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https://gitlab.gwdg.de/j.hahn02/university.git
synced 2026-01-01 06:44:25 -05:00
refactor various files
This commit is contained in:
38
S1/ExPhyI/VL/VL10.typ
Normal file
38
S1/ExPhyI/VL/VL10.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,38 @@
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//2024-11-22
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//
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= Inertialsysteme
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Zunaechst: keine Rotation
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Zwei Bezugssysteme $S(x,y,z) quad S'(x',y',z')$ (Relativbewegung mit $arrow(u)$)
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Die Relativbewegung muss sehr viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein (Zeitdiletation?)
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Ort, geschwindigkeit und Beschleunigung koennen in abhaengigkeit von u berechnet werden.
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Die Beschleunigung bleibt gleich.
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#rect([Transformation: Galilei-Transformation])
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Beide Systeme sind fuer die Beschreibung der physikalischen Gesetze aequivalent (Inertialsysteme)
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== Geradlinig beschleunigte Bezugssteme
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$ arrow(u) = arrow(u) (t) quad arrow(a) != arrow(a)' $
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Beobachter im beschleunigten BS kann dies feststellen und miteinbeziehen -> die gleichen physikalischen Gesetze gelten.
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$S'$ ist jetzt kein Interalsystem!
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$ x = x' + u_0 t + 1/2 a t^2 $
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BS eines fallenden Koerpers
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$ y = y' \
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t = t' $
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=== Gedanken-Experiemente
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+ Beispiel:
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24
S1/ExPhyI/VL/VL11.typ
Normal file
24
S1/ExPhyI/VL/VL11.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,24 @@
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#import "@preview/pinit:0.2.2": *
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#set math.equation(numbering: "(1)")
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= Behaelter mit Wasser
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Freie #pin(5)Oberflaeche des Wassers ist $perp arrow(g)$
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Im rotierenden System gilt wieder Oberflaeche $perp arrow(F)_"ges"$
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// Add graphic with ticx
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// Use the physicspackage
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$ tan(alpha) = (omega^2 r)/2#pin(4) = (d z (r))/(d r) $
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A simple #pin(1)highlighted text#pin(2).
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#pinit-highlight(1, 2)
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#pinit-point-from((1, 2))[It is simple.]
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#pinit-point-from(5)[It is simple.]
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#pinit-point-from(4)[It is simple.]
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he:
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70
S1/ExPhyI/VL/VL12.typ
Normal file
70
S1/ExPhyI/VL/VL12.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,70 @@
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= Stoesse
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JES: $arrow(p_1)' + arrow(p_2)' = arrow(p_1) + arrow(p_2)$ #h(10pt) (' $->$ #underline([nach]) dem Stoss)
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EES: ("innere Energie")
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Wir unterscheiden:
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$U = 0$: elastischer Stoss
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$U < 0, E_("kin")' < E_("kin"): inelastischer Stoss
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- zentraler Stoss
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- nicht zentraler Stoss
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Beispiel:
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- zentraler, elastischer Stoss
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- Impuls wird sukzessiv weitergegeben
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- Warum fliegt nicht 1 Kugel mit 2v weg, wenn vorne 2 Kugeln stossen? IES und EES muessen erfuellt sein (EES ist quadratisch mit der Geschwindigkeit)
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- Nur 2 Kugeln: elastischer vs. inelastischer Stoss
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= Elastische Stoesse
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Geg: $m_1, m_2, arrow(v)_1, arrow(v)_2$ #h(10pt) (vor dem Stoss)
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Ges: $arrow(v)'_1, arrow(v)'_2$ (nach dem Stoss)
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Wahl des Koordinatensystems: mitbewegt, $v_2 = 0$
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EES: $ 1/2 m_1 v_1^2 = 1/2 m_1 v'_1^2 + 1/2 m_2 v'_2^2 $ <ees>
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JES: $ m_1 arrow(v_1) = m_1 arrow(v') + m_2 arrow(v'_2) $ <jes>
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Man berechne:
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@jes quadrieren
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@ees ($dot 2 m_1$)
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Es folgt:
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$ 2 m_1 arrow(v_1)' dot arrow(v_2)' + m_2 v_2'^2 = m_1 v'_2^2 $
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$ arrow(v_1)' dot arrow(v'_2) = (m_1 - m_2)/(2 m_1) v'_2^2 $ <green>
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+ $m_1 = m_2; arrow(v')_1 dot arrow(v')_2 = 0 --> v'_1 = 0$
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zentraler Stoss
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+ $m_1 = m_2$ $arrow(v')_1 perp arrow(v')_2$
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nicht zentral
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Teile die Geschwindigkeiten der beiden Massen in seine Komponenten auf.
