist zueneinander symetrisch
|
||||
// - Falls ein Punkt in dieser Zelle liegt, dann auch in der am Urspung (durch Gruppeneigenschaft)
|
||||
// - Die Zelle hat die Form eines Parralelogramms
|
||||
// - Jeder Punkt in einem Parralelogramm hat einen kleineren Abstand zu einem der Eckpunkte als die groesste Seitenlaenge (Siehe Lemma L1)
|
||||
//
|
||||
|
||||
Laut Vorlesung ist $Z^2 = {(x, y) : x, y ∈ ZZ}$ eine Gruppe. Sei $U ⊂ Z^2$ eine nicht triviale Untergruppe. In dieser gibt es ein Element $v != 0$ mit minimalem Abstand zum Ursprung $(0, 0)$. Angenommen $⟨v⟩ != U$. Dann gibt es ein weiteres Element $0 != w in U$, dass nicht in $⟨v⟩$ enthalten ist und minimalen Abstand zum Ursprung hat. Zeigen Sie, dass $⟨{v, w}⟩= U$ ist.
|
||||
|
||||
Hinweis: Der Abstand von $(x, y)$ zum Ursprung ist $ sqrt(x^2 + y^2 )$.
|
||||
|
||||
Sei $a = vec(a, b)$ ein beliebiges Element von $U$. Nun gilt es zu zeigen, dass $a = z_1 v + z_2 w$ (Darstellung durch Linearkombination von $v, w$) gilt, wobei $z_1, z_2 in ZZ$.
|
||||
|
||||
Zuerst laesst sich feststellen, dass $v$ und $w$ linearunabhaengig voneinander sein muessen, da sonst nach dem Argument aus Aufgabe 2 die Annahme, dass $v, w$ minimalen Abstand vom Ursprung haben und $w in.not angle.l v angle.r$, ein Widerspruch erzeugen wuerde.
|
||||
|
||||
Angenommen $a in.not angle.l v, w angle.r$. Dann liegt $a$ in einem durch $v$ und $w$, ausgehend von einem Punkt $p in angle.l v, w angle.r$, aufgespanntem Parralelogramm. Dies folgt aus der Gitterstuktur von $U$, welche durch Kombination von $w$ und $v$ erzeugt wird. Da $a$ ein Element der Untergruppe $U$ ist, existiert $a'$ auch in dem Parralelogramm welches ausgehend vom Ursprung durch $v$ und $w$ aufgespannt wird. Die beiden Parralelogramme und die relativen Positionen von $a, a'$ sind hier, wider durch die Gruppeneigenschaft, identisch.
|
||||
|
||||
/// Geometrisches Lemma fuer Punkte in einem Parralelogramm //////////////////////////
|
||||
Nun wird folgendes Lemma gezeigt:
|
||||
|
||||
Jeder Punkt in einem Parralelogramm hat einen kuerzeren Abstand zu einem der vier Punkte, welche es aufspannen, als $max(a, b)$ wobei $a, b$ die Seitenlaengen sind.
|
||||
|
||||
Fuer den Beweis laesst sich feststellen, dass um jeden Eckpunkt des Parralelogramms eine offene Kreisscheibe mit Radius $r = max(|v|, |w|)$ gelegt werden kann. Diese Kreisscheiben ueberdecken das Parralelogramm vollstaendig. Das kommt daher, dass ein Parralelogramm sich durch die verbindenden Geraden von jeweils gegenueberliegenden Eckpunkten in vier Dreieicke aufteilen laesst.
|
||||
Nun liegt jedes dieser Dreiecke vollstaendig in der jeweiligen Kreisscheibe bis auf maximal zwei Eckpunkte, welche aber in einer anderen Scheibe liegen.
|
||||
|
||||
Die Aussage, dass der Punkt in einer offenen Kreisscheibe um einen Eckpunkt liegt ist aequivalent zu der, welche wir zeigen wollten.
|
||||
///////////////////////////////////////
|
||||
|
||||
Nach Lemma existiert ein Vektor $t$, sodass $|t| < max(|v|, |w|)$ und $a' = vec(t_x, t_y)$. Dies steht im Wiederspruch zu der Annahme, dass $v$ und $w$ die Elemente der Gruppe sind, welche den kleinsten Abstand zum Urspung haben.
|
||||
|
||||
Also muss $t = 0$ gelten. Wodurch jedes Element in $U$ sich als Linarkombination von $v$ und $w$ darstellen laesst.
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
BIN
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel03.pdf
Normal file
BIN
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel03.pdf
Normal file
Binary file not shown.
292
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel03.typ
Normal file
292
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel03.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,292 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "3")
|
||||
|
||||
// Aufgabe 1
|
||||
= Ringe mit Addition und Multiplikation
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass
|
||||
$ (ZZ slash 5 ZZ)^* := {1+ 5 ZZ, 2 + 5 ZZ, 3 + 5 ZZ, 4 + 5 ZZ} subset ZZ slash 5 ZZ $
|
||||
|
||||
$ (ZZ slash 9 ZZ)^* := {1+ 9 ZZ, 2 + 9 ZZ, 4 + 9 ZZ, 5 + 9 ZZ, 7 + 9 ZZ, 8 + 9 ZZ} subset ZZ slash 9 ZZ $
|
||||
|
||||
jeweils eine Gruppe bezueglich Multiplikation sind.
|
||||
|
||||
//////////////////////////////
|
||||
Geforderte Eigenschaften an eine Gruppe:
|
||||
|
||||
- Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier Elemente muss wieder in der Gruppe sein.
|
||||
|
||||
- Inverses Element: Jedes Element muss ein multiplikatives Inverses in der Gruppe haben.
|
||||
|
||||
- Assoziativität: Diese Eigenschaft wird von den ganzen Zahlen vererbt. $checkmark$
|
||||
|
||||
- Neutrales Element: Es muss ein neutrales Element in der Gruppe geben. Dieses ist hier die 1. $checkmark$
|
||||
|
||||
Für $(ZZ slash 5 ZZ)^*$ gibt es durch Modulo-Rechnen folgende Elemente in der Gruppe $E = {1, 2, 3, 4}$.
|
||||
|
||||
Das Produkt zweier Elemente aus $E$ ergibt wieder ein Element in dieser Menge:
|
||||
|
||||
$ 1 dot 1 = 1, 1 dot 2 = 2, 1 dot 3 = 3, 1 dot 4 = 4 $
|
||||
|
||||
$ 2 dot 2 = 4, 2 dot 3 = 1, 2 dot 4 = 3 $
|
||||
|
||||
$ 3 dot 3 = 4, 3 dot 4 = 2 $
|
||||
|
||||
$ 4 dot 4 = 1 $
|
||||
|
||||
Jedes Element hat ein Inverses:
|
||||
|
||||
$ 1^(-1) = 1, 2^(-1) = 3, 3^(-1) = 2, 4^(-1) = 4 $
|
||||
|
||||
Für $(ZZ slash 9 ZZ)^*$ gibt es durch Modulo-Rechnen folgende Elemente in der Gruppe $E = {1, 2, 4, 5, 7, 8}$.
|
||||
|
||||
Das Produkt zweier Elemente aus $E$ ergibt wieder ein Element in dieser Menge:
|
||||
|
||||
$ 1 dot 1 = 1, 1 dot 2 = 2, 1 dot 4 = 4, 1 dot 5 = 5, 1 dot 7 = 7, 1 dot 8 = 8 $
|
||||
|
||||
$ 2 dot 2 = 4, 2 dot 4 = 8, 2 dot 5 = 1, 2 dot 7 = 5, 2 dot 8 = 7 $
|
||||
|
||||
$ 4 dot 4 = 7, 4 dot 5 = 2, 4 dot 7 = 1, 4 dot 8 = 5 $
|
||||
|
||||
$ 5 dot 5 = 7, 5 dot 7 = 8, 5 dot 8 = 4 $
|
||||
|
||||
$ 7 dot 7 = 4, 7 dot 8 = 2 $
|
||||
|
||||
$ 8 dot 8 = 1 $
|
||||
|
||||
Jedes Element hat ein Inverses:
|
||||
|
||||
$ 1^(-1) = 1, 2^(-1) = 5, 4^(-1) = 7, 5^(-1) = 2, 7^(-1) = 4, 8^(-1) = 8 $
|
||||
|
||||
Damit ist alles gezeigt. $qed$
|
||||
|
||||
+ Finden Sie ein Element $x in (ZZ slash 9 ZZ)^*$, sodass $angle.l {x} angle.r = (ZZ slash 9 ZZ)^*$ gilt.
|
||||
|
||||
Nach Aufgabe 1a ist hat die Gruppe $(ZZ slash 9 ZZ)^*$ folgende Elemente $1, 2, 4, 5, 7, 8$. Es gilt $abs((ZZ slash 9 ZZ)^*) = 6$.
|
||||
|
||||
Durch Testen jedes Elements finden wir, dass $x = 2$ die
|
||||
gesamte Gruppe erzeugt, da:
|
||||
$ 2^1 = 2 , quad 2^2 = 4 , quad 2^3 = 8 , quad 2^4 = 7 , quad 2^5 = 5 , quad 2^6 = 1 . $
|
||||
|
||||
Somit ist $x = 2$ ein Generator von $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$, und wir haben
|
||||
$angle.l 2 angle.r = (bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$.
|
||||
|
||||
+ Geben Sie einen Isomorphismus zwischen $(ZZ slash 9 ZZ, dot.op)$ und $(ZZ slash 6 ZZ, +)$ an.
|
||||
|
||||
Ein Isomorphismus zwischen den Gruppen $(bb(Z) \/ 9 bb(Z) , dot.op)$ und
|
||||
$(bb(Z) \/ 6 bb(Z) , +)$ kann durch die Funktion
|
||||
$ phi : (bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*) arrow.r bb(Z) \/ 6 bb(Z) $ gegeben
|
||||
werden, wobei $phi (x)$ die Ordnung von $x$ in $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$
|
||||
modulo 6 ist.
|
||||
|
||||
Wählen wir nach Aufgabe 1b $x = 2$ als Generator von $(bb(Z) \/ 9 bb(Z))^(\*)$, so
|
||||
laesst sich $phi$ definieren durch $ phi (2^k) = k mod 6 . $
|
||||
|
||||
Diese Zuordnung ist ein Isomorphismus, da sie bijektiv ist und die
|
||||
Gruppenoperationen respektiert:
|
||||
|
||||
$ phi (2^k dot.op 2^m) = phi (2^(k + m)) = (k + m) mod med 6 = phi (2^k) + phi (2^m) . $
|
||||
|
||||
Ist $(ZZ slash 5 ZZ)^∗$ auch zu einer Gruppe der Form $ZZ slash n ZZ$ für ein $n ∈ N$ isomorph? Falls ja, geben Sie einen Isomorphismus an.
|
||||
|
||||
Die Gruppe $(bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*)$ ist also isomorph zu
|
||||
$bb(Z) \/ 4 bb(Z)$, da beide Gruppen die gleiche Ordnung haben und
|
||||
zyklisch sind.
|
||||
|
||||
Ein Isomorphismus zwischen $(bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*)$ und
|
||||
$bb(Z) \/ 4 bb(Z)$ ist durch die Abbildung
|
||||
|
||||
$ phi : (bb(Z) \/ 5 bb(Z))^(\*) arrow.r bb(Z) \/ 4 bb(Z) , quad phi (1) = 0 , quad phi (2) = 1 , quad phi (3) = 3 , quad phi (4) = 2 $
|
||||
|
||||
gegeben.
|
||||
|
||||
|
||||
// Aufgabe 2
|
||||
= Homomorphismen
|
||||
|
||||
Seien $G$ und $H$ Gruppen. Angenommen $G$ ist endlich und ihre Ordnung eine Primzahl $p$. Zeigen Sie:
|
||||
|
||||
+ Jeder Homomorphismus $phi: G arrow H$ ist entweder trivial oder injektiv.
|
||||
|
||||
Sei $phi.alt : G arrow.r H$ ein Homomorphismus. Da $G$ endlich und
|
||||
$lr(|G|) = p$ eine Primzahl ist, gilt nach Lagrange für jede Untergruppe von $G$
|
||||
entweder $lr(|H|) = 1$ oder $lr(|H|) = p$.
|
||||
|
||||
Fuer den Kern gilt:
|
||||
|
||||
$ phi (e_G) = e_H ==> ker (phi) != emptyset $
|
||||
|
||||
Sei $a, b in ker (phi)$. Dann:
|
||||
|
||||
$ phi (a) = e_H "und" phi (b) = e_H $
|
||||
|
||||
Da $phi$ ein Homomorphismus ist, folgt:
|
||||
|
||||
$ phi (a dot b) = phi (a) dot phi (b) = e_H dot e_H = e_H $
|
||||
|
||||
Also ist $a dot b in ker (phi)$
|
||||
|
||||
Sei $a in ker (phi)$. Dann:
|
||||
|
||||
$ phi (a) = e_H $
|
||||
|
||||
Da $e_H = e^(-1)_H$ folgt:
|
||||
|
||||
$ phi (a^(-1)) = phi (a)^(-1)) = e_H^(-1) = e_H $
|
||||
|
||||
Da alle Eigenschaften fuer eine Untergruppe, namentlich nicht Leerheit, Abgeschlossenheit und die Existenz eines Inversen gegeben sind, ist das Kernbild des Homomorphismus, $ker (phi)$, eine Untergruppe von $G$.
|
||||
|
||||
Falls $abs(ker (phi)) = G$, ist $phi$ trivial. Andernfalls ist
|
||||
$lr(|ker (phi)|) = 1$, was bedeutet, dass $ker (phi) = { e }$,
|
||||
das neutrale Element.
|
||||
|
||||
Angenommen $phi (a) = phi (b)$ fuer beliebige $a, b in G$, dann:
|
||||
|
||||
Wir betrachten das Element $a dot b^(-1) in G$ fuer beliebige $a, b in G$.
|
||||
|
||||
$ phi (a dot b^(−1))=phi (a) dot phi (b^(−1)) $
|
||||
|
||||
Da $phi (a) = phi (b)$ und $phi (b^(-1)) = phi (b)^(-1)$, folgt:
|
||||
|
||||
$ phi (a dot b^(−1))=phi (a) dot phi (a)^(−1) = e_H $
|
||||
|
||||
Da $a dot b^(-1)$ nun im Kern ist, aber $ker (phi) = {e}$, folgt:
|
||||
|
||||
$ a dot b^(-1) = e ==> a = b $
|
||||
|
||||
Da $phi (a) = phi (b) ==> a = b$ ist $phi$ injektiv.
|
||||
|
||||
+ Jeder Homomorphismus $phi: H arrow G$ ist entweder trivial oder surjektiv.
|
||||
|
||||
Sei $phi : H arrow.r G$ ein Homomorphismus. Da $G$ die
|
||||
Ordnung $p$ hat, ist jede echte Untergruppe von $G$ trivial. Das
|
||||
Bild $"im"(phi)$ ist nach dem selben Argument wie in 2a eine Untergruppe von $G$, daher gilt
|
||||
$lr(|"im"(phi)|) = 1$ oder $lr(|"im"(phi)|) = p$.
|
||||
|
||||
Falls $lr(|"im"(phi)|) = 1$, ist $phi$ trivial. Sonst ist
|
||||
$lr(|"im"(phi)|) = p$, was bedeutet, dass $"im"(phi) = G$.
|
||||
|
||||
Fuer surjektivitaet gilt es jetzt zu zeigen, dass
|
||||
|
||||
$ ∀y∈G: ∃x∈G: ϕ(x)=y. $
|
||||
|
||||
Dabei gilt:
|
||||
|
||||
$ im (phi) = G ==> forall y in G: y in im (phi) $
|
||||
|
||||
$ y in im (phi) ==> exists x in G: phi (x) = y $
|
||||
|
||||
also ist $phi$ surjektiv.
|
||||
|
||||
// Aufgabe 3
|
||||
= Vektorraeume I
|
||||
|
||||
Wir betrachten den Vekorraum $V = RR^4$ mit den folgenden Unterraeumen:
|
||||
|
||||
$ U_1 = angle.l {(0, 1, 0, 2), (1, 0, 1, 0), (-1, 0, 1, 0)} angle.r, U_2 = angle.l {(1, 0, 3, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 3, 3, 3)} angle.r $
|
||||
|
||||
+ Bestimmen Sie $U_1 sect U_2$.
