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Update book
This commit is contained in:
@@ -20,14 +20,174 @@
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= Uebersicht
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Start!
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Das sinnliche Erfassen der Themen ist wichtig. Dafuer brauchen wir die Experimente.
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#figure(
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image("assets_typst/drawing-2025-08-09-17-32-27.rnote.svg"),
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)
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Ausdruecke fuer verschiedene Arten von Wellen.
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Was fuer Frequenzen
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nu = ("Anzahl der Schwingungen") / ("Zeiteinheit" t)
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treten in der Natur auf?
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#experiment[
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Das erste Experiment in ExPhyIII.
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Das ebene Pendel als Wiederholung.
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Das Pendel wird durch $psi_(0) $ ausgelenkt. Es hat die Laenge $l$ und wird durch die Gravitationskraft nach unten beschleunigt.
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psi (t) = psi_(0) cos (omega t + phi) , space psi_(0) << pi/2 \
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omega ^2 = g/l , space omega (psi_(0) ) "const." \
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omega = 2 pi nu , space nu = 1/T \
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F = - k (z_(n) - z_(n - 1) ) + k (z_(k + 1) - z_(n) ) = k z_(n + 1) - 2 k z_(n) + k z_(n - 1) .
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Es gilt dann
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z_(n + 1) = z _(n - 1) = 0 \
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=> F = - 2 k z => omega ^2 = (z k )/m
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Dieses Masse Feder Sysetm hat also eine Loesung dieser Form und schwingt linear.
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Wir haben also 2 unabhaengige spezielle Loesungen zum Beispiel
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psi_(1) = cos (omega t) and psi_(2) = sin (omega t) \
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psi = A psi_(1) + B psi_(2)
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als Linearkombination.
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Es werden also 2 Parameter benoetigt um beliebige Anfangsbedinungen
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psi (t = 0)and dot(psi) (t = 0) .
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Es folgt also
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psi (t) = A_(1) cos (omega t) + A_(2) sin (omega t) = A cos (omega t + phi) , space "als reele Loesung" \
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psi (t) = A e ^(i omega t) = abs(A) e ^(i psi_(0) ) e ^(i omega t) = abs(A) e ^(i (omega t + phi)) , space "als komplexe Loesung"
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Als Strategeie ist dann zuerst eine komplexe Loesung zu finden und dann davon den Realteil und Imaginaerteil zu nehmen
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e ^(i omega t) -> cos (omega t) and sin (omega t).
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Es kann auch eine Linearkombination aus den komplexen Loesungen gebildet werden
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e ^(i omega t) + e ^( - i omega t) = 2 cos (omega t) \
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- i ( e ^(i omega t) - e ^(- i omega t) ) = 2 sin (omega t).
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Durch die Wiederholung ist das Tempo etwas schneller und ich kann nicht alles genau mitschreiben.
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= Gekoppelte Schwingungen und Normalmoden
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Wir betrachten ein System mit 2 Freiheitsgeraden
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Es befinden sich zwei Massen mit drei Federn zwischen zwei Waenden mit Positionen $x, y$ und Federkonstanten $K, k$.
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Stelle die Bewegungsgleichung auf
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dot.double(x) = - (k) / (m) x - (k) / (m) (x - y) \
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dot.double(y) = - K/m y - k/m (y - x) \
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omega_(c) ^2 := k/m , space omega_(0) = K/m + k/m \
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dot.double(x) = - omega_0 ^2 x + omega _(c) ^2 y \
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dot.double(y) = omega _(c) ^2 x - omega _(0) ^2 y.
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Als Ansatz laesst sich dann waehlen
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x = A cos (omega t + phi) \
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y = B cos (omega t + phi_(0) ).
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Als Gleichungssystem folgt dann
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mat(
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(omega_(0) ^2 - omega^2 ), - omega_(c) ^2 ;
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- omega_(c) ^2 , (omega_(0) ^2 - omega^2 );
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)
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vec(x, y) = vec(0, 0) \
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=> omega_(0) ^(4) - 2 omega_(0) ^2 omega^2 + omega ^(4) - omega_(c) ^(4) = 0 \
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omega_(1,2) ^2 = omega_(0) ^2 +- sqrt(omega_(0) ^(4) + omega_(c) ^(4) - omega_(0) ^(4) ) \
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B_(1) /A_(1) = (omega_(0) ^2 - omega_(1) ^2 ) / (omega_(c) ^2 ) = - 1 \
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B_(2) /A_(2) = (omega_(0) ^2 - omega_(2) ^2 ) / (omega_(c) ^2 ) = 1.
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Dies folgt durch
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omega_(1,2) ^2 = omega_(0) ^2 +- omega_(c) ^2.