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Dabei behaelt $m_1$ die Tangentialkomponente, wohingegen $m_2$ Zentralkomponente bekommt.
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+ $m_1 != m_2$, zentraler Stoss
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$ v'_1 = (m_1 - m_2)/(2 m_1) v'_2 $
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+ $m_1 < m_2 -> v'_1 < 0$ ($m_1$ wird reflektiret)
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+
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71
S1/ExPhyI/VL/VL17.typ
Normal file
71
S1/ExPhyI/VL/VL17.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,71 @@
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// 12/18/2024
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= Gekoppelte Schwingungen
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Zwei Fadenbendel mit Kopplungsfeder.
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Es gelten die Bewegungsleichungen:
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$ m_1 dot.double(x_1) = - D_1 x_1 - D_(1 2) (x_1 - x_2) \
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m_2 dot.double(x_2) = - D_2 x_2 - D_(12) (x_2-x_1) $
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diese stellen ein gekoppeltes DLG-System dar und koennen nur gemeinsam geloest werden.
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Spezialfall: $m_1 = m_2 = m$
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Fall: $A_1 = A_2 = A$
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$ x_1 = (psi^+ + psi^-) = ... = 2A &cos((omega_1 - omega_2)/2 t + (phi_1 - phi_2)/2) dot \ &cos((omega_1 + omega_2)/2 t + (phi_1 + phi_2)/2) $
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d.h. die Schwingungsenergie wird zwischen den beiden Pendeln hin- und hergereicht.
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#table(
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columns:2,
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[*gleichphasige Schwingung*], [*gegenphasige Schwingung*],
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[Feder nicht beansprucht], [],
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$psi^- = 0$, [],
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[phi_1 - phi_2 = phi]
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)
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Bemerkung: bei nicht-identischen Pedeln: unvollstaendiger Energie-Uebertrag
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== Beispiele
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Zwei Massen $m_1, m_2$ mit zwei Faeden mit laenge $l$ miteinander verbunden und haengend.
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$ l = l_1 = l_2 \
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m_1 >> m_2 $
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Energiebetrachtung $m_1/2 v_(1_"max")^2 =^"EES" m_2/2 v_(2_max)^2$
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= Mechanische Wellen
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MP $m_1$ gekoppelt an $m_i$ ($k$ MP).
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+ Schwingung breitet sich im Raum aus
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+ Schwingungsenergie wird transportiert (keine Materie)
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z.B. Schallwellen, Wasserwellen
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Wir betrachten die Ausbreitung in #underline[einer Richtung].
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== Darstellung harmonischer Wellen
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$ xi(z, t) = A sin(omega(t-z/v)) = A sin(omega t - k z), quad k = 2 pi/lambda, v eq "Phasengeschwindigkeit" $
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Hier ist $xi$ i.A. nicht der Ort, kann z.B auch der Schallauch sein, el. Feldstaerke.
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Wellenlaenge $lambda$: Abstand $Delta z$ zweier Punkte, fuer die die Auslenkung $xi(z_1, t) = xi(z_2,t)$ zur gleichen Zeit $t$
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Phasengeschwindigkeit: Geschwindigkeit, mit der sich die Phase ausbreitet $v = omega/k = 2 pi v lambda/(2 pi) = v lambda$
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$ xi(z,t)&=c e^(i(omega z - k z)) + c^* e^(-i(omega t - k z)) \ &=A cos(omega t-k z)+B sin(omega t-k z) \ "mit" A&=c+c^* quad B=i(c-c^*) $
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an jedem festen Ort $z=z_0$: zeitlich periodische harmoische Schwingung
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$ xi(t)=A sin(omega t-k z_0)=A sin(omega t-phi) $
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zu jedem festen Zeitpunkt:
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142
S1/ExPhyI/VL/VL6.typ
Normal file
142
S1/ExPhyI/VL/VL6.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,142 @@
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= Arbeit, Leistung, Energie
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Arbeit ist ein Skalarprodukt von der Kraft und dem Weg.
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Leistung ist die Ableitung der Arbeit nach der Zeit.
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Energie ist eigentlich das Gleiche wie die Arbeit.
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Beispiele: Flaschenzug, Schraege Rampe
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== Wegunabhaengige Arbeit und konservative Kraftfelder
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- Falls $W_a = W_b$ fuer beliebige Wege $a, b$, ist das Weg-Integral *wegunabhaengig* und das Kraftfeld *konservativ*.