|
||||
|
||||
*Loesung* in Papierform.
|
||||
|
||||
// Pruefen auf lineare Unabhaengigkeit der beiden Unterraeume:
|
||||
//
|
||||
// $ U_1: a vec(0, 1, 0, 2) + b vec(1, 0, 1, 0) + c vec(-1, 0, 1, 0) =^! 0 $
|
||||
//
|
||||
// $ U_2: a vec(1, 0, 3, 0) + b vec(0, 1, 0, 0) + c vec(1, 3, 3, 3) =^! 0 $
|
||||
//
|
||||
// Das Loesen mithilfe eines CAS liefert nur die triviale Loesung.
|
||||
//
|
||||
// Da jeweils alle drei Vektoren voneinander linear unabhaengig sind, koennen wir keinen verwerfen.
|
||||
//
|
||||
// Aufstellen des Gleichungssystems:
|
||||
//
|
||||
// $ mat(0, 1, -1, -1, 0, -1, 0;
|
||||
// 1, 0, 0, 0, -1, -3, 0;
|
||||
// 0, 1, 1, -3, 0, -3, 0;
|
||||
// 2, 0, 0, 0, 0, -3, 0) $
|
||||
//
|
||||
// Loesen durch ein CAS ergibt folgenden Loesungsvektor:
|
||||
//
|
||||
// $ X = vec(3/2 b, 2 a+2 b, a+b, a, -3/2 b, b) $
|
||||
//
|
||||
// Einsetzen in die Gleichung von $U_2$ oder $U_1$ gibt:
|
||||
//
|
||||
// $ a vec(1, 0, 3, 0) + b vec(2, 3, 6, 6) $
|
||||
//
|
||||
// Also gilt:
|
||||
//
|
||||
// $ U_1 sect U_2 = angle.l {(1, 0, 3, 0), (2, 3, 6, 6)} angle.r $
|
||||
|
||||
+ Ist $U_1 union U_2 = V$?
|
||||
|
||||
//TODO
|
||||
*Loesung* in Papierform.
|
||||
|
||||
// Aufgabe 4
|
||||
= Vektorraeume II
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass die Menge
|
||||
$ V = {(x_1, x_2, x_3) in QQ^3: 7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0} $
|
||||
ein Untervektorraum von $QQ^3$ ist.
|
||||
|
||||
Sei $V = { (x_1 , x_2 , x_3) in bb(Q)^3 : 7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3 = 0 }$.
|
||||
Um zu zeigen, dass $V$ ein Untervektorraum ist, prüfen wir die drei
|
||||
Bedingungen:
|
||||
|
||||
$V$ ist nicht leer: Es gilt $vec(0, 0, 0) in V ==> V != emptyset$.
|
||||
|
||||
Abgeschlossenheit unter Addition:
|
||||
Fuer $arrow(v) = (x_1 , x_2 , x_3) in V$ und
|
||||
$arrow(w) = (y_1 , y_2 , y_3) in V$ gilt:
|
||||
$ 7 (x_1 + y_1) + 2 (x_2 + y_2) - 3 (x_3 + y_3) = (7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3) + (7 y_1 + 2 y_2 - 3 y_3) = 0 , $
|
||||
also ist $arrow(v) + arrow(w) in V$.
|
||||
|
||||
Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:
|
||||
Fuer $arrow(v) = (x_1 , x_2 , x_3) in V$ und $lambda in bb(Q)$ gilt:
|
||||
$ 7 (lambda x_1) + 2 (lambda x_2) - 3 (lambda x_3) = lambda (7 x_1 + 2 x_2 - 3 x_3) = 0 , $
|
||||
also ist $lambda arrow(v) in V$.
|
||||
|
||||
Restliche Eigenschaften, wie die Assoziativitaet oder Kommutativitaet werden vom Koerper der rationalen Zahlen $QQ$ vererbt.
|
||||
|
||||
Da sonst alle drei Bedingungen erfüllt sind, ist $V$ ein Untervektorraum von
|
||||
$bb(Q)^3$.
|
||||
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $V = angle.l {(2, -7, 0), (0, 3, 2), (1, 1, 3)} angle.r$ ist.
|
||||
|
||||
*Loesung* in Papierform.
|
||||
|
||||
// Damit $V$ durch die drei Vektoren $r = vec(2, -7, 0), v = vec(0, 3, 2), w = vec(1, 1, 3)$ vollstaendig aufgespannt wird muessen die Vektoren Elemente von V sein.
|
||||
//
|
||||
// // Was wenn V nur 2dimensional ist?
|
||||
//
|
||||
// Fuer $r: 7 dot 2 + 2 dot -7 - 3 dot 0 = 14 - 14 = 0$
|
||||
//
|
||||
// Fuer $v: 7 dot 0 + 2 dot 3 - 3 dot 2 = 0 + 6 - 6 = 0$
|
||||
//
|
||||
// Fuer $w: 7 dot 1 + 2 dot 1 - 3 dot 3 = 7 + 2 - 9 = 0$
|
||||
//
|
||||
// Es gilt also $r, v, w, in V$.
|
||||
//
|
||||
// Da $w$ linear abhaengig von $v$ und $r$ ist muessen wir diesen nicht betrachten. Berechnen des Kreuzproduktes von $v$ und $r$ liefert:
|
||||
//
|
||||
// $ v times r = vec(7, 2, -3) $
|
||||
//
|
||||
// Deshalb wird die Gesamte Ebene $V$ durch die Vektoren aufgespannt.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
+ Ist die Menge
|
||||
|
||||
$ W = {(x_1, x_2, x_3) in QQ^3: 7x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 1} $
|
||||
|
||||
ein Untervektorraum von $QQ^3$?
|
||||
|
||||
Zuerst pruefe ich ob das neutrale Element in $W$ enthalten ist durch einsezten von $vec(0, 0, 0)$ in das Aussonderungsaxiom der Menge:
|
||||
|
||||
$ 7 dot 0 + 2 dot 0 - 3 dot 0 = 0 != 1 $
|
||||
|
||||
So kann $W$ kein Untervektorraum von $QQ^3$ sein, da diese Menge kein neutrales Element enthaelt.
|
||||
|
||||
226
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel04.typ
Normal file
226
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel04.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,226 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "4")
|
||||
|
||||
= Basis von Vektorraeumen
|
||||
|
||||
Sei $V$ ein $RR$-Vektorraum und $b_1, b_2, b_3, b_4$ eine Basis von $V$. Definiere
|
||||
|
||||
$ v_1 = b_1 + 2b_2 + b, $
|
||||
$ v_2 = 2b_1 + b_3 + b_4 , $
|
||||
$ v_3 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 , $
|
||||
$ v_4 = b_2 + b_3 + b_4 , $
|
||||
$ w = 2b_1 − b_3 . $
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $v_1, v_2, v_3, v_4$ eine Basis von $V$ ist.
|
||||
|
||||
*Abgabe in Papierform.*
|
||||
|
||||
// Jede Basis von $V$ kann durch Kombination von $v_i$ dargestellt werden.
|
||||
//
|
||||
// $ b_1 = v_3 - v_4 \
|
||||
// b_2 = v_4 - v_2 + 2 b_1 \
|
||||
// b_3 = v_4 - b_2 - b_4 \
|
||||
// b_4 = v_1 - b_1 - 2 b_2 $
|
||||
//
|
||||
// Es gilt $dim(V) = 4$. Angenommen, $dim(angle.l v_1, v_2, v_3, v_4 angle.r) = n != dim(V)$. Falls $n > dim(V)$, dann steht dies im Widerspurch zu der Annahme, dass $v_i$ nur durch 4 Basisvektoren konstruiert werden koennen.
|
||||
//
|
||||
//TODO Zweiter FALL
|
||||
//
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
+ Definiere die beiden Unterräume $U_1 = ⟨{v_1, v_2, v_3}⟩$ und $U_2 = ⟨{v_4, w}⟩$.
|
||||
|
||||
Bestimmen Sie jeweils eine Basis von $U_1 ∩ U_2$ und $U_1 + U_2$.
|
||||
|
||||
*Abgabe in Papierform.*
|
||||
//$A = U_1 + U_2 := {a, b: a in U_1, b in U_2}$
|
||||
|
||||
//$BB_A = {v_1, v_2, v_3, v_4, w}$, da alle 5 Vektoren linear unabhaengig sind.
|
||||
|
||||
//$B= U_1 sect U_2$
|
||||
|
||||
//Aufstellen einer Matrix:
|
||||
|
||||
//$ mat(2, 0, 1, 2, 1, 0; 0, 1, 1, 0, 2, 0; -1, 1, 1, 1, 0, 0; 0, 1, 1, 1, 1, 0) $
|
||||
|
||||
//Dies ergibt folgenden Loesungsvektor:
|
||||
|
||||
//$ X = vec(1, 1, -1, 1, 1) $
|
||||
|
||||
//Also folgt: $BB_B = {(2, 1, 0, 1)}$
|
||||
|
||||
|
||||
= Lineare Unabhaengigkeit
|
||||
|
||||
Im $QQ^4$ definieren wir die Vektoren
|
||||
|
||||
$ v_1 = (1, 0, 0, 1), v_2 = (1, 2, 3, 4), v_3 = (4, 3, 2, 1), v_4 = (0, 1, 1, 0), $
|
||||
|
||||
$ w_1 = (1, 2, 1, 2), w_2 = (−1, 0, 1, 0), w_3 = (0, 1, 0, 1) "und" w_4 = (1, 1, 1, −1). $
|
||||
|
||||
Entscheiden Sie jeweils, ob die $v_i$ bzw. $w_i$ linear unabhängig sind.
|
||||
|
||||
*Abgabe in Papierform.*
|
||||
|
||||
//Aufstellen einer Matrix:
|
||||
//
|
||||
//$ M_v = mat(1, 0, 0, 1; 1, 2, 3, 4; 4, 3, 2, 1; 0, 1, 1, 0) M_w = mat(1, 2, 1, 2; -1, 0, 1, 0; 0, 1, 0, 1; 1, 1, 1, -1) $
|
||||
//
|
||||
//Ermitteln der Determinanten:
|
||||
//
|
||||
//#image("Media/mat_v.png")
|
||||
//#image("Media/mat_w.png")
|
||||
//
|
||||
//$therefore$ Die $v_i$ sind nicht linear unabhaengig, wohingegen die $w_i$ linear unabhaengig sind.
|
||||
//
|
||||
= Vektorraum von Funktionen
|
||||
|
||||
Sei $KK$ ein Körper und $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f : KK → KK$.
|
||||
|
||||
Definiere $U_1 = {f ∈ V | f (x) = f (−x)}$ und $U_2 = {f ∈ V | f (x) = −f (−x)}$.
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $U_1$ und $U_2$ Unterräume von $V$ sind.
|
||||
|
||||
Ein Unterraum $U subset.eq V$ braucht drei Eigenschaften:
|
||||
|
||||
1. $f (x) = 0 in U$ .
|
||||
2. $f , g in U: f + g in U$.
|
||||
3. $f in U, lambda in K: lambda f in U$.
|
||||
|
||||
== $U_1 = { f in V divides f (x) = f (- x) }$
|
||||
|
||||
Nullfunktion: $f (x) = 0$ gehört zu $U_1$, da $0 = 0, quad forall x in K$ gilt.
|
||||
|
||||
Abg. unter Addition: Für $f , g in U_1$ gilt:
|
||||
|
||||
$ (f + g) (x) = f (x) + g (x) $ <sum1>
|
||||
|
||||
$ (f + g) (- x) = f (- x) + g (- x) $ <sum2>
|
||||
|
||||
$ therefore f (x) = f (- x) and g (x) = g (- x) &==>^(#[@sum1, @sum2]) (f + g) (x) = (f + g) (- x) \
|
||||
&<==>^("Def.") f + g in U_1 $
|
||||
|
||||
Abg. unter sk. Mult. : Für $f in U_1$ und $lambda in K$ gilt:
|
||||
|
||||
$ (lambda f) (x) = lambda f (x) $
|
||||
|
||||
$ (lambda f) (- x) = lambda f (- x) $
|
||||
|
||||
$ therefore f(x ) = f(-x) ==> (lambda f) (x) = (lambda f) (- x) <==> lambda f in U_1 $
|
||||
|
||||
Damit ist $U_1$ ein Unterraum.
|
||||
|
||||
== $U_2 = { f in V divides f (x) = - f (- x) }$
|
||||
|
||||
Nullfunktion: $f (x) = 0$ gehört zu $U_2$, da $0 = - 0, quad forall x in K$ gilt.
|
||||
|
||||
Abg. unter Addition: Für $f , g in U_2$ gilt:
|
||||
|
||||
$ (f + g) (x) = f (x) + g (x) $
|
||||
|
||||
$ (f + g) (- x) = f (- x) + g (- x) $
|
||||
|
||||
$ f (x) = - f (- x) and g (x) = - g (- x) $
|
||||
|
||||
$ therefore (f + g) (- x) = - f (x) - g (x) = - (f (x) + g (x)) = - (f + g) (x) <==> f + g in U_2 $
|
||||
|
||||
Abg. unter sk. Mult.: Für $f in U_2$ und $lambda in K$ gilt:
|
||||
|
||||
$ (lambda f) (x) = lambda f (x) $
|
||||
|
||||
$ (lambda f) (- x) = lambda f (- x) $
|
||||
|
||||
$ f (x) = - f (- x) $
|
||||
|
||||
$ therefore (lambda f) (- x) = - lambda f (x) = - (lambda f) (x) <==> lambda f in U_2 $
|
||||
|
||||
Damit ist $U_2$ ein Unterraum.
|
||||
|
||||
////////////////////////////////////////////////////
|
||||
|
||||
+ Angenommen in $KK$ gilt $-1 != 1$. Zeigen Sie, dass $V = U_1 ⊕ U_2$ ist.
|
||||
|
||||
Die Bedingung $V = U_1 xor U_2$ bedeutet:
|
||||
+ $V = U_1 + U_2 <==> f = f_1 + f_2, f_1 in U_1 and f_2 in U_2$.
|
||||
|
||||
|
||||
+ $U_1 sect U_2 = { 0 }$
|
||||
|
||||
Für $f in V$, definiere:
|
||||
|
||||
$ f_1 (x) = frac(f (x) + f (- x), 2) , quad f_2 (x) = frac(f (x) - f (- x), 2) . $
|
||||
|
||||
Es gilt:
|
||||
|
||||
$ f_1 (- x) = frac(f (- x) + f (x), 2) = frac(f (x) + f (- x), 2) = f_1 (x) ==> f_1 in U_1 $
|
||||
|
||||
$ f_2 (- x) = frac(f (- x) - f (x), 2) = - frac(f (x) - f (- x), 2) = - f_2 (x) ==> f_2 in U_2 $
|
||||
|
||||
$ f_1 (x) + f_2 (x) = frac(f (x) + f (- x), 2) + frac(f (x) - f (- x), 2) = f (x) $
|
||||
|
||||
Damit ist $V = U_1 + U_2$.
|
||||
|
||||
Sei $f in U_1 sect U_2$.
|
||||
|
||||
Dann gilt:
|
||||
|
||||
$ f (x) = f (- x) quad upright("und") quad f (x) = - f (- x) . $
|
||||
|
||||
$ f (x) = - f (x) arrow.r.double.long 2 f (x) = 0 . $
|
||||
|
||||
$ - 1 eq.not 1 <==> 0 eq.not 2 ==> f (x) = 0, forall x in K <==> f = 0 $
|
||||
|
||||
Da beide Bedingungen erfüllt sind, folgt: $V = U_1 xor U_2$.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
= Polynome
|
||||
Sei $KK$ ein Körper und $f ∈ K[X]$ gegeben durch
|
||||
|
||||
$ f(X) = sum_(j=0)^n a_j X_j $
|
||||
|
||||
mit $n >= 1 "und" a_n != 0$.
