### Disclaimer ###

Dieser LLM-generierte Output dient als Überblick über die Aufgabe und zur Einschätzung, wie gut die aktuelle ChatGPT-Version solche Aufgaben bearbeiten kann.
Er wird nicht direkt übernommen; die Inhalte werden selbst geprüft und eigenständig ausgearbeitet.

### Disclaimer ###

# Prompt to ChatGPT

Ausgefuehrt am 14.02.2026 auf der freien Version.

```prompt
<Contents of ./TASK.md>

solve in detail
```

# Answer from ChatGPT

## 1. Householder-Verfahren (kurz erklärt)

Die Householder-Transformation ist eine orthogonale Spiegelung, mit der man gezielt Einträge unterhalb der Diagonale auf 0 bringt.

Grundidee:

* Für eine Spalte (k) von (A) konstruiert man einen Vektor (v), sodass eine Spiegelung (H_k) den Teilvektor (a_k) auf eine Vielfache des Einheitsvektors (e_1) abbildet.
* Die Householder-Matrix ist:
  [
  H_k = I - 2 \frac{v v^T}{v^T v}
  ]
* Diese ist orthogonal: (H_k^T = H_k^{-1})

Vorgehen:

1. Iteriere über Spalten (k = 1, ..., n)
2. Bestimme (v), sodass alle Einträge unterhalb der Diagonale in Spalte (k) verschwinden
3. Wende (H_k) auf die Restmatrix an

Am Ende:
[
Q = H_1 H_2 \cdots H_n,\quad S = Q^T A
]

Eigenschaften:

* numerisch stabil
* keine Verschlechterung der Kondition
* besser als Gram-Schmidt in der Praxis

---

## 2. QS-Zerlegung für

[
A =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \
0 & 0 \
1 & 1
\end{pmatrix}
]

### Schritt 1: erste Spalte

[
a_1 = (0,0,1)^T,\quad |a_1| = 1
]

Wähle:
[
v = a_1 + |a_1| e_1 = (1,0,1)^T
]

Norm:
[
v^T v = 2
]

Householder:
[
H_1 = I - 2 \frac{vv^T}{v^T v} = I - \frac{vv^T}{1}
]

[
vv^T =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \
0 & 0 & 0 \
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
]

[
H_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & -1 \
0 & 1 & 0 \
-1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
]

### Schritt 2: transformiere A

[
S = H_1 A =
\begin{pmatrix}
-1 & -1 \
0 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix}
]

### Schritt 3: zweite Spalte (unterer Block)

Betrachte:
[
(0,1)^T \Rightarrow v = (1,1)^T
]

Ergibt:
[
H_2 =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1 \
0 & -1 & 0
\end{pmatrix}
]

### Endergebnis:

[
S =
\begin{pmatrix}
-1 & -1 \
0 & -1 \
0 & 0
\end{pmatrix}
]

[
Q = H_1 H_2
]

---

## 3. Python-Implementierung (Householder)

```python
import numpy as np

def householder_qs(A):
    A = A.astype(float)
    m, n = A.shape
    Q = np.eye(m)
    S = A.copy()

    for k in range(n):
        # Teilvektor
        x = S[k:, k]

        # Norm
        norm_x = np.linalg.norm(x)
        if norm_x == 0:
            continue

        # Householder-Vektor
        e1 = np.zeros_like(x)
        e1[0] = 1
        v = x + np.sign(x[0]) * norm_x * e1
        v = v / np.linalg.norm(v)

        # Transformation
        H_k = np.eye(m)
        H_k[k:, k:] -= 2.0 * np.outer(v, v)

        # Anwenden
        S = H_k @ S
        Q = Q @ H_k

    return Q, S
```

---

## 4. Lösen von (Ax = b) mit QS

Gegeben:
[
A = QS
]

Dann:
[
Ax = b \Rightarrow QSx = b
]

Multipliziere mit (Q^T):
[
Sx = Q^T b
]

Vorgehen:

1. (y = Q^T b)
2. Löse (Sx = y) per Rückwärtseinsetzen

### Code:

```python
def back_substitution(R, b):
    n = len(b)
    x = np.zeros(n)

    for i in reversed(range(n)):
        x[i] = (b[i] - np.dot(R[i, i+1:], x[i+1:])) / R[i, i]

    return x


def solve_qs(A, b):
    Q, S = householder_qs(A)
    y = Q.T @ b
    x = back_substitution(S, y)
    return x
```

---

## 5. Anwendung für (n=20, d=0.1)

### Matrix A erzeugen

```python
def build_A(n, d):
    A = np.zeros((n, n))

    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i == j:
                A[i, j] = d
            elif j == n-1:
                A[i, j] = 1
            elif i > j:
                A[i, j] = -1

    return A
```

### Vektor b

```python
def build_b(n, d):
    b = np.zeros(n)
    for i in range(n):
        b[i] = (i+1) - n + d
    b[0] = 1 + d
    return b
```

### Ausführung

```python
n = 20
d = 0.1

A = build_A(n, d)
b = build_b(n, d)

x = solve_qs(A, b)
print(x)
```

---

## Erwartetes Verhalten

* Lösung existiert eindeutig (A regulär)
* Numerisch stabil durch Householder
* Ergebnis: Vektor (x \in \mathbb{R}^{20})

---

## Wichtige Punkte für die Abgabe

* Householder statt Gram-Schmidt → Stabilität
* Kein Gebrauch von `np.linalg.qr`
* Rückwärtseinsetzen selbst implementiert
* Code kommentieren:

  * Bedeutung von v
  * warum Norm + Vorzeichen
  * Struktur von H

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Wenn gewünscht: kompakte Version für Portfolio (≤15.000 Zeichen) oder Latex-Ausarbeitung.