From 02cb8e06676cb114501745482a5532f6ac0a5b6b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Jonas Hahn Date: Wed, 26 Nov 2025 11:42:06 +0100 Subject: [PATCH] auto up 11:42:06 up 1:56, 2 users, load average: 0.03, 0.13, 0.17 --- S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ | 175 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ | 84 ++++++++++++++++ book.typ | 2 + 3 files changed, 261 insertions(+) create mode 100644 S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ create mode 100644 S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ diff --git a/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ new file mode 100644 index 0000000..ae012e1 --- /dev/null +++ b/S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ @@ -0,0 +1,175 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 5, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +== Reflexion und Brechung + +Wechselstroeme und das Zeigerdiagramm +$ + I (t) = I_0 cos [omega t + phi_(I) ] \ + U (t) = U_0 cos [ omega t + phi _(U) ] \ + Z = a + i b = abs(z) exp(i phi). +$ + +Wiederholung von Kombinantion von Wechselstromwiederstaenden und deren Impedanz +$ + abs(Z) = sqrt(R^2 + (omega L - 1/ (omega C))^2 ) \ + tan phi = (omega L - 1/(omega C)) / (R) = (Im Z) / (Re Z). +$ + +Es gilt +$ + (diff V) / (diff x) = - ((diff L) / (diff x) )(diff I) / (diff t) \, space (diff I) / (diff x) = - ((diff C) / (diff x) )(diff V) / (diff t) \ + (diff ^2 V) / (diff t^2 ) = - 1/C_0 diff / (diff x) (diff I) / (diff t) = - 1/C_0 diff / (diff x) (- 1/L_0 (diff V) / (diff x) )= 1 / (L_0 C_0 )(diff ^2 V) / (diff x^2 ) \, space c = 1/sqrt(L_0 C_0 ) \ + partial _(x) I = - C_0 partial _(t) V ==> I_(+) = I_(0 +) e^(i (k x - omega t)) \, space V_(+) = V_(0 +) e^(i (k x - omega t)) \ + I_(0 +) i k = - C_0 (i omega) V_(0 +) \ + ==> (V_(0 +) ) / (I _(0 +) ) = k/omega 1/C_0 = 1/c 1/C_0 = sqrt(L_0 C_0 )1/C_0 = sqrt((L_0 ) / (C_0 ) ) = Z_0. +$ + += Koaxialkabel +Es gilt +$ + E = 1/(2 pi epsilon_0 ) (lambda) / (r) = 1/(2 pi epsilon_0 ) (Q) / (L r) \ + Delta V = V_(b) - V_(a) \ + dif C = (2 pi epsilon_0 ) / (ln (R/r)) dif l \ + dif L = (mu mu_0 ) / (2 pi) ln (R/r) dif l. +$ + +Wir haben Wellen der Form +$ + I, U, arrow(E), arrow(B). +$ +Fuer die Impedanz gilt dann +$ + Z := sqrt(L/C) \, space [Z]= Omega. +$ +Die Grenzflaeche ist dann zwischen $Z_(1) $ und $Z_2 $. Es gilt fuer die drei Stroeme +$ + I = I_(1 + ) + I _(1 - ) = I _(2 + ) \ + U = U_(1 + ) + U_(1 - ) = Z_(1) I _(1 + ) - Z_(1) I_(1 - ) = U _(2 + ) = Z_(2) I_(2 + ) \ + ==> I_(2 + ) = I _(1 + ) + I _(1 - ) \, space Z_(2) I_(2 + ) = Z_(1) I _(1 + ) + Z_(1) I _(1 - ) \ + ==> 1 + (I_(1 - ) ) / (I _(1 + ) ) = (I _(2 + ) ) / (I _(1 + ) ) := underbrace(t, "Transmission") = 1 + underbrace(r, "Reflexion") \ + Z_(1) - Z_(2) (I_(1 - ) ) / (I _(1 + ) ) = Z_(2) (I_(2 + ) ) / (I _(1 + ) ) \ + ==> r = (Z_(1) - Z_(2) ) / (Z_(1) + Z_(2) ) \, space t = (2 Z_(1) ) / (Z_(1) + Z_(2) ). +$ + += Dopplereffekt + +Fuer Schall +$ + f' = (1 +- v_(e) /c) / (1 minus.plus v_(s) /c) f_0, +$ +wobei $+ $ aufeinander zu und $- $ voneinander weg ist. Auch ist $v_(e) $ die Geschwindigkeit des Empfaengers und $v_(s) $ die des Senders. +Lorentztransformation impliziert +$ + f = sqrt((c +- v) / (c minus.plus v) ) f_0. +$ +Fuer die Wellenlaenge $lambda$ +$ + lambda = c T \, space f_0 = c /T \ + lambda' = (c + v_(s) ) T \, space lambda'' = (c - v_(s) ) T \ + f' = c/lambda' = (c) / ((c + v_(s) )T) = c / (v + v_(s) )f_0 ==> f' = 1/(1 +- v_(s) /c) f_0. +$ + +Fuer den bewegten Empfaenger +$ + T' = (lambda) / (c + v_(e) ) = T_0 /(1 + v_(e) /c) \ + ==> f'= (1 + v_(e) /c) f_0 \ + f' = (1 +- v_(e) /c) / (1 minus.plus v_(s) /c) f_0. +$ +Fuer Relativitaet +$ + x' = gamma (x - v t) \, space y' = y \, space z' = z \, space t' = gamma (t - (x v) / (c^2 ) ) \, space gamma = (1) / (sqrt(1 - v^2 /c^2 )) \ +( c Delta t - v Delta t)/N \, space f = c/lambda = (c N) / (c Delta t - v Delta t) \ +N = f_0 Delta t' \, space Delta t' = Delta t = (Delta t)/gamma \ +f = (c) / (c Delta t - v Delta t) f_0 (Delta t) / (gamma) = 1/ (1 - v/c) f_0 /gamma = sqrt((1 + v/c)/(1 - v/c)) f_0 +$ + += Brechung und Reflexion +Betrachte Wellen +$ + psi_(1) = a_1 e ^(i (arrow(k)_(1) arrow(r) - omega t)) \ + psi_(r) = a_(r) e^(i (arrow(k)_(r) arrow(r) - omega _(r) t)) + psi_(2) = a_(2) e^(i (arrow(k)_(2) arrow(r) - omega _(2) t)). +$ +Das Ziel ist die Bestimmung der Geometrie. Also $Theta_(2) , Theta_(1) "und" Theta_(r) $ und $R = abs((a_(r) ) / (a_(1) ) )^2 \, space R = R (n_1, n_2, Theta_(1) )$ sowie $T = abs(a_2 /a_1 )^2 \, space T = T (n_1, n_2, Theta_(1) ) $. Es gilt dabei $R = abs(r)^2 \, space T = abs(t)^2 $. +Alles folgt aus den Randbedingungen. So ist $psi$ hier stetig und +$ + arrow(nabla) psi "stetig an der Grenzflaeche" z = 0. +$ + +Stetigkeit von $psi$ impliziert +$ + a_1 e^(i (arrow(k)_(1) arrow(r) - omega t)) + a_(r) e^(i (arrow(k)_(r) arrow(r) - omega_(r) t)) = a_(2) e^(i (arrow(k)_(2) arrow(r) - omega_(2) t)) space forall arrow(r) = vec(x, y, 0) space forall t \ + ==> omega := omega_(1) = omega_(r) = omega_(2). +$ +Es muessen also auch die Tangentialkomponenten von $arrow(k)$ gleich sein, also gilt auch +$ + k_(1) ^((x)) = k_(r) ^((x)) = k_(2) ^((x)). +$ +Also +$ + k_(1) ^((x)) = k n_(1) sin Theta_(1) = k n_(1) sin Theta_(r) \ + ==> Theta_(1) = Theta_(r) "Reflexionsgesetz". +$ +Aus $k_(1) ^((x)) = k_(2) ^((x)) $ folgt +$ + k n_(1) sin Theta_(1) = k_(2) n_(2) sin Theta_(2) \ + ==> n_1 / n_2 = (sin Theta_(2) ) / (sin Theta_(1) ). +$ +Mit $k = (2 pi )/lambda$ im Vakuum. Auch +$ + a_1 + a_(r) = a_(2). +$ +Aus der Stetigkeit des Gradienten folgt +$ + arrow(k)_(1) psi_(1) + arrow(k)_(r) psi_(r) = arrow(k)_(2) psi_(2) \ + ==> k n_1 a_1 sin Theta_(1) + k n_1 a_1 sin Theta_(1) = k n_2 a_2 sin Theta_2 \ + ==> (a_1 + a_(2) ) n_1 sin Theta_1 = a_2 n_2 sin Theta_2 "wieder der Snellius". +$ +Die senkrechte Komponenente liefert +$ + - k n_1 a_1 cos Theta_1 + k n_1 a_(r) cos Theta_1 = - k n_2 a_2 cos Theta_2 \ + ==> n_1 cos Theta_1 (a_1 - a_(r) ) = n_2 (a_1 + a_(r) )cos Theta_2 \ + ( 1 - a_(r) /a_(1) ) = n_2 /n_1 (cos Theta_2 )/(cos Theta_1 ) (1 + a_(r) /a_(1) ) "mit" r := a_(r) /a_(1) ==> (1 - sigma) = n_2 /n_1 (cos Theta_2 ) / (cos Theta_1 ) space "?" +$ + +Also +$ + 1 - n_2 /n_1 (cos Theta_2 ) / (cos Theta_1) = r (n_2 /n_1 (cos Theta_(2) ) / (Theta_(1) ) + 1) \ + ==> r = (n_2 cos Theta_1 - n_2 cos Theta_2 ) / (n_1 cos Theta_(1) + n_2 cos Theta_(2) ) \ + ==> t = a_(2) /a_(1) = (a_1 + a_(r) ) / (a_1 ) = 1 + r \ + ==> t = (2 n_1 cos Theta_1 ) / (n_1 cos Theta_1 + n_2 cos Theta_2 ). +$ +Jetzt als Spezialfall den senkrechten Einfall +$ + Theta_1 = 0 degree \, space r = (n_1 - n_2 ) / (n_1 + n_2 ) \ + "fuer" n_1 = 1 \, space n_2 = 1.5 space ("Glas") \ + ==> r = (- 0.5) / (2.5) = - 0.2 \, space R := r^2 = 0.04. +$ + +Eine Grenzflaeche mit Normalen in zwei Medien mit Brechungsindizes $n_1 "und" n_2 $ +$ + Theta_1 = Theta_(c) <==> Theta_(2) = 90 degree. +$ +Ist der Snellius fuer $Theta > Theta_(c) $ erfuellbar? Gibt es Verhaeltnisse fuer die der Reflexionskoeffizient $R = abs(r)^2 = 1$ sein kann? + +#highlight[TODO: Totalreflexion herleiten] diff --git a/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ new file mode 100644 index 0000000..600764a --- /dev/null +++ b/S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ @@ -0,0 +1,84 @@ +// Main VL template +#import "../preamble.typ": * + +// Fix theorems to be shown the right way in this document +#import "@preview/ctheorems:1.1.3": * +#show: thmrules + +// Main settings call +#show: conf.with( + // May add more flags here in the future + num: 5, + type: 0, // 0 normal, 1 exercise + date: datetime.today().display(), + //date: datetime( + // year: 2025, + // month: 5, + // day: 1, + //).display(), +) + += Uebersicht + +Hilbertraeume und ONS fuer PDEs. Fouriertrafo fuer die Loesung von PDEs. + +Harmonischer Oszillator +$ + (dif ^2 y) / (dif x ^2 ) + omega ^2 y = 0 \, space y = A e ^(i k x) \ + A e ^(i k x) (- k^2 + omega^2 ) = 0 ==> k = +- omega ==> y = A e ^(i omega x) + beta