|
||||
|
||||
Zeigen Sie: Zu einem $c ∈ KK$ gibt es genau dann ein Polynom $g ∈ K[X]$ mit
|
||||
|
||||
$ f = (X − c)g , $
|
||||
|
||||
wenn gilt
|
||||
|
||||
$ f(c) = sum_(j=0)^n a_j c_j = 0 $
|
||||
|
||||
|
||||
// [=>]
|
||||
+ Angenommen $f = (X -c)g$. Dann gilt:
|
||||
|
||||
$ f(c) = (c-c)g = 0 quad checkmark $
|
||||
|
||||
+ Angenommen $f(c) = 0$.
|
||||
|
||||
Sei $X = Y + c <==> Y = X - c$.
|
||||
|
||||
$ f &= sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j $
|
||||
|
||||
Falls $Y=0$, dann gilt:
|
||||
|
||||
$ f &= sum_(j=0)^n a_j c^j = 0 = 0g $
|
||||
|
||||
nach Vorraussetzung.
|
||||
|
||||
Sonst gilt:
|
||||
|
||||
$ f &= sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j = sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j - a_j c^j + a_j c^j \
|
||||
&= sum_(j=0)^n a_j (Y+c)^j - a_j c^j + underbrace(sum_(j=0)^n a_j c^j, f(c) = 0) $
|
||||
|
||||
Wobei in der expandierten Form von $(Y+c)^j$ nach dem Binomial Satz, jeder Summand den Faktor $Y$ entaehlt, ausser $c^j$, was sich hier aber kuerzt.
|
||||
|
||||
Da jeder Summand von $f$ den Faktor $Y = X - c$ mindestens einmal enthaelt ist $f$ restlos durch $X - c$ teilbar. Damit laesst sich $f$ wie folgt schreiben:
|
||||
|
||||
$ f = (X-c)g <==> g = f/(X-c) quad checkmark $
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
232
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel05.typ
Normal file
232
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel05.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,232 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "5")
|
||||
|
||||
= $CC$-Vektorraum
|
||||
|
||||
Betrachte den $CC$-Vektorraum $V = CC^4$ und
|
||||
|
||||
$ w_1 = (1, i, 0, −i), w_2 = (i, 1, 0, i), w_3 = (0, −2i, 0, i + 1) in CC^4 . $
|
||||
|
||||
Sei $W = ⟨{w_1, w_2, w_3}⟩$. Bestimmen Sie einen zu $W$ komplementären Unterraum vom $V$ und geben Sie jeweils eine Basis von $U$ und $W$ an.
|
||||
|
||||
*Abgabe in Papierform*.
|
||||
|
||||
//$ W_B = angle.l {w_1, w_2} angle.r $
|
||||
//
|
||||
//$ U_B = angle.l {(0, 0, 1 ,0), (i - 1, 1 - i, 0, 2)} angle.r $
|
||||
//
|
||||
//Es gilt:
|
||||
//
|
||||
//$ V = W plus.circle U $
|
||||
//
|
||||
//was aus der linearen Unabhaengigkeit von den Basisvektoren von $W$ und $U$ folgt und da
|
||||
//
|
||||
//$ dim(V) = dim(W) + dim(U) = 4 . $
|
||||
|
||||
= Komplementaere Unterraeume
|
||||
|
||||
Sei $K$ ein Körper und $V$ ein K-Vektorraum mit $m$ Unterräumen $W_1, . . . , W_m ⊂V$.
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
|
||||
|
||||
#enum(numbering: "(i)",
|
||||
enum.item(1)[Es gilt $V = W_1 ⊕. . . ⊕W_m$.],
|
||||
enum.item(2)[Für jedes $v ∈V$ gibt es eindeutige $w_1 ∈W_1, . . . , w_m ∈W_m "mit" v = w_1 + . . . + w_m$. ])
|
||||
|
||||
|
||||
Angenommen (i). Dann folgt:
|
||||
|
||||
Also ist hier die Null auf genau eine Weise darstellbar:
|
||||
|
||||
$ 0 = w_1 + w_2 + ... <==> 0 = 0 + 0 ... $ <null>
|
||||
|
||||
|
||||
Sei $v in V$.
|
||||
|
||||
$ v = w_1 + w_2 + ... = w'_1 + w'_2 + ... \
|
||||
<==> 0 = (w_1 - w'_1) + (w_2 - w'_2) + ... $
|
||||
|
||||
Nach @null muss also $w_i = w'_i$, wodurch die Darstellung von $v$ eindeutig ist.
|
||||
|
||||
Angenommen (ii). Dann gilt:
|
||||
|
||||
$ v = w_1 + . . . + w_m <==> V = W_1 plus ... plus W_m . $ <comp>
|
||||
|
||||
Sei $A(n) :<==> U = W_1 + ... + W_(n), O = W_(n+1) + ... + W_m: U plus.circle O$
|
||||
|
||||
Induktionsanfang (IA): Sei $V$ wie hier mit $n=1$ folgt:
|
||||
|
||||
$ underbrace(W_1, U) plus underbrace(W_2 plus ... plus W_(m), O) = V $
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Sei nun $v in U sect O$, dann folgt:
|
||||
|
||||
$ v = u_1 = o_m $
|
||||
|
||||
Da $v$ jedoch eindeutig dargestellt werden muss, folgt $u_1 = o_m = 0$.
|
||||
|
||||
Also ist:
|
||||
|
||||
$ U_1 sect W_m = 0 ==>^("mit" #[@comp]) U_1 plus.circle W_m $
|
||||
|
||||
|
||||
Induktionshypothese (IH): Angenommen A(n), fuer $n in N$.
|
||||
|
||||
Induktionsschritt (IS): Nun gilt es zu zeigen, dass A(n+1) auch gilt.
|
||||
|
||||
...
|
||||
|
||||
*Der Rest ist in Papierform*
|
||||
|
||||
|
||||
+ Ist die folgende Aussage ebenfalls äquivalent zu den ersten beiden? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
|
||||
|
||||
(iii) Es gilt $V = W_1 + . . . + W_m$ und $W_i ∩ W_j = {0}$ für alle $1 ≤i < j ≤m$.
|
||||
|
||||
Gegenbeispiel:
|
||||
|
||||
$ V = RR^2, quad W_1 = angle.l (0, 1) angle.r , angle.l (1, 0) angle.r, angle.l (1, 1) angle.r $
|
||||
|
||||
Dann gilt:
|
||||
|
||||
$ V = W_1 + W_2 \
|
||||
sect.big W_i = 0 $
|
||||
|
||||
da $W_1$ und $W_2$ linear unabhaengig sind und sich die drei Geraden im Ursprung schneiden.
|
||||
|
||||
Sei $v = (1, 1)$, dann folgt:
|
||||
|
||||
$ v = w_1 + w_2 = w_3 = vec(1, 0) + vec(0, 1) = vec(1, 1) $
|
||||
|
||||
Also ist die Darstellung von $v in V$ nicht eindeutig.
|
||||
|
||||
= Projektionen
|
||||
|
||||
Sei $K$ ein Körper und $V$ ein K-Vektorraum.
|
||||
Angenommen $ϕ: V →V$ ist eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft $ϕ ◦ϕ = ϕ$ <2b1> .
|
||||
|
||||
Zeigen Sie, dass es zwei Untervektorräume $W_1, W_2 ⊂V$ mit $V = W_1 ⊕W_2$ gibt, sodass die Gleichungen $ϕ(w_1) = w_1$ für alle $w_1 ∈W_1$ und $ϕ(w_2) = 0$ für alle $w_2 ∈W_2$ gelten.
|
||||
|
||||
Setze folgenden UVR von $V$:
|
||||
|
||||
$ W_1 = im(phi.alt), quad W_2 = ker(phi.alt) $
|
||||
|
||||
Nun gilt fuer $v in V$:
|
||||
|
||||
|
||||
$ phi.alt(phi.alt(v)) &=^(#[@2b1]) phi.alt(v) \
|
||||
<==> phi.alt(phi.alt(v)) - phi.alt(v) &= 0 \
|
||||
<==>^("lin.") phi.alt(phi.alt(v) - v) &= 0 $
|
||||
|
||||
Also folgt:
|
||||
|
||||
$ k &= phi.alt(v) - v, quad k in ker(phi.alt) \
|
||||
<==> v &= phi.alt(v) - k, quad k in W_2, quad phi.alt(v) in W_1 $
|
||||
|
||||
Da $v$ beliebig war, gilt: $V = W_1 + W_2$.
|
||||
|
||||
Sei $x in W_1 sect W_2$.
|
||||
|
||||
Dann gilt:
|
||||
|
||||
$ x in W_1 &==> phi.alt(x) = x \
|
||||
x in W_2 &==> phi.alt(x) = 0 \
|
||||
therefore x &= 0 $
|
||||
|
||||
Da $x$ beliebig war, folgt: $W_1 sect W_2 = 0$.
|
||||
|
||||
Also ist $V = W_1 plus.circle W_2$. Die Eigenschaften von $phi.alt$ gelten nach Konstruktion.
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
= Fibonacci
|
||||
|
||||
Sei $V := {(a_i)_(i∈N) : a_i ∈R}$ der R-Vektorraum aller reellen Folgen.
|
||||
|
||||
Wir definieren die lineare Abbildung $ϕ$ durch
|
||||
|
||||
$ ϕ: V →V, (a_1, a_2, a_3, . . .) |-> (a_2, a_3, . . .) . $
|
||||
|
||||
Definiere nun
|
||||
|
||||
$ psi = ϕ ◦ϕ −ϕ − id(V) . $ <fib>
|
||||
|
||||
+ Bestimmen Sie die Dimension von $ker(ψ)$.
|
||||
|
||||
Zuerst bestimme ich den Kern von $psi$:
|
||||
|
||||
$ ker(psi) = {v in V: psi(v) = 0 <==> phi(phi(v)) - phi(v) - v = 0} $
|
||||
|
||||
Die Funktion $phi$ verschiebt alle Elemente von $v in V$ um einen Index nach links.
|
||||
|
||||
Aus der Definition von $phi$ folgt, dass folgendes gelten muss:
|
||||
|
||||
$ forall k in ker(psi): k_n = k_(n-1) + k_(n-2), quad n > 2 $ <ker>
|
||||
|
||||
Also gilt: Damit ein $v in V$ im Kern von $psi$ liegt muessen alle Elemente durch die ersten Beiden eindeutig bestimmt sein.
|
||||
|
||||
Eine moegliche Basis fuer den Kern ist:
|
||||
|
||||
$ bold(b'_1) = (1, 0, a_3, a_4, ...) \
|
||||
bold(b'_2) = (0, 1, a_3, a_4, ...) $
|
||||
|
||||
Diese Basisvektoren sind linear unabhaengig und jedes Element laesst sich durch Linearkombination dieser beiden Vektoren darstellen.
|
||||
|
||||
Da sich der Kern durch zwei Basisvektoren darstellen laesst, folgt:
|
||||
|
||||
$ dim(ker(psi)) = 2 $
|
||||
|
||||
+ Finden Sei eine Basis $b_1, . . . , b_m$ von ker(ψ), die die Form $b_i = (α_i, α_i^2 , α_i^3 , . . .)$ für reelle Zahlen $α_1, . . . , α_m$ hat.
|
||||
|
||||
Jeder Basisvektor vom Kern muss im Kern liegen, also:
|
||||
|
||||
$ alpha^n = alpha^(n-1) + alpha^(n-2), quad forall n > 2 $
|
||||
|
||||
Hier waehlen wir $n=2$ o.E.d.A, da wir die Gleichung immer durch $alpha^t$ teilen koennen, da $alpha != 0$, da der Nullvektor kein Basisvektor vom Kern sein kann.
|
||||
|
||||
Wir wollen also die folgende Gleichung loesen:
|
||||
|
||||
$ alpha^2 - alpha - 1 = 0 $
|
||||
|
||||
Nach der Lösungsformel für die allgemeine quadratische Gleichung folgt fuer $alpha$:
|
||||
|
||||
$ alpha = (1+ sqrt(5))/2, quad dash(alpha) = (1- sqrt(5))/2 $
|
||||
|
||||
Da der Kern zweidimensional ist und $bold(b_1)$ und $bold(b_2)$ linear unabhaengig sind, folgt:
|
||||
|
||||
Also folgt fuer diese spezifische Basis von $ker(psi)$:
|
||||
|
||||
$ bold(b)_1 = (alpha, alpha^2, alpha^3, ...), quad bold(b)_2 = (dash(alpha), dash(alpha)^2, dash(alpha)^3, ...) $
|
||||
|
||||
+ Sei die Fibonacci-Folge $(F_n)_(n∈N)$ definiert durch: $F_1 = 1, F_2 = 1, F_(n+2) = F_(n+1) + F_n$ für alle $n ∈N$. Zeigen Sie, dass $F_n ∈ker(ψ)$ liegt und schreiben Sie $(F_n)$ als Linearkombination ihrer Basis $b_1, . . . , b_m$.
|
||||
|
||||
$ F_(n+2) &= F_(n+1) + F_n \
|
||||
<==> F_(n) &= F_(n-1) + F_(n-2), forall n > 2 $
|
||||
|
||||
Damit liegt $F_n$ nach @ker im Kern von $psi$.
|
||||
|
||||
Wir wissen, dass $F_1 = 1$ und $F_2 = 1$, wodurch $F_((0)) = 0$ sein muesste.
|
||||
Ermitteln von $c_1, c_2$, durch einsetzen in die bekannte Gleichung fuer ein Element des Kerns:
|
||||
|
||||
$ 0 &= c_1 ((1+ sqrt(5))/2)^0 + c_2 ((1- sqrt(5))/2)^0 <==> c_1 = - c_2 \
|
||||
1 &= c_1 (1+ sqrt(5))/2 + c_2 (1- sqrt(5))/2 \
|
||||
<==> 1 &= c_2 (1- sqrt(5))/2 - c_2 (1+ sqrt(5))/2 <==> 1 = (-2 sqrt(5))/2 c_2 ==> c_2 = -1/sqrt(5) \
|
||||
therefore &underline(c_2 &= -1/sqrt(5)) = - c_1 ==> underline(c_1 = 1/sqrt(5)) $
|
||||
|
||||
Also:
|
||||
|
||||
$ (F_n) = 1/sqrt(5) bold(b)_1 - 1/sqrt(5) bold(b)_2 $
|
||||
|
||||
+ Bestimmen Sie eine Formel $F_n = sum^m_(i=1) c_i alpha_i^n$ , mit der die Fibonacci-Folge direkt berechnet werden kann.
|
||||
|
||||
Wir wissen aus den Vorherigen Aufgabenteilen alles um eine geschlossene Form fuer die Fibonaccifolge aufzuschreiben.
|
||||
|
||||
Wir muessen nur das Element der beiden Basisvektoren an $n$ Stelle ermitteln, was wir durch die Eigenschaft der Basisvektoren von Aufgabenteil b) tun koennen.
|
||||
|
||||
|
||||
Also ergibt sich die geschlossene Formel als:
|
||||
|
||||
#rect($ F_n = 1/sqrt(5) ((1+ sqrt(5))/2)^n - 1/sqrt(5) ((1- sqrt(5))/2)^n $)
|
||||
361
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel06.typ
Normal file
361
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel06.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,361 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "6")
|
||||
|
||||
#import "@preview/pavemat:0.1.0": pavemat
|
||||
|
||||
= Vektorraeume
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass die Menge
|
||||
|
||||
$ V := {x+y sqrt(2) | x, y in QQ} $
|
||||
|
||||
mit der Addition auf $RR$ und der durch
|
||||
|
||||
$ lambda dot (x + y sqrt(2)) := lambda x + lambda y sqrt(2) $
|
||||
|
||||
definierten Multiplikation mit Skalaren zu einem Vektorraum ueber $QQ$ wird und bestimmen Sie die Dimension von $V$.
|
||||
|
||||
Eigenschaften wie Distributivitaet und Assoziativitaet werden von $QQ$ vererbt.
|
||||
|
||||
Seien $v, w in VV$ und $lambda in QQ$.
|
||||
|
||||
$ v + w &= (a + b sqrt(2)) + (c + d sqrt(2)) \
|
||||
&= a + c + b sqrt(2) + d sqrt(2) \
|
||||
&= x + (b + d) sqrt(2) \
|
||||
&= x + y sqrt(2) in V $
|
||||
|
||||
da $a+c in QQ$ ud $b+d in QQ$.