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aequivalent dazu sind folgende Aussagen:
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- $integral.cont arrow(F) d arrow(r) = 0$
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== Einschub: der Nabla-Operator $nabla$
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$ nabla = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
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partielle Ableitung
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+ *Gradient* (Anwendung auf ein Skalar)
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$ nabla f = op("grad") f = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
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Der Gradient gibt die Richtung der groessten Aenderung von $f$ an
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// Insert here a 2d graphic of Heightlines with
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// a perpendicular gradient vector on them in red
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der Gradient steht senkrecht auf den Hoehenlinien und ist tangential an der Falllinie.
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+ *Divergenz* (Skalarprodukt mit einem Vektor) $arrow(u) = {u_x, u_y, u_z}$
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$ nabla dot arrow(u) = "div" arrow(u) = {delta/(delta x), delta/(delta y), delta/(delta z)} $
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anschaulich: Quellen und Senken eines Vektorfeldes
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+ *Rotationen* (Vektorprodukt mit einem Vektor)
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$ nabla times arrow(u) = "rot" arrow(u) $ (siehe oben)
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anschaulich: Wirbel im Stroemungsfeld
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+ *Kombinationen* $"div grad" f = nabla (nabla f) = Delta f$ (Laplace)
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$= (delta^2 f)/(delta x^2), (delta^2 f)/(delta y^2), (delta^2 f)/(delta z^2)$
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Energie = gespeicherte Arbeit $[E] = J$
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$=$ die Faehigkeit, Arbeit zu verrichten
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Beispiel: Hubarbeit $m dot g dot h arrow$ potientielle Energie $m dot g dot h arrow "loslassen" arrow "kinetische Energie" 1/2 m v^2$
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== Der Energie-Erhaltungs-Satz (EES)
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2. Newtonsches Gesetz: $arrow(F) = m (d arrow(v))/(d t)$
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$ integral arrow(F) dot arrow(v) d t = m integral (d arrow(v))/(d t) arrow(v) d t$
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$I = integral arrow(F) dot arrow(v) d t = integral arrow(F) d arrow(r) = E_p^1 - E_p^2$ (Arbeit, potientielle Energie)
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$II = m integral arrow(v) d arrow(r) = m/2 v^2_2 = m/2 v_1^2 = E_("kin")^2 - E_("kin")^1$
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$ --> E_("kin")^1 + E_p^1 = E_("kin")^2 + E_p^2$ (EES der Mechanik)
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Beschleunigungsarbiet (2.NG) wird als Zuwachs kinetischer Energie gespeichert.
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- Energie wird nicht "erzeugt" oder "verbraucht"
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- Energieformen werden ineinander umgewandelt
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Beispiel: Pendel
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// Skizze einfuegen
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1. $v = 0 arrow E_("kin") = 0, h = h_("max") arrow E_("pot") = m g h_("max")$
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2. $v = v_("max") arrow E_("kin") = 1/2 m v_("max")^2, h = 0 arrow E_("pot") = 0$
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3. Siehe 1
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= Kraftfelder und Potential
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Wir nehmen ein konservatives Kraftfeld an und gehen von Punkt $P$ um $delta arrow(r)$ zu Punkt $P'$
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// Skizze von verschiedenen Wegen von Punkt P zu P' in 2D und der Steitung dy
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// Vektoren fuer die Kraefte sind eingezeichnet
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es aendert sich die potientielle Energie $E_p (x, y, z) = E_p (P)$ um $delta E_p = (delta E_p)/(delta x) delta x + (delta E_p)/(delta y) delta y + (delta E_p)/(delta z) delta z$
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da wir eine Strecke in einem Kraftfeld zuruecklegen, verrichten wir Arbeit $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ $delta W = arrow(F) dot d arrow(r) = - delta E_p$ (gespeichert als potientielle Energie)
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--> $F_x delta x + F_y delta y + F_z delta z =^"von oben" - (delta E_p)/(delta x) delta x - (delta E_p)/(delta y) delta y - (delta E_p)/(delta z) delta z$
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daher $F_x = - (delta E_p)/(delta x) delta x F_y = - (delta E_p)/(delta y) delta y F_z = - (delta E_p)/(delta z) delta z$
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$arrow(F) = - "grad" E_p = - nabla E_p$
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Nachtrag: Es existiert ein Skalarfeld DURCHSCHNITT $(arrow(r))$ (Potential), sodass $arrow(F) = - k nabla o (arrow(r))$
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($<--> arrow(F)(arrow(r))$ ist ein konservatives Kraftfeld)
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== Drehimpuls und Drehmoment
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MP mit Impuls $arrow(p)$ auf Bahn $arrow(r) (t)$
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Definition: $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p) = m (arrow(r) times arrow(v))$ Drehimpuls
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wichtig: immer in Bezug auf den Koordinatenursprung $O$.
