diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ index bdfbd63..51005e7 100644 --- a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ +++ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ @@ -20,14 +20,174 @@ = Uebersicht -Start! +Das sinnliche Erfassen der Themen ist wichtig. Dafuer brauchen wir die Experimente. -#figure( - image("assets_typst/drawing-2025-08-09-17-32-27.rnote.svg"), -) +Ausdruecke fuer verschiedene Arten von Wellen. +Was fuer Frequenzen +$ + nu = ("Anzahl der Schwingungen") / ("Zeiteinheit" t) +$ +treten in der Natur auf? -#experiment[ - Das erste Experiment in ExPhyIII. +Das ebene Pendel als Wiederholung. + +Das Pendel wird durch $psi_(0) $ ausgelenkt. Es hat die Laenge $l$ und wird durch die Gravitationskraft nach unten beschleunigt. + +$ + psi (t) = psi_(0) cos (omega t + phi) , space psi_(0) << pi/2 \ + omega ^2 = g/l , space omega (psi_(0) ) "const." \ + omega = 2 pi nu , space nu = 1/T \ + F = - k (z_(n) - z_(n - 1) ) + k (z_(k + 1) - z_(n) ) = k z_(n + 1) - 2 k z_(n) + k z_(n - 1) . +$ +Es gilt dann +$ + z_(n + 1) = z _(n - 1) = 0 \ + => F = - 2 k z => omega ^2 = (z k )/m +$ +Dieses Masse Feder Sysetm hat also eine Loesung dieser Form und schwingt linear. + +Wir haben also 2 unabhaengige spezielle Loesungen zum Beispiel +$ + psi_(1) = cos (omega t) and psi_(2) = sin (omega t) \ + psi = A psi_(1) + B psi_(2) +$ +als Linearkombination. + +Es werden also 2 Parameter benoetigt um beliebige Anfangsbedinungen +$ + psi (t = 0)and dot(psi) (t = 0) . +$ + +Es folgt also +$ + + psi (t) = A_(1) cos (omega t) + A_(2) sin (omega t) = A cos (omega t + phi) , space "als reele Loesung" \ +psi (t) = A e ^(i omega t) = abs(A) e ^(i psi_(0) ) e ^(i omega t) = abs(A) e ^(i (omega t + phi)) , space "als komplexe Loesung" +$ + +Als Strategeie ist dann zuerst eine komplexe Loesung zu finden und dann davon den Realteil und Imaginaerteil zu nehmen +$ + e ^(i omega t) -> cos (omega t) and sin (omega t). +$ +Es kann auch eine Linearkombination aus den komplexen Loesungen gebildet werden +$ + e ^(i omega t) + e ^( - i omega t) = 2 cos (omega t) \ + - i ( e ^(i omega t) - e ^(- i omega t) ) = 2 sin (omega t). +$ + +Durch die Wiederholung ist das Tempo etwas schneller und ich kann nicht alles genau mitschreiben. + += Gekoppelte Schwingungen und Normalmoden + +Wir betrachten ein System mit 2 Freiheitsgeraden + +Es befinden sich zwei Massen mit drei Federn zwischen zwei Waenden mit Positionen $x, y$ und Federkonstanten $K, k$. + +Stelle die Bewegungsgleichung auf +$ + dot.double(x) = - (k) / (m) x - (k) / (m) (x - y) \ + dot.double(y) = - K/m y - k/m (y - x) \ + omega_(c) ^2 := k/m , space omega_(0) = K/m + k/m \ + dot.double(x) = - omega_0 ^2 x + omega _(c) ^2 y \ + dot.double(y) = omega _(c) ^2 x - omega _(0) ^2 y. +$ +Als Ansatz laesst sich dann waehlen +$ + x = A cos (omega t + phi) \ + y = B cos (omega t + phi_(0) ). +$ + +Als Gleichungssystem folgt dann +$ + mat( + (omega_(0) ^2 - omega^2 ), - omega_(c) ^2 ; + - omega_(c) ^2 , (omega_(0) ^2 - omega^2 ); + ) +vec(x, y) = vec(0, 0) \ +=> omega_(0) ^(4) - 2 omega_(0) ^2 omega^2 + omega ^(4) - omega_(c) ^(4) = 0 \ +omega_(1,2) ^2 = omega_(0) ^2 +- sqrt(omega_(0) ^(4) + omega_(c) ^(4) - omega_(0) ^(4) ) \ +B_(1) /A_(1) = (omega_(0) ^2 - omega_(1) ^2 ) / (omega_(c) ^2 ) = - 1 \ +B_(2) /A_(2) = (omega_(0) ^2 - omega_(2) ^2 ) / (omega_(c) ^2 ) = 1. +$ +Dies folgt durch +$ + omega_(1,2) ^2 = omega_(0) ^2 +- omega_(c) ^2. +$ + +Es ergibt die allgemeine Loesung +$ + x = A_(1) cos (omega_(1) t + phi_(1) ) + A_(2) cos (omega_(2) t + phi_(2) ) \ + y = B_(1) cos (omega_(1) t + phi_(1) ) + B_(2) cos (omega_(2) t + phi_(2) ) \ +$ +mit der Loesung oben ergibt das dann 4 unabhaengige Konstanten $A_(1) , A_2 phi_1 , phi_2 $ zur Anpassung an die Anfangsbedinungen. + +Also +$ + X := vec(1, -1) A_(1) cos (omega_(1) t + phi_(1) ) \ + Y := vec(1, 1) A_(2) cos (omega_(2) t + phi_(2) ). \ -] +$ +Dies wird dann als Normalmoden bezeichnet. + +Gekoppelte Schwingkreise und die Eigenfrequenzen, welche sich verschieben. + += Schwegung + +Das ist die ueberlagerung zweier Schwingungen mit leicht unterschieldicher Frequenz bei gleicher oder aehnlicher Amplitude. + +Wir definieren +$ + psi_(1) = A cos (omega_(1) t) , space psi_(2) = A cos (omega_(2) t) \ + psi = psi_(1) + psi_(2) = A cos (omega_(1) t) + A cos (omega_(2) t) \ + overline(omega) = (omega_(1) + omega_(2))/2 , space omega_(m) = 1/2 (omega_(1) - omega_(2) ) , space "ist die Schwebungsfrequenz" \ + psi = A cos (overline(omega) t + omega_(m) t) + A cos (overline(omega)t - omega _(m) t) \ + psi = A cos (omega_(m) t) cos (overline(omega)t). +$ + += Wellen und harmonische Wellen + +Eine Welle ist eine raum-zeitliche Ausbreitung einer Storeung oder raeumlich Ausbreitung einer Schwingung. Der Spezialfall ist die harmonische Welle. + +Schwingungen eines Systems mit $N$ Freiheitsgeraden. $a$ ist hier der Abstand zwischen den Massen. + +Wir rechnen +$ + m dot.double(psi)_(n) = k ( psi _(n + 1) - 2 psi_(n) + psi_( n - 1)). +$ +Mit dem Ansatz +$ + psi_(n) (t) = A e ^(i (k n a - omega t)) , space n in {0, ..., N -1} +$ +als diskrete Varainte von +$ + A e ^(i (k x - omega t)). +$ +Es folgt dann durch Einsetzen +$ + m/k (- i omega)^2 A e ^(i (k n a - omega t)) = A (e ^(i k (n - 1)a - omega t) - 2 e ^(i (k n a - omega t)) + e ^(i (k (n - 1)a - omega t) ) ) \ + = A e ^(i (k n a - omega t)) ( e ^(i k a ) - 2 + e ^(- i k n) ) = 2 A (1 - cos (k a)) \ + => omega ^2 = (2 k) / (m) (1 - cos (k a)) +$ +Es gilt +$ + omega = 2 pi nu = (2 pi)/T \ + k = (2 pi)/lambda. +$ +Hieraus folgt die Dispersionsrealation, die Wellenzahl und die Kreisfrequenz der Welle. + +== Loesung im kontinuierlichen Limes + +Setze die harmonische (ebene) Welle an. Fuer die Ebene Welle muss die Wellenzahl zum Vektor werden +$ + psi (x, t) = psi_(0) e ^( i (k x - omega t + phi_0 )) . +$ +Jetzt laesst sich das laufende Maximum der Welle verfolgen. Betrachte dafuer das Argument von @one. Wir nehmen an dass die Phase constant ist, da wir das Maximum verfolgen wollen. Also +$ + dif / (dif t) (k x - omega t + phi_0 ) = 0 \ + - omega + k dot(x) = 0 => dot(x) = omega/k = c , space "die Phasengeschwindigkeit" \ + c = omega /k = (2 pi nu lambda) / (2 pi) = nu lambda \ + omega (k) = sqrt((2k)/m) (1 - cos (k a))^(1/2) tilde.equiv sqrt((2 k)/m) sqrt(1 - b_1 - 1/2 k ^2 a^2 ) = sqrt(k/m) a k \ + => c = omega /k = sqrt( (k a^2 )/m) \ + k << (2 pi)/a +$ diff --git a/book.typ b/book.typ index cadfa5c..71d9d34 100644 --- a/book.typ +++ b/book.typ @@ -79,10 +79,17 @@ = Semester III - #chapter("S3/ExPhyIII/index.typ")[ExPhy III] + - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL1.typ")[Convolution Correlation] - #chapter("S3/KFT/index.typ")[KFT] + - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Convolution Correlation] - #chapter("S3/MaPhyIII/index.typ")[MaPhy III] + - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL1.typ")[Convolution Correlation] + + - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest] + - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Convolution Correlation] + - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL2.typ")[Convolution Correlation] = Semester IV