|
||||
|
||||
$ lambda dot v &= lambda dot (x + y sqrt(2)) \
|
||||
&= lambda x + lambda y sqrt(2) in QQ $
|
||||
|
||||
da $lambda x in QQ$ und $lambda y in QQ$
|
||||
|
||||
Da $1$ und $sqrt(2)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
|
||||
|
||||
$ dim(V) = 2 $
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $V$ mit der Multiplikation auf $RR$ ein Koerper ist.
|
||||
|
||||
Es gilt zu zeigen:
|
||||
|
||||
*Addition*:
|
||||
|
||||
- Kommutative Addition
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Assoziative Addition
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Inverses der Addition
|
||||
|
||||
Sei $v = a + b sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
$ v + v' = 0 => v' &= -v \
|
||||
&= -(a + b sqrt(2)) \
|
||||
&=^(#[@dist]) underline(underline(-a - b sqrt(2))) $
|
||||
|
||||
- Neutrales der Addition
|
||||
|
||||
Das Neutrale ist hier $0 + 0 sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
*Multiplikation*:
|
||||
|
||||
- Kommutative Multiplikation
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Assoziative Multiplikation
|
||||
|
||||
_Wird vererbt_
|
||||
|
||||
- Inverses der Multiplikation
|
||||
|
||||
Sei $v = a + b sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
$ v v' = 1 => v' &= 1/v \
|
||||
&= 1/(a + b sqrt(2)) = (a - b sqrt(2))/((a + b sqrt(2))(a-b sqrt(2)))\
|
||||
&= (a - b sqrt(2))/(a^2 + 2 b^2) \
|
||||
&= underline(underline(underbrace(a/(a^2 + 2 b^2), c in QQ) - (b )/underbrace(a^2 + 2 b^2, d in QQ)sqrt(2))) $
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
- Neutrales der Multiplikation
|
||||
|
||||
Das Neutrale ist hier $1 + 0 sqrt(2)$.
|
||||
|
||||
*Distributivitaet*:
|
||||
|
||||
$ (x + y sqrt(2)) (z + u sqrt(2)) &= x z + 2y u + x u sqrt(2) + z y sqrt(2) \
|
||||
&= 2y u + x z + (x u + z y)sqrt(2) \
|
||||
&= a + b sqrt(2)
|
||||
$ <dist>
|
||||
|
||||
Wobei $a = 2y u + x z in QQ$ und $b = x u + z y in QQ$.
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
+ Sei $W$ der von $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ in $RR$ erzeugte $QQ$-Vektorraum. Bestimmen Sie die Dimension. Zeigen Sie, dass $W$ auch ein Vektorraum ueber dem Koerper $V$ aus Teil (b) ist. Bestimmen Sie wieder die Dimensionen.
|
||||
|
||||
Unabhaengigkeit der Basen von $W$ zeigen:
|
||||
|
||||
Es muss gelten (mit $a, b, c, d in QQ$ und $a b c d != 0$):
|
||||
|
||||
$ a + b sqrt(2) + c sqrt(3) + d sqrt(6) = 0 \
|
||||
b sqrt(2) + c sqrt(3) = -1 dot (d sqrt(6) + a) \
|
||||
2 b^2 + 3 c^2 + 2 b c sqrt(6) = 6 d^2 + a^2 + 2 a d sqrt(6) \
|
||||
2 b c sqrt(6) - 2 a d sqrt(6) = - (2 b^2 + 3 c^2) + 6 d^2 + a^2 \
|
||||
sqrt(6) (2 b c - 2 a d ) = 6 d^2 + a^2 - (2 b^2 + 3 c^2) \
|
||||
sqrt(6) = (6 d^2 + a^2 - (2 b^2 + 3 c^2))/(2 b c - 2 a d ) =: l \
|
||||
$ <lind>
|
||||
|
||||
damit die Basen voneinander linear unabhaengig sind.
|
||||
|
||||
Da $QQ$ ein Koerper ist, gilt $l in QQ$. Somit muss $sqrt(6) in QQ$ damit die Gleichung eine Loesung hat.
|
||||
|
||||
Angenommen $sqrt(6) = p/q$, wobei $p, q$ teilerfremde positive natuerliche Zahlen sind.
|
||||
|
||||
Die Quadratwurzel von 6 kann keine natuerliche Zahl sein, da $4 < 6 < 9 => 2 < sqrt(6) < 3$.
|
||||
|
||||
$ sqrt(6) = p/q \
|
||||
6 q = p^2/q $
|
||||
|
||||
wobei $6 q in NN$. Es gilt $p^2/q in.not NN$, da sie teilerfremd sind $arrow.zigzag$.
|
||||
|
||||
Es folgt also $sqrt(6) in.not QQ$. Also kann @lind nicht geloest werden.
|
||||
|
||||
Da so $1, sqrt(2), sqrt(3)$ und $sqrt(6)$ linear unabhaengig sind (ueber $QQ$) folgt:
|
||||
|
||||
$ dim(W_QQ) = 4 $
|
||||
|
||||
Wenn wir nun $V$ als unseren Koerper betrachten, dann faellt direkt auf, dass $1 "und" sqrt(2)$ nicht mehr linear unabhaengig sind, da ($a + b sqrt(2), c + d sqrt(2) in V$):
|
||||
|
||||
$ a + b sqrt(2) &= (c + d sqrt(2)) sqrt(2) \
|
||||
&= 2 d + c sqrt(2) $
|
||||
|
||||
Auch sind $sqrt(3), sqrt(6)$ voneinander linear abhaengig:
|
||||
|
||||
$ sqrt(3)(a + b sqrt(2)) &= sqrt(6) (c + d sqrt(2)) \
|
||||
a sqrt(3) + b sqrt(6) &= 2 d sqrt(3) + c sqrt(6) $
|
||||
|
||||
Das gleiche laesst sich auch beim Einsetzen der Eigenschaften von $v in V$ und unter Betrachtung des ersten Teilergebnisses erkennen ($lambda_i in V$):
|
||||
|
||||
$ lambda_1 + lambda_2 sqrt(2) + lambda_3 sqrt(3) + lambda_4 sqrt(6) \
|
||||
<==> undershell((a_1 + a_2 sqrt(2)) + (2 b_1 + b_2 sqrt(2)), #[lin. abh.]) + undershell((c_1 sqrt(3) + c_2 sqrt(6)) + ( 2 d_1 sqrt(3) + d_2 sqrt(6)), #[lin. abh.]) $
|
||||
|
||||
Nach dem Selben Argument wie oben sind die beiden Bloecke, durch betrachten der jeweiligen Bassen, voneinander linear unabhaengig.
|
||||
|
||||
Es folgt also:
|
||||
|
||||
$ dim(W_V) = 2 $
|
||||
|
||||
= Gleichungssystem
|
||||
|
||||
Loesen Sie das folgende lineare Gleichungssystem
|
||||
|
||||
$ x+y &=-1 \
|
||||
-x + y &= -1 \
|
||||
x+y -z &= 0 $
|
||||
|
||||
sowohl ueber dem koerper $QQ$ als auch ueber dem Koerper $FF_3$.
|
||||
|
||||
Zuerst wird als Koerper $QQ$ angenommen.
|
||||
|
||||
Umformen in eine Matrix mit Loesungsspalte:
|
||||
|
||||
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; -1, 1, 0, -1; 1, 1, -1, 0; augment: #(-1)) $
|
||||
|
||||
Gaussverfahren anwenden:
|
||||
|
||||
#grid(columns: 4,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 1, -2, 1; augment: #(-1)) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $,
|
||||
)
|
||||
|
||||
Loesungsmatrix:
|
||||
|
||||
$ mat(1, 0, 0, 0; 0, 1, 0, -1; 0, 0, 1, -1; augment: #(-1)) $
|
||||
|
||||
Es folgt also:
|
||||
|
||||
$ x &= 0 \
|
||||
y &= -1 \
|
||||
z &= -1 $
|
||||
|
||||
Definiere den Koerper $FF_3 = {0, 1, 2}$.
|
||||
|
||||
Betrachten Matrix (Welche mit dem Gaussverfahren bistimmt wurde):
|
||||
|
||||
$ mat(1, 0, 1, -1; 0, 1, 1, -2; 0, 0, -3, 3; augment: #(-1)) $,
|
||||
|
||||
Hier duerfen wir nicht durch 3 teilen, da $3 = 0$ in $FF_3$ gilt.
|
||||
|
||||
Also machen wir eine Fallunterscheidung fuer $z$:
|
||||
|
||||
Auch kann $z$ jeden Wert annehmen, da
|
||||
|
||||
$ -3 dot 0 = 0 \
|
||||
-3 dot 1 = 0 \
|
||||
- 3 dot 2 = 0 $
|
||||
|
||||
Fall 1: ($z = 0$)
|
||||
|
||||
Es muss gelten:
|
||||
|
||||
$ x = -1 = 2 \
|
||||
y = -2 = 1 $
|
||||
|
||||
Fall 2: ($z = 1$)
|
||||
|
||||
$ x + 1 = -1 = 2 => x = 1 \
|
||||
y + 1 = -2 = 1 => y = 0 $
|
||||
|
||||
Fall 3: ($z = 2$)
|
||||
|
||||
$ x + 2 = -1 = 2 => x = 0 \
|
||||
y + 2 = -2 = 1 => y = 2 $
|
||||
|
||||
|
||||
Die Loesungsmenge ist hier also:
|
||||
|
||||
$ LL = {(0, 2, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} $
|
||||
|
||||
= Matrix invertieren
|
||||
|
||||
Ist die Matrix $A in QQ^(4 times 4)$ mit $A = mat(1, 1, 0, 1; 0, 1, 0, 3; -1, 0, 1, 2; 0, 1, 1, 4)$ invertierbar?
|
||||
|
||||
Benutzen Sie nur die Hilfsmittel die einschliesslich der Vorlesung vom 29.1 zur Verfuegung stehen.
|
||||
|
||||
Bijektive Umformungen mit dem Gaussverfahren:
|
||||
|
||||
#grid(
|
||||
columns: 2,
|
||||
row-gutter: 10pt,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
-1, 0, 1, 2;
|
||||
0, 1, 1, 4) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
0, 1, 1, 3;
|
||||
0, 1, 1, 4) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 1, 1) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 3;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 0, 1) $,
|
||||
$ mat(1, 1, 0, 1;
|
||||
0, 1, 0, 0;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 0, 1) $,
|
||||
$ mat(1, 0, 0, 0;
|
||||
0, 1, 0, 0;
|
||||
0, 0, 1, 0;
|
||||
0, 0, 0, 1) $,
|
||||
)
|
||||
|
||||
Da der $A$ eine $4 times 4$ Matrix ist und einen Rank von $4$ hat, ist $A$ invertierbar.
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
= Polynome II
|
||||
|
||||
Sei $V_n := {f in K[X]: deg(f) <= n}$ die Menge der Polynome von Grad hoechstens $n$ ueber einem Koerper $K$.
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $V_n$ ein Untervektorraum der Dimension $n+1$ von $K[X]$ ist.
|
||||
|
||||
Pruefen der Eigenschaften fuer einen Unterraum:
|
||||
|
||||
Abgeschlossenheit unter Addition:
|
||||
|
||||
Seien $f, g in V_n$, also $deg(f), deg(g) <= n$.
|
||||
|
||||
Nun gilt:
|
||||
|
||||
$ deg(f+g) = max({deg(f), deg(g)}) <= n ==> f+g in V_n $
|
||||
|
||||
Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation:
|
||||
|
||||
Fuer $c in K$ und $c != 0$, gilt:
|
||||
|
||||
$ deg(c f ) = deg(f) ==> c f in V_n $
|
||||
|
||||
Das Nullpolynom ist in $V_n$ enthalten, da
|
||||
|
||||
$ deg(0) = 0 <= n, quad forall n in NN $
|
||||
|
||||
Eine Basis von $V_n$ ist gegeben durch:
|
||||
|
||||
$ B_(V_n) = {X^0, X^1, X^2, ... , X^n} $
|
||||
|
||||
Diese Basis hat $n+1$ Elemenente, weshalb die gilt:
|
||||
|
||||
$ dim(V_n) = n+1 $
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie weiter, dass die Abbildung
|
||||
|
||||
$ phi: V_n -> V_(n+2), quad f |-> (X^2 + 1)f $
|
||||
|
||||
eine lineare Abbildung ist.
|
||||
|
||||
Zuerst pruefen der ersten Eigenschaft:
|
||||
|
||||
Seien $f, g in V_n$ und $lambda in K$.
|
||||
|
||||
$ phi(f + g) &= (X^2 + 1)(f + g) \
|
||||
&= X^2 dot f + f + X^2 dot g + g \
|
||||
&= (X^2 + 1)f + (X^2 + 1)g \
|
||||
&= phi(f) + phi(g) $
|
||||
|
||||
$ lambda dot phi(f) &= lambda dot (X^2 + 1) dot f \
|
||||
&= (X^2 + 1) dot lambda f \
|
||||
&= phi(lambda f) $
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
Ein Polynom kann problemlos mit einem Skalar multipliziert werden.
|
||||
Auch ist die Multiplikation mit einem Anderen Polynom anderer Ordnung moeglich.
|
||||
|
||||
|
||||
+ In allen $V_n$ sei die Basis $X^0, X^1, ..., X^n$ gegeben.
|
||||
Ist $f=a_n X^n + ... + a_0 X^0$ und $(X^2 + 1)f = b_(n+2) X^(n+2) + ... + b_0 X^0$, dann ist durch $phi_n$
|
||||
auch eine Abbildung $Phi_n: K^(n+1) -> K^(n+3)$ mit
|
||||
|
||||
$ (a_0, a_1, ..., a_n) |-> (b_0, b_1, ..., b_(n+2)) $
|
||||
|
||||
gegeben. Zeigen Sie, dass $Phi_n$ linear ist und bestimmen Sie die zugehoerige Matrix.
|
||||
|
||||
Sei $f,g in V^n$ und $lambda in K$.
|
||||
|
||||
$ Phi(f+g) &= Phi(f) + Phi(g) $
|
||||
$ lambda dot Phi(f) &= Phi(lambda dot f) $
|
||||
|
||||
nach dem selben Argument wie in Teil (b).
|
||||
|
||||
Die zugehoerige Matrix sieht wie folgt aus:
|
||||
|
||||
#{
|
||||
set text(size: 1.1em)
|
||||
|
||||
pavemat(
|
||||
delim: "[",
|
||||
)[$ mat(1, 0, 0, 0, 0, ..., 0;
|
||||
0, 1, 0, 0, 0, ..., 0;
|
||||
1, 0, 1, 0, 0, ..., 0;
|
||||
0, 1, 0, 1, 0, ..., 0;
|
||||
0, 0, 1, 0, 1, ..., 0;
|
||||
dots.v, dots.v, dots.v, dots.down, dots.down, dots.down, 0;
|
||||
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1;) $]
|
||||
}
|
||||
|
||||
wobei sie $n+1$ Spalten und $n+3$ Reihen hat.
|
||||
|
||||
81
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel07.typ
Normal file
81
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel07.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,81 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "7")
|
||||
|
||||
= Vektorraeume
|
||||
|
||||
Fuer eine Matrix $A = (a_(i j)) in K^(n times n)$ definieren wir die Reiehen- und Spaltensummen durch
|
||||
|
||||
$ R_r (A) := sum^n_(i = 1) a_(r i) quad "und" quad S_s (A) := sum^n_(i = 1) a_(i s) . $
|
||||
|
||||
Sei $V$ die Menge aller $n times n$- Matrizen fuer die alle Reiehen- und Spaltensummen gleich sind.
|
||||
Also
|
||||
|
||||
$ V:= {A in K^(n times n):R_r (A) = S_s (A) "fuer alle" r, s = 1, ..., n} $
|
||||
|
||||
+ Zeigen Sie, dass $V$ ein Untervektorraum von $K^(n times n)$ ist.
|
||||
|
||||
Seien $v, w in V$.