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wir zerlegen $arrow(v) "in" arrow(v)_r || arrow(r)$ und $arrow(v)_phi "senkrecht" r$ (Polarkoordinaten)
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$ --> arrow(L) = m [ arrow(r) times (arrow(v)_r + arrow(v)_phi)] = m arrow(r) times arrow(v)_phi$
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$abs(arrow(L)) = m r omega r sin(90 degree) = m r^2 dot(phi)$
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$dot(arrow(L)) = (d arrow(L))/(d t) = [(d arrow(r))/(d t) times arrow(p)] + [arrow(r) times (d arrow(p))/(d t)]$
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$= arrow(v) times arrow(p) + arrow(r) times dot(arrow(p)) = arrow(r) times arrow(F)$
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Definition: $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$ (Drehmoment)
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=== Analogie
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#table(
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columns: 2,
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[Translation], [Rotation],
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[Impuls $arrow(p)$], [Drehimpuls $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p)$],
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[Kraft $arrow(F) = dot(arrow(p))$], [Drehmoment $arrow(D) = dot(arrow(L)) = arrow(r) times arrow(F)$],
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[1. NG $arrow(p) = "const" <--> arrow(F) = 0$], [$arrow(L) "const" <--> arrow(D) = 0$],
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[Position $arrow(r)$], [Winkel $phi$],
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[Geschwindigkeit $arrow(v) = dot(arrow(r))$], [Winkelgeschwindigkeit $arrow(omega) = dot(phi) arrow(e)_z$],
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)
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Beispiel: Zentralkraftfelder $arrow(F) = f(r) arrow(e)_r$
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$ arrow(D) = f(r) arrow(r) times arrow(e)_r = 0 = dot(arrow(L))$
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$ --> arrow(L) = "const"$
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56
S1/ExPhyI/VL/VL9.typ
Normal file
56
S1/ExPhyI/VL/VL9.typ
Normal file
@@ -0,0 +1,56 @@
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//2024-11-20
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#import "@preview/physica:0.9.3": curl, grad, tensor, pdv
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#import "@preview/unify:0.6.1": num,qty,numrange,qtyrange
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= Bestimmung von G mit der "Torsionsdrehwaage"
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$ s^* = 1/2 a^* t^2 $
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$ a = l/L (s^*)/(2t^2) = F/m = G M/r^2 $
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Wir haben gemessen $s^* (t)$
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Wir berechnen: $G = (r^2)/M l/(2L) (s^*)/t^2 = "3,53 x 10^-6 m^2/kg s^* t^2"$
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Tafelaufschrieb letzte Stunde: #table(columns: 2, $(s^*)/(c m)$, $t/s$, [1], [24], [4], [50], [9], [79])
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df
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- Wertepaar einsetzen $G = qty("6.13e-11", "m^3/kg/s^2)")$
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= Planetenbahnen
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Hello
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- im Gravitationsfeld der Sonne ist die Gesamtenergie konstant
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$ E = E_p + E_("kin") $
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- der Drehimpuls $arrow(L) = arrow(r) times arrow(p)$ eines Planeten ist zeitlich konstant
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- ebene Polarkoordinaten $(r, phi)$, Ursprung in der Sonne
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$ E_("kin") = 1/2 m v^2 = 1/2 m (v_r^2 + v_phi^2) = m/2 (dot(r)^2 + (r dot(phi)^2)) $ // *
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$ arrow(L) = m ( arrow(r) times arrow(p)) = m[(arrow(r) times arrow(v)_r) + (arrow(r) times arrow(v)_phi)] = m (arrow(r) times arrow(v)_phi)) $
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$ abs(arrow(L)) = m r^2 dot(phi) = L $
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// * ->
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$ E_p + m/2 dot(r)^2 + L^2/(2 m r^2) = E = "const." $
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- Das effektive Potential (Potientelle Energie plus die Zentrifugal "energie")
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= Das Gravitationsfeld ausgedehnter Koerper
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Motivation: Rechtfertigung fuer das Benutzen von Massepunkten
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Hohle Kugeln
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hal
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ha
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this
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Reference in New Issue
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