e^(- i omega x). +$ + +Motivation der Fourertransformation. Sei $u$ eine Funktion +$ + P: u |-> - i u^(1) \ + Q: u |-> x * u. +$ +Wir suchen einen Funktionenraum und eine lineare Transformation $u |-> hat(u)$, sodass $hat(P u) = Q hat(u)$. + +Aus einer DGL soll ein algebraischer Ausdruck werden. Mit dem Ansatz +$ + hat(u) = integral K (x, xi) u (x) dif x. +$ +Welche Anforderungen brauchen wir an $u$, sodass das Integral definiert ist. Es soll also partielle Integration durchfuehrbar sein +$ + i xi hat(u) (xi) = integral i xi e ^(i x xi) u (x) dif x = integral e ^(i x xi) (+ u') (x) dif x = - underbrace([e ^(- i xi x) u (x)]_(- oo) ^(oo), =^(!) 0) + integral e ^(- i x xi) partial _(x) u dif x = hat(u)' (xi). +$ + +Um den bei der partiellen Integration auftretenden Randterm zu eliminieren, wird die Fourertransformation auf $L^(1) $ definiert. + +Q: Warum faellt dieser Term bei $L^(1) $ Funktionen weg? + +#theorem[ + Riemann-Lebesgue-Lemma. + + Es gilt + $ + lim_(abs(xi) -> oo) hat(u) (xi) = 0. + $ +] + +Die Fourertransformation ist immer stetig. Im allgemeinen ist die Fourertransformation wie hier noch nicht integrierbar. + +Einfuehrung der Multi-Index Notation mit einem Produkt aber keine Summe. Es gilt dann +$ + P^(alpha) u (x) = (- i)^(abs(alpha)) partial^(alpha) u (x). +$ + +#lemma[ + Falls $u in C^(k) (RR^(n) )$ und $P^(alpha) in L^(1) (RR^(n) ) space forall alpha : abs(alpha) <= k$, so ist + $ + hat(p ^(alpha) u ) = Q^(alpha) u \, space abs(alpha) <= k \ + abs( hat(u) (xi)) <= C (1) / (1 + norm(xi) k). + $ + Falls $u$ kompakt getragen ist, so kann $hat(u)$ in eine ueberall konvergente Potenzreihe entwickelt werden + $ + hat(u) (xi) = sum c_(k) (xi - xi_0 )^(k). + $ +] + +#proof[ + Betrachte + $ + hat(P^(alpha) u) = Q^(alpha) hat(u) = x ^(alpha) hat(u) + $ +] diff --git a/book.typ b/book.typ index d6dfe82..3fc3740 100644 --- a/book.typ +++ b/book.typ @@ -27,6 +27,7 @@ - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL5.typ")[ExIIIVL5] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL6.typ")[ExIIIVL6] - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL7.typ")[ExIIIVL7] + - #chapter("S3/ExPhyIII/VL/ExIIIVL8.typ")[ExIIIVL8] - #chapter("S3/KFT/index.typ")[Kft] - #chapter("S3/KFT/VL/KftVL1.typ")[Wiederholung Grundbegriffe] @@ -43,6 +44,7 @@ - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL4.typ")[MaPhIIIVL4] - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL5.typ")[MaPhIIIVL5] - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL6.typ")[MaPhIIIVL6] + - #chapter("S3/MaPhyIII/VL/MaPhIIIVL7.typ")[MaPhIIIVL7] - #chapter("S3/Fest/index.typ")[Fest] - #chapter("S3/Fest/VL/FestVL1.typ")[Bindungstypen I]