|
||||
|
||||
Bei der Matrixaddition werden alle Reiehen und Spalten addiert. Dabei gilt:
|
||||
|
||||
$ v_(i j) = c_1, quad w_(i j) = c_2 $
|
||||
|
||||
Also
|
||||
|
||||
$ v_(i j) + w_(i j) = c_1 + c_2 = c => v + w in V $
|
||||
|
||||
$ lambda v = lambda v_(i j) = lambda c_1 = c => lambda v in V $
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
+ Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von $V$.
|
||||
|
||||
Wir koennen alle Eintraege von $v in V$ beliebig waehlen, bis auf jeweils die letzen innerhalb einer Zeile oder Spalte. Daraus muss folgen:
|
||||
|
||||
$ dim(V) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2 $
|
||||
|
||||
= Einheitsmatrix
|
||||
|
||||
Sei $A in K^(n times n)$ mit der Eigenschaft, dass $A B = B A, quad forall B in K^(n times n)$ gilt.
|
||||
|
||||
Zeigen Sie, dass $A = lambda E_n$ fuer ein $lambda in K$ ist.
|
||||
|
||||
Hier gilt es zu zeigen, dass nur ein Vielfaches der Einheitsmatrix die Kommutativit mit einer beliebigen Matrix $B$ erfuellt.
|
||||
|
||||
Sei $B = bb(1)$. Falls $A = bb(1)$ dann waehle $B != bb(1) and B != bb(0)$.
|
||||
|
||||
Angenommen fuer $A$ gilt, dass $exists a_(i j): i != j: a = lambda != 0$.
|
||||
|
||||
Nach Matrixmultiplikationsvorschrift ist diese nicht kommutativ $arrow.zigzag$.
|
||||
|
||||
Wir wissen also, dass $A = mat(a, 0, 0, 0, ...;0, b, 0, 0, ...; 0, 0, c, 0, ...; 0, 0, 0, d, ...; dots.v, dots.v, dots.v, dots.v, dots.down)$ sein muss.
|
||||
|
||||
Angenommen $a, b, c, ...$ sind ungleich. Dann laesst sich wieder durch Matrixmultiplikation ein Widerspruch erzeugen.
|
||||
|
||||
Falls nun aber $a = b = c = ...$, dann ist $A = lambda E_n$.
|
||||
|
||||
$qed$
|
||||
|
||||
= Inverse einer Matrix
|
||||
|
||||
Bestimmen Sie das Inverse der Matrix $A = mat(1, -1, 0, 1; 1, 0, -1, 1; 2, 3, -4, 1; 1, 0, 0, 1)$.
|
||||
|
||||
Anwenden des Gaussverfahrens mit der Erweiterten Matrix:
|
||||
|
||||
$ mat(1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 0;
|
||||
1, 0, -1, 1, 0, 1, 0, 0;
|
||||
2, 3, -4, 1, 0, 0, 1, 0;
|
||||
1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1; augment: #4) $
|
||||
|
||||
= Abbildungsmatrix
|
||||
|
||||
|
||||
Sei $frak(B)_1 = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}$ eine Basis von $QQ^3$ und $frak(B)_2 = {(1,1), (-1, 1)}$ eine Basis von $QQ^2$. Sei $phi: QQ^3 -> QQ^2$ gegeben durch die Abbildungsmatrix
|
||||
|
||||
$ A = mat(1, 2, 3; 4, 5, 6) $
|
||||
|
||||
+ Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix $A'$ von $phi$ bezueglich der Basen $frak(B_1)$ und $frak(B_2)$.
|
||||
|
||||
+ Nach der Vorlesung gibt es $X in Q^(3 times 3)$ und $Y in QQ^(2 times 2)$, sodass $A = X A' Y$ gilt.
|
||||
Bestimmen Sie $X$ und $Y$.
|
||||
BIN
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel08.pdf
Normal file
BIN
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel08.pdf
Normal file
Binary file not shown.
21
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel08.typ
Normal file
21
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel08.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "8")
|
||||
|
||||
= Determinanten I
|
||||
|
||||
Sei $K$ ein Koerper mit $"char"(K) != 2$.
|
||||
|
||||
+ Seien $A, B$ zwei $n times n$ Matrizen mit Eintraegen in $K$. Definiere $b_(i j) := (-1)^(i+j) a_(i j)$.
|
||||
|
||||
Zeigen Sie, dass $A = det(B)$.
|
||||
|
||||
+ Bestimmen Sie abhaengig von $n$ die Determinante der Matrix:
|
||||
|
||||
$ C = mat(0, 1, ..., 1; 1, dots.down, dots.down, dots.v; dots.v, dots.down, dots.down, 1; 1, dots, 1, 0) $
|
||||
|
||||
= Determinanten II
|
||||
|
||||
= Lineare Abbildung
|
||||
|
||||
= Dualraeume
|
||||
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel09.typ
Normal file
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel09.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,11 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "9")
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel10.typ
Normal file
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel10.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,11 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "10")
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel11.typ
Normal file
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel11.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,11 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "11")
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel12.typ
Normal file
11
S1/AGLA/Hausaufgaben/Zettel12.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,11 @@
|
||||
// Load the preamble
|
||||
#import "../conf.typ": conf
|
||||
#show: conf.with(week: "12")
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
|
||||
=
|
||||
BIN
S1/AGLA/Vorlesungen/VL10.pdf
Normal file
BIN
S1/AGLA/Vorlesungen/VL10.pdf
Normal file
Binary file not shown.
30
S1/AGLA/Vorlesungen/VL10.typ
Normal file
30
S1/AGLA/Vorlesungen/VL10.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,30 @@
|
||||
= Der Homomorphiesatz
|
||||
|
||||
Seien $V, W$ VR ueber den Koerper $KK$ und $phi: V -> W$ linear mit Kern $K$. Dann ist durch
|
||||
|
||||
$ Phi : V slash K -> W, quad v + K |-> phi(v) $
|
||||
|
||||
ein Isomorphismus zwischen $V slash K$ und $phi(V)$ gegeben.
|
||||
df
|
||||
|
||||
Lemma:
|
||||
|
||||
$phi: V -> W$ linear injektiv $<==>$ $ker(phi) = {0}$.
|
||||
|
||||
Es kommt nicht drauf an, welches $v$ ich waehle um eine Nebenklasse zu definieren!
|
||||
|
||||
Bew: Eigenschaft Kern, und Nebenklassen von v1 und v2
|
||||
|
||||
Noch zu zeigen ist die surjektivitaet und die injektivitaet von $Phi$.
|
||||
|
||||
Mit dem Umwegsargument ist Jeder Vektorraum zu jedem isomorph?? Wo scheitert das Argument.
|
||||
|
||||
Nutzen der Definition von liearitaet
|
||||
|
||||
FRAGEN:
|
||||
|
||||
Seien V,W K-VR und phi linear was genau ist der Kern von phi??
|
||||
|
||||
Was ist eine lineare Abbildung zwischen zwei VR
|
||||
|
||||
|
||||
BIN
S1/AGLA/Vorlesungen/VL11.pdf
Normal file
BIN
S1/AGLA/Vorlesungen/VL11.pdf
Normal file
Binary file not shown.
21
S1/AGLA/Vorlesungen/VL11.typ
Normal file
21
S1/AGLA/Vorlesungen/VL11.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
// 2024-11-26 10:19
|
||||
//
|
||||
|
||||
= Complex Numbers
|
||||
|
||||
$ (RR^2, +), quad (a, b) dot.circle (c, d) = (a c - b d, a d + b c) $
|
||||
|
||||
Mit diesem Produkt wird $RR^2$ zum Koerper $CC$, wir verstehen $RR$ als Teil von $CC$, naemlich $(a, 0); quad (0, 1) dot (0, 1) = (-1, 0)$.
|
||||
|
||||
//#grid(columns: 2, [sd], [dsf])
|
||||
//
|
||||
$ (a, b) = a + ib \
|
||||
|
||||
Ist $z=x+iy, quad (x, y) in RR^2$, dann sei
|
||||
|
||||
|
||||
Produkt von zwei Matrizen
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
21
S1/AGLA/Vorlesungen/VL12.typ
Normal file
21
S1/AGLA/Vorlesungen/VL12.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
- Das Objekt Matrix $A in K^(r times s)$
|
||||
|
||||
- Zeilen und Spaltenvektor sind Teil von jeder Matrix
|
||||
|
||||
- Hauptdiagonale einer Matrix Nebendiagonale wenn quadratisch
|
||||
- r = s <==> quadratische Matrix
|
||||
|
||||
= Saetze
|
||||
|
||||
|
||||
Ezaine lineare Abbildung $Phi: K^s -> K^r$ ist gleichbedeutend zu einer Matrix mit s spalten und k reihen.
|
||||
|
||||
bash
|
||||
|
||||
$dim(L(K^s, K^r)) = rs$; und es gilt dass die Summe der linearen Abbildungen gleich des Summe der Matritzen ist.
|
||||
|
||||
Es gelten folgende Rechenregeln:
|
||||
|
||||
- Distributivitaet (Achtung; die Seiten sind unterschiedlich.)
|
||||
|
||||
|
||||
13
S1/AGLA/Vorlesungen/VL13.typ
Normal file
13
S1/AGLA/Vorlesungen/VL13.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,13 @@
|
||||
= Matrizen
|
||||
|
||||
Die Multiplikation ist im allgemeinen nicht kommutativ.
|
||||
|
||||
Aufgrund der Gruppeneigenschaft, jedoch die Mult. mit der Inversen.
|
||||
|
||||
Der Gauss Algorithmus ist vollstaendig reversibel.
|
||||
- Rekursive Vorschrift fuer den Algo.
|
||||
|
||||
$G L_n (K)$ general linear group over $K$ with $n$ rows.
|
||||
|
||||
Wie schreibt man ein LGS formal richtig auf (mit der Summensschreibweisse.)
|
||||
|
||||
115
S1/AGLA/Vorlesungen/VL7.typ
Normal file
115
S1/AGLA/Vorlesungen/VL7.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,115 @@
|
||||
= Vektorraeume
|
||||
|
||||
Ein Vektorraum ueber einem Koerper $K$ ist eine abelische Gruppe $(V, +)$ mit einer Abbildung $K times K arrow V$ (Mult. mit Skalaren), die die Bedingungen
|
||||
|
||||
$ (lambda + mu)v = lambda v + mu v, lambda(v+w) = lambda v + lambda w | forall lambda, mu in K, v, w, in V $
|
||||
$ (lambda mu)v = lambda(mu v), 1 v = v $
|
||||
|
||||
erfuellt.
|
||||
|
||||
== Bsp
|
||||
|
||||
$K^n = K times ... times K = {(x_1, ..., x_j): x_j in K}, lambda (x_1, ..., x_n) = (lambda x_1, ..., lambda x_n)$
|
||||
|
||||
$RR$ ist ein $QQ$-Vektorraum
|
||||
|
||||
$V_1, V_2$ seien K-Vektorraum. $V_1 times V_2 = {(v_1, v_2): v_j in V_j}$
|
||||
|
||||
$K times (V_1 times V_2) arrow V_1 times V_2, (lambda, (v_1, v)2)) arrow.flat (lambda v_1, lambda v_2).
|
||||
|
||||
$(V_i)_(i in I)$ sumtlich K-Vektorraum.
|
||||
|
||||
$V:= bigX_under(i in I) V_i = {f: I arrow bigU_under(i in I) V_i: f(i) in V_i}
|
||||
|
||||
in V bildet
|
||||
|
||||
$ W = {f: I arrow bigU_under(i in I) V_i, f(i) in V_i, f(i) != 0 nur fuer endlich viele i in I} $
|
||||
|
||||
einen Untervektorraum. Ist $I$ endlich, dann $W = V$. Sei $f, g in W$ und $I(f) = {i in I: f(i) !=0}$.
|
||||
|
||||
////////////////
|
||||
|
||||
Lemma 1: Sei $V$ ein K-Vektorraum $lambda in K, v in K$. Dann ist $lambda v = 0 <==> lambda = 0 or v = 0$
|
||||
|
||||
Ist $lambda = 0$, dann benutze $0 v = (0+0)v = 0v + 0v <=> 0 = 0 v + 0v v + (-0 v) = 0 v$. Genauso: $V=0 => lambda v = 0$.
|
||||
|
||||
Ist $lambda != 0$ aber $lambda v = 0$, dann $v = 11 v = lambda^(-1) (lambda v) = lambda(-1) 0 = 0 = 11 v = v$
|
||||
|
||||
$ v + (-w) = v -w $
|
||||
|
||||
///////////////
|
||||
|
||||
Lemma 2:
|
||||
|
||||
$V$ ein K-Vektorraum und $lambda in K, v in V$. Kann ist $(- lambda) v = - (lambda) v = - (lambda v), wir schreiben deshalb kurz $- lambda v$
|
||||
|
||||
denn: $0 = (lambda - lambda) v = lambda v + (- lambda) v = lambda v - (lambda v)$
|
||||
|
||||
///////////
|
||||
|
||||
Mehr zu Untervektorraeumen. Gegeben $V$ ein K-Vektorraum. Hat die "tivialen Untervektorraeume" ${0}$ (Nullraum) und $V$.
|
||||
|
||||
|
||||
Lemma 3:
|
||||
|
||||
Ist $(W_i)_(i in I)$ eine Familie von Untervektorraeumen von $V$, dann ist $sect.bigU_under(i in I) W_i$ ein Untervektorraum.
|
||||
|
||||
Idee: $M subset V$ eine beliebige Teilmenge. Dann $GrosserSchnitt (W subset V UVR; M subset W) W = angle.l M angle.r$ die von $M$ erzeugte UVR von $V$. Es ist $M subset angle.l M angle.r$ und $angle.l M angle.r$ hat kienen nicht trivialen UVR, der $M$ enthaelt.
|
||||
|
||||
$v in V, M = {v}, angle.l {w} angle.r in.reverse lambda v, lambda in K$. Da die ${lambda v, lambda in K}$
|
||||
|
||||
einen Untervektorraum bilden, ist $angle.l {v} angle.r = {lambda v: lambda in K}.
|
||||
|
||||
$angle.l {0} angle.r = {0}, Ist v != 0, dann gibt es eine Bijektion (Ue)
|
||||
|
||||
$ K arrow angle.l {u} angle.r; lambda arrow.flat lambda v$
|
||||
|
||||
$angle.l {v, w} angle.r = {lambda v + mu w: lambda, mu in K}$
|
||||
|
||||
|
||||
Seien $W_1, W_2$ Untervektorraeume von K-Vektorraum $V$.
|
||||
|
||||
$ W_1 + W_2 := angle.l W_1 union W_2 angle.r$ heisst Summe von $W_1, W_2$.
|
||||
$ = {w_1 + w_2: w_j in W_j}$
|
||||
|
||||
$ lambda (w_1 + w_2) = (lambda w_1) + (lambda w_2) $
|
||||
|
||||
$ w_1 + w_2 + w_1' + w_2' = (w_1 + w_1') + (w_2 + w_2') $
|
||||
|
||||
Frage: Sei $w in W_1 + W_2$. Wie viele Darstellungen $w = w_1 + w_2, w_j in W_j$ gibt es?
|
||||
|
||||
Sei $w_1 + w_2 = w_1' + w_2' <==> w_1 = w_1' = w_2 - w_2' in W_1 sect W_2$
|
||||
|
||||
Antwort: Es gibt unendlich viele Optionen?. Aber wenn $W_1 sect W_2 = {0}$, dann $w_1 = w_1', w_2 = w_2'$, also sind $w_1$ und $w_2$ eindeutig bestimmt. In diesem Fall heisst $W_1 + W_2$ die innere dierkte Summe von $W_1$ und W_2, in Zeichen $W_1 plus W_2$.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
Def: $M subset V$ heisst Eruzeugendensystem, wenn $angle.l M angle.r = V$.
|
||||
Ist M endlich, und Eruzeugendensystem, ann heisst V endlich erzeugt.