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Es ergibt die allgemeine Loesung
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x = A_(1) cos (omega_(1) t + phi_(1) ) + A_(2) cos (omega_(2) t + phi_(2) ) \
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y = B_(1) cos (omega_(1) t + phi_(1) ) + B_(2) cos (omega_(2) t + phi_(2) ) \
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mit der Loesung oben ergibt das dann 4 unabhaengige Konstanten $A_(1) , A_2 phi_1 , phi_2 $ zur Anpassung an die Anfangsbedinungen.
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Also
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X := vec(1, -1) A_(1) cos (omega_(1) t + phi_(1) ) \
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Y := vec(1, 1) A_(2) cos (omega_(2) t + phi_(2) ). \
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]
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Dies wird dann als Normalmoden bezeichnet.
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Gekoppelte Schwingkreise und die Eigenfrequenzen, welche sich verschieben.
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= Schwegung
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Das ist die ueberlagerung zweier Schwingungen mit leicht unterschieldicher Frequenz bei gleicher oder aehnlicher Amplitude.
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Wir definieren
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psi_(1) = A cos (omega_(1) t) , space psi_(2) = A cos (omega_(2) t) \
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psi = psi_(1) + psi_(2) = A cos (omega_(1) t) + A cos (omega_(2) t) \
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overline(omega) = (omega_(1) + omega_(2))/2 , space omega_(m) = 1/2 (omega_(1) - omega_(2) ) , space "ist die Schwebungsfrequenz" \
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psi = A cos (overline(omega) t + omega_(m) t) + A cos (overline(omega)t - omega _(m) t) \
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psi = A cos (omega_(m) t) cos (overline(omega)t).
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= Wellen und harmonische Wellen
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Eine Welle ist eine raum-zeitliche Ausbreitung einer Storeung oder raeumlich Ausbreitung einer Schwingung. Der Spezialfall ist die harmonische Welle.
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Schwingungen eines Systems mit $N$ Freiheitsgeraden. $a$ ist hier der Abstand zwischen den Massen.
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Wir rechnen
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m dot.double(psi)_(n) = k ( psi _(n + 1) - 2 psi_(n) + psi_( n - 1)).
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Mit dem Ansatz
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psi_(n) (t) = A e ^(i (k n a - omega t)) , space n in {0, ..., N -1}
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als diskrete Varainte von
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A e ^(i (k x - omega t)).
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Es folgt dann durch Einsetzen
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m/k (- i omega)^2 A e ^(i (k n a - omega t)) = A (e ^(i k (n - 1)a - omega t) - 2 e ^(i (k n a - omega t)) + e ^(i (k (n - 1)a - omega t) ) ) \
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= A e ^(i (k n a - omega t)) ( e ^(i k a ) - 2 + e ^(- i k n) ) = 2 A (1 - cos (k a)) \
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=> omega ^2 = (2 k) / (m) (1 - cos (k a))
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Es gilt
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omega = 2 pi nu = (2 pi)/T \
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k = (2 pi)/lambda.
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Hieraus folgt die Dispersionsrealation, die Wellenzahl und die Kreisfrequenz der Welle.
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== Loesung im kontinuierlichen Limes
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Setze die harmonische (ebene) Welle an. Fuer die Ebene Welle muss die Wellenzahl zum Vektor werden
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psi (x, t) = psi_(0) e ^( i (k x - omega t + phi_0 )) .
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$ <one>
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Jetzt laesst sich das laufende Maximum der Welle verfolgen. Betrachte dafuer das Argument von @one. Wir nehmen an dass die Phase constant ist, da wir das Maximum verfolgen wollen. Also
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dif / (dif t) (k x - omega t + phi_0 ) = 0 \
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- omega + k dot(x) = 0 => dot(x) = omega/k = c , space "die Phasengeschwindigkeit" \
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c = omega /k = (2 pi nu lambda) / (2 pi) = nu lambda \
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omega (k) = sqrt((2k)/m) (1 - cos (k a))^(1/2) tilde.equiv sqrt((2 k)/m) sqrt(1 - b_1 - 1/2 k ^2 a^2 ) = sqrt(k/m) a k \
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=> c = omega /k = sqrt( (k a^2 )/m) \
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k << (2 pi)/a
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7
book.typ
7
book.typ
@@ -79,10 +79,17 @@
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= Semester III
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- #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III]
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- #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Convolution Correlation]
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- #chapter("S3/KFT/index.typ")[KFT]
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- #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Convolution Correlation]
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- #chapter("S3/MaPhyIII/index.typ")[MaPhy III]
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- #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Convolution Correlation]
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- #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest]
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||||
- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Convolution Correlation]
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- #chapter("S3/Fest/VL/FestVL2.typ")[Convolution Correlation]
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= Semester IV
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Reference in New Issue
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