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S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ

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+// Main VL template
+#import "../preamble.typ": *
+
+// Fix theorems to be shown the right way in this document
+#import "@preview/ctheorems:1.1.3": *
+#show: thmrules
+
+// Main settings call
+#show: conf.with(
+	// May add more flags here in the future
+	num: 5,
+	type: 0, // 0 normal, 1 exercise
+	date: datetime.today().display(),
+	//date: datetime(
+	//	year: 2025,
+	//	month: 5,
+	//	day: 1,
+	//).display(),
+)
+
+= Uebersicht
+
+Hilbertraeume und ONS fuer PDEs. Fouriertrafo fuer die Loesung von PDEs. 
+
+Harmonischer Oszillator 
+$
+  (dif ^2  y) / (dif x ^2 ) +  omega ^2 y = 0 \, space y =  A e ^(i k x) \ 
+  A e ^(i k x)  (-  k^2 +  omega^2 ) = 0 ==> k =  +- omega ==>  y = A e ^(i omega x)  +  beta e^(- i omega x).
+$
+
+Motivation der Fourertransformation. Sei $u$ eine Funktion
+$
+  P: u |-> - i u^(1)  \ 
+  Q: u |-> x * u.
+$
+Wir suchen einen Funktionenraum und eine lineare Transformation $u |-> hat(u)$, sodass $hat(P u) = Q hat(u)$.
+
+Aus einer DGL soll ein algebraischer Ausdruck werden. Mit dem Ansatz 
+$
+  hat(u) =  integral K (x, xi) u (x) dif x.
+$
+Welche Anforderungen brauchen wir an $u$, sodass das Integral definiert ist. Es soll also partielle Integration durchfuehrbar sein 
+$
+   i xi hat(u) (xi) =  integral i xi e ^(i x xi)  u (x) dif x =  integral e ^(i x xi) (+ u') (x) dif x = - underbrace([e ^(- i xi x) u (x)]_(- oo) ^(oo), =^(!)  0) +  integral e ^(- i x xi) partial _(x) u dif x =    hat(u)' (xi).
+$ 
+
+Um den bei der partiellen Integration auftretenden Randterm zu eliminieren, wird die Fourertransformation auf $L^(1) $ definiert.
+
+Q: Warum faellt dieser Term bei $L^(1) $ Funktionen weg?
+
+#theorem[
+  Riemann-Lebesgue-Lemma.
+
+  Es gilt 
+  $
+    lim_(abs(xi) -> oo) hat(u) (xi) = 0.
+  $
+]
+
+Die Fourertransformation ist immer stetig. Im allgemeinen ist die Fourertransformation wie hier noch nicht integrierbar.
+
+Einfuehrung der Multi-Index Notation mit einem Produkt aber keine Summe. Es gilt dann 
+$
+  P^(alpha) u (x) = (- i)^(abs(alpha)) partial^(alpha)  u (x).
+$
+
+#lemma[
+  Falls $u in C^(k) (RR^(n) )$ und $P^(alpha) in L^(1) (RR^(n) ) space forall alpha : abs(alpha) <= k$, so ist 
+  $
+    hat(p ^(alpha) u ) =  Q^(alpha)  u \, space abs(alpha) <= k \ 
+    abs( hat(u) (xi)) <= C (1) / (1 +  norm(xi) k).
+  $
+  Falls $u$ kompakt getragen ist, so kann $hat(u)$ in eine ueberall konvergente Potenzreihe entwickelt werden 
+  $
+    hat(u) (xi) =  sum c_(k) (xi - xi_0 )^(k).
+  $
+]
+
+#proof[
+  Betrachte 
+  $
+    hat(P^(alpha)  u) =  Q^(alpha)  hat(u) =  x ^(alpha)  hat(u)
+  $
+]