|
||||
|
||||
Bsp: $e_1 = (1, 0, ..., 0), e_2 = (0, 1, 0, ... , 0), ... , e_n = (0, ... , 0, 1) in K^n$
|
||||
|
||||
ist ein Eruzeugendensystem fuer $K^n$. DAnn fuer jedes v = (v_1, ..., v_n) in K^n$ ist v = v_1 e_1 + ... + v_n e_n in angle.l e_1, ... , e_n angle.r$
|
||||
|
||||
2) $M subset V$. Dann ist $M$ Eruzeugendensystem $angle.l M angle.r$
|
||||
|
||||
Def: $V$ ein K-Vektorraum, $v_1 , ... , v_n in V$ heissen linear unabhaengig, wenn aus
|
||||
|
||||
$ lambda_1 v_1 + ... + lambda_n v_n = 0 => lambda_1 = ... = lambda_n = 0 . $
|
||||
|
||||
Beispiele: $n =1$ Gegeben $v in V$. Test: $lambda v = 0 =>^? lambda = 0. Weil $1 0 = 0$, ist $v=0$ nicht linear unabhaengig. Aber: $v + v != 0, "dann" lambda = 0$. Also: jedes $v != 0 $ ist linear unabhaengig.
|
||||
|
||||
$n = 2$ (Ue); $v_1, v_2 in V \ {0}$. ist $v_2 in angle.l v_1 angle.r, "dann"" v_2 = lambda v_1, "also" 0 = lambda v_1 - v_2 "also" v_1, v_2 nicht linear unabhaengig. _Sonst_ schon!
|
||||
|
||||
Lemma 5:
|
||||
|
||||
Sei $V$ ein K-Vektorraum, und $(v_i)_(i in I)$ eine Familie von $v_i in V$.
|
||||
|
||||
$(v_i)_(i in I)$ ist linear unabhaengig genau dann, wenn jedes $v in V$ hoechstens eine Darstellungen $v = sum(lambda_i v_i)'_(i in I)$ hat.
|
||||
|
||||
Hier heisst $sum()'_(i in I), dass nur endlich viele $lambda_i != 0$ sind.
|
||||
|
||||
Allgemeiner nennen wir $(v_i)_(i in I)$ linear unabhaengig, wenn aus $sum(lambda_i v_i)'_(i in I) = 0 "stets folgt" lambda_i = 0 forall i in I$.
|
||||
|
||||
$v_1, v_2 linear unabhaengig <==> angle.l v_1 angle.r sect$
|
||||
|
||||
BIN
S1/AGLA/Zettel/Blatt_03.pdf
Normal file
BIN
S1/AGLA/Zettel/Blatt_03.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
S1/AGLA/Zettel/blatt_02.pdf
Normal file
BIN
S1/AGLA/Zettel/blatt_02.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
S1/AGLA/conf.pdf
Normal file
BIN
S1/AGLA/conf.pdf
Normal file
Binary file not shown.
72
S1/AGLA/conf.typ
Normal file
72
S1/AGLA/conf.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,72 @@
|
||||
#import "@preview/problemst:0.1.0": pset
|
||||
|
||||
// Adding scores to the document
|
||||
#let wrapper(doc) = {
|
||||
set rect(stroke: 0.3pt)
|
||||
grid(
|
||||
columns: (auto, auto, auto, 1fr, auto),
|
||||
..range(4).map(n => rect(width: 80pt, height: 40pt, text([A#(n+1)]))),
|
||||
rect(width: 100pt, height: 40pt, text($sum$))
|
||||
)
|
||||
line(length: 100% )
|
||||
|
||||
// Reset the rect stroke
|
||||
set rect(stroke: auto)
|
||||
// Doc wrapper
|
||||
outline()
|
||||
|
||||
doc
|
||||
}
|
||||
|
||||
|
||||
// Configuration for the Sheets
|
||||
#let conf(week: "?", doc) = {
|
||||
// Global configs
|
||||
set enum(numbering: "a)")
|
||||
set line(stroke: 1pt)
|
||||
set math.equation(numbering: "(1)")
|
||||
|
||||
// Wrap the doc before passing it to the template
|
||||
// Addiung score boxes
|
||||
let doc = wrapper(doc)
|
||||
|
||||
|
||||
// Setting the references right
|
||||
show ref: it => {
|
||||
let eq = math.equation
|
||||
let el = it.element
|
||||
if el != none and el.func() == eq {
|
||||
// Override equation references.
|
||||
link(el.location(),numbering(
|
||||
el.numbering,
|
||||
..counter(eq).at(el.location())
|
||||
))
|
||||
} else {
|
||||
// Other references as usual.
|
||||
it
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Show the template for ease of use
|
||||
// Do this at last
|
||||
show: pset(
|
||||
class: "AGLA",
|
||||
student: "Max Offermann, Tom Witjes und Jonas Hahn",
|
||||
title: [Woche #week],
|
||||
date: datetime.today(),
|
||||
doc
|
||||
)
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Configuration for the Vorlesungen (vl)
|
||||
#let vl(doc) = {
|
||||
// Global settings
|
||||
set page(numbering: "1")
|
||||
set heading(numbering: "1.1")
|
||||
|
||||
// Add some content to the docs
|
||||
outline()
|
||||
|
||||
// Load the document
|
||||
doc
|
||||
}
|
||||
31
S1/AGLA/lectures.txt
Normal file
31
S1/AGLA/lectures.txt
Normal file
@@ -0,0 +1,31 @@
|
||||
Nummer Woche Starttag
|
||||
|
||||
1 Woche 0 21
|
||||
2
|
||||
|
||||
3 Woche 1 28
|
||||
4
|
||||
|
||||
5 Woche 2 4
|
||||
6
|
||||
|
||||
7 Woche 3 11
|
||||
8
|
||||
|
||||
9 Woche 4 18
|
||||
10
|
||||
|
||||
11 Woche 5 25
|
||||
12
|
||||
|
||||
13 Woche 6
|
||||
14
|
||||
|
||||
15 Woche 7
|
||||
16
|
||||
|
||||
17 Woche 8
|
||||
18
|
||||
|
||||
19 Woche 9
|
||||
20
|
||||
7
S1/AGLA/scores.txt
Normal file
7
S1/AGLA/scores.txt
Normal file
@@ -0,0 +1,7 @@
|
||||
1. 48
|
||||
2. 43
|
||||
3.
|
||||
|
||||
MAX: 578
|
||||
GRENZE: 288
|
||||
|
||||
311
S1/ExPhyI/.ipynb_checkpoints/ha3-checkpoint.ipynb
Normal file
311
S1/ExPhyI/.ipynb_checkpoints/ha3-checkpoint.ipynb
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
BIN
S1/ExPhyI/Hahn_ExPhy1_Woche3.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/Hahn_ExPhy1_Woche3.pdf
Normal file
Binary file not shown.
58
S1/ExPhyI/Hahn_ExPhy1_Woche3.typ
Normal file
58
S1/ExPhyI/Hahn_ExPhy1_Woche3.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,58 @@
|
||||
= Aufgabe 1 Freier Fall mit Reibung (10 Punkte)
|
||||
|
||||
In der Vorlesung wurde der freie Fall von Körpern unter Vernachlässigung der Luftreibung besprochen.
|
||||
|
||||
Dabei wirkt nur die (konstante) Erdanziehungskraft $F_g = (0,0, −m g)$ auf das Teilchen. Den Effekt der Luftreibung können wir (für nicht zu hohe Geschwindigkeiten) mit Stokesscher Reibung modellieren; dabei wirkt eine zweite, abbremsende Kraft $F_r = (0,0, −β v)$ mit Parameter $beta$ (Abhängig unter anderem von der Gröûe und Form des Teilchens, aber auch von Eigenschaften der Luft).
|
||||
|
||||
Die Trajektorie kann dann geschrieben werden als:
|
||||
|
||||
$z_r (t) = z_0 - (g m)/β (t - m/beta (1-e^((-beta t)/m))$
|
||||
|
||||
(a) Bestimmen Sie daraus die Geschwindigkeiten $v(t)$ des Teilchens.
|
||||
|
||||
$v_r (t) = -(g e^((-beta t)/m) +(g m)/β)$
|
||||
|
||||
(b) Leiten Sie nun die Beschleunigung $a(t)$ des Teilchens her.
|
||||
|
||||
$a_r (t) = (g beta)/m e^((-beta t)/m)$
|
||||
|
||||
(c) Nähern Sie für $x = (β t)/m << 1 $ die Exponentialfunktion bis zur zweiten Ordnung in $x$, und zeigen Sie, dass zu Beginn die Trajektorie mit der für den reibungsfreien Fall übereinstimmt.
|
||||
|
||||
(d) Skizzieren Sie $z_g (t)$ (freier Fall ohne Reibung) und $z_r (t)$ (mit Reibung) in einem gemeinsamen Graphen.
|
||||
|
||||
(e) Skizzieren Sie separat $v_r (t)$ und $a_r (t)$.
|
||||
|
||||
= Aufgabe 3.2 Zugkraft (5 Punkte)
|
||||
|
||||
Wir betrachten ein von der Decke herunterhängendes Seil mit linearer Massendichte $rho$ (Einheit: Kilogramm pro Meter) und Länge $L$. Bestimmen Sie die Zugkraft $T(z)$ (Einheit: Kilogramm × Meter / $"Sekunde"^2$) als Funktion der Höhe $z$. Hier ist die stationäre Lösung gesucht, d.h. alle Kräfte gleichen sich aus.
|
||||
|
||||
(a) Fertigen Sie zunächst eine Skizze an.
|
||||
|
||||
Das Seil endet genau im Ursprung des Koordinatensystems.
|
||||
|
||||
(b) Definieren Sie ein Koordinatensystem (die z-Achse genügt hier).
|
||||
|
||||
(c) Beschreiben Sie in Worten die Zugkraft: Was sind ihre Ursachen, was bewirkt sie?
|
||||
|
||||
Ursachen fuer die Zugkraft sind die Masse $m$ des Seils kombiniert mit der Erdbeschleunigung $g$. Nun ist es so, dass Die Zugkraft an der Aufhaengung des Seils maximal ist und bei kleinerem $z$ linear abnimmt.
|
||||
|
||||
Das liegt daran, dass nur die Masse des Seils unter dem Aufhaengungspunkt (Fixierpunkt) zur Zugkraft $T$ beitraegt.
|
||||
|
||||
(d) Berechnen Sie $T(z)$ und überprüfen Sie die Einheiten.
|
||||
|
||||
Man definiere die Masse als $m(z) = (L - z) rho$, wobei $0 <= z <= L$.
|
||||
|
||||
Dann folgt fuer aus der Kraftbeziehung $F = m a$ die Zugkraft $T(z) = m(z) g = (L - z) rho g$.
|
||||
|
||||
Einheiten der verwendeten Groessen sind gegeben als:
|
||||
|
||||
$[T] = N$;
|
||||
$[rho] = (k g)/m$;
|
||||
$[L - z] = m$;
|
||||
$[m] = k g$;
|
||||
$[g] = m/s^2$;
|
||||
|
||||
Einsetzen liefert folgende Aequivalenz:
|
||||
|
||||
$[(L - z) rho g] = [L - z] [rho] [g] = m (k g)/m m/s^2 = (m k g)/s^2 = N = [T]$
|
||||
|
||||
BIN
S1/ExPhyI/VL10.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/VL10.pdf
Normal file
Binary file not shown.
38
S1/ExPhyI/VL10.typ
Normal file
38
S1/ExPhyI/VL10.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
//2024-11-22
|
||||
//
|
||||
|
||||
= Inertialsysteme
|
||||
|
||||
Zunaechst: keine Rotation
|
||||
|
||||
Zwei Bezugssysteme $S(x,y,z) quad S'(x',y',z')$ (Relativbewegung mit $arrow(u)$)
|
||||
|
||||
Die Relativbewegung muss sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein (Zeitdiletation?)
|
||||
|
||||
Ort, geschwindigkeit und Beschleunigung koennen in abhaengigkeit von u berechnet werden.
|
||||
|
||||
Die Beschleunigung bleibt gleich.
|
||||
|
||||
#rect([Transformation: Galilei-Transformation])
|
||||
|
||||
Beide Systeme sind fuer die Beschreibung der physikalischen Gesetze aequivalent (Inertialsysteme)
|
||||
|
||||
== Geradlinig beschleunigte Bezugssteme
|
||||
|
||||
$ arrow(u) = arrow(u) (t) quad arrow(a) != arrow(a)' $
|
||||
|
||||
Beobachter im beschleunigten BS kann dies feststellen und miteinbeziehen -> die gleichen physikalischen Gesetze gelten.
|
||||
|
||||
$S'$ ist jetzt kein Interalsystem!
|
||||
|
||||
$ x = x' + u_0 t + 1/2 a t^2 $
|
||||
|
||||
BS eines fallenden Koerpers
|
||||
|
||||
$ y = y' \
|
||||
t = t' $
|
||||
|
||||
=== Gedanken-Experiemente
|
||||
|
||||
+ Beispiel:
|
||||
|
||||
BIN
S1/ExPhyI/VL11.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/VL11.pdf
Normal file
Binary file not shown.
24
S1/ExPhyI/VL11.typ
Normal file
24
S1/ExPhyI/VL11.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,24 @@
|
||||
#import "@preview/pinit:0.2.2": *
|
||||
#set math.equation(numbering: "(1)")
|
||||
|
||||
= Behaelter mit Wasser
|
||||
|
||||
Freie #pin(5)Oberflaeche des Wassers ist $perp arrow(g)$
|
||||
|
||||
Im rotierenden System gilt wieder Oberflaeche $perp arrow(F)_"ges"$
|
||||
|
||||
// Add graphic with ticx
|
||||
|
||||
// Use the physicspackage
|
||||
$ tan(alpha) = (omega^2 r)/2#pin(4) = (d z (r))/(d r) $
|
||||
|
||||
A simple #pin(1)highlighted text#pin(2).
|
||||
|
||||
#pinit-highlight(1, 2)
|
||||
|
||||
#pinit-point-from((1, 2))[It is simple.]
|
||||
#pinit-point-from(5)[It is simple.]
|
||||
#pinit-point-from(4)[It is simple.]
|
||||
|
||||
he:
|
||||
|
||||
BIN
S1/ExPhyI/VL12.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/VL12.pdf
Normal file
Binary file not shown.
70
S1/ExPhyI/VL12.typ
Normal file
70
S1/ExPhyI/VL12.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,70 @@
|
||||
= Stoesse
|
||||
|
||||
JES: $arrow(p_1)' + arrow(p_2)' = arrow(p_1) + arrow(p_2)$ #h(10pt) (' $->$ #underline([nach]) dem Stoss)
|
||||
|
||||
EES: ("innere Energie")
|
||||
|
||||
Wir unterscheiden:
|
||||
|
||||
$U = 0$: elastischer Stoss
|
||||
|
||||
$U < 0, E_("kin")' < E_("kin"): inelastischer Stoss
|
||||
|
||||
- zentraler Stoss
|
||||
|
||||
- nicht zentraler Stoss
|
||||
|
||||
Beispiel:
|
||||
|
||||
- zentraler, elastischer Stoss
|
||||
|
||||
- Impuls wird sukzessiv weitergegeben
|
||||
|
||||
- Warum fliegt nicht 1 Kugel mit 2v weg, wenn vorne 2 Kugeln stossen? IES und EES muessen erfuellt sein (EES ist quadratisch mit der Geschwindigkeit)
|
||||
|
||||
- Nur 2 Kugeln: elastischer vs. inelastischer Stoss
|
||||
|
||||
= Elastische Stoesse
|
||||
|
||||
Geg: $m_1, m_2, arrow(v)_1, arrow(v)_2$ #h(10pt) (vor dem Stoss)
|
||||
|
||||
Ges: $arrow(v)'_1, arrow(v)'_2$ (nach dem Stoss)
|
||||
|
||||
Wahl des Koordinatensystems: mitbewegt, $v_2 = 0$
|
||||
|
||||
EES: $ 1/2 m_1 v_1^2 = 1/2 m_1 v'_1^2 + 1/2 m_2 v'_2^2 $ <ees>
|
||||
|
||||
JES: $ m_1 arrow(v_1) = m_1 arrow(v') + m_2 arrow(v'_2) $ <jes>
|
||||
|
||||
Man berechne:
|
||||
|
||||
@jes quadrieren
|
||||
|
||||
@ees ($dot 2 m_1$)
|
||||
|
||||
Es folgt:
|
||||
|
||||
$ 2 m_1 arrow(v_1)' dot arrow(v_2)' + m_2 v_2'^2 = m_1 v'_2^2 $
|
||||
|
||||
$ arrow(v_1)' dot arrow(v'_2) = (m_1 - m_2)/(2 m_1) v'_2^2 $ <green>
|
||||
|
||||
+ $m_1 = m_2; arrow(v')_1 dot arrow(v')_2 = 0 --> v'_1 = 0$
|
||||
|
||||
zentraler Stoss
|
||||
|
||||
+ $m_1 = m_2$ $arrow(v')_1 perp arrow(v')_2$
|
||||
|
||||
nicht zentral
|
||||
|
||||
Teile die Geschwindigkeiten der beiden Massen in seine Komponenten auf.
|
||||
|
||||
Dabei behaelt $m_1$ die Tangentialkomponente, wohingegen $m_2$ Zentralkomponente bekommt.
|
||||
|
||||
+ $m_1 != m_2$, zentraler Stoss
|
||||
|
||||
$ v'_1 = (m_1 - m_2)/(2 m_1) v'_2 $
|
||||
|
||||
+ $m_1 < m_2 -> v'_1 < 0$ ($m_1$ wird reflektiret)
|
||||
|
||||
+
|
||||
|
||||
BIN
S1/ExPhyI/VL17.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/VL17.pdf
Normal file
Binary file not shown.
71
S1/ExPhyI/VL17.typ
Normal file
71
S1/ExPhyI/VL17.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,71 @@
|
||||
// 12/18/2024
|
||||
|
||||
= Gekoppelte Schwingungen
|
||||
|
||||
Zwei Fadenbendel mit Kopplungsfeder.
|
||||
|
||||
Es gelten die Bewegungsleichungen:
|
||||
|
||||
$ m_1 dot.double(x_1) = - D_1 x_1 - D_(1 2) (x_1 - x_2) \
|
||||
m_2 dot.double(x_2) = - D_2 x_2 - D_(12) (x_2-x_1) $
|
||||
|
||||
diese stellen ein gekoppeltes DLG-System dar und koennen nur gemeinsam geloest werden.
|
||||
|
||||
Spezialfall: $m_1 = m_2 = m$
|
||||
|
||||
|
||||
Fall: $A_1 = A_2 = A$
|
||||
|
||||
$ x_1 = (psi^+ + psi^-) = ... = 2A &cos((omega_1 - omega_2)/2 t + (phi_1 - phi_2)/2) dot \ &cos((omega_1 + omega_2)/2 t + (phi_1 + phi_2)/2) $
|
||||
|
||||
d.h. die Schwingungsenergie wird zwischen den beiden Pendeln hin- und hergereicht.
|
||||
|
||||
|
||||
#table(
|
||||
columns:2,
|
||||
[*gleichphasige Schwingung*], [*gegenphasige Schwingung*],
|
||||
[Feder nicht beansprucht], [],
|
||||
$psi^- = 0$, [],
|
||||
[phi_1 - phi_2 = phi]
|
||||
)
|
||||
|
||||
Bemerkung: bei nicht-identischen Pedeln: unvollstaendiger Energie-Uebertrag
|
||||
|
||||
== Beispiele
|
||||
|
||||
Zwei Massen $m_1, m_2$ mit zwei Faeden mit laenge $l$ miteinander verbunden und haengend.
|
||||
|
||||
$ l = l_1 = l_2 \
|
||||
m_1 >> m_2 $
|
||||
|
||||
Energiebetrachtung $m_1/2 v_(1_"max")^2 =^"EES" m_2/2 v_(2_max)^2$
|
||||
|
||||
|
||||
= Mechanische Wellen
|
||||
|
||||
MP $m_1$ gekoppelt an $m_i$ ($k$ MP).
|
||||
|
||||
+ Schwingung breitet sich im Raum aus
|
||||
+ Schwingungsenergie wird transportiert (keine Materie)
|
||||
|
||||
z.B. Schallwellen, Wasserwellen
|
||||
|
||||
Wir betrachten die Ausbreitung in #underline[einer Richtung].
|
||||
|
||||
== Darstellung harmonischer Wellen
|
||||
|
||||
$ xi(z, t) = A sin(omega(t-z/v)) = A sin(omega t - k z), quad k = 2 pi/lambda, v eq "Phasengeschwindigkeit" $
|
||||
|
||||
Hier ist $xi$ i.A. nicht der Ort, kann z.B auch der Schallauch sein, el. Feldstaerke.
|
||||
|
||||
Wellenlaenge $lambda$: Abstand $Delta z$ zweier Punkte, fuer die die Auslenkung $xi(z_1, t) = xi(z_2,t)$ zur gleichen Zeit $t$
|
||||
|
||||
Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich die Phase ausbreitet $v = omega/k = 2 pi v lambda/(2 pi) = v lambda$
|
||||
|
||||
$ xi(z,t)&=c e^(i(omega z - k z)) + c^* e^(-i(omega t - k z)) \ &=A cos(omega t-k z)+B sin(omega t-k z) \ "mit" A&=c+c^* quad B=i(c-c^*) $
|
||||
|
||||
an jedem festen Ort $z=z_0$: zeitlich periodische harmoische Schwingung
|
||||
|
||||
$ xi(t)=A sin(omega t-k z_0)=A sin(omega t-phi) $
|
||||
|
||||
zu jedem festen Zeitpunkt:
|
||||
BIN
S1/ExPhyI/VL6.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/VL6.pdf
Normal file
Binary file not shown.
142
S1/ExPhyI/VL6.typ
Normal file
142
S1/ExPhyI/VL6.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,142 @@
|
||||
= Arbeit, Leistung, Energie
|
||||
|
||||
Arbeit ist ein Skalarprodukt von der Kraft und dem Weg.
|
||||
|
||||
Leistung ist die Ableitung der Arbeit nach der Zeit.
|
||||
|
||||
Energie ist eigentlich das Gleiche wie die Arbeit.
|
||||
|
||||
Beispiele: Flaschenzug, Schraege Rampe
|
||||
|
||||
== Wegunabhaengige Arbeit und konservative Kraftfelder
|
||||
|
||||
- Falls $W_a = W_b$ fuer beliebige Wege $a, b$, ist das Weg-Integral *wegunabhaengig* und das Kraftfeld *konservativ*.
|
||||
|
||||
aequivalent dazu sind folgende Aussagen:
|
||||
|
||||
- $integral.cont arrow(F) d arrow(r) = 0$
|
||||
|
||||
== Einschub: der Nabla-Operator $nabla$
|
||||
|
||||
$ nabla = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
|
||||
|
||||
partielle Ableitung
|
||||
|
||||
+ *Gradient* (Anwendung auf ein Skalar)
|
||||
$ nabla f = op("grad") f = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
|
||||
Der Gradient gibt die Richtung der groessten Aenderung von $f$ an
|
||||
|
||||
// Insert here a 2d graphic of Heightlines with
|
||||
// a perpendicular gradient vector on them in red
|
||||
|
||||
der Gradient steht senkrecht auf den Hoehenlinien und ist tangential an der Falllinie.
|
||||
|
||||
+ *Divergenz* (Skalarprodukt mit einem Vektor) $arrow(u) = {u_x, u_y, u_z}$
|
||||
$ nabla dot arrow(u) = "div" arrow(u) = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
|
||||
|
||||
anschaulich: Quellen und Senken eines Vektorfeldes
|
||||
|
||||
+ *Rotationen* (Vektorprodukt mit einem Vektor)
|
||||
$ nabla times arrow(u) = "rot" arrow(u) $ (siehe oben)
|
||||
|
||||
anschaulich: Wirbel im Stroemungsfeld
|
||||
|
||||
+ *Kombinationen* $"div grad" f = nabla (nabla f) = Delta f$ (Laplace)
|
||||
$= (delta^2 f)/(delta x^2), (delta^2 f)/(delta y^2), (delta^2 f)/(delta z^2)$
|
||||
|
||||
|
||||
Energie = gespeicherte Arbeit $[E] = J$
|
||||
|
||||
$=$ die Faehigkeit, Arbeit zu verrichten
|
||||
|
||||
Beispiel: Hubarbeit $m dot g dot h arrow$ potientielle Energie $m dot g dot h arrow "loslassen" arrow "kinetische Energie" 1/2 m v^2$
|
||||
|
||||
== Der Energie-Erhaltungs-Satz (EES)
|
||||
|
||||
2. Newtonsches Gesetz: $arrow(F) = m (d arrow(v))/(d t)$
|
||||
|
||||
$ integral arrow(F) dot arrow(v) d t = m integral (d arrow(v))/(d t) arrow(v) d t$
|
||||
|
||||
$I = integral arrow(F) dot arrow(v) d t = integral arrow(F) d arrow(r) = E_p^1 - E_p^2$ (Arbeit, potientielle Energie)
|
||||
|
||||
$II = m integral arrow(v) d arrow(r) = m/2 v^2_2 = m/2 v_1^2 = E_("kin")^2 - E_("kin")^1$
|
||||
|
||||
$ --> E_("kin")^1 + E_p^1 = E_("kin")^2 + E_p^2$ (EES der Mechanik)
|
||||
|
||||
Beschleunigungsarbiet (2.NG) wird als Zuwachs kinetischer Energie gespeichert.
|
||||
|
||||
- Energie wird nicht "erzeugt" oder "verbraucht"
|
||||
- Energieformen werden ineinander umgewandelt
|
||||
|
||||
Beispiel: Pendel
|
||||
|
||||
// Skizze einfuegen
|
||||
|
||||
1. $v = 0 arrow E_("kin") = 0, h = h_("max") arrow E_("pot") = m g h_("max")$
|
||||
|
||||
2. $v = v_("max") arrow E_("kin") = 1/2 m v_("max")^2, h = 0 arrow E_("pot") = 0$
|
||||
|
||||
3. Siehe 1
|
||||
|
||||
= Kraftfelder und Potential
|
||||
|
||||
Wir nehmen ein konservatives Kraftfeld an und gehen von Punkt $P$ um $delta arrow(r)$ zu Punkt $P'$
|
||||
|
||||
// Skizze von verschiedenen Wegen von Punkt P zu P' in 2D und der Steitung dy
|
||||
// Vektoren fuer die Kraefte sind eingezeichnet
|
||||
|
||||
es aendert sich die potientielle Energie $E_p (x, y, z) = E_p (P)$ um $delta E_p = (delta E_p)/(delta x) delta x + (delta E_p)/(delta y) delta y + (delta E_p)/(delta z) delta z$
|
||||
|
||||
da wir eine Strecke in einem Kraftfeld zuruecklegen, verrichten wir Arbeit $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ (gespeichert als potientielle Energie)
|
||||
|
||||
--> $F_x delta x + F_y delta y + F_z delta z =^"von oben" - (delta E_p)/(delta x) delta x - (delta E_p)/(delta y) delta y - (delta E_p)/(delta z) delta z$
|
||||
|
||||
daher $F_x = - (delta E_p)/(delta x) delta x F_y = - (delta E_p)/(delta y) delta y F_z = - (delta E_p)/(delta z) delta z$
|
||||
|
||||
$arrow(F) = - "grad" E_p = - nabla E_p$
|
||||
|
||||
Nachtrag: Es existiert ein Skalarfeld DURCHSCHNITT $(arrow(r))$ (Potential), sodass $arrow(F) = - k nabla o (arrow(r))$
|
||||
|
||||
($<--> arrow(F)(arrow(r))$ ist ein konservatives Kraftfeld)
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
== Drehimpuls und Drehmoment
|
||||
|
||||
MP mit Impuls $arrow(p)$ auf Bahn $arrow(r) (t)$
|
||||
|
||||
Definition: $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p) = m (arrow(r) times arrow(v))$ Drehimpuls
|
||||
|
||||
wichtig: immer in Bezug auf den Koordinatenursprung $O$.
|
||||
|
||||
wir zerlegen $arrow(v) "in" arrow(v)_r || arrow(r)$ und $arrow(v)_phi "senkrecht" r$ (Polarkoordinaten)
|
||||
|
||||
$ --> arrow(L) = m [ arrow(r) times (arrow(v)_r + arrow(v)_phi)] = m arrow(r) times arrow(v)_phi$
|
||||
|
||||
$abs(arrow(L)) = m r omega r sin(90 degree) = m r^2 dot(phi)$
|
||||
|
||||
$dot(arrow(L)) = (d arrow(L))/(d t) = [(d arrow(r))/(d t) times arrow(p)] + [arrow(r) times (d arrow(p))/(d t)]$
|
||||
|
||||
$= arrow(v) times arrow(p) + arrow(r) times dot(arrow(p)) = arrow(r) times arrow(F)$
|
||||
|
||||
|
||||
Definition: $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$ (Drehmoment)
|
||||
|
||||
=== Analogie
|
||||
|
||||
#table(
|
||||
columns: 2,
|
||||
[Translation], [Rotation],
|
||||
[Impuls $arrow(p)$], [Drehimpuls $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p)$],
|
||||
[Kraft $arrow(F) = dot(arrow(p))$], [Drehmoment $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$],
|
||||
[1. NG $arrow(p) = "const" <--> arrow(F) = 0$], [$arrow(L) "const" <--> arrow(D) = 0$],
|
||||
[Position $arrow(r)$], [Winkel $phi$],
|
||||
[Geschwindigkeit $arrow(v) = dot(arrow(r))$], [Winkelgeschwindigkeit $arrow(omega) = dot(phi) arrow(e)_z$],
|
||||
)
|
||||
|
||||
Beispiel: Zentralkraftfelder $arrow(F) = f(r) arrow(e)_r$
|
||||
|
||||
$ arrow(D) = f(r) arrow(r) times arrow(e)_r = 0 = dot(arrow(L))$
|
||||
|
||||
$ --> arrow(L) = "const"$
|
||||
|
||||
BIN
S1/ExPhyI/VL9.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/VL9.pdf
Normal file
Binary file not shown.
56
S1/ExPhyI/VL9.typ
Normal file
56
S1/ExPhyI/VL9.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,56 @@
|
||||
//2024-11-20
|
||||
|
||||
#import "@preview/physica:0.9.3": curl, grad, tensor, pdv
|
||||
#import "@preview/unify:0.6.1": num,qty,numrange,qtyrange
|
||||
|
||||
////////////////////////
|
||||
= Bestimmung von G mit der "Torsionsdrehwaage"
|
||||
|
||||
$ s^* = 1/2 a^* t^2 $
|
||||
|
||||
$ a = l/L (s^*)/(2t^2) = F/m = G M/r^2 $
|
||||
|
||||
Wir haben gemessen $s^* (t)$
|
||||
|
||||
Wir berechnen: $G = (r^2)/M l/(2L) (s^*)/t^2 = "3,53 x 10^-6 m^2/kg s^* t^2"$
|
||||
|
||||
Tafelaufschrieb letzte Stunde: #table(columns: 2, $(s^*)/(c m)$, $t/s$, [1], [24], [4], [50], [9], [79])
|
||||
df
|
||||
|
||||
- Wertepaar einsetzen $G = qty("6.13e-11", "m^3/kg/s^2)")$
|
||||
|
||||
//////////////////////////
|
||||
= Planetenbahnen
|
||||
Hello
|
||||
|
||||
- im Gravitationsfeld der Sonne ist die Gesamtenergie konstant
|
||||
|
||||
$ E = E_p + E_("kin") $
|
||||
|
||||
- der Drehimpuls $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p)$ eines Planeten ist zeitlich konstant
|
||||
|
||||
- ebene Polarkoordinaten $(r, phi)$, Ursprung in der Sonne
|
||||
|
||||
$ E_("kin") = 1/2 m v^2 = 1/2 m (v_r^2 + v_phi^2) = m/2 (dot(r)^2 + (r dot(phi)^2)) $ // *
|
||||
|
||||
$ arrow(L) = m ( arrow(r) times arrow(p)) = m[(arrow(r) times arrow(v)_r) + (arrow(r) times arrow(v)_phi)] = m (arrow(r) times arrow(v)_phi)) $
|
||||
|
||||
$ abs(arrow(L)) = m r^2 dot(phi) = L $
|
||||
|
||||
// * ->
|
||||
$ E_p + m/2 dot(r)^2 + L^2/(2 m r^2) = E = "const." $
|
||||
|
||||
- Das effektive Potential (Potientelle Energie plus die Zentrifugal "energie")
|
||||
|
||||
= Das Gravitationsfeld ausgedehnter Koerper
|
||||
|
||||
Motivation: Rechtfertigung fuer das Benutzen von Massepunkten
|
||||
|
||||
Hohle Kugeln
|
||||
hal
|
||||
|
||||
ha
|
||||
this
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
311
S1/ExPhyI/ha3.ipynb
Normal file
311
S1/ExPhyI/ha3.ipynb
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
98
S1/ExPhyI/ha3.py
Normal file
98
S1/ExPhyI/ha3.py
Normal file
@@ -0,0 +1,98 @@
|
||||
"""
|
||||
"# Hausaufgabe Blatt 3\n",
|
||||
|
||||
"## Gleichförmig beschleunigte, geradlinige Bewegung - Revisited\n",
|
||||
|
||||
"In dieser Aufgabe werden wir die Bahnkurve eines gleichförmig beschleunigten Objektes in einer Dimension berechnen und dieses mal auch visualisieren. Die Position $x$ zum Zeitpunkt $t$ ist, wie auf dem Blatt 2, gegeben durch folgende Gleichung:\n",
|
||||
"\\begin{equation*}\n",
|
||||
"x\\!\\left( t \\right) = x_0 + v_0 t + \\frac{1}{2} a t^2 \n",
|
||||
"\\end{equation*}\n",
|
||||
"wobei $x_0$ und $v_0$ die Anfangsposition und -geschwindigkeit sind und $a$ die konstante Beschleunigung, die auf das Objekt wirkt. \n",
|
||||
"## 1. Numpy Arrays: Linspace\n",
|
||||
"Anstelle, dass wir die Einträge in numpy arrays \"per Hand\" definieren, können wir eine nützliche Funktion verwenden. \n",
|
||||
|
||||
"**a)**",
|
||||
"Machen Sie sich mit der nachstehenden Zelle vertraut. Verstehen Sie die Syntax?"
|
||||
"""
|
||||
|
||||
import numpy as np
|
||||
|
||||
x = np.linspace(0, 1, 5)
|
||||
|
||||
print(x)
|
||||
|
||||
"""
|
||||
"**b)** Erstellen sie ein numpy array für die Zeit `t`
|
||||
indem sie `np.linspace()` korrekt verwenden.
|
||||
Dabei soll gelten $t_0 = 0$
|
||||
und $t_N = 5$ mit der Anzahl der Einträge $N = 50$."
|
||||
"""
|
||||
|
||||
t = np.linspace(0, 5, 50)
|
||||
|
||||
"""
|
||||
"**c)** Benutzen Sie die in ha2 Aufgabe 2 definierte Funktion `printBahnkurve()`
|
||||
um sich nun die Bahnkurve für das gerade erstellte array `t` ausgeben zu lassen.
|
||||
Verwenden Sie die Werte $x_0=3$ und $v_0=10$ wie auf Blatt 2."
|
||||
"""
|
||||
|
||||
def printBahnkurve(x0, v0, t):
|
||||
g = -9.81
|
||||
x = x0 + v0 * t + 1/2 * g * t ** 2
|
||||
print(x)
|
||||
|
||||
x0 = 3
|
||||
v0 = 10
|
||||
|
||||
printBahnkurve(x0, v0, t)
|
||||
"""
|
||||
|
||||
"## Return\n",
|
||||
"Bisher hat unsere definierte Funktion lediglich einen `print()` Befehl ausgeführt.
|
||||
Wir wollen nun, dass unsere Funktion einen Wert zurück gibt.
|
||||
Dadurch kann der Wert in einer Variablen gespeichert und somit weiterverarbeitet werden. Dazu verwenden wir das `return` Statement. \n",
|
||||
|
||||
"**d)** Betrachten Sie die folgenden zwei Funktionen. Beschreiben Sie kurz (1-2 Sätze), was hier geschieht. "
|
||||
|
||||
"""
|
||||
|
||||
# Funktion nimmt ein Argument und gibt es wieder zurueck
|
||||
def identity(x):
|
||||
return x
|
||||
|
||||
# Funktion nimmt ein Argument und probiert das Quadrat dieses zurueckzugeben
|
||||
def square(x):
|
||||
return x**2
|
||||
|
||||
# Weise dem Namen 'id2' den Rueckgabewert der Identityfunktion mit dem Argument 2 zu. id2 = 2
|
||||
id2 = identity(2) # definiere id2 über Zugriff auf identity
|
||||
|
||||
# Weise dem Namen 'square2' den Rueckgabewert der squarefunktion mit dem Argument 2 zu. square2 = 4
|
||||
square2 = square(2)# definiere square über Zugriff auf square
|
||||
|
||||
print(id2, square2) # Ausgabe der Werte
|
||||
|
||||
"""
|
||||
"**e)** Schreiben Sie eine neue Funktion,
|
||||
indem Sie den `print()` Befehl in der Funktion `printBahnkurve()` durch das `return` Statement ersetzen.
|
||||
Wählen Sie einen geeigneten Namen für die neue Funktion. "
|
||||
"""
|
||||
|
||||
def returnBahnkurve(x0, v0, t):
|
||||
g = -9.81
|
||||
x = x0 + v0 * t + 1/2 * g * t ** 2
|
||||
return x
|
||||
|
||||
|
||||
"""
|
||||
"## Visualisierung\n",
|
||||
"Da Sie nun dazu in der Lage sind,
|
||||
viele Datenpunkte zu erzeugen,
|
||||
wollen wir als nächsten Schritt die berechnete Bahnkurve in einem plot mithilfe von `matplotlib.pyplot` visualisieren. `Matplotlib` ist eine beliebte und sehr vielseitige plot Bibliothek,
|
||||
die es uns ermöglicht Daten zu visualisieren. Wer einen Eindruck davon gewinnen möchte, was alles mit `matplotlib` möglich ist, kann ja mal [hier](https://matplotlib.org/3.1.1/gallery/index.html) vorbeischauen!\n",
|
||||
"Wir haben folgendes Grundgerüst vorbereitet, in dem die Funktion $f(x) = x^2$ beispielhaft geplottet wird."
|
||||
"""
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
8
S1/ExPhyI/scores.txt
Normal file
8
S1/ExPhyI/scores.txt
Normal file
@@ -0,0 +1,8 @@
|
||||
1. 20
|
||||
2. 19,5
|
||||
3.
|
||||
4.
|
||||
|
||||
MAX. 240
|
||||
GRENZE. 120
|
||||
|
||||
BIN
S1/ExPhyI/Übungsblatt_1.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/Übungsblatt_1.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
S1/ExPhyI/Übungsblatt_2.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/Übungsblatt_2.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
S1/ExPhyI/Übungsblatt_3.pdf
Normal file
BIN
S1/ExPhyI/Übungsblatt_3.pdf
Normal file
Binary file not shown.
1034
S1/ReMe/RM_WS2425_HA1.pdf
Normal file
1034
S1/ReMe/RM_WS2425_HA1.pdf
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
1014
S1/ReMe/RM_WS2425_UE1-1.pdf
Normal file
1014
S1/ReMe/RM_WS2425_UE1-1.pdf
Normal file
File diff suppressed because it is too large
Load Diff
BIN
S1/ReMe/RM_WS2425_UE1.pdf
Normal file
BIN
S1/ReMe/RM_WS2425_UE1.pdf
Normal file
Binary file not shown.
BIN
S1/ReMe/Uebung.pdf
Normal file
BIN
S1/ReMe/Uebung.pdf
Normal file
Binary file not shown.
17
S1/ReMe/Uebung.typ
Normal file
17
S1/ReMe/Uebung.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,17 @@
|
||||
= Uebung 2
|
||||
|
||||
$ min $
|
||||
|
||||
$max$
|
||||
|
||||
what hte $==> $
|
||||
|
||||
- Herleitung der Quotientenregel
|
||||
|
||||
Um eine Gleichung der Form $a^x$ zu verschoenern, kann man $op(ln) ln $ auf beiden Seiten anwenden.
|
||||
|
||||
Splittrick $(x-1)/(x+1) = (x-1+1-1)/(x+1) = (x+1)/(x+1) + (-1-1)/(x+1) = 1 - 2/(x+1)$
|
||||
|
||||
Herleitung von der Reihe von $sin$ sin
|
||||
|
||||
|
||||
BIN
S1/ReMe/VL17.pdf
Normal file
BIN
S1/ReMe/VL17.pdf
Normal file
Binary file not shown.
12
S1/ReMe/VL17.typ
Normal file
12
S1/ReMe/VL17.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,12 @@
|
||||
= Kreuzprodukt
|
||||
|
||||
= Skalarprodukt
|
||||
|
||||
== Spatsprodukt
|
||||
|
||||
= Matrizen
|
||||
|
||||
sdf
|
||||
|
||||
d
|
||||
dsf
|
||||
BIN
S1/ReMe/VL18.pdf
Normal file
BIN
S1/ReMe/VL18.pdf
Normal file
Binary file not shown.
57
S1/ReMe/VL18.typ
Normal file
57
S1/ReMe/VL18.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,57 @@
|
||||
// 2025-01-06 09:05
|
||||
|
||||
= Lineare Abbildungen
|
||||
|
||||
Eine Abb. $f: V -> W$, zwischen VR $V$ und $W$ ueber $K$ ist linear wenn
|
||||
|
||||
$ forall x, y in V space forall lambda in K: f(x+y) = f(x) + f(y) and f(lambda x) = lambda f(x) $
|
||||
|
||||
= Matrizen und lineare Gleichungssysteme
|
||||
|
||||
Eine Matrix ist gleichbedeutend zu einer linearen Abbildung.
|
||||
|
||||
== Inhomogene LGS
|
||||
|
||||
Sei $arrow(x)_"hom"$ Lsg. des homogenen LGS $A arrow(x)_"hom" = bb(0)$.
|
||||
|
||||
Sei $arrow(x)_"part"$ Lsg. des inhomogenen LGS $A arrow(x)_"part" = arrow(c)$.
|
||||
|
||||
$ A(arrow(x)_"hom" + arrow(x)_"part") = arrow(c) $
|
||||
|
||||
$arrow.r.curve$ Ein inhomogenes LGS hat genau dann eine eindeutige Lsg., wenn hom. Lsg. und inhom. Lsg. existieren.
|
||||
|
||||
== Inverse
|
||||
|
||||
Eine Matrix $A$ heisst invertierbar, wenn die zug. Abb. ein Isomorphismus ist. Die Matrix der Umkehrabb. heisst dann inverse Matrix $A^(-1)$.
|
||||
|
||||
=== Eigenschaften
|
||||
|
||||
+ jede invertierbare Matrix ist quadratisch
|
||||
+ sind $A, B in K^(n times n)$, dann ist $ B = A^(-1) <=> A B = B A = E_n, quad E_n = (delta_(i j)) $
|
||||
+ ist $A$ invertierbar, so auch $A^(-1)$
|
||||
+ sind $A,B in K^(n times n)$ invertierbar, so auch $A B$
|
||||
|
||||
$arrow.r.curve$ Existiert inverse Matrix zur Kopf-Matrix eines inhom. LGS, so ist diese geloest durch $arrow(x) = A^(-1) arrow(c)$.
|
||||
|
||||
== Determinante
|
||||
|
||||
Diese ist relevant fuer das Loesen von LGS, invertieren von Matrizen, Subst. von Funktionen mehrerer Veraenderlicher und Eigenwertproblemen.
|
||||
|
||||
$ n = 2, quad det(A) = abs(mat(a, b;c, d)) = a d - b c $
|
||||
$ n = 3, quad det(A) = abs(mat(a, b, c;d, e, f; g, h, i)) $
|
||||
|
||||
=== Laplace'scher Entwicklungssatz
|
||||
|
||||
Determinante kannn nach beliebiger Zeile oder Spalte entickelt werden.
|
||||
|
||||
$ det(A) = abs(mat(a_11, a_12, a_13;a_21, a_22, a_23; a_31, a_32, a_33)) = a_11 abs(mat(a_22, a_23; a_32, a_33)) - a_21 abs(mat(a_12, a_13; a_32, a_33)) + a_31 abs(mat(a_12, a_13;, a_22, a_23)) $
|
||||
|
||||
Allgemein gilt fuer $n >= 2$, $A in K^(n times n)$
|
||||
|
||||
$ det(A) = sum^n_(i=1) (-1)^(i+1) a_(i 1) U_(i 1), quad U:="Unterdeterminante an der Stelle" (i 1) $
|
||||
|
||||
== Transponierte
|
||||
|
||||
Ist $A = (a_(i j))$, so ist die transponierte Matrix gegeben durch $a_(i j)^T = a_(j i)$.T
|
||||
Fuer quadrasiche Matrizen bleibt die Determinante beim Transponieren gleich. Ferner gilt $(A B)^T = B^T A^T$.
|
||||
|
||||
BIN
S1/ReMe/VL19.pdf
Normal file
BIN
S1/ReMe/VL19.pdf
Normal file
Binary file not shown.
17
S1/ReMe/VL19.typ
Normal file
17
S1/ReMe/VL19.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,17 @@
|
||||
// 2025-01-07 13:02
|
||||
|
||||
= Lineare Gleichungssysteme
|
||||
|
||||
Das homogene LGS fuer $arrow(x)$ laesst sich nicht trivial loesen,
|
||||
wenn die Spalten von A linear abhaengig sind.
|
||||
okay
|
||||
df
|
||||
sdf
|
||||
d
|
||||
d
|
||||
d
|
||||
|
||||
|
||||
= Mehr Determinanten
|
||||
|
||||
|
||||
BIN
S1/ReMe/VL4.pdf
Normal file
BIN
S1/ReMe/VL4.pdf
Normal file
Binary file not shown.
21
S1/ReMe/VL4.typ
Normal file
21
S1/ReMe/VL4.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,21 @@
|
||||
= 2024-11-04 08:42
|
||||
|
||||
d
|
||||
|
||||
== Stetigkeit und Diffbarkeit
|
||||
sdf
|
||||
|
||||
Beispiel anhand der Funktion x^2 (bilden des Differenzenquotienten von Hand).
|
||||
|
||||
Verschiedene Ableitungsregeln:
|
||||
|
||||
- Additionsregel
|
||||
- Produktregel
|
||||
- Quotientenregel NAZ ZAN N^2
|
||||
- Kettenregel
|
||||
- Umkehrregel (Nacharbeiten)
|
||||
|
||||
== Ableitugn von Potenzreihen
|
||||
|
||||
Sei f(x) eine Potenzreihe in Standardform.
|
||||
Dann ist die Ableitung die Summe von der Potenzableitung angewendet.
|
||||
24
S1/ReMe/VL6.md
Normal file
24
S1/ReMe/VL6.md
Normal file
@@ -0,0 +1,24 @@
|
||||
# 2024-11-11 08:19
|
||||
|
||||
## Potenzreihen
|
||||
|
||||
Um einen Punkt x0.
|
||||
Die Konvergenz ist ggf. auf ein Intervall beschraenkt.
|
||||
Ein Konvergenzkriterium ist bspw. das Wurzel oder Quotientenkriterium.
|
||||
> BSP: e^x = Die Reihe ueber x^n/n! -> r = oo
|
||||
|
||||
Innerhalb des Konvergenzbereichs definiert die Potenzreihe eindeutig eine Funktion.
|
||||
|
||||
## Entwickeln von Funktionen
|
||||
|
||||
Blueprint:
|
||||
|
||||
- Betrachten der Funktion
|
||||
- Ansatz fuer Potenzreihe
|
||||
- f(x) = a0 + a1x + a2 x**2 + ...
|
||||
- Einsetzen des Entwicklungspunkts
|
||||
- Ableitungen bilden
|
||||
- Zusammenfassung in eine Reihe
|
||||
- Konvergenzradius pruefen
|
||||
|
||||
Zum Ableiten koennen wieder die Allgemeinen Ableitungen von Potenzreihen gebildet werden und dann einfach den Entwicklungspunkt einsetzen.
|
||||
Reference in New Issue
Block a user